ELEKTROSTATYKA. Ładunek elektryczny. Siła oddziaływania między elektronem a protonem znajdującymi się w odległości równej promieniowi atomu wodoru: 2

Transkrypt

1 LKTROSTATYKA Oddziaływania elektmagnetyczne: zjawiska elektyczne, pmieniwanie elektmagnetyczne i ptyka, pwiązane z mechaniką kwantwą. Ładunek elektyczny Siła ddziaływania między elektnem a ptnem znajdującymi się w dległści ównej pmieniwi atmu wdu: gawitacyjne: F Gmpme / N m kg, m kg), ( e p elektstatyczne: N, siła, azy większa. W dużych biektach ilść elektnów i ptnów jest jednakwa i dlateg gmne siły pzyciągania i dpychania elektstatyczneg wzajemnie kmpensują się i pzstaje jedynie słaba siła gawitacyjna. Oddziaływanie gawitacyjne dużych biektów mże kazać się silniejsze d ddziaływania elektstatyczneg (pzykładem są czane dziuy we Wszechświecie). Źódłem siły gawitacyjnej jest masa gawitacyjna. Siła elektstatyczna wywłana jest ładunkiem elektycznym. Ładunek elektyczny mże być ddatni lub ujemny.

2 Ładunek elementany e C Niektóe cząstki elementane (np. neutn, ftn i neutin) chaakteyzują się zewym ładunkiem elektycznym. Naładwana cząstka ma ładunek skwantwany, tzn. ówny całkwitej wielktnści e. Paw zachwania ładunku sfmułwane pzez Fanklina w W układzie zamkniętym całkwity ładunek pzstaje stały. Paw t jest spełnine nawet pzy anihilacji naładwanych cząstek.

3 Paw Culmba Siła działająca pmiędzy dwma naładwanymi cząstkami jest ppcjnalna d ilczynu ładunków q 1 i q i dwtnie ppcjnalna d kwadatu dległści między nimi gdzie k jest współczynnikiem ppcjnalnści. Jednstka ładunku jest C. Stała k w układzie SI wynsi F F q1q k (4.1) 1 4π q 1 q 1 / 4π. Wówczas gdzie 1 4πk C /(Nm ). Wielkść tę nazywamy pzenikalnścią elektyczną póżni. (4.)

4 (a) (b) q 1 F 3 F 3 F F q q F 1 F q 3 F1 Rys (a) Siły działające na ładunek q za stny ładunków q 1, q, q 3. (b) Wypadkwa siła tzymana w wyniku ddania wektweg sił działających na ładunek q. Zasada supepzycji sił elektstatycznych ptwiedzna jest ekspeymentalnie.

5 Ple elektyczne Definicja pla Wielkść miezna jest w N/C lub V/m. v F (4.3) q Ple elektyczne ładunku punktweg Q w dległści : 1 1 Q q q 4π czyli ( x,y,z) 1 Q ' 4π (4.4) gdzie ' jest wektem jednstkwym skiewanym d ładunku Q d punktu P(x, y, z). Ple elektyczne pchdzące d n ładunków punktwych 1 4π n n j, j j 1 j j 1 Q j ( x, y,z) (4.5)

6 W pzypadku ładunku złżneg gęstści ładunku ρ dq/dv ρ(x,y,z) [jednstka C/m 3 ] 4π 1 ρ V ( x',y',z' ) keśla względną pzenikalnść elektyczną śdka. dx' dy' dz' (4.6) W skali mik (np. w atmie) gęstść ładunku zmienia się silnie d punktu d punktu i wtedy takie pjęcie taci sens. Dipl l - Q -Q Dipl q F F Dipl elektyczny chaakteyzujemy mmentem diplwym p Ql. Zauważmy, że F / F1 l /, czyli l 1 l ( ) Qq p k q k 3 F F (4.7) Ple elektyczne dipla 1 4π p (4.8) 3 F 1 Rys. 4.. Siły działające na ładunek q ze stny dipla mmencie p Ql.

7 Stumień pla Każdemu elementwi ds pzypisujemy wekt ds nmalny d pwiezchni i j keślający ientację elementu ds ds j ds j ds; n ds Stumień natężenia pla elektyczneg pzez pwiezchnię ds j d Φ ds (4.9) j j j Rys Stumień pla elektyczneg. Całkwity stumień pzez pwiezchnię S: Φ ds ds (4.10) j j j Jednstka stumienia ma wymia Vm. S

8 Paw Gaussa Dla ładunku punktweg q tczneg kulą pmieniu i śdku pkywającym się z płżeniem ładunku, stumień Φ pzechdzący pzez sfeę q Φ ds 4π 1 4π 4π q (4.11) Stumień pla nie zależy d wielkści pwiezchni. A Rzpatzymy dwlną pwiezchnię, któa zawiea θ kulę waz z ładunkiem i udwdnimy, że całkwity stumień pzez tę pwiezchnię jest identyczny jak stumień pzez pwiezchnię kulistą. R Pwiezchnia elementu A jest większa d pwiezchni a Rys. 4.4 Stumień pzez dwlną zamkniętą pwiezchnię zawieającą ładunek q. elementu a ( ) A a R 1 csθ ze względu na ten sam kąt byłwy dω a A cs θ R az ze względu na nachylenie elementu d kieunku adialneg. Kąt θ jest kątem zawatym zewnętzną nmalną a kieunkiem adialnym.

9 Stumień natężenia pla pzez ba elementy jest ówny dφ a az Wstawiając d ównania na stumień watści dstajemy 1,a dφ A Acsθ q R 4π R, A R i ( ) cs θ R q dφ, A a 4π a A a R 1 a (4.1) Stumienie pzez ba elementy są ówne. Również całkwity stumień pzez bie pwiezchnie będzie jednakwy, a więc stumień natężenia pla pzez dwlną zamkniętą pwiezchnię taczającą ładunek q będzie ówny q. Jeżeli ładunek leży na zewnątz zamkniętej dwlnej pwiezchni, t stumień pzez tę pwiezchnię znika.

10 Jeżeli mamy n ładunków punktwych bjętych pwiezchnią, t stumień pzez tę pwiezchnię wynsi: W pzypadku ładunku gęstści bjętściwej ρ(x,y,z) ds 1 ρdv S n Φ q i i 1 (4.13) V (4.14) Paw Gaussa bzmi: stumień natężenia pla elektyczneg pzez dwlną pwiezchnię zamkniętą ówna się ilczynwi całkwiteg ładunku zamknięteg w tej pwiezchni pzez.

11 Pwiezchniwy zkład ładunku a S a Całkwity stumień natężenia pla elektyczneg ds S Zgdnie z twiedzeniem Gaussa S σs czyli ple elektyczne naładwanej płaszczyzny jest ówne σ (4.17) Fig Nieskńczna pwiezchnia metalwa gęstści pwiezchniwej ładunku s.

12 Kndensat płaski a b I II III Fig Ple elektyczne między dwma płaszczyznami ównych gęstściach ładunku pwiezchniweg s lecz pzeciwnych znakach. Ple wytwzne pzez płaszczyznę b wynsi b σ / i jest skiewane d tej płaszczyzny. W bszaze I: I ai W bszaze II: II aii W bszaze III: III aiii bii bi σ σ (4.18) biii σ σ σ σ 0 σ Na zewnątz płaszczyzn ple elektyczne znika, natmiast między płaszczyznami wynsi σ /. 0

13 Pwiezchnia pzewdnika Większść ciał stałych dzielimy na pzewdniki i izlaty (dielektyki). Ddatkwy ładunek umieszczny na pwiezchni lub wewnątz dielektyka pzstaje nieuchmy. W pzewdniku ple elektyczne mże istnieć jedynie w ciągu kótkieg kesu czasu dpóki swbdne elektny nie zgmadzą się na pwiezchni pzewdnika pd wpływem działania zewnętzneg pla i nie utwzą pzeciwnie skiewaneg pla. Zgdnie z twiedzeniem Gaussa Q Pwiezchnia S ds w S W stanie ównwagi ładunkwej pzewdnika Pzewdnik w 0, ładunek wewnętzny pzewdnika Qw 0. Linie sił pla elektyczneg na pwiezchni Rys. 4.9 Wewnątz pstpadłścianu pzewdnika są skiewane pstpadle d pdstawie DS znajduje się ładunek sds. pwiezchni. S σ S czyli natężenie pla na pwiezchni pzewdnika σ (4.0)

14 Ptencjał elektyczny Pkażemy, że całka z pla elektyczneg p kzywej łączącej punkty A i B B ds cnst pzybiea tę samą watść dla wszystkich dóg łączących punkty A i B. A Dla ładunku punktweg paca sił pla elektstatyczneg wynsi W AB B A B F ds q ds q A A B ds U A U B (4.1) i jest ówna zmianie enegii ptencjalnej pla elektstatyczneg. Pzyjmujemy U 0, gdy ładunek znajduje się w nieskńcznści. Wówczas U A q A ds (4.)

15 Jeżeli pzesuniemy ładunek q z nieskńcznści d punktu płżneg w dległści d ładunku punktweg Q, t enegia ptencjalna będzie ówna pacy pzeciwk sile elektstatycznej U Q q 1 d 1 4π 4π qq [ ] 1 Wbec teg, enegia ptencjalna ładunku punktweg q umieszczneg w plu ładunku Q wynsi U 1 4π qq (4.3) Ptencjał elektyczny keślamy jak enegię ptencjalną jednstkweg ładunku Jednstką ptencjału elektyczneg jest wlt V J/C. V U (4.4) q Ptencjał ładunku punktweg Q V Q 1 (4.5) 4π Ptencjał elektyczny jest pacą jaką należy wyknać aby pzesunąć ładunek jednstkwy z nieskńcznści na dległść d ładunku punktweg Q.

16 Różnica ptencjałów (napięcie elektyczne) pmiędzy dwma punktami stanwi pacę jaką należy wyknać w celu pzesunięcia jednstkweg ładunku z jedneg punktu pla d dugieg. A V V ds (4.6) Z statnieg wyażenia wynika Z klei wekt pzesunięcia ds Pzyjmując teaz, że gadv widzimy, że ilczyn skalany ds dv A dv B B ds (4.7) V dx V dy V dz (4.8) x y z ds i V x i dx V x dx c ptwiedza elację (4.7). Pkazaliśmy zatem, że j V y jdy V y dy gadv kdz k V z V z dz dv (4.9) (4.30)

17 Znak minus znacza, że wekt natężenia pla elektyczneg skiewany jest d większeg d mniejszeg ptencjału. Wekt gad V pkywa się z kieunkiem wzstu funkcji V. Pzykład: óżnica ptencjałów pmiędzy dwiema pzeciwnie naładwanymi ównległymi płytkami σ σ Zgdnie z (4.7) V x Pnieważ linie sił pla elektyczneg skiewane są d ładunków ddatnich d ujemnych, t znak minus wskazuje, że ddatnia płytka chaakteyzuje się wyższym ptencjałem. Różnica ptencjałów między płytkami wynsi σx xq V (4.31) S x Rys Dwie ównległe płytki naładwane ównymi c d watści lecz pzeciwnymi ładunkami.

18 Jeżeli kilka naładwanych ciał płżnych jest w dległściach dpwiedni 1,,..., n d punktu P, t ptencjał elektyczny w tym punkcie jest ówny sumie ptencjałów d pszczególnych ciał. V ds K ds V V K V Siły elektstatyczne są zachwawcze. ( 1 n ) 1 n ds 0 (4.3) Pwyższa całka p kntuze zamkniętym nazywana jest cykulacją wekta natężenia pla elektyczneg. Wzó (4.3) nie jest słuszny w pzypadku zmiennych w czasie pól elektycznych. Pla takie nie są ptencjalne.

19 Pjemnść elektyczna Stsunek nagmadzneg ładunku d óżnicy ptencjałów V nazywamy pjemnścią C: C Q V (4.33) Jednstka pjemnści: C/V F (faad). Stsuje się mniejsze jednstki jak mikfaad (µf), nanfaad (nf), pikfaad (pf). Różnica ptencjałów pmiędzy dwma płytkami wynsi pjemnść kndensata płaskieg wynsi V x Q/ S. Stąd wynika, że Q S C V x (4.34)

20 Gęstść enegii pla elektyczneg Załóżmy, że pczątkw nienaładwany kndensat stpniw ładwan, pzy czym óżnica ptencjałów wzastała d 0 d V. Ładunek na kładkach kndensata będzie wzastał d 0 d Q, gdzie Q CV. Paca wyknana pzy pzemieszczaniu ładunku dq d ujemnie naładwanej płytki d naładwanej ddatni wynsi negia zmagazynwana w kndensatze Zauważmy, że W Pdstawiając t d (4.35) tzymamy Uwzględniając z klei (4.34) mamy dw Vdq V Q q Q Vdq dq 1 (4.35) C C 0 0 Q V czyli Q S x S W W ( S ) 1 C Sx

21 Teaz dzieląc bie części pzez bjętść kndensata Sx, tzymujemy gęstść enegii pla elektyczneg w 1 (4.36) Z badziej gólnych ale zaazem badziej złżnych zważań wynika, że całkwita enegia knieczna d ufmwania dwlneg zkładu ładunków, jest ówna dkładnie całce p / licznej p całej pzestzeni V, gdzie jest plem utwznym pzez taki zkład ładunku W dv (4.37)

22 Dielektyki Jeżeli między kładkami umieścimy substancję, t pjemnść kndensata wzasta d C d C. Mżemy wówczas keślić względną pzenikalnść dielektyczną substancji σ 0 σ σ σ 0 Rys Pwstanie ładunku indukwaneg s' na pwiezchni dielektyka umieszczneg między kładkami kndensata. C' (4.38) C W dielektykach ładunki nie mają mżliwści swbdneg pzemieszczania Playzacja dielektyka t indukcja ładunku na pwiezchni dielektyka pd wpływem zewnętzneg pla elektyczneg. Wskutek zjawiska playzacji zmienia się watść natężenia pla w śdku dielektycznym; wpływ pla wewnętzneg. Cząsteczki niesplayzwane (np. H, Cl, CCl 4, węglwdy): śdki ciężkści ładunków ddatnich i ujemnych pkywają się.

23 Pd wpływem zewnętzneg pla elektyczneg w cząstkach niesplayzwanych indukuje się mment diplwy p α (4.39) gdzie α jest współczynnikiem playzwalnści atmu. Cząsteczki splayzwane samistnym mmencie diplwym p e e (H O, NH 3, HCl, CH 3 Cl)

24 Rdzaje playzacj Playzacja skiewana: pd wpływem zewnętzneg pla elektyczneg cząsteczki dielektyka dążą d zajęcia takieg płżenia, aby kieunek wektów ich mmentów diplwych p był zgdny z kieunkiem wekta. Playzacja elektnwa: cząsteczki niesplayzwane uzyskują w plu elektycznym mmenty diplwe indukwane w wyniku dkształcenia bit elektnwych. Playzacja jnwa (NaCl, CsCl): zsunięcie jnów pd wpływem pla elektyczneg. e Wskaźnik ilściwy playzacji wekt playzacji P e lim 1 V V 0 N znacza liczbę dipli zawatych w bjętści V dielektyka, a N i1 p ei p ei (4.40) mment elektyczny i-teg dipla. W pzypadku dielektyka jedndneg cząsteczkach niesplayzwanych P N p (4.41) gdzie e N znacza liczbę cząsteczek w jednstce bjętści. Stsując wzó (4.39) tzymujemy P N α χ (4.4) Współczynnik χ e e N α pdatnść dielektyczna substancji. e

25 Twiedzenie Gaussa w pzypadku becnści dielektyków. Wekt indukcji elektycznej Watść liczbwa jest zawsze dwtnie ppcjnalna d stałej dielektycznej śdka. Z teg względu wpwadzn wielkść D niezależną d stałej dielektycznej danej substancji D (4.43) D nazywamy wektem indukcji elektycznej i miezymy w C/m : D chaakteyzuje zatem t ple elektyczne, któe wytwazają w danej substancji same tylk ładunki swbdne. Ładunki związane pwstające w dielektyku wywłują zmianę zkładu w pzestzeni ładunków swbdnych wytwazających ple. Stumień indukcji elektycznej Całkwity stumień D d Φ D D ds D ds qswb S j j Φ (4.45) gdzie zgdnie z definicją wekta indukcji elektycznej uwzględnin tylk ładunki swbdne.

26 W póżni D, a zatem ównanie (4.45) pzybiea pstać ds q (4.46) S Ple w dwlnym śdwisku óżni się d pla w póżni tym, że wytwazają je ładunki zaówn swbdne, jak i związane. W gólnym pzypadku S swb ds qswb qzwią (4.47) Ładunki swbdne wytwazają zewnętzne ple elektyczne, natmiast ładunki związane wytwazają ple wewnętzne splayzwaneg dielektyka.

27 (a) (b) A B A σ -σ p σ p -σ p B - - S P e - l n α - l/ l/ S P e n α Ple elektyczne p Rys Pwstawanie ładunku związaneg. ładunków związanych jest skiewane pzeciwnie względem pla zewnętzneg, wytwzneg pzez ładunki swbdne. Natężenie pla wypadkweg p Znajdziemy teaz sumę ładunków związanych, któe pwstały w wyniku playzacji dielektyka, bjęteg zamkniętą pwiezchnią S.

28 Suma algebaiczna wszystkich ładunków dipli całkwicie bjętych pwiezchnią, ówna się zeu. Pzy bliczaniu q uwzględnia się zatem tylk te diple, któe pzecinają pwiezchnię S. Waunek ten spełniają wszystkie diple, któych śdki leżą wewnątz bjętści l Scsα. zwią Liczba dipli pzeciętych pzez element S wynsi Nl Scsα. Całkwity ładunek związany Ilczyn q zwi q zwią ą, pwiezchni S N ql csα S N p e csα S N p e ówny jest mdułwi wekta playzacji. A zatem qzwią Pe csα S Pe n S Pe ds (4.48) Sumy ładunków związanych, znajdujących się wewnątz zamkniętej pwiezchni S qzwią Pe ds (4.49) Twiedzenie Gaussa S ds q S swb S P e ds

29 stąd S ( Pe ) ds (4.50) qswb Wstawiając tu q swb z ównania (4.45) tzymujemy Pzet Uwzględniając (4.4) mamy ( Pe ) ds S P e Z dugiej stny, w myśl definicji (4.43), wekt D ówny jest D Zatem S D ds D (4.51) D χ ( 1 χ ) (4.5) e e 1 χ e (4.53) Stała dielektyczna ówna się pdatnści dielektycznej zwiększnej 1. Dla póżni 1, a χ 0. e