dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 6: Paca i enegia d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.l htt://laye.uci.agh.edu.l/z.szklaski/

2 negia a aca negia jest to wielkość skalana, okeślająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. N. enegia kinetyczna jest związana ze stanem uchu ciała. Paca jest to enegia zekazana ciału lub od niego odebana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy enegia jest zekazana ciału, aca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, aca jest ujemna. Paca jest ówna zmianie enegii. Jednostką acy i enegii w układzie SI jest J Wydział Infomatyki, lektoniki i

3 Paca stałej siły v φ B Wekto zesunięcia v B φ W s s cos s B vb v Wskutek wykonanej nad ciałem acy wzasta jego ędkość od v do v B czyli ośnie enegia kinetyczna Wydział Infomatyki, lektoniki i 3

4 3.3.7 Wydział Infomatyki, lektoniki i 4 Pacę wykonuje składowa -owa siły t a t v s φ s a m s W B t v v a B t v v s B zatem k kb B B B B B mv mv W t v v t v v m W Paca wykonana zez siłę nad cząstką swobodną jest ówna zmianie enegii kinetycznej cząstki mv k ale v m m k

5 Paca zmiennej siły Załóżmy, że siła zależy od ołożenia czyli () Dzielimy zedział <, > na odcinki Δ, na któych można zyjąć, że siła jest stała. Obliczamy acę ΔW wykonaną zez siłę stałą na odcinku Δ ΔW = Δ Sumując otzymamy W Wydział Infomatyki, lektoniki i 5

6 W Gdy Δ W lim d W ogólnym zyadku: W B B d skoo v więc W B d d dt t W B B vd t vdt Moc jest definiowana jako : P = dw/dt t B t t Pdt P v Wydział Infomatyki, lektoniki i 6

7 Zmienna siła siła sężystości s ik ˆ m d dt ˆ ˆ d ik mi dt i ˆ s k ik ˆ ma s m s k Wydział Infomatyki, lektoniki i 7

8 negia otencjalna nie tylko gawitacyjna k k k k Paca siły zależnej od ołożenia siły hamonicznej k( ) k W W W dw d k k W d k skoo k d k negia otencjalna sężystości W aca wykonana zez siłę sężystości Wydział Infomatyki, lektoniki i 8

9 Poblem z enegią otencjalną sężystości? Zwolnienie masy m wydłużyło sężynę o negia otencjalna ozciągniętej sężyny: k kosztem: k mg k s mg mg Waunek ównowagi: k mg?? Stan ównowagi o wygaśnięciu dgań uzuełnienie zasady zachowania enegii: k mg Q Ile enegii taci sężyna - ołowę!! Wydział Infomatyki, lektoniki i 9

10 negia otencjalna negia otencjalna jest to enegia związana z konfiguacją układu ciał, działających na siebie siłami. by móc wowadzić ojęcie enegii otencjalnej, ole sił musi mieć okeśloną własność - taką, że aca wykonana w tym olu nie może zależeć od dogi, wzdłuż któej zachodzi zemieszczenie Takie ola i siły nazywamy zachowawczymi Wydział Infomatyki, lektoniki i

11 B Paca wykonana zez siłę zachowawczą nie zależy od dogi lecz zależy jedynie od ołożeń unktów i B. W B doga = W B doga = W B doga3 Doga Doga 3 W L d Doga Paca wykonana zez siłę zachowawczą nad cząstką ouszającą się o dodze zamkniętej jest ówna zeu. W = W B + W B = Wydział Infomatyki, lektoniki i

12 Pzykład Dane jest ole wektoowe o składowych = Ky; y = K; z = ; gdzie K jest stałą. Sawdzić czy to ole jest zachowawcze obliczając acę o kontuze tójkątnym o bokach y = ; y = ; =. Rozwiązanie Kyiˆ Kj ˆ iˆ d yj ˆ d y B(, ) C(,) (,) dy Kyd Kdy W B W B dˆ d B dˆ dˆ Kyd y C B y C Kdy... y dˆ Wydział Infomatyki, lektoniki i

13 ISTOTN SIŁY RZCZYWIST Siły centalne: f () ˆ Siła ciężkości (siła gawitacji) () G Mm ˆ Siła oddziaływania elektostatycznego (siła kulombowska) są siłami zachowawczymi Qq ( ) ˆ 4π Siła tacia NI JST siłą zachowawczą! Wydział Infomatyki, lektoniki i 3

14 Jak obliczać enegię otencjalną? S Paca siły zewnętznej zmiana enegii otencjalnej W z z h W z z h W z W W g g Wydział Infomatyki, lektoniki i 4

15 a zatem sens fizyczny ma jedynie óżnica enegii otencjalnej omiędzy dwoma unktami. (B) Watość enegii otencjalnej w unkcie oisanym wektoem jest okeślona z dokładnością do stałej - ównej (), któą można obać umownie. () W( B) ( ) ( ) ( ) () d d Umowa: leży w nieskończoności czyli ( )= B d () d Wydział Infomatyki, lektoniki i 5

16 Jak obliczać enegię otencjalną gawitacji? g G więc g Mm 3 lub g d g skoo Mm G ˆ GMm d 3 GMm g d d 3 GMm d G Mm G Mm G Mm Wydział Infomatyki, lektoniki i 6

17 Siła zachowawcza negia otencjalna układ: mg () mg masa m - Ziemia Mm ) G ( ˆ () G Mm masa m masa M Qq ( ) 4π ˆ () 4π Qq ładunek q ładunek Q ( ) kˆ () k masa m sężyna k Wydział Infomatyki, lektoniki i 7

18 Związek omiędzy siłą a enegią otencjalną Pzyadek jednowymiaowy Uogólnienie na 3D ˆi y () ˆj z ˆi ( ) kˆ y d ˆj z d kˆ gad d d stąd...? oeato nabla Wydział Infomatyki, lektoniki i 8

19 zatem: gad k(ˆi yˆj zkˆ ) k UWG! Paca wykonana nad układem zez siłę zewnętzną jest zeciwna do acy wykonanej zez siły układu Wydział Infomatyki, lektoniki i 9

20 Pzykład siła sężystości negia otencjalna układu masa-sężyna dana jest wzoem: Kozystając z zależności sężystości. () k gad wyowadzić wzó na siłę Rozwiązanie: () gad k gad k( k ˆi ky ˆj y z kz kˆ k(ˆi yˆj zkˆ ) ) y z k (, y,z) k k y k y z z y z k y z ky kz Wydział Infomatyki, lektoniki i

21 Zasada zachowania enegii W układzie izolowanym, w któym zmiany enegii ochodzą jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i otencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna mech nie może ulegać zmianie. = Δ k + Δ = k - k + - k + = k + k + = const d dt ( k ) Wydział Infomatyki, lektoniki i

22 Zastosowanie zasady zachowania enegii dla oscylatoa hamonicznego v k m k d dt v ( m k ) d dt ( k ) m v dv dt k d dt d dt m k ównanie oscylatoa hamonicznego Wydział Infomatyki, lektoniki i

23 Pzykład tak z obity: Pociskowi o masie m = ton, znajdującemu się na obicie km nad owiezchnią Ziemi nadano szybkość m/s i skieowano lotem balistycznym w kieunku Ziemi. Oblicz enegię jaka wydzieli się w momencie zdezenia z owiezchnią Ziemi. Dane: G = 6,67 - Nm ; M=5,98 kg -4 kg; R Z =6,37 6 m ( kilotona kt = 4,84 J; Little Boy5kt) k k GMm R h R ,5 9 84,5 GJ, kt Wydział Infomatyki, lektoniki i 3

24 Podsumowanie Istnieje ścisły związek omiędzy acą a enegią O enegii otencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych Zasada zachowania enegii mechanicznej ozwala ozwiązywać zagadnienia, któe są tudne lub niemożliwe do ozwiązania na guncie zasad dynamiki Całkowita enegia jest wielkością stałą. negia może być zekształcana z jednej fomy w inną, ale nie może być wytwazana ani niszczona W = Δ mech + Δ tem +Δ wew Wydział Infomatyki, lektoniki i 4

25 negia elatywistyczna Lukecjusz (99.n.e.-55.n.e.) De Reum Natua Rzeczy nie mogą owstawać z niczego, a gdy zostały stwozone, nie mogą zamienić się w nicość iewsze sfomułowanie ZSDY ZCHOWNI MTRII. Lavoisie ( ) zasada zachowania masy instein (95) Teoia względności ołączyła w jedną zasadę: zasadę zachowania masy i zasadę zachowania enegii. Masa elatywistyczna m m v c m ( ) / Wydział Infomatyki, lektoniki i 5

26 m m zatem enegia kinetyczna: k mv k mc mc m m c m c dla małych ędkości, gdy = v/c << Zasada ównoważności masy i enegii: Każda ilość dostaczonej enegii owoduje wzost masy ciała. k m m v c Pzykład: owstawanie deuteonu (jąda deuteu) m =,73 u m n =,867 u m d =,36 u n Δm =,38 u =,5 6 ev H Wydział Infomatyki, lektoniki i 6

27 =,5 6 ev Taka enegia wyzwala się jako kwant - enegia wiązania. negia całkowita = en. soczynkowa + en. kinetyczna m stąd c k m m c c k negia a ęd nieelatywistycznie: m k elatywistycznie c m c k k stąd c m c HRW, t Wydział Infomatyki, lektoniki i 7