POLE MAGNETYCZNE. Prawo Ampera. 2 4πε. Cyrkulacją wektorab r po okręgu. Kierunek wektora B r reguła prawej ręki.

Transkrypt

1 POLE MAGNETYCZNE Paw Ampea Kieunek wekta eguła pawej ęki. l Cykulacją wekta p kęgu ds ds π 4πε c Mżna wykazać, że związek ten jest słuszny dla kntuu dwlneg kształtu bejmująceg pzewdnik. ds Rys. 6.. Całkę kzywliniwą blicza się p zaznacznym kęgu pmieniu. Zaznaczn element kntuu całkwania ds. l Pzewdnik, ds,,, ds ds,, ds ds ds Rys. 6.. Dwlny kntu wkół pzewdnika z pądem skiewanym zza płaszczyzny ysunku.

2 Widzimy, że Pdbnie ' '' ' ds ( ds + ds ) ds ds ds ds ' ds ' + + Pnieważ dla wszystkich łuków kęgów twzących jednakwe kąty, watści t ds ds p kntuze Jeżeli dwlny kntu bejmuje n pzewdników Stąd p kęgu ( ) ds ( ) n C ds c n ds są jednakwe, (6.) Paw Ampea: cykulacja wekta indukcji magnetycznej jest ówna sumie algebaicznej natężeń pądów płynących wewnątz kntuu całkwania pmnżnych pzez pzenikalnść magnetyczną śdka.

3 W gólnym pzypadku pzenikalnść magnetyczna śdka gdzie ρ jest względną pzenikalnścią magnetyczną. (6.) W pzypadku pądu niejedndneg, paw Ampea zapisujemy w pstaci ds j ds (6.3) gdzie pwiezchnia S jest zpięta na kntuze C. Ple elektstatyczne jest zachwawcze c znacza, że E ds 0 C C Ple magnetyczne nie jest plem zachwawczym, pnieważ cykulacja wekta p kntuze zamkniętym jest óżna d zea. Ple takie nazywamy wiwym. S

4 Stumień magnetyczny Stumień magnetyczny Φ ds (6.4) S Całka pwyższa p dwlnej zamkniętej pwiezchni jest ówna zeu (d wnętza pwiezchni wchdzi dkładnie taki sam stumień, jaki z niej wychdzi). Jeżeli mamy n pądów t wytwzny pzez nie stumień jest ówny gdzie części ównania jest ówny zeu, t mamy ds ds n i (i,,..., n) ple magnetyczne wytwzne pzez i-ty pąd. Pnieważ każdy człn pawej ds 0 Twiedzeniem Gaussa: Stumień magnetyczny pzez dwlną zamkniętą pwiezchnię ówna się zeu. W pzydzie nie występują ładunki magnetyczne. Oznacza t, że ple magnetyczne jest bezźódłwe. Jednstką stumienia jest webe; Wb Tm. ds (6.5)

5 x z d l d ϕ Rys d jest indukcją pla magnetyczneg jakie wytwaza element dl pzewdnika z pądem w dległści d teg elementu. P Paw ita-savata-laplace a y Element pzewdnika dl z pądem daje pzyczynek d d indukcji magnetycznej keślny wzem d dl (6.6) 3 4π Natężenie pla magnetyczneg H związane z indukcją następującą zależnścią H (6.7) Wzó ten jest słuszny dla pzypadku jedndneg, iztpweg śdka dla któeg wekt H jest ównległy d wekta. Natężenie pla H miezymy w jednstkach A/m. Ze wzów (6.6) i (6.7) wynika, że dh 4π 3 dl (6.8)

6 Odpwiednikiem wekta pla elektyczneg E jest wekt indukcji magnetycznej pnieważ zaówn wielkść E jak i wielkść keślają dynamiczne ddziaływania tych pól i zależą d właściwści śdka, w któym wytwazane są pla. Z klei dpwiednikiem wekta indukcji elektycznej D jest natężenie pla magnetyczneg H. Zgdnie z zasadą supepzycji, indukcja magnetyczna w dwlnym punkcie pla magnetyczneg pzewdnika pzez któy płynie pąd ówna się sumie wektwej indukcji i elementanych pól magnetycznych wytwazanych pzez pszczególne dcinki li teg pzewdnika n i (6.9) gdzie n znacza gólną liczbę dcinków, na jakie pdzielny zstał pzewdnik. W ganicy, gdy n dąży d nieskńcznści d (6.0) l i

7 Pstliniwy pzewdnik z pądem M d l E N C ϕ D ϕ ϕ dϕ Rys Ple magnetyczne pstliniweg pzewdnika z pądem. A Paw ita-savata-laplace a w pstaci skalanej ma pstać d sinφ d (6.) 4π gdzie ϕ znacza kąt zawaty między wektami dl i. Wekt jest ówny bezwzględnej algebaicznej sumie mdułów wektów dl sinφ dl sinφ 4π 4π d Jak wynika z ys. 6.4 az sinφ Tymczasem CD dϕ, a stąd dφ dl sinφ dl d φ sin φ CD sinφ (6.)

8 Pdstawiając wyażenie na i dl d (6.) uzyskamy ( ) 4 4 φ φ π φ φ π φ φ cs cs d sin (6.3) gdzie ϕ i ϕ znaczają watści kąta ϕ dla skajnych punktów M i N pzewdnika. Jeżeli pzewdnik jest nieskńczenie długi, wówczas ϕ 0 i ϕ π c pwadzi d wyniku 4π Ptwiedziliśmy więc upzedni uzyskane wyażenie (5.4).

9 Slenid A D Rys Slenid. Pstkąt zaznaczny linią pzeywaną jest kntuem całkwania w pawie Ampea. Jeżeli zwje slenidu są zmieszczne dstatecznie blisk siebie, wówczas slenid mżna zpatywać jak układ płącznych szeegw pądów kłwych jednakwym pmieniu, mających wspólną ś. Niech n znacza ilść zwjów na jednstkę długści. Skzystamy z pawa Ampea dla pstkątneg kntuu ACD ds cal ACD W naszym pzypadku cał nx, gdzie jest natężeniem pądu płynąceg pzez slenid. W związku tym mżemy dalej napisać x C

10 W wyażeniu tym: piewsza całka jest ówna x, duga i czwata całka są zewe, watść tzeciej całki ówna się zeu. Tak więc czyli wew ds + ds + zew ds + ds A C CD DA x nx n (6.4) Kształt linii sił pla magnetyczneg slenidu jest pdbny d linii sił pla wkół magnesu stałeg pdbnym kształcie (ys. 6.6). nx N S (a) (b) Rys Linie sił pla magnetyczneg magnesu stałeg (a) i slenidu (b) pdbnym kształcie.

11 Oddziaływanie pzewdników z pądem W paciu wzó F mag qv bliczymy siłę któa działa na element pzewdnika dl. Na ładunek dq puszający się z pędkścią v działa siła czyli df dqv df dl dq dt dq dt dl dl (6.6) Jest t wzó Ampea na siłę elektdynamiczną. Aby pliczyć siłę działającą na cały pzewdnik z pądem, należy pdzielić g na elementy długści dl i zsumwać wektw pzyczynki dla każdeg elementu. W elektstatyce mamy d czynienia z siłami centalnymi. Tymczasem siła ddziaływania elektmagnetyczneg skiewana jest pstpadle d linii sił pla magnetyczneg. Oddziaływanie wzajemne ównległych pądów mżna wytłumaczyć uwzględniając fakt, że każdy z pzewdników wytwaza ple magnetyczne, ddziaływujące na dugi pzewdnik z pądem.

12 F F a F a F (a) (b) Rys Oddziaływanie między dwma ównległymi pzewdnikami z pądem. Pzewdnik wytwaza ple w dległści a d siebie Pd wpływem teg pla na pzewdnik działa siła df 4π a df gdzie dl jest elementem dugieg pzewdnika. a 4π dl

13 W spsób analgiczny mżna pkazać, że Mżna zatem napisać df a 4π df df Siła F działająca na dcinku pzewdnika skńcznej długści l wynsi F df dl l, 4π a a z statnieg wyażenia mamy siłę działającą na jednstkę długści każdeg z pzewdników F l (6.7) 4π a Ampe jest natężeniem pądu, któy płynąc w dwóch ównległych, pstliniwych, nieskńczenie długich pzewdnikach pzekju kągłym, znikm małym; umieszcznych w dległści m jeden d dugieg, wywłałby między tymi pzewdnikami siłę ddziaływania 0 7 N na każdy met długści.

14 Efekt Halla Zjawisk Halla plega na pwstaniu w metalu lub półpzewdniku, pla elektyczneg skiewaneg pstpadle d wekta magnetyczneg i wekta gęstści pądu j płynąceg w póbce. Zjawisk t zstał dkyte pzez ameykańskieg fizyka Halla w 879. Pmiędzy dlną i góną pwiezchnią pwstaje ddatkwe, ppzeczne ple elektyczne skiewane z dłu d góy. Kiedy natężenie E teg ppzeczneg pla elektyczneg siągnie wielkść ównważącą działanie siły Lentza, t F ustali się stacjnany zkład ładunków w kieunku ppzecznym. Wówczas: a v Rys Efekt Halla j czyli V ee e a V va gdzie a jest szekścią płytki, a V ppzeczną hallwską óżnicą ptencjałów. Uwzględniając, że natężenie pądu js nevs, tzymujemy V a R H (6.8) nead en d d ev

15 We wzze tym nazwana jest stałą Halla. R H en Pmia efektu Halla jest efektywną metdą badania typu i kncentacji nśników w metalach i półpzewdnikach.

16 Magnetyzm Zachwanie magnesu mżna pisać zakładając, że na jednym kńcu znajduje się ładunek magnetyczny q m, a na dugim kńcu ładunek magnetyczny q m. Gdyby istniał ładunek magnetyczny, t w plu magnetycznym działałaby na nieg siła F q analgiczna d siły działającej na ładunek elektyczny w plu elektycznym. Chciaż w pzydzie ładunki magnetyczne nie istnieją, pjęcie t wpwadza się ze względu na wygdny matematyczny spsób pisania właściwści magnesów. F l -q m α +q m F m Mment sił działających na magnes wynsi czyli T T Fl sinα q l sinα (6.9) m lczyn q m l keśla się jak mment magnetyczny. Wbec teg T sinα Rys Magnes długści l płżny pd kątem a d linii sił pla magnetyczneg. a w zapisie wektwym T (6.0)

17 W analgiczny spsób zachwuje się pętla z pądem (ys. 6.). Obliczmy ilczyn wektwy l dla każdeg z czteech bków amki. Siły magnetyczne pzyłżne d dwóch pzeciwległych bków długści l twzą mment btwy Rys. 6. Pstkątna amka pwiezchni l l w jedndnym plu magnetycznym. F F Pnieważ stąd T Fl F sinα l, ( l )( l sinα ) l l sinα S sinα T (6.) Siły pzyłżne d dwóch stn amki długści l wzajemnie kmpensują się. Wynika z teg, że pętla z pądem wytwaza ple magnetyczne identycznie jak magnes. Pzyównując pawe stny wyażeń (6.9) i (6.) znajdziemy mment magnetyczny pętli z pądem S (6.)

18 (a) -q m +q m (b) -q m +q m -q m +q m -q m Rys. 6.. (a) Magnes. (b) Magnes pdzielny na tzy części. +q m D chwili dkycia elektnu i pądu elektnweg w metalach zachwanie magnesów w plach magnetycznych wyjaśnian na pdstawie hiptezy ładunkach magnetycznych. D chwili becnej nie udał się dkyć w pzydzie izlwaneg bieguna magnetyczneg. Właściwści magnesów mżna wyjaśnić zamkniętymi, wewnątzatmwymi pądami. Hiptezę tę wysunął Ampe. Obecnie wiemy, że te mikpądy są spwdwane bitalnym i spinwym uchem elektnów. Dwlny magnes stanwi jak gdyby slenid, p pwiezchni któeg cykuluje pąd Ampea.

19 (a) (b) -q m +q m Rys (a) Magnes p któeg pwiezchni cykulują pądy Ampea. (b) Widk magnesu w pzekju pkazan pądy atmwe, wypadkwy pąd zaznaczn gubą linią. Obliczmy wielkść teg pądu dla magnesu ładunku magnetycznym q m. Na każdy zwój slenidu działa mment sił S T S sinα. Na slenid zawieający N zwjów będzie działał mment sił T NS sinα Pównując te wyażenia z (6.9) mamy q m l sinα NS sinα czyli q N S nls (6.3) l m gdzie n l l ma sens fizyczny pądu pwiezchniweg. Wzó (6.3) ptwiedza fakt, że slenid pądzie pwiezchniwym n l l zachwuje się pdbnie jak magnes ładunku q m n l S.

20 Wpwadziliśmy upzedni dwie wielkści chaakteyzujące ple magnetyczne elacją, H związane H (6.7) Pla magnetyczne wytwzne pzez pądy płynące w pzewdnikach keślają natężenie pla magnetyczneg H. Tylk ta wielkść jest niezmiennicza pzy taczaniu pzewdów z pądem klejn óżnymi śdkami. Jeżeli bsza w któym istnieje ple magnetyczne, wypełnia jakaś substancja, t kazuje się, że watść sił działających na pzewdnik z pądem, a więc i indukcja magnetyczna, zależą d dzaju substancji. W celu wyjaśnienia teg faktu należy pzyjąć, że śdek (substancja) magnesują się w pewien spsób. Pdbnie jak w dielektykach, tak w magnetykach istnieją, lub też pwstają pd wpływem pla magnetyczneg, mmenty magnetyczne (diple magnetyczne). P pzyłżeniu zewnętzneg pla magnetyczneg diple te pządkują się w pewien spsób i ciał jak całść stanwi pewien dipl magnetyczny. Ale dipl wytwaza ple własne, któe mże ddawać się lub dejmwać d pla zewnętzneg. Dlateg wypadkwe pla w śdkach będą na gół óżne d pla w póżni.

21 Wielkścią chaakteyzującą ple magnetyczne związane jedynie z magnetycznymi właściwściami śdka jest magnetyzacja. Jest t wielkść wektwa zdefiniwana jak mment magnetyczny jednstki bjętści. J p m (6.4) V a więc ilaz wypadkweg mmentu magnetyczneg dwlnej bjętści ciała V pzez tę bjętść. Wypadkwą indukcję w śdku twzą dwie składwe: indukcja związana jedynie z pądem makskpwym wytwazającym ple magnetyczne natężeniu H (składwa niezależna d śdka), i indukcja J związana jedynie z pądami magnesującymi, któe na gół (z wyjątkiem magnesów stałych) pwstaje pd wpływem zewnętzneg pla H. Mamy więc + J (6.5) a każda ze składwych wiąże się z wielkścią bezpśedni dpwiedzialną za jej pwstanie H ; J (6.6) J

22 Pnieważ magnetyzacja J zależy d natężenia pla magnetyczneg J χ H (6.7) gdzie χ jest wielkścią bezwymiawą nazwaną pdatnścią magnetyczną, ze wzów pwyższych tzymujemy ( + χ )H H (6.8) Względna pzenikalnść magnetyczna śdka keśla ile azy ple magnetyczne makpądów H zwiększa się na skutek pla mikpądów śdka. ndukcja magnetyczna w śdku mże być c d mdułu większa lub mniejsza niż indukcja w póżni, zależnie d teg czy natężenie pla magnetyczneg H i magnetyzacja J mają te same zwty czy też pzeciwne. Z teg pwdu wszystkie ciała mżna zaliczyć d jednej z tzech pdstawwych gup: diamagnetyków, paamagnetyków lub femagnetyków. Właściwści magnetyczne ciał uwaunkwane są głównie bitalnym i spinwym mmentem magnetycznym elektnów.