Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2

Transkrypt

1 Stanisław Cichocki Natalia Nehreecka Zajęcia -

2 . Model liniow Postać modelu liniowego Zapis macierzow modelu liniowego. Estmacja modelu Przkład Wartość teoretczna (dopasowana) Reszt 3. MNK - przpadek wielu zmiennch 4. Własności hiperpłaszczzn regresji

3 Postać modelu liniowego

4 teoria ekonomiczna dane empirczne zależności ilościowe międz zmiennmi adanie ekonometrczne

5 i x... i x Ki K i i - zmienna ojaśniana (zależna, endogeniczna), x,,x K - zmienne ojaśniające (niezależne, egzogeniczne), ε i - łąd losow, β,,β K - nieznane parametr, i=,,n i indeks oserwacji, N - licza oserwacji.

6 Zapis macierzow modelu liniowego

7 N K KN N K N x x x x Stąd równanie macierzowe ma postać:

8 Model liniow zakłada, że: zależność międz analizowanmi zmiennmi jest liniowa (równanie regresji liniowej wznacza hiperpłaszczznę regresji) istnieje zależność przcznowo-skutkowa międz zmiennmi ( korelacja) zmienne ojaśniające są przczną zmienności zmiennej ojaśnianej zależność zwkle wnika z teorii (powinna) pewna część zmienności zmiennej ojaśnianej pozostaje niewjaśniona, o: nieuwzględnienie pewnch zmiennch ojaśniającch losow charakter cznników wpłwającch na zmienną ojaśnianą

9 Któr z modeli jest poprawn i dlaczego? Co jest zmienną ojaśnianą a co ojaśniającą? wdatki i dochód i i dochód i wdatki i i

10 Przkład

11 Teoria zwkle nie dostarcza informacji nt. wielkości parametrów modelu (β,,β K ). Wielkość nieznanch parametrów należ oszacować (estmować) na podstawie danch empircznch (pró). Oszacowane wielkości parametrów (estmator) (,, K ) są niedokładne (losowe), zależą od pró.

12 , x

13 Rsunek: Prosta regresji - przkład

14 Wartość teoretczna (dopasowana)

15 Wartości dopasowane: wartości zmiennej ojaśnianej ( i ) przewidwane na podstawie oszacowanego modelu - regresji liniowej i na x i,,x Ki : ˆ x i i... x Ki K Różnią się od wartości rzeczwistch, o: zamiast nieznanch prawdziwch wielkości parametrów (β,, β K ) użwam ich estmatorów (,, K ) pomijam łąd losow (ε i )

16 Reszt

17 Reszt: różnica międz wartością rzeczwistą a dopasowaną zmiennej ojaśnianej, są to oszacowania (ε i ) : e i i ˆ x i i i... x Ki K Im mniejsza jest odległość wartości rzeczwistch od teoretcznch tm lepsz model estmator parametrów modelu minimalizują sumę odległości i od : ŷ i N ˆ i i i N i e i

18

19

20 . Zapisz model teoretczn, model westmowan, wartości dopasowane oraz reszt dla modelu linowego zawierającego K zmiennch ojaśniającch wraz ze stałą

21 Suma kwadratów reszt - zapis macierzow e e e e e e e S N N i N i ) )( ( ) ( Ponieważ Zatem: S ) (

22 Warunki pierwszego rzędu o: 0 ) ( S x A A x Ax x x x

23 Układ równań normalnch I ) ( ) ( ) /( 0 ) (

24 Rozwiązanie układu równań normalnch : istnieje o ile macierz ma pełn rząd kolumnow, tzn. jej kolumn są liniowo niezależne, wted istnieje ( ) -. MNK nie da się oszacować modelu w którm: (K>N) licza zmiennch (parametrów) przekracza liczę oserwacji.

25

26 .. e 0 ˆ e 0 Dodatkowo dla modelu ze stałą: 3. N i e 4. ˆ i 0

27

28 . Zapisać model liniow. Podać interpretację poszczególnch elementów tego modelu.. Podać wzajemne relacje międz wartościami oserwowanmi zmiennej zależnej, oszacowaniami parametrów, wartościami dopasowanmi i resztami. 3. Wjaśnij różnicę międz parametrami i oszacowaniami parametrów oraz międz odchleniami losowmi i resztami. 4. Skąd ierze się nazwa Metoda Najmniejszch Kwadratów? 5. Wmienić własności hiperpłaszczzn regresji.

29 Dziękuję za uwagę