Przedmiot: Kartografia I

Transkrypt

1 Przedmiot: Kartografia I wykładów: 8 godzin ćwiczeń: 0 godzin Dr inż. Krystian Kozioł AH budynek C-4 parter p. krystian.koziol@agh.edu.pl

2 Program 5 wykładów kartografii matematycznej 4 wykłady kartografii tematycznej Zjazd 3 wykłady + ćwiczenie i i z kartografii matematycznej Zjazd 5 wykłady + 4 ćwiczenia (kartografia matematyczna) Zjazd 7 kolokwium (kartografia matematyczna)+wykłady y y kartografia tematyczna

3 Wykład I Kartografia matematyczna Podstawy teorii odwzorowań Krystian Kozioł Kraków 0 0 9

4 Definicja kartografii Definicja (973) Kartografia jest sztuką ( umiejętnością ), nauką i techniką robienia (opracowywania) map wraz z ich badaniem jako dokumentów naukowych i dzieł kultury materialnej. W tym kontekście za mapy można także plany, diagramy, uznać wszystkie postaci map, a przekroje, modele trójwymiarowe i globusy przedstawiające Ziemię lub ciała niebieskie w dowolnej skali. 4

5 Definicja kartografii Definicja (99) Kartografia zajmuje j sięę zorganizowaniem, przedstawianiem, przekazywaniem i użytkowaniem geoinformacji w postaci wizualnej, cyfrowej dotykowej. albo 5

6 Definicja kartografii Definicja i (99) Nauka o przedstawianiu i badaniu rozmieszczenia przestrzennego oraz wzajemnych powiązań zjawisk przyrodniczych i społecznych (i ich zmian w czasie) za pomocą ocą specjalnych modeli obrazowo-znakowych owo owyc (przedstawień kartograficznych). (Saliszczew 998) 6

7 Pojęcie kartografii Rozważmy pojęcie kartografii zawarte w dwu definicjach rekomendowanych do stosowania przez Międzynarodową Asocjację Kartograficzną, a przez nas tak dobranych, by rozgraniczały okresy: przed dokonaniem (973) i po dokonaniu (99) transformacji jitechnologicznej w didii dziedzinie informatyki kiii komputeryzacji. Rozważmy zatem wspomniane na wstępie definicje, rozgraniczone cezurą odmiennych spojrzeń na pojęcie kartografii, by uzmysłowić nam trwałość istnienia dziedziny i jej jjwkładu w rozwój kultury materialnej, a także by wykazać jej jj współczesne znaczenie i związki z geoinformatyką. 7

8 Definicja mapy Mapa - jest to obraz przedstawiający powierzchnię ziemi lub jej części w sposób uogólniony, uwzględniający jej krzywiznę w określonym zmniejszeniu, w odwzorowaniu na płaszczyźnie i przy użyciu symbolicznych znaków umownych. Mapa geograficzna jest systemową modelowo-obrazową całością informacyjną odwzorowującą czasoprzestrzennie sytuacje praktyczne, jako obszary działań celowych w przyjętym układzie odniesienia. 8

9 Kartografia matematyczna tapy tworzenia mapy I Pomiary geodezyjne na f.p.z. (fizycznej powierzchni Ziemi) długości kąty f.p.z przewyższenia II Przeniesienie (redukcja) wyników pomiarów na powierzchnię odniesienia (elipsoida, kula) f.p.z Realizacja zgodnie z wytycznymi technicznymi Powierzchnia odniesienia 9

10 Kartografia matematyczna tapy tworzenia mapy III Zmniejszenie powierzchni odniesienia skala (główna) mapy Skala np. : IV Odwzorowanie powierzchni odniesienia na płaszczyznę (lub inną powierzchnię) Płaszczyzna Odwzorowanie zniekształcenie (skala elementarna) kątów, długości, pola powierzchni. tap IV jest przedmiotem badań kartografii matematycznej 0

11 lementy teorii powierzchni Definicja powierzchni Powierzchnią (w/g geometrii różniczkowej) nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których położenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa dwóch niezależnych od siebie parametrów u i v. x Równanie wektorowe powierzchni z j M k i S y r r ( u, v) W układzie kartezjańskim r x( u, v) i y( u, v) j z( u, v) lub r [ x ( u, v ), y ( u, v ), z ( u, v )] lub równaniem parametrycznym powierzchni x x( u, v) y y( u, v) z z( u, v) k

12 lementy teorii powierzchni Linie parametryczne Krzywe na powierzchni określone równaniem postaci u const v const u= const v= const nazywamy liniami parametru stałego lub odpowiednio liniami współrzędnych u i v danego przedstawienia parametrycznego powierzchni. Linie te tworzą na powierzchni tzw. siatkę aussa lub siatkę współrzędnych aussa.

13 lementy teorii powierzchni I forma kwadratowa r r ( u, v Weźmy powierzchnię daną równaniem wektorowym ) Linie epaa parametryczne eprzez P (u,v) Szukamy długości elementarnej ds Nadajemy różniczki du i dv i otrzymujemy nowe linie parm. u+du, v+dv ponieważ Wyznaczamy różniczkę dr wektora r d r ds ds r u dr du r u r r v u dv dr dr du r u du r dv to ds v dr dr Podstawiając za dr otrzymujemy Przyjmując za: ds u u r r dudv r r dv r r ; F r r ; Otrzymujemy: u u v u r v v r du Fdudv 3 dv v v

14 P lementy teorii powierzchni Kąt między krzywymi na powierzchni l Kąt między krzywymi l i l = kątowi między stycznymi dr i σr dr dr ru du rv dv γ δr r ruu rvv Z iloczynu skalarnego wektorów l dr r dr r cos cos dr dr r r cos du duu F( duv dvu) dvv Fdudv dv u Fuv v Kąt między liniami parametrycznymi Wtedy dla l (linii parametrycznej v=const) mamy dv 0, du dla l (linii parametrycznej u=const) mamy u 0, v 0 0 cos F 4

15 lementy teorii powierzchni Kąt między dowolną krzywą a linią parametryczną 5

16 Teoria odwzorowań Odwzorowanie powierzchni U V U ( u, v) V ( u, v) U V f ( u, v) g( u, v) 6

17 Teoria odwzorowań Odwzorowanie powierzchni Odwzorowaniem wzajemnie jednoznaczne (homeomorficzne) jednej powierzchni na drugą nazywamy y każdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość punktową między powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię oryginału apowierzchnią,którą przyjmujemy za powierzchnię obrazu. Ponadto funkcje jako odwzorowanie homeomorficzne (jednojednoznaczne) powinny spełniać warunki: -każdej parze wartości parametrów u, v przyporządkowują jedną itylko jedną parę wartości parametrów U, V, - powinny byćć klasy C (dwukrotnieróżniczkowalne i k i ciągłe), ł - jakobian (J) odwzorowania musi być różny od zera (funkcje: U i V są wtedy niezależne): J U, U u v V V 0, u v W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest 7 krzywa, koła jest koło, obszaru jest obszar

18 Teoria odwzorowań I Tw. Tissot Dla danego odwzorowania poszukujemy pary (linii) kierunków prostopadłych, które odwzorowują się również jako para linii prostopadłych. 8

19 Teoria odwzorowań I Tw Tissot I Tw. Tissot 0 ) ( k k k k F 0 ) ( 0 ) ( k k k k F k k k k F Rozwiązując układ równań 4 F D C C k F óż ik I f 4 F D C C k F F F C F H wyróżnik I formy 9

20 Teoria odwzorowań I Tw. Tissot W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istniejąi dwa kierunki prostopadłe, kó które odwzorowują się również ż jk jako kierunki prostopadłe. Kierunki te nazywamy kierunkami głównymi Przy odwzorowaniu wiernokątnym każda para kierunków prostopadłych odwzorowuje się jako para kierunków prostopadłych. Kierunki główne nie są określone, gdy odwzorowanie jest równokątne. Twierdzenie to posiada ogólniejszą postać: W dowolnym regularnym odwzorowaniu jd jednejj powierzchni i na drugą istnieje (co najmniej jedna) siatka ortogonalna, która odwzorowuje się na siatkę ortogonalną. Siatka ta nazywa się siatką główną. 0

21 Teoria odwzorowań Skala odwzorowania f : S S m ds ds m du du ds ds F dudv dv F dudv dv Jeżeli przyjmiemy, że na obu powierzchniach siatka linii parametrycznych jest siatką główną to skale w kierunkach głównych będą równe skalom w kierunkach linii parametrycznych. Dla linii v=const. (dv=0): Dla linii u=const. (du=0): m m du du dv dv a b Skale w kierunkach głównych nazywamy skalami głównymi (a,b)

22 Teoria odwzorowań Skala odwzorowania, Weźmy następnie skalę w dowolnym kierunku następnie podstawimy m du du dv dv dv du dv du tg dv du tg dv du m tg a b tg b cos a b a sin przyjmując mcos msin x y otrzymujemy x a b y równanie elipsy Tissota lub wskaźnicy Tissota Obrazem graficznym zniekształceń długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie są równe zniekształceniom w kierunkach głównych, (z wyjątkiem odwzorowań równokątnych).

23 Teoria odwzorowań Zniekształcenie, kątów tg dv du tg dv du a b sin ( ) max a b tg tg tg tg tg tg g a b a b a b sin cos sin cos a b sin cos sin cos a b sin( ) a b sin( ) a b a b sin( ) sin( ) a b ( ) max 90 Maksymalne zniekształcenie jest równe podwójnej wartości ( - ) max. Wynika to z faktu, że kąt jest kątem pomiędzy linia parametryczną a dowolną linią. Jeżeli po drugiej stronie linii parametrycznej weźmiemy taki sam kąt to kat całkowity między dowolnymi liniami będący sumą dwu kątów będzie miał zniekształcenie dwa razy większe ( - ) max. Jeżeli a=b to wg wzoru zniekształcenie kąta jest równe zeru, czyli odwzorowanie jest 3 wiernokątne (równokątne, konforemne)

24 Teoria odwzorowań Zniekształcenie, pola dp r u r v dudv F dudv r u r v r u r v sin ( cos ) ( F ) F Na powierzchni S bierzemy element pola dp i odpowiadający mu na powierzchni S element dp. dp dp F dudv dp F dudv dp f f dp F z p f F F F 0 f a b 4

25 Temat Odwzorowanie afiniczne płaszczyzny na płaszczyznę )Równanie prostych parametrycznych dla u=const i v=const )Współczynniki aussa, F, 3) Kąt miedzy liniami parametrycznymi 4) Skala odwzorowania 5) Kierunki główne (I Tw. Tissota) 6)Skala w kierunkach głównych (II Tw. Tissota) 7) Skala w kierunkach linii parametrycznych (zależność między skalami) 8) Zniekształcenia kątów 9) Kąt o maksymalnym zniekształceniu 0) Zniekształcenia pól

26 )Równanie prostych parametrycznych dla u=const i v=const )Współczynniki aussa, F, 3) Kąt miedzy liniami parametrycznymi 4) Skala odwzorowania 5) Kierunki główne (I Tw. Tissota) 6)Skala w kierunkach głównych (II Tw. Tissota) 7) Skala w kierunkach linii parametrycznych (zależność między skalami) 8) Zniekształcenia kątów 9) Kąt o maksymalnym zniekształceniu 0) Zniekształcenia pól

27 Równania powierzchni Płaszczyzna r = [a 0 +a u+a v, b 0 +b u+b v] Kula r = [a*cosu*cosv, a*cosu*sinv, a*sinu] lipsoida id obrotowa r = [a*cosu*cosv, * a*cosu*sinv, * b*sinu] Walec r = [a*cosv, a*sinv, u] Stożek r = [u*cosv, u*sinv, au]

28 Literatura, 8