Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Transkrypt

1 Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r.

2 Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków trójk ta ABC. 2. Wyznaczy wspóªrz dne punktu D, aby czworok t ABCD byª równolegªobokiem. (Matura 1974, prol humanistyczny)

3 Dªugo±ci boków równolegªoboku wynosz 5 dm i 8 dm, za± miara k ta ostrego jest równa Oblicz: 1. Dªugo±ci przek tnych tego równolegªoboku. 2. Pole równolegªoboku. (Matura 1974, prol humanistyczny)

4 Udowodnij,»e dwusieczne s siednich k tów wewn trznych równolegªoboku s prostopadªe.

5 W kwadrat o boku 4 wpisano cztery przystaj ce okr gi styczne do boków kwadratu i do siebie nawzajem. Wyznacz promie«okr gu poªo»onego wewn trz kwadratu i stycznego do wszystkich narysowanych okr gów.

6 W ostrosªupie prawidªowym czworok tnym kraw d¹ podstawy ma dªugo± 6, a ±ciany boczne s nachylone do pªaszczyzny podstawy pod k tem Wyznacz (z dokªadno±ci do jednego stopnia) miar k ta nachylenia kraw dzi bocznej do pªaszczyzny podstawy tego ostrosªupa.

7 Oblicz pole powierzchni o±miok ta foremnego wpisanego w okr g o obwodzie 4π.

8 Z graniastosªupa prawidªowego trójk tnego odci to ostrosªup, którego podstaw jest podstawa graniastosªupa, a wierzchoªkiem jeden z wierzchoªków drugiej podstawy. Ile ±cian, kraw dzi, wierzchoªków ma pozostaªa po odci ciu bryªa? Ile wynosi jej obj to±, je±li wiadomo,»e wyj±ciowy graniastosªup miaª obj to± równ 60?

9 Dany jest kwadrat. Uzasadnij,»e pole pier±cienia koªowego wyznaczonego przez okr g opisany na tym kwadracie i okr g wpisany w ten kwadrat jest mniejsze od pola tego kwadratu.

10 Podstaw ostrosªupa jest prostok t o bokach dªugo±ci 3 i 4. Ka»da kraw d¹ boczna tego ostrosªupa jest nachylona do pªaszczyzny podstawy pod k tem Oblicz pole powierzchni caªkowitej tego ostrosªupa.

11 Dane s punkty A = (2, 2), B = (6, 5), C = ( 1, 9). Uzasadnij,»e trójk t ABC jest prostok tny.

12 Na bokach AB i AD kwadratu ABCD zbudowano trójk ty równoboczne ABE i ADF. Punkty E i F le» wewn trz kwadratu. Oblicz miary k tów trójk ta CEF.

13 Ostrosªup prawidªowy trójk tny o kraw dzi bocznej 10 i wysoko±ci 8 przeci to pªaszczyzn równolegª do podstawy i odlegª od niej o 4, odcinaj c od niego mniejszy ostrosªup. Oblicz obj to± cz ±ci ostrosªupa pozostaªej po odci ciu mniejszego ostrosªupa.

14 Szklank, której wn trze ma ksztaªt walca o ±rednicy podstawy 8 i wysoko±ci 10, napeªniono do peªna wod, po czym naczynie przechylono pod k tem Ile procent wody zostaªo w szklance?

15 Dla jakich warto±ci parametru a promie«okr gu o równaniu jest wi kszy od 2? x 2 + y 2 2ax + 2a 1 = 0

16 Wyka»,»e je»eli ±rodkowa trójk ta jest dwa razy krótsza od boku, do którego jest poprowadzona, to trójk t ten jest prostok tny.

17 Romb o dªu»szej przek tnej równej 12 i k cie ostrym 60 0 obraca si wokóª krótszej przek tnej. Oblicz obj to± i pole powierzchni caªkowitej bryªy wyznaczonej w ten sposób w przestrzeni.

18 Dany jest okr g o ±rodku w punkcie S = (2, 1), do którego nale»y punkt A = (4, 3). Oblicz pole trójk ta równobocznego wpisanego w ten okr g.

19 Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkt A = (1, 3) i jest równo oddalona od punktów B = ( 2, 0) i C = (4, 2).

20 ciany boczne ostrosªupa prawidªowego trójk tnego s trójk tami równobocznymi o boku dªugo±ci 5. Wyznacz miar k ta nachylenia kraw dzi bocznej ostrosªupa do pªaszczyzny podstawy. Wynik podaj z dokªadno±ci o 1 0.

21 Kwadrat, koªo i trójk t równoboczny maj róne obwody. Uporz dkuj rosn co pola tych gur.

22 Dane s proste równolegªe k i l. Prosta k przechodzi przez punkt A = (1, 1), a prosta l przez punkt B = (3, 2). Odcinek wyznaczony przez punkty przeci cia tych prostych z osi OX ma dªugo± 2. Wyznacz równania prostych k i l. Rozwa» wszystkie przypadki.