Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb"

Transkrypt

1 Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych oznacza b dziemy symbolem N. Zasada minimum. Je±li zbiór X jest niepustym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Denicja. Liczba caªkowita b jest podzielna przez liczb caªkowit a (a 0), je±li istnieje taka liczba caªkowita k,»e b = k a. Piszemy wtedy a b i czytamy: (i) a dzieli b, (ii) a jest podzielnikiem b, (iii) b jest podzielna przez a. Je±li liczba caªkowita b nie jest podzielna przez liczb caªkowit a, to piszemy a b. Twierdzenie. Niech a, b, c, m Z, przy czym a, m 0. (1) Je±li a b, to a b c. (2) Je±li a b i b c, to a c, (b 0). (3) Je±li a b i a c, to a (bx + cy) dla dowolnych x, y Z. (4) Je±li a b i b a, to a = b (b 0). (5) Je±li a b i a > 0, b > 0, to a b. (6) a b wtedy i tylko wtedy gdy m a m b. Twierdzenie. Dla dowolnej liczby caªkowitej b i dowolnej liczby caªkowitej a 0, istniej liczby caªkowite k i r, takie,»e Je±li a b, to zachodzi nierówno± ostra. b = k a + r, 0 r < a. Liczb r nazywamy reszt z dzielenia liczby b przez liczb a. Denicja najwi kszego wspólnego dzielnika. Liczb a Z\ {0} nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, je±li a b i a c. Je±li przynajmniej jedna sposród liczb b i c jest ró»na od zera, to w±ród wspólnych dzielników liczb b, c (których jest sko«czenie wiele) istnieje najwi kszy. Ten najwi kszy spo±ród wspólnych dzielników liczb b,c nazywamy najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c oznaczamy symbolem (b, c) lub Nwd(b, c). 1

2 W podobny sposób deniujemy najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b 1, b 2,...b n z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Dzielnik ten oznaczamy symbolem (b 1, b 2,...b n ). Twierdzenie. Je±li g = (b, c) jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, to istniej liczby caªkowite x 0, y 0 takie,»e g = b x 0 + c y 0. Innymi sªowy: najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynikach caªkowitych. Twierdzenie. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c mo»e by scharakteryzowany w nast puj cy sposob: (1) Jako najmniejsza liczba naturalna nale» ca do zbioru A = {bx + cy : x, y Z}. (2) Jako wspólny naturalny dzielnik liczb b i c podzielny przez ka»dy inny wspólny dzielnik tych liczb. Twierdzenie (Algorytm Euklidesa). Niech b i c b d dwiema liczbami caªkowitymi, przy czym c > 0. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c mo»e by obliczony przy pomocy serii równo±ci: b = k 1 c + r 1, 0 < r 1 < c, c = k 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = k 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2, r 2 = k 4 r 3 + r 4, 0 < r 4 < r 3,. r j 2 = k j r j 1 + r j, r j 1 = k j+1 r j.. 0 < r j < r j 1, Ostatnia reszta r j jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Przykªad. Niech b = 3102, c = Algorytm Euklidesa daje nam równo±ci 3102 = , 1044 = , 1014 = , 30 = , 24 = 4 6. Ostatnia reszta jest równa 6. Zatem (3102, 1044) = 6. Z poprzednich równo±ci otrzymujemy kolejno 6 = = 30 ( ) = = = 34 ( ) 1014 = = = ( ) = ( 35)

3 St d (3102, 1044) = ( 35) Zatem najwi kszy wspólny dzielnik liczb 3102 i 1044 jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynnikach odpowiednio x 0 = 35 i y 0 = 104. Denicja najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci. Niech a 1, a 2,..., a n b d liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera. Powiemy,»e liczba caªkowita b jest wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a n, je±li a i b dla ka»dego i {1, 2,..., n}. Najmniejsza ze wspólnych wielokrotno±ci dodatnich liczb a 1, a 2,..., a n nazywa si najmniejsz wspóln wielokrotno±ci tych liczb. Najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a 1, a 2,..., a n oznaczamy symbolem [a 1, a 2,..., a n ] lub Nww(a 1, a 2,..., a n ). Twierdzenie. Ka»da wspólna wielokrotno± liczb caªkowitych ró»nych od zera a 1, a 2,..., a n jest podzielna przez ich najmniejsz wspóln wielokrotno± [a 1, a 2,..., a n ]. Twierdzenie. Iloczyn najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych i ich najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci jest równy iloczynowi tych liczb. Czyli (a, b) [a, b] = a b, a, b N. Przykªad. Obliczy najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb 3102 i Rozwi zanie (3102, 1044) = 6. Zatem na mocy powy»szego twierdzenia [3102, 1044] = = Równania nieoznaczone Twierdzenie. Niech a 1, a 2,..., a n, b b d liczbami caªkowitymi z których przynajmniej jedna liczba a i jest ró»na od zera (i {1, 2,..., n}). Na to by równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by najwi kszy wspólny dzielnik liczb a 1, a 2,..., a n dzieliª liczb b. Denicja liczb wzgl dnie pierwszych. Liczby caªkowite a, b nazywamy liczbami wzgl dnie pierwszymi, je±li (a, b) = 1. Twierdzenie. Na to by równanie postaci ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, 3

4 miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by (a, b) c. Spostrze»enie. Niech b dzie dane równanie postaci ( ) ax + by = 1, a, b Z, a 2 + b 2 > 0. Je±li liczby caªkowite a, b s wzgl dnie pierwsze, to równanie ( ) posiada rozwi zanie w liczbach caªkowitych. Twierdzenie. Je±li para liczb caªkowitych (x 0, y 0 ) jest pewnym rozwi zaniem równania ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, to wszystkie rozwi zania tego równania w liczbach caªkowitych otrzymujemy ze wzoru x = x 0 + b (a, b) t, y = y 0 a t, t Z. (a, b) Przykªad. Równanie ( ) 435x y = 6 rozwi za w liczbach caªkowitych. Rozwi zanie Najwi kszy wspólny dzielnik liczb 435 i 2112 jest równy 3. Równanie( ) ma rozwi zanie, gdy» Ponadto ªatwo obliczy,»e ( ) 435 ( 335) = (435, 2012) = 3. Mno» c obie strony równo±ci ( ) przez 2 otrzymujemy Czyli 435 ( 335 2) (69 2) = 3 2 = ( 670) = 6. Znale¹li±my zatem rozwi zanie szczególne równania ( ) x 0 = 670, y 0 = 138. Zgodnie z powy»szym twierdzeniem rozwi zanie, równania ( ) ma posta x = t, y = t, t Z. 3. Liczby pierwsze Denicja liczb pierwszych. Je±li poza dzielnikami trywialnymi liczba naturalna n, wi ksza od jedno±ci, nie posiada innych dzielników naturalnych, to nazywamy j liczb pierwsz. Dokªadniej: liczba n N\ {1} jest liczb pierwsz, je±li jedynymi jej dzielnikami naturalnymi s liczba 1 oraz liczba n. 4

5 Twierdzenie. (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Niech a, b, c b d dowolnymi liczbami naturalnymi. Je±li (a, b) = 1 i a b c, to a c. Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie arytmetyki) Ka»da liczba naturalna n wi ksza od jedno±ci daje si przedstawi jednoznacznie, z dokªadno±ci do kolejno±ci czynników, w postaci iloczynu liczb pierwszych. To znaczy,»e gdy dane s dwa rozkªady n = p 1 p 2... p k, oraz n = q 1 q 2... q l tej samej liczby naturalnej n na czynniki pierwsze, to k = l i mo»na liczby p j i q s (j {1, 2,..., k}, s {1, 2,..., l}), tak uporz dkowa, by odpowiadaj ce sobie czynniki byªy równe. Twierdzenie. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy mniejszy lub równy n. Powy»sze twierdzenie jest równowa»ne twierdzeniu Twierdzenie. Je±li liczba naturalna n > 1 nie jest podzielna przez»adn liczb pierwsz mniejsz lub równ n, to jest liczb pierwsz. Sito Eratostenesa ( ). We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( 1 ) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,... Usu«my z naszego ci gu ( 1 ) wszystkie liczby wi ksze od pierwszej liczby pierwszej p 1 = 2 i podzielne przez 2. Otrzymujemy ci g ( 2 ) 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb wi ksz od 2 jest liczba pierwsza p 2 = 3. Usuwamy teraz z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od 3 b d ce wielokrotno±ciami liczby 3. Otrzymujemy ci g ( 3 ) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb niepodzieln przez 2 i 3 jest liczba pierwsza p 3 = 5. Post powanie kontynuujemy i za n-tym razem otrzymujemy n-t liczb pierwsz p n. Nast pnie usuwamy z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od p n b d ce wielokrotno- ±ciami liczby p n. Pierwsz nieusuni t liczb jest liczba pierwsza p n+1. Je±li ci g jest sko«czony postaci ( ) 2, 3, 4, 5..., N, to post powanie mo»emy zako«czy po otrzymaniu najwi kszej liczby pierwszej p k N. Wszystkie liczby pozostaªe w ci gu ( ) wi ksze od liczby p k s liczbami pierwszymi. Przykªad. We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( ) (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,..., 83, 84, 85). 5

6 Wykre±lmy z naszego ci gu wszystkie liczby parzyste wi ksze od p 1 = 2. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 1 = 2, niepodzieln przez 2, jest liczba 3. Wykre±lamy wszystkie wielokrotno±ci liczby 3 wi ksze od p 2 = 3. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 2 = 3, niepodzieln przez 2 i 3, jest liczba 5. Skre±lamy teraz wszystkie liczby b d ce wielokrotno±ciami liczby 5, wi ksze od p 3 = 5. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83). Nasze post powanie sko«czy dla p 4 = 7 (gdy» 7 jest najwi ksz liczb pierwsz mniejsz od 85), po skre±leniu wszystkich wielokrotno±ci 7 wi kszych od 7. Liczby pozostaªe w ci gu ( ) po skre±leniu wielokrotno±ci liczb 2, 3, 5, 7 (oprócz liczb 2, 3, 5, 7) s pierwsze. W rezultacie otrzymujemy wszystkie liczby pierwsze zawarte w zbiorze {2, 3, 4, 5, 6,..., 85}. S to liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, Funkcja Eulera Wielki matematyk niemiecki Carl Freidrich Gauss ( ) zdeniowaª funkcj ϕ : N N okre±lon nast puj co: ϕ (n), gdzie n N, jest ilo±ci liczb naturalnych niewi kszych od n i wzgl dnie pierwszych z n. Obecnie t funkcje nazywa si funkcj Eulera od nazwiska wybitnego matematyka szwajcarskiego Leonarda Eulera ( ). Denicj funkcji Eulera ϕ mo»emy zapisa równie» w postaci ϕ (n) = card {k N : k n (k, n) = 1}, n N, gdzie symbol carda oznacza moc zbioru A (A = {k N :k n (k, n) = 1}). Przyklad. n ϕ (n) Funkcja Eulera ma zastosowanie w kryptograi. 6

7 Twierdzenie. (Wªasno±ci funkcji Eulera) (1) Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ (p) = p 1. (2) Je±li α N i p jest liczb pierwsz, to ϕ (p α ) = p α 1 (p 1) lub równowa»nie ϕ (p α ) = p α p α 1. (3) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α p α k k pierwszymi, to ϕ (n) = n (1 1p1 ) (1 1p2 )..., gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami (1 1pk ). (4) Je±li n = p 1 p 2... p k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = (p 1 1) (p 2 1)... (p k 1). (5) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α p α k k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = ϕ (p α 1 1 ) ϕ (p α 2 2 )... ϕ (p α k k ). (7) Je±li m, n N i (m, n) = 1, to ϕ (m n) = ϕ (m) ϕ (n). (8) Je±li n 1, n 2,..., n k N i je±li (n i, n j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,...k}) (tzn. liczby n 1, n 2,..., n k s parami wzgl dnie pierwsze), to ϕ (n 1 n 2... n k ) = ϕ (n 1 ) ϕ (n 2 )... ϕ (n k ). 5. Kongruencje Denicja kongruencji. O dwóch liczbach caªkowitych a i b mówimy,»e przystaj do siebie modulo m (m N), je±li m (a b). Je±li liczby a i b przystaj do siebie modulo m, to piszemy a b (modm). Czyli a b (modm) k Z a b = k m. Relacja nazywa si kongruencj w zbiorze liczb caªkowitych. Twierdzenie. Niech a, b, c, d b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Niech m b dzie dowoln liczb naturaln. Wówczas (1) a a (modm) (zwrotno± relacji ). 7

8 (2) Je±li a b (modm), to b a (modm) (symetria relacji ). (3) Je±li a b (modm) i b c (modm), to a c (modm) (przechodnio± relacji ). (4) Je±li a b (modm), to (a b) 0 (modm). (5) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a + c (b + d) (modm). (6) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a c (b d) (modm). (7) Je±li a i b i (modm), (a i, b i Z, i {1, 2,.., k}), to k a i k b i (modm). (8) Je±li a b (modm), to a k b k (modm), (k N). (9) Je±li a b (modm) i d > 0 i d m, to a b (modd). (10) Je±li a b (modm) i c > 0, to a c b c (modm c). (11) Je±li c a c b (modm) i (c, m) = 1, to a b (modm). Twierdzenie. Niech f oznacza wielomian o wspóªczynnikach caªkowitych. Wówczas, je±li a b (modm), to f (a) f (b) (modm). Przykªad. (Cecha podzielno±ci przez 11). Liczba naturalna a dzieli si przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy ró»nica pomi dzy sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach nieparzystych, a sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach parzystych jest podzielna przez 11. Rozwi zanie Niech liczba a w rozwini ciu dziesi tnym ma posta a = a n (10) n + a n 1 (10) n a a 0. Zauwa»my dalej,»e 10 1 (mod11). Wobec powy»szego twierdzenia f (10) f ( 1) (mod11), gdzie f jest wielomianem postaci a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0. Zatem a = a n (10) n +a n 1 (10) n a 1 10+a 0 a n ( 1) n +a n 1 ( 1) n a 1 ( 1)+a 0 (mod11). i=1 i=1 Twierdzenie. (Chi«skie twierdzenie o resztach). Niech m 1, m 2,..., m n (n > 1), b d liczbami naturalnymi parami wzgl dnie pierwszymi, tzn (m i, m j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,..., n}) i niech r 1, r 2,..., r n b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Wówczas istnieje wspólne rozwi zanie ukªadu kongruencji ( ) x r 1 (modm 1 ), x r 2 (modm 2 ),. x r n (modm n ). Rozwi zanie, to jest jedyne modulo m = m 1 m 2... m n. Czyli, je±li x 0 jest pewnym rozwi zaniem ukªadu ( ), to liczba caªkowita x jest rozwi zaniem ukªadu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy jest postaci x = x 0 + k m, gdzie m = m 1 m 2... m n, k Z. 8

9 Rozwi zywanie kongruencji typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 0 (modm) Niech f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych i niech m N. Ka»d liczb caªkowit tak,»e f (c) 0 (modm) nazywamy pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Spostrze»enie 1. Niech c b dzie pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Je±li d c (modm), to d te» jest pierwiastkiem tej kongruencji. Spostrze»enie 2. Wszystkie pierwiastki kongruencji f (x) 0 (modm) mo»emy wyznaczy sprawdzaj c jej prawdziwo± dla liczb ze zbioru {0, 1, 2,..., m 1}, czyli reszt modulo m. Uwaga. Przyj to nie rozró»nia pierwiastków kongruencji f (x) 0 (modm), które przystaj do siebie modulo m. Traktujemy takie pierwiastki jako jeden pierwiastek tej kongruencji. Mówi c,»e kongruencja f (x) 0 (modm) posiada trzy pierwiastki mamy na my±li trzy ró»ne klasy liczb caªkowitych modulo m. Przykªad. Kongruencja x (mod5) ma cztery pierwiastki s nimi liczby 1, 2, 3, 4. Natomiast wszystkie rozwi zania mo»na opisa wzorem x = k+5t, k {1, 2, 3, 4}. Kongruencje typu ax b (modm) Twierdzenie. Niech a, b Z, m N, g = (a, m). Kongruencja postaci ax b (modm) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy g b. Je±li warunek jest speªniony, to rozwi zania tworz ci g arytmetyczny o ró¹nicy m, daj c g rozwi za«modulo m. g Spostrze»enie 3. Kongruencja postaci ax b (modp), gdzie p jest liczb pierwsz i p a, ma dokªadnie jeden pierwiastek. Przykªad. Ile rozwi za«posiada kongruencja ( ) 15x 25 (mod35)? Poda te rozwi zania. Rozwi zanie Kongruencja ( ) ma pi rozwi za«, gdy» g = (15, 35) = 5 i Znajdziemy te rozwi zania. Z denicji kongruencji otrzymujemy Dziel c obie strony równania przez 5, mamy 15x 35y = 25, x, y Z. 3x 7y = 5. 9

10 Para liczb x 0 = 4, y 0 = 1 stanowi rozwi zanie szczególne naszego równania. Rozwi zanie modulo 5 ma posta x = 4 + 5s, s Z. Poniewa» 35 = 7, to rozwi zania modulo 35 tworz ci g arytmetyczny o pi ciu 5 wyrazach i o ró»nicy 7 x = t x = t x = t, t Z. x = t x = t Twierdzenie Lagrange'a. Niech f (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych. Je±li p jest liczba pierwsz i p a n, to kongruencja f (x) 0 (modp) ma co najwy»ej n pierwiastków. Twierdzenie Wilsona. Je±li p jest liczba pierwsz, to (p 1)! 1 (modp). Twierdzenie Eulera. Dla ka»dej liczby caªkowitej a wzgl dnie pierwszej z m N a ϕ(m) 1 (modm). Twierdzenia Fermata (maªe) (a). Dla ka»dej liczby caªkowitej a niepodzielnej przez liczb pierwsz p zachodzi kongruencja a p 1 1 (modp). Maªe twierdzenie Fermata jest cz sto formuªowane w postaci Twierdzenia Fermata (maªe) (b).dla ka»dej liczby caªkowitej a i dowolnej liczby pierwszej p a p a (modp). 10

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f. GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze Fermata

Liczby pierwsze Fermata Liczby pierwsze Fermata Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki l skiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail:

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII LICZB. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05

ELEMENTY TEORII LICZB. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05 ELEMENTY TEORII LICZB Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05 Spis tre±ci 1 Liczby i wielomiany 5 1.1 Wielomiany............................ 5 1.2 Podzielno± liczb......................... 8 1.3 Podzielno± wielomianów.....................

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt

Bardziej szczegółowo

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a, Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu) Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2015/16

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2015/16 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2015/16 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych

1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1.1 Oznaczenia W caªym skrypcie b dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {0, 1, 2,... } jest zbiorem liczb naturalnych (z zerem), Z jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±

Bardziej szczegółowo

Co i czym mo»na skonstruowa

Co i czym mo»na skonstruowa Co i czym mo»na skonstruowa Jarosªaw Kosiorek 5 maja 016 Co mo»na skonstruowa? Maj c dany odcinek dªugo±ci 1 mo»na skonstruowa : 1. odcinek dªugo±ci równej dowolnej liczbie wymiernej dodatniej;. odcinek

Bardziej szczegółowo

Liczby zmiennoprzecinkowe

Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby zmiennoprzecinkowe 1 Liczby zmiennoprzecinkowe Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów na cz ± caªkowit oraz m na

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

Kompresja punktów na krzywych eliptycznych

Kompresja punktów na krzywych eliptycznych R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS 2015 1 / 21 Kompresja punktów na krzywych eliptycznych Robert Dryªo IMPAN II Konferencja Naukowo Przemysªowa KBBS Zielona Góra, 17-18 marzec 2015

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1 Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich:

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo