Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb"

Transkrypt

1 Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych oznacza b dziemy symbolem N. Zasada minimum. Je±li zbiór X jest niepustym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Denicja. Liczba caªkowita b jest podzielna przez liczb caªkowit a (a 0), je±li istnieje taka liczba caªkowita k,»e b = k a. Piszemy wtedy a b i czytamy: (i) a dzieli b, (ii) a jest podzielnikiem b, (iii) b jest podzielna przez a. Je±li liczba caªkowita b nie jest podzielna przez liczb caªkowit a, to piszemy a b. Twierdzenie. Niech a, b, c, m Z, przy czym a, m 0. (1) Je±li a b, to a b c. (2) Je±li a b i b c, to a c, (b 0). (3) Je±li a b i a c, to a (bx + cy) dla dowolnych x, y Z. (4) Je±li a b i b a, to a = b (b 0). (5) Je±li a b i a > 0, b > 0, to a b. (6) a b wtedy i tylko wtedy gdy m a m b. Twierdzenie. Dla dowolnej liczby caªkowitej b i dowolnej liczby caªkowitej a 0, istniej liczby caªkowite k i r, takie,»e Je±li a b, to zachodzi nierówno± ostra. b = k a + r, 0 r < a. Liczb r nazywamy reszt z dzielenia liczby b przez liczb a. Denicja najwi kszego wspólnego dzielnika. Liczb a Z\ {0} nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, je±li a b i a c. Je±li przynajmniej jedna sposród liczb b i c jest ró»na od zera, to w±ród wspólnych dzielników liczb b, c (których jest sko«czenie wiele) istnieje najwi kszy. Ten najwi kszy spo±ród wspólnych dzielników liczb b,c nazywamy najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c oznaczamy symbolem (b, c) lub Nwd(b, c). 1

2 W podobny sposób deniujemy najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b 1, b 2,...b n z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Dzielnik ten oznaczamy symbolem (b 1, b 2,...b n ). Twierdzenie. Je±li g = (b, c) jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, to istniej liczby caªkowite x 0, y 0 takie,»e g = b x 0 + c y 0. Innymi sªowy: najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynikach caªkowitych. Twierdzenie. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c mo»e by scharakteryzowany w nast puj cy sposob: (1) Jako najmniejsza liczba naturalna nale» ca do zbioru A = {bx + cy : x, y Z}. (2) Jako wspólny naturalny dzielnik liczb b i c podzielny przez ka»dy inny wspólny dzielnik tych liczb. Twierdzenie (Algorytm Euklidesa). Niech b i c b d dwiema liczbami caªkowitymi, przy czym c > 0. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c mo»e by obliczony przy pomocy serii równo±ci: b = k 1 c + r 1, 0 < r 1 < c, c = k 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = k 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2, r 2 = k 4 r 3 + r 4, 0 < r 4 < r 3,. r j 2 = k j r j 1 + r j, r j 1 = k j+1 r j.. 0 < r j < r j 1, Ostatnia reszta r j jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Przykªad. Niech b = 3102, c = Algorytm Euklidesa daje nam równo±ci 3102 = , 1044 = , 1014 = , 30 = , 24 = 4 6. Ostatnia reszta jest równa 6. Zatem (3102, 1044) = 6. Z poprzednich równo±ci otrzymujemy kolejno 6 = = 30 ( ) = = = 34 ( ) 1014 = = = ( ) = ( 35)

3 St d (3102, 1044) = ( 35) Zatem najwi kszy wspólny dzielnik liczb 3102 i 1044 jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynnikach odpowiednio x 0 = 35 i y 0 = 104. Denicja najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci. Niech a 1, a 2,..., a n b d liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera. Powiemy,»e liczba caªkowita b jest wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a n, je±li a i b dla ka»dego i {1, 2,..., n}. Najmniejsza ze wspólnych wielokrotno±ci dodatnich liczb a 1, a 2,..., a n nazywa si najmniejsz wspóln wielokrotno±ci tych liczb. Najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a 1, a 2,..., a n oznaczamy symbolem [a 1, a 2,..., a n ] lub Nww(a 1, a 2,..., a n ). Twierdzenie. Ka»da wspólna wielokrotno± liczb caªkowitych ró»nych od zera a 1, a 2,..., a n jest podzielna przez ich najmniejsz wspóln wielokrotno± [a 1, a 2,..., a n ]. Twierdzenie. Iloczyn najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych i ich najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci jest równy iloczynowi tych liczb. Czyli (a, b) [a, b] = a b, a, b N. Przykªad. Obliczy najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb 3102 i Rozwi zanie (3102, 1044) = 6. Zatem na mocy powy»szego twierdzenia [3102, 1044] = = Równania nieoznaczone Twierdzenie. Niech a 1, a 2,..., a n, b b d liczbami caªkowitymi z których przynajmniej jedna liczba a i jest ró»na od zera (i {1, 2,..., n}). Na to by równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by najwi kszy wspólny dzielnik liczb a 1, a 2,..., a n dzieliª liczb b. Denicja liczb wzgl dnie pierwszych. Liczby caªkowite a, b nazywamy liczbami wzgl dnie pierwszymi, je±li (a, b) = 1. Twierdzenie. Na to by równanie postaci ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, 3

4 miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by (a, b) c. Spostrze»enie. Niech b dzie dane równanie postaci ( ) ax + by = 1, a, b Z, a 2 + b 2 > 0. Je±li liczby caªkowite a, b s wzgl dnie pierwsze, to równanie ( ) posiada rozwi zanie w liczbach caªkowitych. Twierdzenie. Je±li para liczb caªkowitych (x 0, y 0 ) jest pewnym rozwi zaniem równania ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, to wszystkie rozwi zania tego równania w liczbach caªkowitych otrzymujemy ze wzoru x = x 0 + b (a, b) t, y = y 0 a t, t Z. (a, b) Przykªad. Równanie ( ) 435x y = 6 rozwi za w liczbach caªkowitych. Rozwi zanie Najwi kszy wspólny dzielnik liczb 435 i 2112 jest równy 3. Równanie( ) ma rozwi zanie, gdy» Ponadto ªatwo obliczy,»e ( ) 435 ( 335) = (435, 2012) = 3. Mno» c obie strony równo±ci ( ) przez 2 otrzymujemy Czyli 435 ( 335 2) (69 2) = 3 2 = ( 670) = 6. Znale¹li±my zatem rozwi zanie szczególne równania ( ) x 0 = 670, y 0 = 138. Zgodnie z powy»szym twierdzeniem rozwi zanie, równania ( ) ma posta x = t, y = t, t Z. 3. Liczby pierwsze Denicja liczb pierwszych. Je±li poza dzielnikami trywialnymi liczba naturalna n, wi ksza od jedno±ci, nie posiada innych dzielników naturalnych, to nazywamy j liczb pierwsz. Dokªadniej: liczba n N\ {1} jest liczb pierwsz, je±li jedynymi jej dzielnikami naturalnymi s liczba 1 oraz liczba n. 4

5 Twierdzenie. (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Niech a, b, c b d dowolnymi liczbami naturalnymi. Je±li (a, b) = 1 i a b c, to a c. Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie arytmetyki) Ka»da liczba naturalna n wi ksza od jedno±ci daje si przedstawi jednoznacznie, z dokªadno±ci do kolejno±ci czynników, w postaci iloczynu liczb pierwszych. To znaczy,»e gdy dane s dwa rozkªady n = p 1 p 2... p k, oraz n = q 1 q 2... q l tej samej liczby naturalnej n na czynniki pierwsze, to k = l i mo»na liczby p j i q s (j {1, 2,..., k}, s {1, 2,..., l}), tak uporz dkowa, by odpowiadaj ce sobie czynniki byªy równe. Twierdzenie. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy mniejszy lub równy n. Powy»sze twierdzenie jest równowa»ne twierdzeniu Twierdzenie. Je±li liczba naturalna n > 1 nie jest podzielna przez»adn liczb pierwsz mniejsz lub równ n, to jest liczb pierwsz. Sito Eratostenesa ( ). We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( 1 ) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,... Usu«my z naszego ci gu ( 1 ) wszystkie liczby wi ksze od pierwszej liczby pierwszej p 1 = 2 i podzielne przez 2. Otrzymujemy ci g ( 2 ) 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb wi ksz od 2 jest liczba pierwsza p 2 = 3. Usuwamy teraz z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od 3 b d ce wielokrotno±ciami liczby 3. Otrzymujemy ci g ( 3 ) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb niepodzieln przez 2 i 3 jest liczba pierwsza p 3 = 5. Post powanie kontynuujemy i za n-tym razem otrzymujemy n-t liczb pierwsz p n. Nast pnie usuwamy z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od p n b d ce wielokrotno- ±ciami liczby p n. Pierwsz nieusuni t liczb jest liczba pierwsza p n+1. Je±li ci g jest sko«czony postaci ( ) 2, 3, 4, 5..., N, to post powanie mo»emy zako«czy po otrzymaniu najwi kszej liczby pierwszej p k N. Wszystkie liczby pozostaªe w ci gu ( ) wi ksze od liczby p k s liczbami pierwszymi. Przykªad. We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( ) (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,..., 83, 84, 85). 5

6 Wykre±lmy z naszego ci gu wszystkie liczby parzyste wi ksze od p 1 = 2. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 1 = 2, niepodzieln przez 2, jest liczba 3. Wykre±lamy wszystkie wielokrotno±ci liczby 3 wi ksze od p 2 = 3. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 2 = 3, niepodzieln przez 2 i 3, jest liczba 5. Skre±lamy teraz wszystkie liczby b d ce wielokrotno±ciami liczby 5, wi ksze od p 3 = 5. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83). Nasze post powanie sko«czy dla p 4 = 7 (gdy» 7 jest najwi ksz liczb pierwsz mniejsz od 85), po skre±leniu wszystkich wielokrotno±ci 7 wi kszych od 7. Liczby pozostaªe w ci gu ( ) po skre±leniu wielokrotno±ci liczb 2, 3, 5, 7 (oprócz liczb 2, 3, 5, 7) s pierwsze. W rezultacie otrzymujemy wszystkie liczby pierwsze zawarte w zbiorze {2, 3, 4, 5, 6,..., 85}. S to liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, Funkcja Eulera Wielki matematyk niemiecki Carl Freidrich Gauss ( ) zdeniowaª funkcj ϕ : N N okre±lon nast puj co: ϕ (n), gdzie n N, jest ilo±ci liczb naturalnych niewi kszych od n i wzgl dnie pierwszych z n. Obecnie t funkcje nazywa si funkcj Eulera od nazwiska wybitnego matematyka szwajcarskiego Leonarda Eulera ( ). Denicj funkcji Eulera ϕ mo»emy zapisa równie» w postaci ϕ (n) = card {k N : k n (k, n) = 1}, n N, gdzie symbol carda oznacza moc zbioru A (A = {k N :k n (k, n) = 1}). Przyklad. n ϕ (n) Funkcja Eulera ma zastosowanie w kryptograi. 6

7 Twierdzenie. (Wªasno±ci funkcji Eulera) (1) Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ (p) = p 1. (2) Je±li α N i p jest liczb pierwsz, to ϕ (p α ) = p α 1 (p 1) lub równowa»nie ϕ (p α ) = p α p α 1. (3) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α p α k k pierwszymi, to ϕ (n) = n (1 1p1 ) (1 1p2 )..., gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami (1 1pk ). (4) Je±li n = p 1 p 2... p k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = (p 1 1) (p 2 1)... (p k 1). (5) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α p α k k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = ϕ (p α 1 1 ) ϕ (p α 2 2 )... ϕ (p α k k ). (7) Je±li m, n N i (m, n) = 1, to ϕ (m n) = ϕ (m) ϕ (n). (8) Je±li n 1, n 2,..., n k N i je±li (n i, n j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,...k}) (tzn. liczby n 1, n 2,..., n k s parami wzgl dnie pierwsze), to ϕ (n 1 n 2... n k ) = ϕ (n 1 ) ϕ (n 2 )... ϕ (n k ). 5. Kongruencje Denicja kongruencji. O dwóch liczbach caªkowitych a i b mówimy,»e przystaj do siebie modulo m (m N), je±li m (a b). Je±li liczby a i b przystaj do siebie modulo m, to piszemy a b (modm). Czyli a b (modm) k Z a b = k m. Relacja nazywa si kongruencj w zbiorze liczb caªkowitych. Twierdzenie. Niech a, b, c, d b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Niech m b dzie dowoln liczb naturaln. Wówczas (1) a a (modm) (zwrotno± relacji ). 7

8 (2) Je±li a b (modm), to b a (modm) (symetria relacji ). (3) Je±li a b (modm) i b c (modm), to a c (modm) (przechodnio± relacji ). (4) Je±li a b (modm), to (a b) 0 (modm). (5) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a + c (b + d) (modm). (6) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a c (b d) (modm). (7) Je±li a i b i (modm), (a i, b i Z, i {1, 2,.., k}), to k a i k b i (modm). (8) Je±li a b (modm), to a k b k (modm), (k N). (9) Je±li a b (modm) i d > 0 i d m, to a b (modd). (10) Je±li a b (modm) i c > 0, to a c b c (modm c). (11) Je±li c a c b (modm) i (c, m) = 1, to a b (modm). Twierdzenie. Niech f oznacza wielomian o wspóªczynnikach caªkowitych. Wówczas, je±li a b (modm), to f (a) f (b) (modm). Przykªad. (Cecha podzielno±ci przez 11). Liczba naturalna a dzieli si przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy ró»nica pomi dzy sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach nieparzystych, a sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach parzystych jest podzielna przez 11. Rozwi zanie Niech liczba a w rozwini ciu dziesi tnym ma posta a = a n (10) n + a n 1 (10) n a a 0. Zauwa»my dalej,»e 10 1 (mod11). Wobec powy»szego twierdzenia f (10) f ( 1) (mod11), gdzie f jest wielomianem postaci a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0. Zatem a = a n (10) n +a n 1 (10) n a 1 10+a 0 a n ( 1) n +a n 1 ( 1) n a 1 ( 1)+a 0 (mod11). i=1 i=1 Twierdzenie. (Chi«skie twierdzenie o resztach). Niech m 1, m 2,..., m n (n > 1), b d liczbami naturalnymi parami wzgl dnie pierwszymi, tzn (m i, m j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,..., n}) i niech r 1, r 2,..., r n b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Wówczas istnieje wspólne rozwi zanie ukªadu kongruencji ( ) x r 1 (modm 1 ), x r 2 (modm 2 ),. x r n (modm n ). Rozwi zanie, to jest jedyne modulo m = m 1 m 2... m n. Czyli, je±li x 0 jest pewnym rozwi zaniem ukªadu ( ), to liczba caªkowita x jest rozwi zaniem ukªadu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy jest postaci x = x 0 + k m, gdzie m = m 1 m 2... m n, k Z. 8

9 Rozwi zywanie kongruencji typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 0 (modm) Niech f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych i niech m N. Ka»d liczb caªkowit tak,»e f (c) 0 (modm) nazywamy pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Spostrze»enie 1. Niech c b dzie pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Je±li d c (modm), to d te» jest pierwiastkiem tej kongruencji. Spostrze»enie 2. Wszystkie pierwiastki kongruencji f (x) 0 (modm) mo»emy wyznaczy sprawdzaj c jej prawdziwo± dla liczb ze zbioru {0, 1, 2,..., m 1}, czyli reszt modulo m. Uwaga. Przyj to nie rozró»nia pierwiastków kongruencji f (x) 0 (modm), które przystaj do siebie modulo m. Traktujemy takie pierwiastki jako jeden pierwiastek tej kongruencji. Mówi c,»e kongruencja f (x) 0 (modm) posiada trzy pierwiastki mamy na my±li trzy ró»ne klasy liczb caªkowitych modulo m. Przykªad. Kongruencja x (mod5) ma cztery pierwiastki s nimi liczby 1, 2, 3, 4. Natomiast wszystkie rozwi zania mo»na opisa wzorem x = k+5t, k {1, 2, 3, 4}. Kongruencje typu ax b (modm) Twierdzenie. Niech a, b Z, m N, g = (a, m). Kongruencja postaci ax b (modm) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy g b. Je±li warunek jest speªniony, to rozwi zania tworz ci g arytmetyczny o ró¹nicy m, daj c g rozwi za«modulo m. g Spostrze»enie 3. Kongruencja postaci ax b (modp), gdzie p jest liczb pierwsz i p a, ma dokªadnie jeden pierwiastek. Przykªad. Ile rozwi za«posiada kongruencja ( ) 15x 25 (mod35)? Poda te rozwi zania. Rozwi zanie Kongruencja ( ) ma pi rozwi za«, gdy» g = (15, 35) = 5 i Znajdziemy te rozwi zania. Z denicji kongruencji otrzymujemy Dziel c obie strony równania przez 5, mamy 15x 35y = 25, x, y Z. 3x 7y = 5. 9

10 Para liczb x 0 = 4, y 0 = 1 stanowi rozwi zanie szczególne naszego równania. Rozwi zanie modulo 5 ma posta x = 4 + 5s, s Z. Poniewa» 35 = 7, to rozwi zania modulo 35 tworz ci g arytmetyczny o pi ciu 5 wyrazach i o ró»nicy 7 x = t x = t x = t, t Z. x = t x = t Twierdzenie Lagrange'a. Niech f (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych. Je±li p jest liczba pierwsz i p a n, to kongruencja f (x) 0 (modp) ma co najwy»ej n pierwiastków. Twierdzenie Wilsona. Je±li p jest liczba pierwsz, to (p 1)! 1 (modp). Twierdzenie Eulera. Dla ka»dej liczby caªkowitej a wzgl dnie pierwszej z m N a ϕ(m) 1 (modm). Twierdzenia Fermata (maªe) (a). Dla ka»dej liczby caªkowitej a niepodzielnej przez liczb pierwsz p zachodzi kongruencja a p 1 1 (modp). Maªe twierdzenie Fermata jest cz sto formuªowane w postaci Twierdzenia Fermata (maªe) (b).dla ka»dej liczby caªkowitej a i dowolnej liczby pierwszej p a p a (modp). 10

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych

1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1.1 Oznaczenia W caªym skrypcie b dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {0, 1, 2,... } jest zbiorem liczb naturalnych (z zerem), Z jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1 Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich:

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów 18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Kongruencje Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej Spis

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13 WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Kryptograa a steganograa 5 1.1 Steganograa........................... 6 1.2 Szyfry przestawieniowe...................... 8 1.3 Systemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka 15h dla studiów doktoranckich na kierunku Informatyka

Matematyka 15h dla studiów doktoranckich na kierunku Informatyka Matematyka 15h dla studiów doktoranckich na kierunku Informatyka Marcin Korze«Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny, Wydziaª Informatyki, Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

Logika [dla Psychologii UW]

Logika [dla Psychologii UW] Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 24 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe

wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe 1 Wprowadzenie 1.1 rodowisko programistyczne NetBeans https://netbeans.org/ 1.2 Dokumentacja j zyka Java https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/

Bardziej szczegółowo

Programowanie wspóªbie»ne

Programowanie wspóªbie»ne 1 Zadanie 1: Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 12 Przestrzenie krotek cz. 2 Przychodnia lekarska W przychodni lekarskiej pracuje L > 0 lekarzy, z których ka»dy ma jedn z 0 < S L specjalno±ci, przy czym

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Pierwsza linia zawiera jedn liczb całkowit dodatni mniejsz od 100 oznaczaj c ilo ołnierzy w Jednostce. Nast pnie wyst puj linie postaci:

Pierwsza linia zawiera jedn liczb całkowit dodatni mniejsz od 100 oznaczaj c ilo ołnierzy w Jednostce. Nast pnie wyst puj linie postaci: Zadanie 1 Przepustki Szef Sztabu pewnej Jednostki Wojskowej przygotował plan przepustek swoich ołnierzy. Nie wyznaczył jednak ich dokładnych wyjazdów, ale okre lił pewne warunki, np.: ołnierz 1 mo e wyjecha

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo