Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb"

Transkrypt

1 Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych oznacza b dziemy symbolem N. Zasada minimum. Je±li zbiór X jest niepustym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Denicja. Liczba caªkowita b jest podzielna przez liczb caªkowit a (a 0), je±li istnieje taka liczba caªkowita k,»e b = k a. Piszemy wtedy a b i czytamy: (i) a dzieli b, (ii) a jest podzielnikiem b, (iii) b jest podzielna przez a. Je±li liczba caªkowita b nie jest podzielna przez liczb caªkowit a, to piszemy a b. Twierdzenie. Niech a, b, c, m Z, przy czym a, m 0. (1) Je±li a b, to a b c. (2) Je±li a b i b c, to a c, (b 0). (3) Je±li a b i a c, to a (bx + cy) dla dowolnych x, y Z. (4) Je±li a b i b a, to a = b (b 0). (5) Je±li a b i a > 0, b > 0, to a b. (6) a b wtedy i tylko wtedy gdy m a m b. Twierdzenie. Dla dowolnej liczby caªkowitej b i dowolnej liczby caªkowitej a 0, istniej liczby caªkowite k i r, takie,»e Je±li a b, to zachodzi nierówno± ostra. b = k a + r, 0 r < a. Liczb r nazywamy reszt z dzielenia liczby b przez liczb a. Denicja najwi kszego wspólnego dzielnika. Liczb a Z\ {0} nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, je±li a b i a c. Je±li przynajmniej jedna sposród liczb b i c jest ró»na od zera, to w±ród wspólnych dzielników liczb b, c (których jest sko«czenie wiele) istnieje najwi kszy. Ten najwi kszy spo±ród wspólnych dzielników liczb b,c nazywamy najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c oznaczamy symbolem (b, c) lub Nwd(b, c). 1

2 W podobny sposób deniujemy najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b 1, b 2,...b n z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Dzielnik ten oznaczamy symbolem (b 1, b 2,...b n ). Twierdzenie. Je±li g = (b, c) jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, to istniej liczby caªkowite x 0, y 0 takie,»e g = b x 0 + c y 0. Innymi sªowy: najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynikach caªkowitych. Twierdzenie. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c mo»e by scharakteryzowany w nast puj cy sposob: (1) Jako najmniejsza liczba naturalna nale» ca do zbioru A = {bx + cy : x, y Z}. (2) Jako wspólny naturalny dzielnik liczb b i c podzielny przez ka»dy inny wspólny dzielnik tych liczb. Twierdzenie (Algorytm Euklidesa). Niech b i c b d dwiema liczbami caªkowitymi, przy czym c > 0. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c mo»e by obliczony przy pomocy serii równo±ci: b = k 1 c + r 1, 0 < r 1 < c, c = k 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = k 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2, r 2 = k 4 r 3 + r 4, 0 < r 4 < r 3,. r j 2 = k j r j 1 + r j, r j 1 = k j+1 r j.. 0 < r j < r j 1, Ostatnia reszta r j jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Przykªad. Niech b = 3102, c = Algorytm Euklidesa daje nam równo±ci 3102 = , 1044 = , 1014 = , 30 = , 24 = 4 6. Ostatnia reszta jest równa 6. Zatem (3102, 1044) = 6. Z poprzednich równo±ci otrzymujemy kolejno 6 = = 30 ( ) = = = 34 ( ) 1014 = = = ( ) = ( 35)

3 St d (3102, 1044) = ( 35) Zatem najwi kszy wspólny dzielnik liczb 3102 i 1044 jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynnikach odpowiednio x 0 = 35 i y 0 = 104. Denicja najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci. Niech a 1, a 2,..., a n b d liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera. Powiemy,»e liczba caªkowita b jest wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a n, je±li a i b dla ka»dego i {1, 2,..., n}. Najmniejsza ze wspólnych wielokrotno±ci dodatnich liczb a 1, a 2,..., a n nazywa si najmniejsz wspóln wielokrotno±ci tych liczb. Najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a 1, a 2,..., a n oznaczamy symbolem [a 1, a 2,..., a n ] lub Nww(a 1, a 2,..., a n ). Twierdzenie. Ka»da wspólna wielokrotno± liczb caªkowitych ró»nych od zera a 1, a 2,..., a n jest podzielna przez ich najmniejsz wspóln wielokrotno± [a 1, a 2,..., a n ]. Twierdzenie. Iloczyn najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych i ich najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci jest równy iloczynowi tych liczb. Czyli (a, b) [a, b] = a b, a, b N. Przykªad. Obliczy najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb 3102 i Rozwi zanie (3102, 1044) = 6. Zatem na mocy powy»szego twierdzenia [3102, 1044] = = Równania nieoznaczone Twierdzenie. Niech a 1, a 2,..., a n, b b d liczbami caªkowitymi z których przynajmniej jedna liczba a i jest ró»na od zera (i {1, 2,..., n}). Na to by równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by najwi kszy wspólny dzielnik liczb a 1, a 2,..., a n dzieliª liczb b. Denicja liczb wzgl dnie pierwszych. Liczby caªkowite a, b nazywamy liczbami wzgl dnie pierwszymi, je±li (a, b) = 1. Twierdzenie. Na to by równanie postaci ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, 3

4 miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by (a, b) c. Spostrze»enie. Niech b dzie dane równanie postaci ( ) ax + by = 1, a, b Z, a 2 + b 2 > 0. Je±li liczby caªkowite a, b s wzgl dnie pierwsze, to równanie ( ) posiada rozwi zanie w liczbach caªkowitych. Twierdzenie. Je±li para liczb caªkowitych (x 0, y 0 ) jest pewnym rozwi zaniem równania ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, to wszystkie rozwi zania tego równania w liczbach caªkowitych otrzymujemy ze wzoru x = x 0 + b (a, b) t, y = y 0 a t, t Z. (a, b) Przykªad. Równanie ( ) 435x y = 6 rozwi za w liczbach caªkowitych. Rozwi zanie Najwi kszy wspólny dzielnik liczb 435 i 2112 jest równy 3. Równanie( ) ma rozwi zanie, gdy» Ponadto ªatwo obliczy,»e ( ) 435 ( 335) = (435, 2012) = 3. Mno» c obie strony równo±ci ( ) przez 2 otrzymujemy Czyli 435 ( 335 2) (69 2) = 3 2 = ( 670) = 6. Znale¹li±my zatem rozwi zanie szczególne równania ( ) x 0 = 670, y 0 = 138. Zgodnie z powy»szym twierdzeniem rozwi zanie, równania ( ) ma posta x = t, y = t, t Z. 3. Liczby pierwsze Denicja liczb pierwszych. Je±li poza dzielnikami trywialnymi liczba naturalna n, wi ksza od jedno±ci, nie posiada innych dzielników naturalnych, to nazywamy j liczb pierwsz. Dokªadniej: liczba n N\ {1} jest liczb pierwsz, je±li jedynymi jej dzielnikami naturalnymi s liczba 1 oraz liczba n. 4

5 Twierdzenie. (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Niech a, b, c b d dowolnymi liczbami naturalnymi. Je±li (a, b) = 1 i a b c, to a c. Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie arytmetyki) Ka»da liczba naturalna n wi ksza od jedno±ci daje si przedstawi jednoznacznie, z dokªadno±ci do kolejno±ci czynników, w postaci iloczynu liczb pierwszych. To znaczy,»e gdy dane s dwa rozkªady n = p 1 p 2... p k, oraz n = q 1 q 2... q l tej samej liczby naturalnej n na czynniki pierwsze, to k = l i mo»na liczby p j i q s (j {1, 2,..., k}, s {1, 2,..., l}), tak uporz dkowa, by odpowiadaj ce sobie czynniki byªy równe. Twierdzenie. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy mniejszy lub równy n. Powy»sze twierdzenie jest równowa»ne twierdzeniu Twierdzenie. Je±li liczba naturalna n > 1 nie jest podzielna przez»adn liczb pierwsz mniejsz lub równ n, to jest liczb pierwsz. Sito Eratostenesa ( ). We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( 1 ) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,... Usu«my z naszego ci gu ( 1 ) wszystkie liczby wi ksze od pierwszej liczby pierwszej p 1 = 2 i podzielne przez 2. Otrzymujemy ci g ( 2 ) 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb wi ksz od 2 jest liczba pierwsza p 2 = 3. Usuwamy teraz z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od 3 b d ce wielokrotno±ciami liczby 3. Otrzymujemy ci g ( 3 ) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb niepodzieln przez 2 i 3 jest liczba pierwsza p 3 = 5. Post powanie kontynuujemy i za n-tym razem otrzymujemy n-t liczb pierwsz p n. Nast pnie usuwamy z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od p n b d ce wielokrotno- ±ciami liczby p n. Pierwsz nieusuni t liczb jest liczba pierwsza p n+1. Je±li ci g jest sko«czony postaci ( ) 2, 3, 4, 5..., N, to post powanie mo»emy zako«czy po otrzymaniu najwi kszej liczby pierwszej p k N. Wszystkie liczby pozostaªe w ci gu ( ) wi ksze od liczby p k s liczbami pierwszymi. Przykªad. We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( ) (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,..., 83, 84, 85). 5

6 Wykre±lmy z naszego ci gu wszystkie liczby parzyste wi ksze od p 1 = 2. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 1 = 2, niepodzieln przez 2, jest liczba 3. Wykre±lamy wszystkie wielokrotno±ci liczby 3 wi ksze od p 2 = 3. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 2 = 3, niepodzieln przez 2 i 3, jest liczba 5. Skre±lamy teraz wszystkie liczby b d ce wielokrotno±ciami liczby 5, wi ksze od p 3 = 5. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83). Nasze post powanie sko«czy dla p 4 = 7 (gdy» 7 jest najwi ksz liczb pierwsz mniejsz od 85), po skre±leniu wszystkich wielokrotno±ci 7 wi kszych od 7. Liczby pozostaªe w ci gu ( ) po skre±leniu wielokrotno±ci liczb 2, 3, 5, 7 (oprócz liczb 2, 3, 5, 7) s pierwsze. W rezultacie otrzymujemy wszystkie liczby pierwsze zawarte w zbiorze {2, 3, 4, 5, 6,..., 85}. S to liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, Funkcja Eulera Wielki matematyk niemiecki Carl Freidrich Gauss ( ) zdeniowaª funkcj ϕ : N N okre±lon nast puj co: ϕ (n), gdzie n N, jest ilo±ci liczb naturalnych niewi kszych od n i wzgl dnie pierwszych z n. Obecnie t funkcje nazywa si funkcj Eulera od nazwiska wybitnego matematyka szwajcarskiego Leonarda Eulera ( ). Denicj funkcji Eulera ϕ mo»emy zapisa równie» w postaci ϕ (n) = card {k N : k n (k, n) = 1}, n N, gdzie symbol carda oznacza moc zbioru A (A = {k N :k n (k, n) = 1}). Przyklad. n ϕ (n) Funkcja Eulera ma zastosowanie w kryptograi. 6

7 Twierdzenie. (Wªasno±ci funkcji Eulera) (1) Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ (p) = p 1. (2) Je±li α N i p jest liczb pierwsz, to ϕ (p α ) = p α 1 (p 1) lub równowa»nie ϕ (p α ) = p α p α 1. (3) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α p α k k pierwszymi, to ϕ (n) = n (1 1p1 ) (1 1p2 )..., gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami (1 1pk ). (4) Je±li n = p 1 p 2... p k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = (p 1 1) (p 2 1)... (p k 1). (5) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α p α k k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = ϕ (p α 1 1 ) ϕ (p α 2 2 )... ϕ (p α k k ). (7) Je±li m, n N i (m, n) = 1, to ϕ (m n) = ϕ (m) ϕ (n). (8) Je±li n 1, n 2,..., n k N i je±li (n i, n j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,...k}) (tzn. liczby n 1, n 2,..., n k s parami wzgl dnie pierwsze), to ϕ (n 1 n 2... n k ) = ϕ (n 1 ) ϕ (n 2 )... ϕ (n k ). 5. Kongruencje Denicja kongruencji. O dwóch liczbach caªkowitych a i b mówimy,»e przystaj do siebie modulo m (m N), je±li m (a b). Je±li liczby a i b przystaj do siebie modulo m, to piszemy a b (modm). Czyli a b (modm) k Z a b = k m. Relacja nazywa si kongruencj w zbiorze liczb caªkowitych. Twierdzenie. Niech a, b, c, d b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Niech m b dzie dowoln liczb naturaln. Wówczas (1) a a (modm) (zwrotno± relacji ). 7

8 (2) Je±li a b (modm), to b a (modm) (symetria relacji ). (3) Je±li a b (modm) i b c (modm), to a c (modm) (przechodnio± relacji ). (4) Je±li a b (modm), to (a b) 0 (modm). (5) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a + c (b + d) (modm). (6) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a c (b d) (modm). (7) Je±li a i b i (modm), (a i, b i Z, i {1, 2,.., k}), to k a i k b i (modm). (8) Je±li a b (modm), to a k b k (modm), (k N). (9) Je±li a b (modm) i d > 0 i d m, to a b (modd). (10) Je±li a b (modm) i c > 0, to a c b c (modm c). (11) Je±li c a c b (modm) i (c, m) = 1, to a b (modm). Twierdzenie. Niech f oznacza wielomian o wspóªczynnikach caªkowitych. Wówczas, je±li a b (modm), to f (a) f (b) (modm). Przykªad. (Cecha podzielno±ci przez 11). Liczba naturalna a dzieli si przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy ró»nica pomi dzy sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach nieparzystych, a sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach parzystych jest podzielna przez 11. Rozwi zanie Niech liczba a w rozwini ciu dziesi tnym ma posta a = a n (10) n + a n 1 (10) n a a 0. Zauwa»my dalej,»e 10 1 (mod11). Wobec powy»szego twierdzenia f (10) f ( 1) (mod11), gdzie f jest wielomianem postaci a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0. Zatem a = a n (10) n +a n 1 (10) n a 1 10+a 0 a n ( 1) n +a n 1 ( 1) n a 1 ( 1)+a 0 (mod11). i=1 i=1 Twierdzenie. (Chi«skie twierdzenie o resztach). Niech m 1, m 2,..., m n (n > 1), b d liczbami naturalnymi parami wzgl dnie pierwszymi, tzn (m i, m j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,..., n}) i niech r 1, r 2,..., r n b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Wówczas istnieje wspólne rozwi zanie ukªadu kongruencji ( ) x r 1 (modm 1 ), x r 2 (modm 2 ),. x r n (modm n ). Rozwi zanie, to jest jedyne modulo m = m 1 m 2... m n. Czyli, je±li x 0 jest pewnym rozwi zaniem ukªadu ( ), to liczba caªkowita x jest rozwi zaniem ukªadu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy jest postaci x = x 0 + k m, gdzie m = m 1 m 2... m n, k Z. 8

9 Rozwi zywanie kongruencji typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 0 (modm) Niech f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych i niech m N. Ka»d liczb caªkowit tak,»e f (c) 0 (modm) nazywamy pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Spostrze»enie 1. Niech c b dzie pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Je±li d c (modm), to d te» jest pierwiastkiem tej kongruencji. Spostrze»enie 2. Wszystkie pierwiastki kongruencji f (x) 0 (modm) mo»emy wyznaczy sprawdzaj c jej prawdziwo± dla liczb ze zbioru {0, 1, 2,..., m 1}, czyli reszt modulo m. Uwaga. Przyj to nie rozró»nia pierwiastków kongruencji f (x) 0 (modm), które przystaj do siebie modulo m. Traktujemy takie pierwiastki jako jeden pierwiastek tej kongruencji. Mówi c,»e kongruencja f (x) 0 (modm) posiada trzy pierwiastki mamy na my±li trzy ró»ne klasy liczb caªkowitych modulo m. Przykªad. Kongruencja x (mod5) ma cztery pierwiastki s nimi liczby 1, 2, 3, 4. Natomiast wszystkie rozwi zania mo»na opisa wzorem x = k+5t, k {1, 2, 3, 4}. Kongruencje typu ax b (modm) Twierdzenie. Niech a, b Z, m N, g = (a, m). Kongruencja postaci ax b (modm) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy g b. Je±li warunek jest speªniony, to rozwi zania tworz ci g arytmetyczny o ró¹nicy m, daj c g rozwi za«modulo m. g Spostrze»enie 3. Kongruencja postaci ax b (modp), gdzie p jest liczb pierwsz i p a, ma dokªadnie jeden pierwiastek. Przykªad. Ile rozwi za«posiada kongruencja ( ) 15x 25 (mod35)? Poda te rozwi zania. Rozwi zanie Kongruencja ( ) ma pi rozwi za«, gdy» g = (15, 35) = 5 i Znajdziemy te rozwi zania. Z denicji kongruencji otrzymujemy Dziel c obie strony równania przez 5, mamy 15x 35y = 25, x, y Z. 3x 7y = 5. 9

10 Para liczb x 0 = 4, y 0 = 1 stanowi rozwi zanie szczególne naszego równania. Rozwi zanie modulo 5 ma posta x = 4 + 5s, s Z. Poniewa» 35 = 7, to rozwi zania modulo 35 tworz ci g arytmetyczny o pi ciu 5 wyrazach i o ró»nicy 7 x = t x = t x = t, t Z. x = t x = t Twierdzenie Lagrange'a. Niech f (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych. Je±li p jest liczba pierwsz i p a n, to kongruencja f (x) 0 (modp) ma co najwy»ej n pierwiastków. Twierdzenie Wilsona. Je±li p jest liczba pierwsz, to (p 1)! 1 (modp). Twierdzenie Eulera. Dla ka»dej liczby caªkowitej a wzgl dnie pierwszej z m N a ϕ(m) 1 (modm). Twierdzenia Fermata (maªe) (a). Dla ka»dej liczby caªkowitej a niepodzielnej przez liczb pierwsz p zachodzi kongruencja a p 1 1 (modp). Maªe twierdzenie Fermata jest cz sto formuªowane w postaci Twierdzenia Fermata (maªe) (b).dla ka»dej liczby caªkowitej a i dowolnej liczby pierwszej p a p a (modp). 10

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych

1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1.1 Oznaczenia W caªym skrypcie b dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {0, 1, 2,... } jest zbiorem liczb naturalnych (z zerem), Z jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci

Bardziej szczegółowo

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1 Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich:

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Ile róŝnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez moŝna zapisać za pomocą cyfr :,,,4, Na ile sposobów moŝna ustawić na półce sześć ksiąŝek tak, aby dwie wybrane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej A. Bobrowski Spis tre±ci Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych strona 6. Gªówne zagadnienia 6.2 Granice sko«czone i niesko«czone

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak nale

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

matematyka liceum dawniej i dziœ

matematyka liceum dawniej i dziœ Zawody matematyczne im. Mariana Rejewskiego Relacje z jubileuszowej dziesi¹tej edycji konkursu dla szkó³ pomdgimnazjalnych województwa kujawskopomorskiego. n MARIUSZ AAMCZAK Wminionym roku szkolnym odby³a

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

ψ x < a/2 2mE ψ x > a/2

ψ x < a/2 2mE ψ x > a/2 Studnia prostok tna - stany zwi zane Szukaj c stanów zwi zanych w studni prostok tnej wygodnie jest umie±ci j symetrycznie wzgl dem x = 0, gdy» wiadomo wtedy,»e funkcje falowe musz by parzyste lub nieparzyste.

Bardziej szczegółowo

Test całoroczny z matematyki. Wersja A

Test całoroczny z matematyki. Wersja A Test całoroczny z matematyki klasa IV Wersja A Na kartce masz zapisanych 20 zadań. Opuść więc te, których rozwiązanie okaże się zbyt trudne dla Ciebie. Wrócisz do niego później. W niektórych zadaniach

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG Cechy formatu JPEG Schemat blokowy kompresora Transformacja koloru Obniżenie rozdzielczości chrominancji Podział na bloki

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Imi i nazwisko:... Nr indeksu:... Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Egzamin wst pny na studia II stopnia na kierunku INFORMATYKA Test próbny 19 lutego 2010 roku W ka»dym

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 17 MAJA 2016

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 17 MAJA 2016 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 17 MAJA 2016 POZIOM

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo