1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

Transkrypt

1 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z + j z + + z = 3. Rozwi» równania: z + z + 5 = z + z + = z = j z + ( + j)z + j = z + ( + j)z (5 + j) =. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: j j 3 + j 3+j +j ( + 3 j) ( j) 6 ( 3+j) 3 5. Oblicz pierwiastki zespolone 3-ciego stopnia z liczb: j j + j 3 6. Oblicz: (+j) ( j) ( 3+j) ( j 3) +j +j 3 ( 3+j) 5 ( 3j) ( 3 j) 7 (+ 3j) 5

2 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Rozwi» równania: z 5 = z = (+j)3 z 5 = (+j)3 j ( j). Nast puj ce liczby przedstaw w postaci wykªadniczej: z = j z = 3 j z = 7 + j 7 3. Rozªó» na czynniki o wspóªczynnikach rzeczywistych i zespolonych nast puj ce wielomiany: z z + z + z + z z 3 jz z + j tylko zesp.. Rozªó» na uªamki proste funkcj wymiern : f(z) = z3 +z z+ z g(z) = z z h(z) = z 5j z z+ o wspóªcz. rzecz. i zesp. o wspóªcz. rzecz. o wspóªcz. zesp. 5. Przedstaw w postaci sumy wielomianu i uªamków prostych rzeczywistych funkcj wymiern : f(x) = x +x+ g(x) = x x 3 x +x x x 3 x x+

3 . Dla macierzy [ ] A = B = 3 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw C = [ 5 obliczy (o ile istnieje): A B B A A + C A B T B + C T A C A T C.. Obliczy iloczyny A (B C) oraz (A B) C nast puj cych macierzy: [ ] A = B = C =. 3. Obliczy wyznaczniki: j j + 3 j + j ] Dla jakich warto±ci parametru x R macierz A = jest osobliwa? x x x 5. Sprawdzi»e det(a B) = deta detb na przykªadzie macierzy 3 A = B = 3 6. Obliczy macierze odwrotne A B C dla macierzy: [ ] A = B = 3 C = 3 3

4 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Dane s nast puj ce wektory: A = [ ] B = [ 3] C = [ 3] D = [3 5 6] E = F = 5 7 G = Sprawdzi liniow niezale»no± ukªadów wektorów: {A B} {C D} {E F } {E F G}.. Wyznaczy rz d macierzy: 3 6 A = B = C = 3. Rozwi za równanie macierzowe A X = B [ ] [ ] 5 gdzie A = B = Metod macierzow i wyznacznikow rozwi za ukªady równa«: { x + y z = 6 x 3x + y = 6 x + x 3 = 3 x + y = 5 x + y + z = 3 x + x x 3 = x + y + z = x + x + x 3 = x + y + z = x + y z = x y + z = 3x + x x 3 = 3 x x + 3x 3 = x + x + x 3 =. 5. Rozwi za ukªady równa«: { x + 3y + z = 6 x + y z = x + y z = x + y + z = 3x + y + z = x + y z = x + y + z = 3x + y + z =

5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 5. Poda warunek rozwi zalno±ci i rozwiaza ukªady równa«: ax y + z = x + y + z = x 3y + z =. Czy wektor v = v = v = ax + y + z = x + ay + z = a x + y + az = a jest kombinacj liniow wektorów v 3 = 3. Spo±ród wektorów v =? v = v 3 = x + y + az = 3x y + z = ay + z = a 3 v = wybra trzy wektory liniowo niezale»ne a pozostaªy wektor zapisa jako kombinacj liniow wybranych wektorów. 6. Znale¹ kosinus k ta mi dzy wektorami u = 3 v = 3 oraz wektor w b d cy rzutem prostopadªym wektora u na kierunek wektora v. 5. Sprawdzi czy wektory u = v = s prostopadªe. Znale¹ 3 wektor prostopadªy (jednocze±nie) do u i do v. 6. Znale¹ pole trójkata o wierzchoªkach A( 8) B( ) C(6 ) oraz dªugo± wysoko±ci h B z wierzchoªka B. 7. Dobra warto± parametru t R tak aby punkty A( ) B( ) C( + t + t + t) byªy wierzchoªkami trójk ta: a) prostok tnego b) równoramiennego. 3

6 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 6. Znale¹ równanie pªaszczyzny przechodz cej przez punkty A( ) B(3 3 5) C( 3 ).. Znale¹ równanie pªaszczyzny przechodzacej przez punkt A( ) i prostopadªej do pªaszczyzn: π : x y + z = π : x + y + z =. 3. Przez punkt A( ) poprowadzi prost przecinaj c prost l: x = + t y = t z = + t pod k tem prostym.. Sprawdzi czy proste l l s równolegªe je±li { { x + y z = x + y z 3 = l : x + y 3z = l : x y + z =. 5. Znale¹ odlegªo± punktu P ( ) od prostej l : oraz rzut prostopadªy punktu P na prost l. 6. Znale¹ odlegªo± mi dzy prostymi l i l je»eli: a) l : x = y 3 = z+ 3 l : x = y = z 3 b) l : { x + y + = x z + = l : c) l : x+ = y = z l : { x + y z = y + z + = x = t y = + 3t t R z = + t { y = z + z = x x 7. Znale¹ równanie rzutu prostopadªego prostej l : = z+ na 3 5 pªaszczyzn π : x 5y + z = oraz k t mi dzy prost l i pªaszczyzn π. = y 8. Znale¹ obj to± ostrosªupa utworzonego przez punkty A( ) B(3 3 5) C( 3 ) D( 3) oraz dªugo± wysoko±ci opuszczonej z wierzchoªka D.

7 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 7. Obliczy granice ci gów o podanym wyrazie ogólnym: n 3 n+ n +n+ n+ +3 n+ n sin n! 3n 3 +n+ 3n 3 +n+ n +3 n n n + n + n n + 5 n n + n n 3n 3 + n + ( n n+) n ( + n) n ( ) n n. Obliczy sum szeregów: n= n= n 7 n n= +3 n n n= n= (n )(n+) 3. Zbada zbie»no± szeregów: n ( ) n n + n! 5 n= n= ( n+ n ) n n= n ( 3 ) n n= n n 3 n n! n= n= ( n n ) n n+ n+ n+( n n ( ) n n= n= n 3 e n ( n ) n n+ ( ) + 5 n n. Stosuj c kryterium porównawcze zbada zbie»no± szeregów: n(n+) n= 3 n (n+) n n= n= 3n+ n + n n n n= n= n+ 3n 3 +n+ n+ sin ( ) n n 5. Zbada zbie»no± szeregów naprzemiennych: ( ) n ( ) n n+ ( ) ( n n+ n(n+) 3n+ 3n+ n= n= ( ) n+ n n+ n= n= cos[(n )π] n+ ( ) n sin ( ) n= n n= n= ( ) n+3 n 5 n ( ) n n+( ) n n ( ) n n= ) n

8 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 8. Wyznaczy przedziaªy zbie»no±ci nast puj cych szeregów pot gowych oraz zbada zbie»no± na kra«cach przedziaªu: nx n n= n= n= (x+) n 9 n (x ) n n n= n= n n n! 3 n x n x n +n n= n= n 3 n (x ) n n= ( ) n + n x n. n. Dla jakich x R szereg (x 3x + ) n jest zbie»ny? n= 3. Znale¹ obszar zbie»no±ci szeregów: n= n 3 n (x ) n n= n+ (n+) x n n= n+ (x 3) n. ( ) n n 3 n (x 5) n. Przedstawi w postaci szeregu pot gowego nast puj ce funkcje oraz wyznaczy obszar zbie»no±ci poszczególnych szeregów: f(x) = x g(x) = h(x) =. x 3+x x 5. Nie u»ywaj c pochodnych obliczy granice funkcji: lim x+ cos x lim lim x x x x ( lim ) 3 x x x 3 x π cos x sin x cos x ( ) lim x 3 x. x x + 6. Wyprowadzi wzory na pochodne funkcji: arccos x arctg x arsinh x.

9 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 9. Obliczy pochodne nast puj cych funkcji: f(x) = sinh 3x g(x) = x cosh x h(x) = x arctg x p(x) = arcsin(cosx) q(x) = x e x r(x) = x ln x u(x) = arcsin x x v(x) = x ln x w(x) = sin(ln(arctg x)). Obliczy granice: lim x ln x x + lim x cos x x cos x lim x e x x arctg x arcsin x lim x x x( cos x) lim xsin x x + lim( + sin x) x x lim x e 3x x (ln x) lim x x lim x( π arctg x) lim x x +(cos x) x lim + x) x +(ex x x arcsin x lim x x 3 cos x 3. Zbada przebieg zmienno±ci i narysowa wykres funkcji f(x) = xe x.. Zbada istnienie i znale¹ asymptoty funkcji: f(x) = x +x x g(x) = x + x h(x) = ln( + ex ).

10 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Obliczy caªki nieoznaczone: ( x+)(x ) 5x +3x+ x (+tg x) ( x sin x + 3ex).. Stosuj c wzór na caªkowanie przez cz ±ci obliczy : x ln x x ln x x arctg x x cos x x 3 e x sin xe 3x. 3. Stosuj c odpowiednie podstawienie obliczy : sin 5x (a R) x x a x x +x ln x tg x x + e x xe x. x e x +. Obliczy caªki: x 3 sin(x ) e x arctg x arcsin x x (+x ) (+x ) sin 3 x. 5. Obliczy caªki z funkcji wymiernych: x+5 x+3 x 5 +x 3x x +5x 7 (x )(x+5) x 6 x +x x x+ x 3 (x 3) x 3 +x +x+7 x +x 3 +5x +8x+ x. (x +x+) 6. Obliczy caªki z trygonometryczne: cos 5x cos x sin 3x cos 5x sin x cos x sin x +cos x sin x cos 3 x. sin x cos x+5 7. Obliczy caªki z funkcji niewymiernych: x x + x x+3 x x x +x+5 x+ x +x+ e x +e x +e x 3 x x sin x. cos x+ cos x+

11 . Obliczy caªki oznaczone: π x sin x π cos x 3 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw x + x x + R R 3 x arctg x R x.. Bez obliczania caªek uzasadni równo± nast puj cych caªek oznaczonych: k π sin x = k π cos x = k π k = Obliczy pole gury ograniczonej liniami: a) y = x y = 3x b) parabolami y = x x 6 i y = x + 5x + c) y = ln x oraz prostymi y = i x = e.. Obliczy obj to± i pole powierzchni bryªy otrzymanej przez obrót dookoªa osi OX wykresu funkcji: a) y = x x [ ] b) y = sin x x [ π]. 5. Obliczy dªugo± ªuku krzywej zadanej równaniami: a) y = x x [ ] b) y = 3 x x x [ 8] c) x = R cos t y = R sin t t [ π] { x = a cos d) t y = a sin t [ t π] a > { x = r(t sin t) e) t [ π] r >. y = r( cos t) 6. Obliczy caªki niewªa±ciwe: e x sin x e x a ln x x x (x+)x / x(ln x) a x x + x(ln x) a arctg x x +. x +x+9