r = x x2 2 + x2 3.

Transkrypt

1 Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni V ) speªniaj cym aksjomaty: 1. ω(a, B) = 0 A = B,. ω(a, B) + ω(b, C) = ω(a, C),. Dla dowolnych A P i v V istnieje B P taki,»e ω(a, B) = v. Elementy zbioru P nazywamy punktami. Punkty A, B nazywamy pocz tkiem i ko«cem wektora ω(a, B). Piszemy AB := ω(a, B). Je±li w przestrzeni V okre±lony jest iloczyn skalarny, to P nazywamy aniczn przestrzeni euklidesow. Uwaga 1. Dowoln przestrze«wektorow V mo»na traktowa jako przestrze«aniczn przyjmuj c P = V i ω( u, v) := v u. Punkty i wektory w E Punkty oznaczamy P = (x, y, z). Wektor OP = [x, y, z] nazywamy wektorem wodz cym punktu P. Dla dowolnych punktów A = (a 1, a, a ) i B = (b 1, b, b ) wspóªrz dne wektora AB wyznaczamy odejmuj c od wspóªrz dnych ko«ca wspóªrz dne pocz tku czyli AB = [b 1 a 1, b a, b a ]. Wspóªrz dne ko«ca wektora r = P Q = [x1, x, x ] zaczepionego w punkcie P = (p 1, p, p ) wyznaczamy dodaj c do wspóªrz dnych pocz tku wspóªrz dne wektora czyli Q = P + r = (p 1 + x 1, p + x, p + x ). Dªugo± wektora r = [x 1, x, x ] wyra»a si wzorem: r = x 1 + x + x. Iloczyn skalarny wektorów a = [a 1, a, a ] i b = [b 1, b, b ]: b = a1 b 1 + a b + a b = a b cos ( a, b ). 1

2 K t pomi dzy wektorami a i b wyznaczamy ze wzoru: cos ( a, b ) = b a b. Rzutem prostok tnym wektora a na wektor b jest wektor: b b b. Wektory bazy kanonicznej (wersory osi ukªadu wspóªrz dnych) oznacza si : i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. Punkty P, Q, R s wspóªliniowe (tzn. le» na jednej prostej) gdy wektory P Q, P R s liniowo zale»ne (czyli proporcjonalne). Punkty P, Q, R, S s wspóªpªaszczyznowe (tzn. le» w jednej pªaszczy¹nie) gdy wektory P Q, P R, P S s liniowo zale»ne. Przykªad 1. Sprawdzi czy punkty P = (1, 1, 1), Q = (, 1,, ), R = (, 4, ), S = (,, ) s wspóªpªaszczyznowe. Iloczyn wektorowy Def.. Mówimy,»e ukªad wektorów ( u 1, u, u ) jest zorientowany zgodnie z baz, gdy wyznacznik macierzy wspóªrz dnych tych wektorów w tej bazie jest dodatni. Def.. Iloczynem wektorowym wektorów a, b nazywamy: 1. wektor w ortogonalny do a, b, którego dªugo± jest równa polu równolegªoboku rozpi tego na a, b i taki»e ukªad ( a, b, w ) jest zorientowany zgodnie z baz, gdy a, b s liniowo niezale»ne,. wektor zerowy 0, gdy a, b s liniowo zale»ne. Iloczyn wektorowy oznaczamy w = a b. Posta analityczna iloczynu wektorowego Twierdzenie 1. [a 1, a, a ] [b 1, b, b ] = [ a a b b, a 1 a b 1 b, a 1 a b 1 b i j k = a 1 a a b 1 b b, gdzie i, j, k s wektorami bazy kanonicznej. ]

3 Wªasno±ci iloczynu wektorowego: 1. a b = b a,. a ( b + c ) = a b + a c,. (c a ) b = c( a b ) = a (c b ), 4. a b = a b sin ( a, b ) Iloczyn mieszany Def. 4. Iloczynem mieszanym wektorów a, b, c nazywamy ( b c ). Twierdzenie. ( b a 1 a a c ) = b 1 b b c 1 c c Wn Obj to± równolegªo±cianu rozpi tego na wektorach a, b, c : V ( a, b, c ) = ( b a 1 a a c ) = b 1 b b c 1 c c.. Obj to± czworo±cianu o wierzchoªkach P, Q, R, S: V (P, Q, R, S) = 1 6 ( b c ), gdzie a = P Q, b = P R, c = P S. Pªaszczyzna w E Twierdzenie (Posta normalna pªaszczyzny). Dla dowolnego wektora N = [A, B, C] θ i punktu P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) równanie A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 opisuje pªaszczyzn prostopadª do N i przechodz c przez P 0 ( N nazywamy wektorem normalnym tej pªaszczyzny). Inne postaci równania pªaszczyzny: Posta ogólna: Ax + By + Cz + D = 0. x Posta odcinkowa: a + y b + z c = 1. Posta parametryczna: P = P 0 + u a + v b, gdzie a, b s liniowo niezale»ne. Przykªad. Wyznaczy równanie pªaszczyzny przechodz cej przez dane punkty P = (0, 1, 1); Q = (,, 4); R = (4,, 1). Uwaga. Maj c dane wektory a, b równolegªe do pªaszczyzny, wektor normalny pªaszczyzny wyznaczymy najpro±ciej za pomoc iloczynu wektorowego N = a b.

4 Prosta w E Posta parametryczna prostej o danym wektorze kierunkowym k θ, przechodz cej przez punkt P 0 : X = P 0 + t k gdzie t R. Dla P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) i k = [a, b, c] dostajemy: x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct Posta kanoniczna: x x 0 a = y y 0 b = z z 0. c Zredukowana posta kanoniczna prostej równolegªej do pªaszczyzny Oxy: K ty x x 0 a = y y 0, z = z 0. b K t pomi dzy pªaszczyznami Π 1, Π o wektorach normalnych odpowiednio N 1, N : N 1 N cos (Π 1, Π ) = N 1. N K t pomi dzy prostymi l 1, l o wektorach kierunkowych odpowiednio k 1, k : k 1 k cos (l 1, l ) = k 1. k K t pomi dzy prost l o wektorze kierunkowym k i pªaszczyzn Φ o wektorze normalnym N : k N sin (l, Φ) = k. N 4

5 Odlegªo±ci Odlegªo± punktu P = (x 0, y 0, z 0 ) od pªaszczyzny Φ : Ax+By+Cz+D = 0: d(p, Φ) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D. A + B + C Odlegªo± punktu P od prostej l : X = P 0 + t k : d(p, l) = k P 0 P. k Odlegªo± pomi dzy prostymi sko±nymi l 1 : X = P 1 + t k 1 i l : X = P + t k : d(l 1, l ) = ( k 1 k ) P 1 P k 1. k Przykªady: 1. Wyznaczy punkt symetryczny do P = (, 1, 1) wzgl dem pªaszczyzny Π : x + y + z = 0.. Wyznaczy równanie prostej przechodz cej przez punkt O = (0, 0, 0) i przecinaj cej prostopadle prost x = y = z.. Wyznaczy równanie prostej m przecinaj cej prostopadle proste l 1 : y = z i l : x 5 = y = z. x 4 4. Pªaski stok opada w kierunku wschodnim pod k tem α = 0 a w kierunku poªudniowym pod k tem β = 45. Obliczy k t nachylenia tego stoku do poziomu. 5. Wyznaczy odlegªo± pomi dzy rozª cznymi przek tnymi s siednich ±cian sze±cianu o boku 10 cm. = 5