Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
|
|
- Janina Nawrocka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem, je±li s speªnione nast puj ce wªasno±ci: (C1) (F, +) jest grup abelow (element neutralny dla dziaªania + oznaczamy przez 0, i nazywamy zerem, za± element odwrotny do a wzgl dem dziaªania + oznaczamy przez a, i nazywamy elementem przeciwnym do a); (C2) (F \ {0}, ) jest grup abelow (element neutralny dla dziaªania oznaczamy przez 1, i nazywamy jedynk, za± element odwrotny do a 0 wzgl dem dziaªania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotno±ci a); (C3) mno»enie jest rozdzielne wzgl dem dodawania, tzn. dla dowolnych a, b, c F zachodzi a (b + c) = (a b) + (a c). Zamiast a b piszemy zwykle ab. Zamiast ab 1 piszemy zwykle a/b lub a b. Dalej, mno»enie wi»e mocniej ni» dodawanie, tzn. ab + c oznacza (a b) + c. Dla n N i a F oznaczamy na := a a, }{{} ( n)a := ( a) ( a). }{{} n skªadników n skªadników Ponadto, 0 a := 0 dla dowolnego a F. Dla n N i a F oznaczamy a je±li ponadto a 0, to oznaczamy Zachodz nast puj ce równo±ci: a n := } a.{{.. a}, n czynników a n := } a 1.{{.. a 1 }. n czynników
2 2 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski ( k)a = (ka), dla dowolnych k Z i a F (zatem zwykle piszemy ka); (k + l)a = ka + la, dla dowolnych k, l Z i a F ; k(a + b) = ka + kb, dla dowolnych k Z i a, b F ; k(a b) = (ka) b, dla dowolnych k Z i a, b F ; a k+l = a k a l, dla dowolnych k, l Z i a F, a 0. We wszystkich ciaªach zachodz te» standardowe wzory skróconego mno»enia i wzór na dwumian Newtona. Jednak»e, w konkretnych ciaªach mog one mie uproszczon posta (patrz przykªad w rozdziale o ciaªach Z p poni»ej). Denicja. Charakterystyk ciaªa (F, +, ) nazywamy najmniejsz liczb naturaln p tak,»e pa = 0 dla dowolnego a F \ {0}. Je±li nie ma takiej liczby, mówimy,»e ciaªo jest charakterystyki zero. Do± ªatwo wykaza,»e (niezerowa) charakterystyka ciaªa musi by liczb pierwsz. Przykªad 1. (Q, +, ), gdzie Q jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. Przykªad 2. (R, +, ), gdzie R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. Przykªad 3. (C, +, ), gdzie C jest zbiorem wszystkich liczb zespolonych, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. Przykªad 4. (R(x), +, ), gdzie R(x) jest zbiorem wszystkich funkcji wymiernych jednej zmiennej rzeczywistej x, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. 2 Ciaªo Z 2 Niech Z 2 oznacza zbiór {0, 1}. Zdeniujmy dodawanie na Z 2 wzorem = 0, = 1, = 1, = 0, i zdeniujmy mno»enie na Z 2 wzorem 0 0 = 0, 0 1 = 0, 1 0 = 0, 1 1 = 1.
3 Ciaªa i wielomiany 3 Powy»ej zdeniowane operacje nazywamy, odpowiednio, dodawaniem (mno-»eniem) modulo 2. (Z 2, +, ) jest ciaªem (nazywanym ciaªem reszt modulo 2). Zwykle ciaªo reszt modulo 2 zapisujemy po prostu Z 2. Zauwa»my,»e Z 2 jest ciaªem charakterystyki dwa. Wynika st d w szczególno±ci,»e w Z 2 zachodzi 1 = 1. 3 Ciaªo Z p Niech Z p, gdzie p jest liczb pierwsz, oznacza zbiór {0, 1, 2,..., p 1}. Dla a, b Z p zdeniujmy sum a + b jako reszt z dzielenia zwykªej sumy liczb a i b przez p, i iloczyn a b jako reszt z dzielenia zwykªego iloczynu liczb a i b przez p. Operacje te nazywamy, odpowiednio, dodawaniem modulo p i mno»eniem modulo p. Okazuje si,»e zbiór Z p wraz z dziaªaniami dodawania i mno»enia modulo p jest ciaªem. To,»e zachodzi ª czno± i przemienno± dodawania i mno»enia modulo p, jak i rozdzielno±, jest (niemal) oczywiste. Elementem neutralnym dodawania jest 0, elementem neutralnym mno»enia jest 1. Troch mniej oczywiste jest istnienie elementu przeciwnego dla a Z p. Zauwa»my,»e p a Z p i»e zwykªa suma a i p a to p. Zatem dodanie modulo p elementów a i p a da nam zero. Rzecz zupeªnie nieoczywist jest istnienie, dla ka»dego niezerowego a Z p, jego odwrotno±ci. Zastanówmy si, co to znaczy. Otó» a 1 ma to by taka liczba b ze zbioru {1, 2,..., p 1},»e zwykªy iloczyn a i b ma, po podzieleniu przez p, dawa reszt 1. Innymi sªowy, trzeba znale¹ takie liczby b {1, 2,..., p 1} i n N,»e ab = np + 1 (tutaj wszystkie dziaªania s zwykªe). A»e co± takiego mo»na zrobi, wynika z pewnego twierdzenia z teorii liczb, które podaj bez dowodu: Twierdzenie 1. Dla liczb naturalnych a i b istniej takie liczby caªkowite m, n,»e ma + nb jest równe najwi kszemu wspólnemu dzielnikowi liczb a i b. (Z p, +, ) nazywamy ciaªem reszt modulo p. Zwykle ciaªo reszt modulo p zapisujemy po prostu Z p. Z p jest ciaªem charakterystyki p. Przykªad. Zastanówmy si, jak wygl da wzór skróconego mno»enia (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
4 4 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski w ciele Z 3. Jako»e jest to ciaªo charakterystyki 3, drugi i trzeci skªadnik po prawej stronie powy»szego wzoru redukuj si do zera, czyli mamy: 4 Wielomiany (a + b) 3 = a 3 + b 3. Denicja. Wielomianem zmiennej x nad ciaªem F nazywamy wyra»enie P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, gdzie a 0,..., a n F i n N {0}. Element a i nazywamy wspóªczynnikiem przy x i w P (x). Zamiast 1 x k piszemy po prostu x k. Gdy n jest najwi ksz liczb tak,»e a n 0, mówimy,»e wielomian P (x) ma stopie«n (i zapisujemy st P (x) = n). Gdy wszystkie wspóªczynniki w P (x) s zerami, wielomian P (x) nazywamy wielomianem zerowym. Umawiamy si,»e stopie«wielomianu zerowego to. Wielomian zerowy i wielomiany stopnia zero nazywamy wielomianami staªymi. Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x nad ciaªem F oznaczamy przez F [x]. Denicja. Wielomiany P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n i R(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b n x n s równe wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 = b 0, a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n. Bardzo wa»n jest rzecz, by nie uto»samia wielomianu z funkcj wielomianow : wielomianowi P (x) mo»emy przypisa funkcj wielomianow P : F F, przyporz dkowuj c ka»demu elementowi x ciaªa F element a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ciaªa F. Gdy F = Q, lub F = R, lub F = C, ró»nym wielomianom odpowiadaj ró»ne funkcje wielomianowe (dlatego na kursie z Analizy Matematycznej zwykle nie rozró»nia sie poj cia wielomianu i funkcji wielomianowej). Jednak»e sytuacja jest inna w przypadku ciaª sko«czonych. Istotnie, rozwa»my dwa wielomiany, P (x) = x 2 + x i wielomian zerowy, nad ciaªem Z 2. Šatwo wida,»e P (0) = = = 0 i P (0) = = = 0, czyli wielomianowi P (x) odpowiada ta sama funkcja wielomianowa, co wielomianowi zerowemu. Niech n P (x) = a i x i, m Q(x) = b i x i i=0 i=0
5 Ciaªa i wielomiany 5 b d wielomianami nad ciaªem F. Sum wielomianów P (x) i Q(x) deniujemy wzorem max(m,n) P (x) + Q(x) = (a i + b i )x i, a ich iloczyn wzorem i=0 P (x) Q(x) = m+n k=0 c k x k, gdzie c k = i+j=k a i b j. Dla dowolnych wielomianów z F [x] zachodz nast puj ce wªasno±ci: (P 1 (x) + P 2 (x)) + P 3 (x) = P 1 (x) + (P 2 (x) + P 3 (x)) (dodawanie wielomianów jest ª czne); P 1 (x) + P 2 (x) = P 2 (x) + P 1 (x) (dodawanie wielomianów jest przemienne); (P 1 (x) P 2 (x)) P 3 (x) = P 1 (x) (P 2 (x) P 3 (x)) (mno»enie wielomianów jest ª czne); P 1 (x) P 2 (x) = P 2 (x) P 1 (x) (mno»enie wielomianów jest przemienne); (P 1 (x) + P 2 (x)) P 3 (x) = (P 1 (x) P 3 (x)) + (P 2 (x) P 3 (x)) (mno»enie wielomianów jest rozdzielne wzgl dem dodawania); 0 + P (x) = P (x) + 0 = P (x) (wielomian zerowy jest elementem neutralnym dla dodawania); 1 P (x) = P (x) 1 = P (x) (wielomian staªy równy 1 jest elementem neutralnym dla mno»enia); iloczyn wielomianów niezerowych jest wielomianem niezerowym. Dalej, mamy st(p 1 (x) + P 2 (x)) max(st P 1 (x), st P 2 (x)), st(p 1 (x) P 2 (x)) = st P 1 (x) + st P 2 (x). Twierdzenie 2 (Dzielenie wielomianów z reszt ). Niech P (x), Q(x) F [x]. Je±li Q(x) nie jest wielomianem zerowym, to istniej jednoznacznie wyznaczone wielomiany M(x), R(x) F [x], st R(x) < st Q(x), takie,»e P (x) = M(x) Q(x) + R(x).
6 6 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski W powy»szym twierdzeniu, P (x) nazywamy dzieln, Q(x) nazywamy dzielnikiem, M(x) nazywamy ilorazem wielomianu P (x) przez wielomian Q(x), za± R(x) nazywamy reszt z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) Je±li dla wielomianów P (x), Q(x), reszta R(x) z dzielenia P (x) przez Q(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy,»e wielomian Q(x) dzieli wielomian P (x) (lub wielomian Q(x) jest czynnikiem wielomianu P (x), lub»e wielomian P (x) jest podzielny przez Q(x)), i zapisujemy to Q(x) P (x). Denicja. Element a ciaªa F nazywamy pierwiastkiem wielomianu P (x) F [x], gdy P (a) = 0. Twierdzenie 3 (Twierdzenie o reszcie). Reszta z dzielenia wielomianu P (x) F [x] przez jednomian (x a), gdzie a F, jest równa P (a). Twierdzenie 4 (Twierdzenie Bézout). a F jest pierwiastkiem wielomianu P (x) F [x] wtedy i tylko wtedy, gdy (x a) P (x). Twierdzenie 5. Wielomian P (x) F [x] stopnia n ma co najwy»ej n pierwiastków. Dowolny wielomian stopnia 1 ma dokªadnie jeden pierwiastek. Istotnie, pierwiastkiem wielomianu P (x) = a 0 + a 1 x, gdzie a 1 0, jest a 0 /a 1. Z powy»szego twierdzenia wynika,»e jest to jedyny pierwiastek. Przykªad. Wielomian P (x) Z 2 [x], P (x) = x 2 + x + 1, nie ma pierwiastków. Denicja. Mówimy,»e wielomian P (x) F [x] stopnia dodatniego jest rozkªadalny, gdy istniej takie wielomiany stopnia dodatniego P 1 (x), P 2 (x) F [x],»e P (x) = P 1 (x) P 2 (x). Wielomian stopnia dodatniego, który nie jest rozkªadalny, nazywamy nierozkªadalnym. Fakt 6. Wielomian P (x) F [x] stopnia 2 lub 3 jest nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma pierwiastków. Dowód. Je±li wielomian stopnia co najmniej 2 ma pierwiastek, to, na podstawie twierdzenia Bézout, jest rozkªadalny. Zaªó»my teraz,»e wielomian P (x) F [x] stopnia 2 lub 3 jest rozkªadalny. Zatem mo»na go zapisa w postaci P (x) = P 1 (x) P 2 (x), gdzie 1 st P 1 (x) < st P (x), 1 st P 2 (x) < st P (x). Poniewa» st P (x) = st P 1 (x) + st P 2 (x), co najmniej jeden z wielomianów P 1 (x), P 2 (x), musi by stopnia jeden. Znów z twierdzenia Bézout wnioskujemy,»e P (x) ma pierwiastek.
7 Ciaªa i wielomiany 7 Twierdzenie 7 (Jednoznaczno± rozkªadu na wielomiany nierozkªadalne). Ka»dy wielomian stopnia dodatniego P (x) F [x] jest iloczynem sko«czenie wielu wielomianów nierozkªadalnych. Wielomiany nierozkªadalne s wyznaczone jednoznacznie z dokªadno±ci do kolejno±ci czynników i mno»enia przez niezerowe elementy ciaªa F. Ostanie zdanie powy»szego twierdzenia mo»e by zilustrowane przez nast puj cy przykªad: w rozkªadzie wielomianu P (x) = x 2 + x R[x] jako P (x) = P 1 (x) P 2 (x), mo»na wzi P 1 (x) = x, P 2 (x) = x + 1, ale mo»na te» wzi P 1 (x) = 1 2 x 1 2, P 2(x) = 2x (formalnie s to ró»ne rozkªady). Przykªad. Zbadajmy rozkªadalno± wszystkich wielomianów stopnia 2 z Z 2 [x]. Wielomian x 2 jest, oczywi±cie, rozkªadalny. Wielomian x jest te» rozkªadalny, poniewa» x = (x + 1) 2. Wielomian x 2 + x + 1 jest nierozkªadalny, gdy» nie ma pierwiastków (patrz Fakt 6). Wielomian x 2 +x = x(x+1) jest rozkªadalny. Przykªad. Zbadajmy (nie)rozkªadalno± wielomianu x 4 + x Z 2 [x]. Poniewa» nie ma on pierwiastków, w jego (ewentualnym) rozkªadzie mog wyst pi tylko nierozkªadalne czynniki P 1 (x), P 2 (x) stopnia drugiego. Z poprzedniego przykªadu wynika,»e jedynym nierozkªadalnym wielomianem stopnia drugiego jest x 2 +x+1. Sprawdzamy teraz,»e x 4 +x 2 +1 = (x 2 +x+1) 2. Przykªad. Rozwa»my teraz wielomian x 4 +x+1 Z 2 [x]. Poniewa» nie ma on pierwiastków, powtarzaj c rozumowanie z powy»szego przykªadu dochodzimy do wniosku,»e jedyny mo»liwy jego rozkªad to x 4 +x+1 = (x 2 +x+1) 2, co jest faªszem. Jest to zatem wielomian nierozkªadalny.
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole'a i logika cyfrowa
Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoNiezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej
Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoKompresja punktów na krzywych eliptycznych
R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS 2015 1 / 21 Kompresja punktów na krzywych eliptycznych Robert Dryªo IMPAN II Konferencja Naukowo Przemysªowa KBBS Zielona Góra, 17-18 marzec 2015
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoModel obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII LICZB. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05
ELEMENTY TEORII LICZB Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05 Spis tre±ci 1 Liczby i wielomiany 5 1.1 Wielomiany............................ 5 1.2 Podzielno± liczb......................... 8 1.3 Podzielno± wielomianów.....................
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoLogika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Bardziej szczegółowoNotatki do wykªadu Algebra
Notatki do wykªadu Algebra (semestr letni 10/11) Emanuel Kiero«ski 1 Grupy, pier±cienie i ciaªa 1.1 Struktury algebraiczne Denicja 1 A = (A, f 1, f 2,...) zbiór A wraz ze zdeniowanymi na nim dziaªaniami
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowo