Zadania. ze zbioru 25 lat Olimpiad Fizycznych Waldemara Gorzkowskiego. a, skierowane równolegle do równi (w górę, ku

Transkrypt

1 76 FOTON 4, Wion 04 Zdni ze zbioru 5 lt Olimpid Fizycznych Wldemr Gorzkowkiego Od Redkcji: Cytowny w tym zezycie profeor Iwo Biłynicki-Birul jet luretem I Olimpidy Fizycznej Poniżej przytczmy pouczjące i wrte przypomnieni dw zdni z pierwzych olimpid Wózek z whdłem n pochylni Wózek, n którym umocowno whdło o okreie whń wynozącym 0,5 ekundy, zjeżdż po pochylni, ntępnie jedzie po torze poziomym Kąt, jki tworzy pochylni z poziomem, wynoi 45 Jki będzie okre drgń whdł, gdy ) wózek zjeżdż po pochylni? b) jedzie po torze poziomym? Przyjmujemy, że wózek podcz ruchu po pochylni i po torze poziomym nie doznje iły trci i że ruch whdł n ruch wózk nie m prktycznie żdnego wpływu (wózek ciężki, whdło lekkie) Rozwiąznie Weźmy pod uwgę ukłd odnieieni związny z wózkiem Jet to ukłd nieinercjlny, gdyż wózek tcz ię z równi z pewnym przypiezeniem Przypiezenie to brdzo łtwo obliczyć jet to po protu kłdow przypiezeni ziemkiego równoległ do równi (ry) = g in α Skłdową przypiezeni ziemkiego w kierunku protopdłym do równi oznczmy przez g' Mmy g' = g co α W ukłdzie związnym z wózkiem dziłją dw przypiezeni: przypiezenie ziemkie g kierowne pionowo w dół i przypiezenie związne z nieinercjlnością ukłdu równe, kierowne równolegle do równi (w górę, ku

2 FOTON 4, Wion jej wierzchołkowi) W efekcie oberwtor znjdujący ię n wózku doznje przypiezeni wypdkowego równego g( ) Łtwo zuwżyć, że przypiezenie to m wrtość równą g' i jet kierowne protopdle do równi Gdyby oberwtor n wózku znjdowł ię w nieprzezroczytej kltce, to jego wzytkie doznni i oberwcje byłyby tkie, jkby znjdowł ię w polu ciężkości o przypiezeniu g' kierownym ku podłodze W zczególności, w tnie równowgi whdło byłoby kierowne ku podtwie wózk, więc ukośnie w tounku do oberwtor znjdującego ię poz wózkiem i nieruchomego względem równi Jk widomo, okre drgń whdł mtemtycznego o długości l, znjdującego ię w polu przypiezeni ziemkiego g, jet dny wzorem T π l g Zgodnie z podnymi wyżej rozwżnimi, by wyznczyć okre T' drgń whdł mtemtycznego o długości l poruzjącego ię wrz z wózkiem, nleży g ztąpić przez g' Mmy ztem T' π l g' Wielkości T, T i α nie ą niezleżne Zchodzi między nimi ntępujący związek T ' π l T g co co Podtwijąc dne liczbowe n T i α otrzymujemy T' = 0,6 Zdnie rozwiązliśmy przy złożeniu, że nie m trci między wózkiem równią Gdyby trcie wytępowło, to przypiezenie wózk byłoby mniejze niż α W rezultcie wypdkowe przypiezenie dziłjące w ukłdzie związnym z wózkiem nic byłoby kierowne dokłdnie ku podtwie wózk, lecz nieco n ko, w kierunku jzdy wózk Poz tym wrtość przypiezeni byłby więkz niż g' (chociż oczywiście ndl mniejz niż g) Okre drgń byłby wtedy zwrty między T T' W rozwiązniu złożyliśmy, że wózek zuw ię ruchem jednotjnie przypiezonym i protoliniowym W rzeczywitości ruchem tkim powinien poruzć ię nie m wózek, lecz środek my ukłdu wózek + whdło Podcz drgń whdł środek my rozwżnego ukłdu przeuw ię względem wózk Ozncz to, że ściśle biorąc wózek nie poruz ię tk, jk złożyliśmy Jednkże łtwo zuwżyć, że jeżeli whdło m mę zncznie mniejzą niż wózek, to przeuwnie ię środk my ukłdu względem wózk możn zniedbć, co uzdni poczynione przez n złożenie

3 78 FOTON 4, Wion 04 W przypdku ruchu po torze protoliniowym, ruch wózk odbyw ię ze tłą prędkością (przy złożeniu, że nze whdło jet zncznie mniejze niż m wózk) Ukłd związny z wózkiem jet wtedy ukłdem inercjlnym nie dziłją w nim iły bezwłdności N whdło dził tylko przypiezenie ziemkie i okre drgń whdł będzie tki m, jk dl whdł n wózku nieruchomym Trnporter z upuzczoną n niego kredą N poziomy p trnporter poruzjący ię ruchem jednotjnym z prędkością υ = 5 m/ upuzczono z brdzo młej wyokości kotkę kredy w ten poób, że jedn ze ścinek był poziom Okzło ię, że kred zrobił n pie mugę długości = 5 m Nieco później ztrzymno npęd trnporter i p poruzł ię dlej ruchem opóźnionym z opóźnieniem = 5 m/ Czy kred znowu pozotwił mugę n pie? Jkiej długości? Czy możn dokłdnie obliczyć, w jkich grnicch może ię zwierć wrtość opóźnieni p, by kred nie pozotwił mugi? Rozwiąznie W ukłdzie odnieieni poruzjącym ię ruchem jednotjnym wrz pem ytucj wygląd tk, jkby n nieruchomy p położono kredę z prędkością początkową υ = 5 m/ Niech m kredy wynoi m Początkow energi kinetyczn kredy (w rozwżnym ukłdzie odnieieni) zotje w cłości zużyt n prcę iły trci Oznczjąc wpółczynnik trci kredy o trnporter przez f możemy npić Stąd m f mg f g Po włączeniu hmowni z opóźnieniem ukłd odnieieni związny z trnporterem tje ię ukłdem nieinercjlnym N kredę dził terz ił bezwłdności o wrtości m zwrócon w kierunku ruchu trnporter Sił t m dokłdnie tki m chrkter jk ił dziłjąc n pżerów podcz hmowni trmwju lub pociągu Aby podcz hmowni kred uległ przeunięciu, ił m mui przekroczyć mkymlną wrtość iły trci równą fmg W przeciwnym wypdku kred nie poruzy ię, gdyż ił m zotnie zrównowżon przez iłę trci Ztem, by kred nie pozotwił mugi, mui być pełniony wrunek m fmg,

4 FOTON 4, Wion czyli,5 m/ Zgodnie z dnymi w tekście zdni wrtość = 5 m/ nie pełni tego wrunku, więc podcz hmowni trnporter kred przeunie ię po trnporterze i zrobi biłą mugę Obliczmy długość tej mugi Kred będzie poruzć ię po trnporterze ruchem przypiezonym dopóki będzie dziłł ił m, czyli podcz hmowni Po ztrzymniu ię p kred będzie mił niezerową prędkość początkową i będzie ię poruzł ruchem opóźnionym pod wpływem iły trci Ruch ten będzie trwł do czu ztrzymni ię kredy Cz trwni hmowni wynoi t Przypiezenie kredy względem trnporter obliczmy z zleżności m = m T, wyrżjącej II zdę Newton w ukłdzie nieinercjlnym związnym z trnporterem T ozncz iłę trci równą fmg Wpółczynnik trci f wyznczyliśmy już wcześniej Ztem możemy npić m = m fmg, Drog przebyt przez kredę podcz hmowni trnporter wynoi (względem trnporter) t, czyli W chwili ztrzymni ię trnporter prędkość kredy względem trnporter wynoi t Opóźnienie kredy po ztrzymniu ię trnporter wynoi T / m fg Cz trwni ruchu opóźnionego kredy jet równy

5 80 FOTON 4, Wion 04 czyli t ( / ) W czie tego ruchu kred przebyw drogę, t czyli Długość mugi zotwionej przez kredę n trnporterze jet ztem równ Liczbowo, =,5 m W zdnich tkich brdzo łtwo jet popełnić gruby błąd związny z prwem zchowni energii Wyjśnijmy dokłdniej, o co chodzi Weźmy pod uwgę ytucję, gdy kredę kłdziemy n trnporter N pierwzy rzut ok mogłoby ię wydwć, że w celu wyznczeni długości mugi zkreślonej przez kredę, możn korzytć z rozwżń energetycznych w ukłdzie nieruchomym względem, powiedzmy, podłogi W ukłdzie tym trnporter poruz z prędkością υ Możn by ądzić, że cłkowit energi mechniczn kredy tuż przed położeniem n trnporter (równ zeru) powinn być równ prcy ił trci podcz kreśleni mugi (= fmg) i końcowej cłkowitej energii kinetycznej kredy : m 0 fmg m Otóż równnie to nie może być prwdziwe Po lewej tronie mmy zero, po prwej wielkość dodtnią! Rzecz w tym, że w rozwżni powyżzych nie uwzględniliśmy prcy ilników zpewnijących równomierne przeuwnie ię p trnporter niezleżnie od tego, co ię dzieje z kredą To włśnie n kozt prcy ilników kred wykonuje prcę podcz przeuwni ię po trnporterze i n kozt prcy ilników nbyw on energii kinetycznej Kłopotów powyżzych oczywiście nie mmy prowdząc rozwżni w ukłdzie związnym z jednotjnie przeuwjącym ię pem trnporter