Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc
|
|
- Lidia Marczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009 Wykład nr 4 ( )
2 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 /63 Plan wykładu nr 4 Reprezentacja stałoprzecinkowa operacje arytmetyczne w kodzie uzupełnień do dwóch (U) Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym Standard I 754 liczby 3-bitowe i 64-bitowe zakres i precyzja liczb wartości specjalne, operacje z wartościami specjalnymi standard I 754 w języku C
3 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 3/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dodawanie Dodawanie liczb w kodzie U odbywa się standardową metodą - traktujemy liczby jako zwykłe liczby binarne (dodatnie), dodajemy je otrzymując wynik w kodzie U W operacji dodawania bierze udział takŝe bit znaku, a przeniesienie poza najstarszy bit znaku jest ignorowane Przykłady: = ( 0) ( 0) + ( 5) = ( ) (U) (U) (U) (U) (U) (U) 3 ( 5) ( )
4 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 4/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dodawanie Przykłady: ( 5) + + ( 0) + ( ) = ( 7) (U) (U) (U) ( 5) ( ) ( 7) ignorujemy przeniesienie = ( 0) (U) (U) (U) 4 5 ( 7) nastąpiło przekroczenie zakresu dla 4-bitowych liczb w kodzie U, naleŝy zapisać liczby na 5 cyfrach dodawanie dowolnych liczb w kodzie U daje poprawny wynik zawsze wtedy, gdy mieści się on w zakresie liczb dla danego formatu (U) (U) (U) 4 5 9
5 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 5/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - odejmowanie Odejmowanie odbywa się według tych samych zasad jak w NKB Przy wykonywaniu operacji odejmowania uwzględniamy bity znaku, a poŝyczka spoza najstarszego bitu jest ignorowana Przykłady: 5 = ( 0) (3) ( 3) ( 0) (5) = ( 8) (U) (U) (U) (U) (U) (U) 3 8 5
6 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 6/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - odejmowanie Wynik odejmowania jest poprawny jeśli mieści się w zakresie liczb dla danego formatu Przykład: 7 = ( 0) ( 3) 0 ignorujemy poŝyczkę ignorujemy poŝyczkę (U) (U) (U) 7 ( 3) ( 6) (U) (U) (U) 7 ( 3) 0 nastąpiło przekroczenie zakresu dla 4-bitowych liczb w kodzie U, naleŝy zapisać liczby na 5 cyfrach po zapisaniu liczb na 5 cyfrach wynik jest prawidłowy
7 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 7/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - mnoŝenie MnoŜenie liczb w kodzie U wykonywane jest w inny sposób niŝ w NKB. Do praktycznych algorytmów mnoŝenia liczb w kodzie U naleŝą: algorytm Bootha algorytm Robertsona algorytm powielonego znaku Algorytm powielonego znaku: przed wykonaniem mnoŝenia naleŝy rozszerzyć znakowo obie mnoŝone liczby tak, aby ich liczba bitów wzrosła dwukrotnie (bit znaku jest powielany), np. 5 5 = 0.0 =.0 (U) (U) 5 5 = =. 0 (U) (U) jeśli liczby mają róŝna długość do przyjmuje się podwójną długość dłuŝszej z nich po wykonaniu rozszerzenia znakowego liczby są mnoŝone standardowo otrzymywany wynik powinien być liczbą o długości równej sumie długości mnoŝonych liczb - bity wykraczające poza tę długość są ignorowane
8 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 8/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - mnoŝenie Przykład: ( 0) 3 = 6 0 (U) rozszerzenie znakowe 0 (U) 3 00 (U) rozszerzenie znakowe (U) ignorujemy
9 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 9/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - mnoŝenie Przykład: 5 ( 0) 9 = (U) 000 (U) rozszerzenie znakowe rozszerzenie znakowe (U) (U)
10 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 0/63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dzielenie Najprostsza metoda dzielenia w U składa się z następujących kroków: zapamiętanie znaków dzielonych liczb zamiana liczb ujemnych na dodatnie wykonanie dzielenia dla liczb naturalnych zmiana znaku wyniku, jeśli znak dzielnej i dzielnika róŝnią się Podczas dzielenia znaki wyniku i reszty przyjmują wartości przedstawione w tabeli
11 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 /63 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dzielenie Przykład: 6 ( 0) : ( 3) = 6 00 (U) 3 0 (U) liczba dodatnia 3 00 (U) :
12 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 /63 Reprezentacja liczb ze znakiem - porównanie kodów Porównanie interpretacji wartości słów kodu binarnego w róŝnych systemach zapisu liczb ze znakiem
13 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 3/63 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Zapis bardzo duŝych lub bardzo małych liczb w normalnej notacji pozycyjnej jest niewygodny gdyŝ wymaga duŝej ilości cyfr, np. dwanaście bilionów: trzydzieści trylionów: jedna bilionowa: 0, Znacznie prostsze jest przedstawienie powyŝszych liczb w postaci zmiennoprzecinkowej (ang. floating point numbers) =, = 3,00 9 0, =,00 - PowyŜszy zapis nazywamy takŝe zapisem w postaci wykładniczej lub teŝ notacją naukową
14 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 4/63 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Zapis liczby zmiennoprzecinkowej ma postać: gdzie: = M B - wartość liczby M - mantysa B - podstawa systemu - wykładnik, cecha Przykład: 3,43 0 =, = 430
15 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 5/63 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Przykład:,0 0 M =,0 B = 0 () = 0 0 () (),0 0 () 0 () =? = 0 0 = 0 = =,375 5 = =,375 3 = 44 3 = + 4 = 5 = + 0,5 + 0,5 =,375 3, 0 B = 0 = 3 (4) (4) 3, 0 3 (4) M = 3, (4) = (4) =? 0 = 4 0 = = 4 = 3, = + = = = 3,39065
16 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 6/63 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej PołoŜenie przecinka w mantysie nie jest ustalone i moŝe się zmieniać PoniŜsze zapisy oznaczają tę samą liczbę 430 = 4,30 =,430 3 = 0,430 4 Dla ujednolicenia zapisu i usunięcia wielokrotnych reprezentacji tej samej liczby, przyjęto tzw. postać znormalizowaną zapisu liczby, w której mantysa spełnia nierówność: B > M Przykład:, to jest postać znormalizowana, gdyŝ: 0 >,43 0, to nie jest postać znormalizowana 4,30 - to nie jest postać znormalizowana
17 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 7/63 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Jak zapisać liczbę w postaci zmiennoprzecinkowej? Przykład: 53,69 zapisujemy mantysę przy wykładniku równym zero 53, normalizujemy mantysę modyfikując wykładnik liczby, dodatkowo moŝe nastąpić obcięcie (ang. truncate) albo zaokrąglenie (ang. round) mantysy do zadanej ilości cyfr, np., obcięcie: - zaokrąglenie:,53 0 3
18 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 8/63 Arytmetyka zmiennoprzecinkowa W arytmetyce zmiennoprzecinkowej kolejność wykonywania operacji ma wpływ na końcowy wynik arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna (x + y) + z x + (y + z) (x y) z x (y z) arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest rozdzielna x (y + z) (x y) + (x z)
19 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 9/63 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Dodawanie i odejmowanie: dodawanie i odejmowanie liczb zmiennoprzecinkowych wymaga sprowadzenia ich do wspólnego wykładnika (jest to tzw. wyrównanie wykładników liczb zmiennoprzecinkowych lub denormalizacja) denormalizacja dotyczy liczby o mniejszym wykładniku tak, aby sprowadzić obie liczby do wspólnego większego wykładnika załóŝmy, Ŝe mamy dwie liczby zmiennoprzecinkowe: = M B = M B jeśli wykładniki obu liczb są sobie równe ( = = ), to normalizacji nie trzeba przeprowadzać mantysa sumy (róŝnicy) liczb jest sumą (róŝnicą) mantys liczb, zaś wykładnik sumy (róŝnicy) jest równy wykładnikowi dodawanych (odejmowanych) liczb: ± = M B ± M B = (M ± M ) B
20 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 0/63 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Dodawanie i odejmowanie: jeśli wykładnik pierwszej liczby jest większy od wykładnika drugiej liczby ( > ), to sumę (róŝnicę) liczb wyznaczamy ze wzoru: jeśli wykładnik drugiej liczby jest większy od wykładnika pierwszej liczby ( > ), to sumę (róŝnicę) liczb wyznaczamy ze wzoru: B ) B M (M B B B M B M B M B M ± = ± ± = ± ± = ± B ) M B (M B M B B B M B M B M ± = ± ± = ± ± = ±
21 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 /63 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - dodawanie: obliczamy sumę dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: poniewaŝ <, to stosujemy wzór: = M = M B B =,5 0 =,5 0 3 obliczenia: + = (M B + M ) B =,5 0 = (,5 0 = (,5 0 +,5 0 3 = (0,05 +,5) 0 3 +,5) 0 +,5) =, otrzymany wynik jest w postaci znormalizowanej
22 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 /63 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - odejmowanie: obliczamy róŝnicę dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: poniewaŝ >, to stosujemy wzór: = M = M B B = 3,5 0 3 =,5 0 obliczenia: = (M M B ) B = 3,5 0 = (3,5,5 0 = (3,5,5 0 3,5 0 3 = (3,5 0,05) 0 ) 0 ) = 3, otrzymany wynik jest w postaci znormalizowanej
23 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 3/63 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych MnoŜenie: iloczyn liczb i ma postać: + = (M M) B mantysa iloczynu jest iloczynem mantys, zaś wykładnik iloczynu jest sumą wykładników po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana Dzielenie: iloraz liczb i ma postać: / = (M / M ) B mantysa ilorazu jest ilorazem mantys, zaś wykładnik ilorazu jest róŝnicą wykładników po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana
24 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 4/63 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - mnoŝenie: obliczamy iloczyn dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: obliczenia: 3 = M B =,6 0, = M B =, = M M B =,6,3 0 = 3,68 0 otrzymany wynik jest w postaci znormalizowanej Przykład - dzielenie: obliczamy iloraz dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: obliczenia: 3 = M B =,6 0, = M B =, / = (M / M ) B =,6 /,3 0 = 0, normalizacja wyniku: 4 3 / = 0, = 6,9565 0
25 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 5/63 Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym W praktycznych realizacjach zapisu liczb zmiennoprzecinkowych przyjmuje się ograniczony zakres na mantysę i cechę Z powyŝszego powodu liczba w zapisie zmiennoprzecinkowym jest określona z pewną dokładnością i moŝe występować tylko w określonym zakresie Zakodowana liczba zmiennoprzecinkowa ma postać: 3 S MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM znak wykładnik mantysa
26 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 6/63 Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym 3 S MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM znak wykładnik mantysa Wartość liczby obliczana jest ze wzoru: = ( ) M S B gdzie: - wartość liczby S - znak liczby (ang. sign), przyjmuje wartość 0 lub M - znormalizowana mantysa (ang. mantissa), liczba ułamkowa B - podstawa systemu liczbowego (ang. base) - wykładnik (ang. exponent), cecha, liczba całkowita W systemie binarnym podstawa systemu jest stała: B = = ( ) M S
27 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 7/63 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych ZałóŜmy, Ŝe liczba składa się z: m - cyfr przeznaczonych na mantysę n+ - cyfr przeznaczonych na wykładnik (n - cyfr wartości i cyfry znaku) - cyfry znaku całej liczby Wartości minimalne i maksymalne: wykładnik: min = B n + max = B n mantysa: M min = M max = B B (m )
28 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 8/63 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych W takim przypadku najmniejsza i największa wartość moŝliwa do zapisania w tej reprezentacji wynoszą: x x min max = M = M min max B B min max = B min = (B B (m ) ) B max Natomiast zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym zapisie: x max, x min { 0 } x min, x max Zero jest wartością specjalną, która nie jest bezpośrednio reprezentowana w tym zapisie Zazwyczaj istnieją takŝe inne wartości specjalne, które są reprezentowane w inny sposób, np. +, -
29 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 9/63 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Nie wszystkie liczby rzeczywiste moŝna przedstawić za pomocą zapisu zmiennoprzecinkowego x min - najmniejsza wartość moŝliwa do zapisania w danej reprezentacji x max - największa wartość moŝliwa do zapisania w danej reprezentacji Niedomiar występuje, gdy wielkość ułamkowa jest zbyt mała - zazwyczaj jest wtedy aproksymowana przez zero Jeśli wynik operacji zmiennoprzecinkowej jest większy od x max lub mniejszy od -x max to zaistniałą sytuację nazywamy błędem nadmiaru
30 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 30/63 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych iczby reprezentowane w notacji zmiennoprzecinkowej nie są rozmieszczone równomiernie na osi liczb jak liczby stałopozycyjne MoŜliwe wartości są rozłoŝone gęściej na początku osi, a rzadziej w miarę oddalania się od początku Wiele wyników obliczeń musi być zatem zaokrąglana do najbliŝszych wartości moŝliwych do reprezentowania
31 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 3/63 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - liczba 3-bitowa: min = B n + = 7 + = 7 max = B n = 7 = 7 x min = B min = 7 = 5, x max = (B B (m ) ) B max = ( (3 ) ) 7 = 8 05 = 3, { 0 } 5,88 0, 3, ,4 0, 5,88 0
32 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 3/63 iczby zmiennoprzecinkowe - przesunięcie wykładnika W celu uniknięcia konieczności kodowania znaku wykładnika jest on zapisywany jako wartość przesunięta o pewną stałą (ang. biased exponent) - zapis wykładnika z nadmiarem, z przesuniętym wykładnikiem Właściwą wartość wykładnika otrzymuje się poprzez odjęcie od zakodowanego wykładnika wartości przesunięcia (ang. bias) Wartość liczby zmiennoprzecinkowej oblicza się zatem ze wzoru: gdzie: = ( ) S M BIAS - wartość liczby S - znak liczby M - mantysa - wykładnik BIAS - przesunięcie (nadmiar) Typowe wartości przesunięcia wynoszą: dla formatu 3-bitowego: 7 - = 7 = 7F (6) dla formatu 64-bitowego: 0 - = 03 = 3FF (6) dla formatu 80-bitowego: 4 - = 6383 = 3FFF (6)
33 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 33/63 Standard I 754 W celu ujednolicenia operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych na róŝnych platformach sprzętowych opracowano standard I 754 Pełna nazwa standardu to: I Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/I Std ) najnowsza wersja standardu: I Standard for Floating-Point Arithmetic I standard niezaleŝny od bazy, obejmuje arytmetykę dwójkową i dziesiętną, nie precyzuje dokładnie przyporządkowania poszczególnych bitów ani sposobu kodowania liczb zmiennoprzecinkowych Obecnie praktycznie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych oparte są o ten standard Standard I 754 wymaga, aby liczba była przechowywana na trzech polach bitowych: znaku (S), mantysy (M) i przesuniętego wykładnika () W takim przypadku wartość liczby wyznaczana jest ze znanego wzoru: = ( ) S M BIAS
34 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 34/63 Standard I 754 Standard I 754 definiuje następujące klasy liczb zmiennoprzecinkowych: Precyzja Długość słowa [bity] Znak [bity] Długość [bity] Wykładnik Zakres Długość [bity] Mantysa Cyfry znaczące Pojedyncza (ang. single) 3 8 ±7 0 ± Pojedyncza rozszerzona (ang. single extended) 43 ±03 0 ± Podwójna (ang. double) 64 ±03 0 ± Podwójna rozszerzona (ang. double extended) 79 5 ± ± źródło: Gryś S.: Arytmetyka komputerów w praktyce. PWN, Warszawa, 007 (str. 6).
35 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 35/63 Standard I 754 W przypadku liczb: pojedynczej rozszerzonej precyzji (ang. single extended precision) podwójnej rozszerzonej precyzji (ang. double extended precision) standard podaje jedynie minimalną liczbę bitów pozostawiając szczegóły implementacji producentom procesorów i kompilatorów Bardzo popularny jest 80-bitowy format podwójnej rozszerzonej precyzji wprowadzony przez firmę Intel W 80-bitowym formacie Intela: długość słowa: 80 bitów znak: bit wykładnik: 5 bitów (zakres: ± ±493 ) mantysa: 63+ bit (cyfry znaczące: 9)
36 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 36/63 Standard I precyzja liczb iczba bitów wykładnika decyduje o zakresie liczb, które moŝna wyraŝać w danym formacie, natomiast liczba bitów mantysy decyduje o precyzji liczb Jako precyzję naleŝy rozumieć liczbę zapamiętywanych cyfr znaczących w systemie dziesiętnym: w systemie o podstawie p uŝywając n cyfr moŝna wyrazić p n róŝnych wartości w celu określenia liczby bitów potrzebnych do zakodowania cyfry dziesiętnej wystarczy rozwiązać równanie: n 0 = n = log do wyznaczenia liczby cyfr dziesiętnych (d), które moŝna zakodować na m bitach stosujemy prostą proporcję: cyfra dziesiętna - log bitów d cyfr dziesiętnych - m bitów stąd: d = log m
37 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 37/63 Standard I precyzja liczb Dla formatu pojedynczej precyzji: mantysa: 3 + = 4 bity cyfry znaczące: 7 d = 4 log = 4 3,398 = 7,47 7 Dla formatu podwójnej precyzji: mantysa: 5 + = 53 bity cyfry znaczące: 6 d = 53 log = 53 3,398 = 5, Dla formatu podwójnej rozszerzonej precyzji: mantysa: 63 + = 64 bity cyfry znaczące: 9 d = 64 log = 64 3,398 = 9,659 9
38 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 38/63 Standard I precyzja liczb #include <stdio.h> #include <conio.h> int main() { float x; double y; float -> double -> double -> x = ; /* */ y = ; /* */ printf("float -> %f\n",x); printf("double -> %f\n\n",y); y = ; printf("double -> %f\n",y); } getch(); return 0;
39 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 39/63 Standard I 754 Standard I 754 definiuje takŝe trzy formaty stałoprzecinkowe dwójkowe i jeden stałoprzecinkowy format dziesiętny BCD: 6-bitowy format całkowity (ang. short integer) 3-bitowy format całkowity (ang. integer) 64-bitowy format całkowity (ang. extended integer) 80-bitowy format dziesiętny BCD (kodowanie 8-cyfrowej liczby całkowitej dziesiętnej oraz znaku na najbardziej znaczącej pozycji) Standard I 754 definiuje nie tylko sposób reprezentacji liczb, ale takŝe: sposób reprezentacji specjalnych wartości, np. nieskończoności, zera sposób wykonywania działań na liczbach zmiennoprzecinkowych sposób zaokrąglania liczb
40 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 40/63 Standard I liczby 3-bitowe iczba pojedynczej precyzji przechowywana jest na 3 bitach: Pierwszy bit w zapisie (bit nr 3) jest bitem znaku (0 - liczba dodatnia, - liczba ujemna) Wykładnik zapisywany jest na 8 bitach (bity nr 30-3) z nadmiarem (przesunięciem wykładnika) o wartości 7 Wykładnik moŝe przyjmować wartości od -7 (wszystkie bity wyzerowane) do 8 (wszystkie bity ustawione na )
41 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 4/63 Standard I liczby 3-bitowe iczba pojedynczej precyzji przechowywana jest na 3 bitach: Mantysa zapisywana jest na 3 bitach w stałoprzecinkowym kodzie U W większości przypadków mantysa jest znormalizowana Wartość mantysy zawiera się pomiędzy a, a zatem w zapisie liczby pierwszy bit jest zawsze równy PowyŜszy bit nie jest zapamiętywany, natomiast jest automatycznie uwzględniany podczas wykonywania obliczeń (bit ukryty, hidden bit) Dzięki pominięciu tego bitu zyskujemy dodatkowy bit mantysy (zamiast 3 bitów mamy 4 bity)
42 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 4/63 Standard I liczby 3-bitowe Przykład: obliczmy wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej ( =? dzielimy liczbę na części I754) 0{ S bit znaku wykladnik M mantysa (tylko czesc ulamkowa) określamy znak liczby S = 0 liczba dodatnia obliczamy wykładnik pamiętając, Ŝe w reprezentacji 3-bitowej nadmiar wynosi 7 = = ( ) = = 33 7 { 6 nadmiar
43 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 43/63 Standard I liczby 3-bitowe Przykład (cd.): wyznaczamy mantysę dopisując na początku 0 (0 - znak liczby w kodzie U, - część całkowita) i stawiając przecinek M = 0, = (U) = = + 0,5 + 0,065 =,565 wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru: = ( ) S M podstawiając otrzymujemy: S = 0, = 6 = 0 6 = ( ),565 = ( 0), M, ( = 00 I754)
44 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 44/63 Standard I liczby 3-bitowe Przykład: obliczmy wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej ( =? dzielimy liczbę na części I754) { S bit znaku wykladnik M mantysa (tylko czesc ulamkowa) określamy znak liczby S = liczba ujemna obliczamy wykładnik pamiętając, Ŝe w reprezentacji 3-bitowej nadmiar wynosi 7 = 0000 = ( ) = = 35 7 { 8 nadmiar
45 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 45/63 Standard I liczby 3-bitowe Przykład (cd.): wyznaczamy mantysę dopisując na początku 0 (0 - znak liczby w kodzie U, - część całkowita) i stawiając przecinek M = 0, = (U) = = + 0,5 + 0,5 + 0,065 =,85 wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru: = ( ) S M podstawiając otrzymujemy: S = 0, = 8 = = ( ),85 ( 0), M, 85 8 = ( = 464 I754)
46 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 46/63 Standard I liczby 64-bitowe iczba podwójnej precyzji przechowywana jest na 64 bitach: Pierwszy bit w zapisie (bit nr 63) jest bitem znaku (0 - liczba dodatnia, - liczba ujemna) Wykładnik zapisywany jest na bitach (bity nr 6-5) z nadmiarem (przesunięciem wykładnika) o wartości 04 Wykładnik moŝe przyjmować wartości od -03 (wszystkie bity wyzerowane) do 04 (wszystkie bity ustawione na ) Mantysa zapisywana jest na 5 bitach w stałoprzecinkowym kodzie U Podobnie jak w liczbie pojedynczej precyzji, pierwszy bit mantysy, zawsze równy, nie jest zapamiętywany
47 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 47/63 Standard I zakres liczb Pojedyncza precyzja: największa wartość: 3, najmniejsza wartość:, zakres liczb: <-3, , > {0} <, , > Podwójna precyzja: największa wartość:, najmniejsza wartość: 4, zakres liczb: <-, , > {0} <4, , > Podwójna rozszerzona precyzja: największa wartość:, najmniejsza wartość: 3, zakres liczb: <-, , > {0} <3, , >
48 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 48/63 Standard I wartości specjalne Oprócz zwykłych liczb w standardzie I 754 zdefiniowano kilka wartości specjalnych: zero nieskończoność liczba zdenormalizowana nieliczby Kodowanie wartości specjalnych jest moŝliwe dzięki zastosowaniu przesunięcia wykładnika Pozwala to wyłączyć wartości graniczne (np. 00h i FFh) i zarezerwować je do kodowania wartości specjalnych Zapis z przesunięciem wykładnika jest monotoniczny (czego nie ma w kodach Z-M i U), np. NKB z przesunięciem: - 7h 0 7Fh + 80h Z-M: - 8h 0 00h/80h + 0h U: - FFh 0 00h + 0h
49 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 49/63 Standard I wartości specjalne Zero bit znaku moŝe przyjmować dowolną wartość, a zatem moŝna otrzymać zero dodatnie lub zero ujemne - zero dodatnie - zero ujemne wszystkie bity wykładnika i mantysy są równe zeru przy porównaniach zero dodatnie i ujemne są traktowane jako równe sobie
50 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 50/63 Standard I wartości specjalne Nieskończoność bit znaku określa czy mamy nieskończoność dodatnią czy ujemną - nieskończoność dodatnia - nieskończoność ujemna wszystkie bity wykładnika są równe jeden, zaś wszystkie bity mantysy - zero nieskończoność występuje w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia) oraz przy dzieleniu przez zero (w tym równieŝ: /0 = )
51 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 5/63 Standard I wartości specjalne iczba zdenormalizowana x x x x x x... x x x x x x znak wykładnik mantysa x x x x x x... x x x x x x znak wykładnik mantysa bit znaku moŝe być równy zero lub jeden, wszystkie bity wykładnika są równe zeru, zaś bity mantysy przyjmują dowolne wartości pojawia się, gdy występuje niedomiar (ang. underflow), ale wynik operacji moŝna jeszcze zapisać denormalizując mantysę w takim przypadku mantysa nie posiada domyślnej części całkowitej równej, tzn. reprezentuje liczbę o postaci 0,xxx xxx, a nie,xxx xxx
52 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 5/63 Standard I wartości specjalne Nieliczby w standardzie I 754 zdefiniowane są dwie specjalne wartości, które nie reprezentują wartości liczbowej wartości te nazywane są NaN (ang. Not A Number - nie liczba) powstają zazwyczaj w wyniku niedozwolonej operacji, np. (obliczanie pierwiastka z liczby ujemnej, dzielenie zera przez zero) wyróŝnia się dwa rodzaje nieliczb: QNaN i SNaN QNaN (ang. Quiet NaN) - ciche nieliczby x... x x x x x... x x x x x x znak wykładnik mantysa ciche nieliczby przechodzą przez działania arytmetyczne, tzn. ich wystąpienie nie powoduje wyjątku (przerwania wykonywania programu) najczęściej oznaczają wartość niezdefiniowaną
53 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 53/63 Standard I wartości specjalne Nieliczby (cd.) SNaN (ang. Signaling NaN) - sygnalizujące, istotne, głośne nieliczby x... 0 x x x x x... x x x x x x znak wykładnik mantysa powodują powstanie wyjątków w operacjach arytmetycznych i przerwanie obliczeń najczęściej oznaczają wartość niedozwoloną
54 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 54/63 Standard I operacje z wartościami specjalnymi Standard I 754 definiuje dokładnie wyniki operacji, w których występują specjalne argumenty
55 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 55/63 Język C - operacje z wartościami specjalnymi #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int main() { printf(".0/0.0 = %f\n",.0/0.0); printf("-.0/0.0 = %f\n",-.0/0.0); printf("0.0/0.0 = %f\n",0.0/0.0); printf("sqrt(-.0) = %f\n",sqrt(-.0)); printf(".0/inf = %f\n",.0/(.0/0.0)); printf("0*inf = %f\n",0.0*(.0/0.0));.0/0.0 =.#INF00 -.0/0.0 = -.#INF00 0.0/0.0 = -.#IND00 sqrt(-.0) = -.#IND00.0/INF = *INF = -.#IND00 } system("pause"); return 0;
56 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 56/63 Standard I sytuacje wyjątkowe Standard I 754 definiuje pięć typów sytuacji wyjątkowych, które powinny być wykryte i sygnalizowane: niepoprawna operacja (invalid operation) - operacja, której argumentem jest SNaN - dodawanie lub odejmowanie typu (+ ) + (- ) - mnoŝenie lub dzielenie: 0, 0/0, / - reszta z dzielenia x/y, gdy x = lub y = 0 - pierwiastek kwadratowy z x, gdy x < 0 dzielenie przez zero (division by zero) nadmiar (overflow) niedomiar (underflow) niedokładność (inexact) - wynik operacji nie moŝe być precyzyjnie wyraŝony w przyjętym formacie docelowym bez utraty dokładności
57 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 57/63 Język C - reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych Typy zmiennoprzecinkowe w języku C: Nazwa typu Rozmiar (bajty) Zakres wartości Cyfry znaczące float 4 bajty -3, , double 8 bajtów -, , long double bajtów PowyŜsze rozmiary podane zostały dla kompilatora Dev-C++ Typ long double moŝe mieć takŝe inny rozmiar: Kompilator MS Visual C++6.0 Borland C++ 3. Borland C++ Builder 6 Dev-C++ Rozmiar (bajty) 8 bajtów 0 bajtów 0 bajtów bajtów
58 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 58/63 Koniec wykładu nr 4 Dziękuj kuję za uwagę!
59 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 59/63 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Biernat J.: Architektura komputerów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 005. Rozdz Reprezentacja liczb rzeczywistych - typy ciągłe (str ) Rozdz Standard zmiennoprzecinkowy I 754 (str ) Rozdz Arytmetyka zmiennoprzecinkowa (str ) Biernat J.: Metody i układy arytmetyki komputerowej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 00. Rozdz..6. Reprezentacje zmiennoprzecinkowe (str ) Rozdz Działania zmiennoprzecinkowe (str. 57-6) Dodatek D. Standardy zmiennoprzecinkowe I 754/854 (str. 55-6) Gryś S.: Arytmetyka komputerów w praktyce. PWN, Warszawa, 007. Rozdz. 3.. Działania na liczbach ze znakiem (str. 9-) Rozdz. 4.. Zalecenia normy I 754 (str. 5-3) Rozdz. 5. Działania arytmetyczne na liczbach zmiennopozycyjnych (str. 7-44) Kalisz J.: Podstawy elektroniki cyfrowej. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 00. Rozdz...7. Zmiennoprzecinkowa reprezentacja liczb (str ) Rozdz. 3.. Działania arytmetyczne na liczbach dwójkowych ze znakiem (str ) Rozdz Działania arytmetyczne na liczbach zmiennoprzecinkowych (str ) Kincaid D., Cheney W.: Analiza numeryczna. WNT, Warszawa, 006. Rozdz... Arytmetyka zmiennopozycyjna (str )
60 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 60/63 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Ogrodzki J.: Wstęp do systemów komputerowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 005. Rozdz Dodawanie w kodzie U (str. 5-53) Rozdz Zmiana znaku liczby na przeciwny w kodzie U (str ) Rozdz Odejmowanie w kodzie U (str ) Rozdz MnoŜenie w kodzie U (str ) Pochopień B., Stańczyk U.: Arytmetyka systemów cyfrowych w zadaniach. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 006. Rozdz. 3. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa (str. 8-87) Pochopień B.: Arytmetyka systemów cyfrowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 000. Rozdz..3. Format zmiennoprzecinkowy (str ) Rozdz. 5. Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych (str. 7-5) Stallings W.: Organizacja i architektura systemu komputerowego. Projektowanie systemu a jego wydajność. WNT, Warszawa, 004. Rozdz Reprezentacja zmiennopozycyjna (str ) Rozdz Arytmetyka zmiennopozycyjna (str )
61 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 6/63 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Tanenbaum A.: Strukturalna organizacja systemów komputerowych. Helion, Gliwice, 006. Dodatek A.4. Ujemne liczby dwójkowe (str ) Dodatek B.. Zasady arytmetyki zmiennopozycyjnej (str ) Dodatek B.. Standard arytmetyki zmiennopozycyjnej I-754 (str ) Wojtuszkiewicz K.: Urządzenia techniki komputerowej. Część. Jak działa komputer?. PWN, Warszawa, 007. Rozdz.... Zapis liczb ze znakiem (str. 49-5)
62 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 6/63 Źródła a (Internet): - Kod U - Binarne kodowanie liczb. Kodowanie liczb ze znakiem, J. Wałaszek, I O w Tarnowie - iczba zmiennoprzecinkowa - Binarne kodowanie liczb. Zapis zmiennoprzecinkowy, J. Wałaszek, I O w Tarnowie - Metody numeryczne. MN03 - Arytmetyka zmiennoprzecinkowa - standard I Binarne kodowanie liczb. Standard I 754, J. Wałaszek, I O w Tarnowie
63 Informatyka, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009, Wykład nr 4 63/63 Źródła a (Internet): - Signed numer represantions - Two s complement - Floating point - I Standard for Floating- Point Arithmetic - I 754 (008) - I 754 (985) - Significant digits - What very Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, David Goldberg, published in the March, 99 issue of Computing Surveys
Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc
Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia (zaoczne) Rok akademicki 2007/2008 Wykład nr 5 (3.04.2008) Rok akademicki 2007/2008,
Bardziej szczegółowoReprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Plan wykładu nr 4. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Reprezentacja liczb całkowitych. Standard IEEE 754. dr inż. Jarosław Forenc
Rok akademicki 18/19, Wykład nr 4 /63 Plan wykładu nr 4 Informatyka 1 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 18/19 Wykład
Bardziej szczegółowoKod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoKod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Bardziej szczegółowodr inż. Jarosław Forenc
Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 2014/2015 Pracownia nr 2 (08.10.2014) dr inż. Jarosław Forenc Rok akademicki
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowoJednostki informacji - bit. Kodowanie znaków: ASCII, ISO 8859, Unicode liczb: NKB (BCN), U2, BCD. Liczby zmiennoprzecinkowe standard IEEE 754
Rok akademicki 06/07, Pracownia nr /33 Pracownia nr Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 06/07 Jednostki informacji
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoArytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa
Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Reprezentacja liczb
Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Reprezentacja liczb Reprezentacja stałopozycyjna
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoDodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze
Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze [materiał ze strony: http://sigma.wsb-nlu.edu.pl/~szyszkin/] Wszelkie dane zapamiętywane przetwarzane przez komputery muszą być odpowiednio zakodowane.
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoKodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Bardziej szczegółowoPrefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoMikroinformatyka. Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387
Mikroinformatyka Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387 Koprocesor arytmetyczny 100 razy szybsze obliczenia numeryczne na liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia prowadzone równolegle z procesorem
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Bardziej szczegółowoStan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Bardziej szczegółowoArytmetyka stałopozycyjna
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoZwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Bardziej szczegółowoOchrona danych osobowych. Pozycyjne systemy liczbowe. Jednostki informacji. Kodowanie znaków ASCII, ISO 8859, Unicode. Kodowanie liczb NKB, U2, BCD
Rok akademicki /, Pracownia nr / Pracownia nr Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki / Pracownia nr (8/..) dr inż.
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
Bardziej szczegółowoTemat 4. Kodowanie liczb
Temat 4. Kodowanie liczb Spis treści do tematu 4 4.1. Kodowanie liczb stałopozycyjnych 4.1.1. Naturalny kod binarny NKB 4.1.2. Kod dwójkowo-dziesiętny BCD 4.1.3. Kod Graya 4.1.4. Kod znak-moduł 4.1.5.
Bardziej szczegółowo4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Zmiennoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA. Zajęcia organizacyjne. Arytmetyka komputerowa.
INFORMATYKA Zajęcia organizacyjne Arytmetyka komputerowa http://www.infoceram.agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~grzesik/ KONSULTACJE Zbigniew Grzesik środa, 9 ; A-3, p. 2 tel.: 67-249 e-mail: grzesik@agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoReprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1
Reprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1 Bity i kody binarne Bit (binary digit) najmniejsza ilość informacji {0, 1}, wysokie/niskie napięcie
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad IV
Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.
Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoarchitektura komputerów w. 2
architektura komputerów w. 2 Wiadomości i kody Wiadomości (Informacje) dyskretne ciągłe Kod - zbiór ciągów kodowych oraz reguła przyporządkowania ich wiadomościom. Ciąg kodowy - sygnał mający postać ciągu
Bardziej szczegółowodr inż. Jarosław Forenc
Informatyka 1 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 2018/2019 Wykład nr 7 (12.04.2019) Rok akademicki 2018/2019, Wykład
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych. Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące
Architektura systemów komputerowych Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące Cezary Bolek Katedra Informatyki Plan wykładu Układy mnoŝące liczby całkowite MnoŜenie liczb bez znaku MnoŜarka
Bardziej szczegółowoDokładność obliczeń numerycznych
Dokładność obliczeń numerycznych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 MOTYWACJA Komputer czasami produkuje nieoczekiwane wyniki >> 10*(1-0.9)-1 # powinno być 0 ans = -2.2204e-016 >>
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoJęzyki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych
Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Architektura systemów komputerowych. MnoŜenie realizacja sprzętowa (wersja 1) Układy mnoŝące liczby całkowite.
Plan wykładu rchitektura systemów komputerowych Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące Cezary Bolek Katedra Informatyki Układy mnoŝące liczby całkowite MnoŜenie liczb bez znaku MnoŜarka sekwencyjna
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA KOMPUTERA
006 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ ARYTMETYKA KOMPUTERA Systemy liczbowe o róŝnych podstawach 1 UTK System dziesiętny Cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Liczba 764.5 oznacza 7 * 10 2 + 6 * 10 1 + 4
Bardziej szczegółowoArytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa. 1. Informacje wstępne
Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa 1. Informacje wstępne Każdą informację można przedstawid w komputerze za pomocą łaocucha elemantarnych jednostek, zwanych bitami. W przypadku, gdy chcielibyśmy wyrazid
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.
Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki. Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery
Wstęp do Informatyki Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery Pozycyjne systemy liczbowe Dziesiętny system liczbowy (o podstawie 10):
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej
Bardziej szczegółowodr inż. Jarosław Forenc
Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr 4 (.3.9) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /33 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoPułapki liczb zmiennoprzecinkowych. Adam Sawicki asawicki.info
Pułapki liczb zmiennoprzecinkowych Adam Sawicki asawicki.info 24.09.2016 Agenda Liczby zmiennoprzecinkowe Budowa Typy możliwości i ograniczenia Typy w językach programowania Pułapki Zakres Precyzja Nieskooczone
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE 275,538 =
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW 17.11.2010 Liczby zmiennoprzecinkowe Sprawa bardzo podobna jak w systemie dziesiętnym po przecinku mamy kolejno 10-tki do ujemnych potęg, a w systemie binarnym mamy 2-ki w ujemnych
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoSposób reprezentacji informacji w systemie. Reprezentacja informacji. Dzięki kodowaniu informacji.
Sposób reprezentacji informacji w systemie Reprezentacja informacji Jak to się dzieje że w pamięci komputera można przechowywać teksty, obrazy, dźwięki i liczby? Dzięki kodowaniu informacji. Kodowanie
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji
F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =
Bardziej szczegółowoPracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VI
Pracownia komputerowa Dariusz Wardecki, wyk. VI Powtórzenie Ile wynoszą poniższe liczby w systemie dwójkowym/ dziesiętnym? 1001101 =? 77! 63 =? 111111! Arytmetyka w reprezentacji bezznakowej Mnożenie liczb
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowo