Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI"

Transkrypt

1 Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI

2 Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia :30 13:30 sala A, B 2 termin - poniedziałek, 12 lutego :30 11:30 sala A

3 Liczby stałoprzecinkowe 3 Do zapisu przeznaczona jest z góry określona ilość bitów. Pozycję przecinka ustala się arbitralnie, w zależności od wymaganej dokładności. Wartość liczby stałoprzecinkowej jest równa sumie iloczynów jej cyfr przez wagi pozycji tych cyfr. 1 n m i i c i p m n n c c c c c c c c..., m m n n p c p c p c p c p c p c

4 Liczby stałoprzecinkowe 4 213,132 (4) 213,132 (4) = ,132 (4) = / / / ,132 (4) = / / / ,132 (4) = / / / ,132 (4) = / 64

5 Liczby stałoprzecinkowe 5 Zakres liczb o n bitach części całkowitej i m bitach części ułamkowej. C max = 2 n 1 L max = C max + U max U max = m U max = 1 / / 4 = 1-1 / 4 U max = 1 / / / 8 = 1-1 / 8 U max = 1 / / / / 2 -m = 1-1 / 2 -m = (2 m - 1)/2 m 0, 2 n 1 + 2m 1 2 m

6 6 Dokładność reprezentacji stałoprzecinkowej Dla reprezentacji 4-bitowe części ułamkowej 0,0001 (2) = 0,0625 (10) 0,0010 (2) = 0,125 (10) 0,0011 (2) = 0,1875 (10) 0,0100 (2) = 0,25 (10).. 0,0111 (2) = 0,4375 (10) 0,1000 (2) = 0,5 (10) 0,1110 (2) = 0,875 (10) 0,1111 (2) = 0,9375 (10)

7 Liczby stałoprzecinkowe 7 Konwersja z systemu dziesiętnego na system dwójkowy Część ułamkowa : Dopóki nie otrzymamy w wyniku zera lub zakładanej dokładności część ułamkową mnożymy przez 2 część całkowitą wyniku jest kolejna cyfrą zapisu część ułamkowa przechodzi do następnego mnożenia Część całkowita jak w NCB

8 Liczby stałoprzecinkowe 8 Przeliczamy 2,21 (10) na system binarny do 4 miejsc po przecinku. 2,21 (10) = 2 (10) + 0,21 (10) 0,21 x 2 = 0,42 cyfra 0 0,42 x 2 = 0,84 cyfra 0 0,84 x 2 = 1,68 cyfra 1 0,68 x 2 = 1,36 cyfra 1 4 miejsca po przecinku 2,21 (10) 10 (2) + 0,0011 (2) = 2,1875 (10)

9 Liczby stałoprzecinkowe 9 Przeliczamy 1/10 (10) na system binarny do 8 miejsc po przecinku. 1 / 10 x 2 8 = 1 / 10 x 256 = 256 / / 2 = 12 r 1 12 / 2 = 6 r 0 6 / 2 = 3 r 0 3 / 2 = 1 r 1 1 / 2 = 0 r 1 tutaj mnożyliśmy (zaokrąglamy do wartości całkowitej) tutaj dzielimy przesuwamy przecinek w systemie dwójkowym rozwinięcie wartości 1 / 10 1 / 10 =0, (0, (2) )

10 Kodowanie liczb ze znakiem 10 Mamy z góry ustaloną liczbę cyfr używanych do zapisu wartości, np. 8, 16, 24, 32,... Najstarszy bit ma inne znaczenie niż reszta cyfr - pełni funkcję bitu znaku. Bit znaku równy 0 liczba jest dodatnia Bit znaku równy 1 liczba jest ujemna

11 Kod ZNAK-MODUŁ 11 Liczba ZM składa się z dwóch części 1. bitu znaku 2. bitów wartości liczby (modułu) w naturalnym kodzie dwójkowym NBC. c n c c c c 1 n

12 Kod ZNAK-MODUŁ 12 Liczba ZM składa się z dwóch części 1. bitu znaku 2. bitów wartości liczby (modułu) w naturalnym kodzie dwójkowym NBC. bit znakowy c n c c c c 1 n moduł liczby

13 Kod ZNAK-MODUŁ 13 L ZM = (-1) bit znaku moduł liczby b n-1 b n-2...b 2 b 1 b 0 = (-1) b n-1 (b n-2 2 n b b b )

14 Kod ZNAK-MODUŁ 14 Zakres n bitowej liczby w kodzie ZM [-2 n-1 + 1, 2 n-1 1] Liczba przeciwna w kodzie ZM powstaje przez zmianę bitu znakowego

15 15 Kod ZNAK-MODUŁ zamiana liczby dwójkowej na dziesiętną 0101 (z-m) = (-1 0 ) x ( ) 0101 (z-m) = (-1 0 ) x ( ) 0101 (z-m) = 1 ( 1+ 4) 0101 (z-m) = 5 (10) 1101 (z-m) = (-1 1 ) ( ) 1101 (z-m) = (-1 1 ) ( ) 1101 (z-m) = -1 (1 + 4) 1101 (z-m) = -5 (10)

16 16 Kod ZNAK-MODUŁ zamiana liczby dziesiętnej na dwójkową znajdujemy przedstawienie dwójkowe modułu tej wartości, uzupełniamy bity do zadanego formatu i dodajemy bit znaku liczba = bitów 49 / 2 = 24 r 1 24 / 2 = 12 r 0 12 / 2 = 6 r 0 6 / 2 = 3 r 0 3 / 2 = 1 r 1 1 / 2 = 0 r 1 49 (10) = (2) -49 (10) = (2)

17 Kod ZNAK-MODUŁ ZM +( ) ZM ZM ZM ZM ZM

18 Kod ZNAK-MODUŁ 18 Reguły dodawania liczb w kodzie ZM wynik = a (ZM) + b (ZM) znak a (ZM) znak b (ZM) operacja znak wyniku 0 0 dodawanie modułów dodawanie modułów moduł większy - moduł mniejszy znak większego modułu

19 Kod ZNAK-MODUŁ 19 Reguły odejmowania liczb w kodzie ZM wynik = a (ZM) - b (ZM) znak a (ZM) znak b (ZM) operacja znak wyniku dodawanie modułów dodawanie modułów 0 0 odejmowanie modułu mniejszego od 1 1 modułu większego 0 1 Znak a (ZM), jeśli moduł ten jest większy od modułu b (ZM). Inaczej znak

20 20 znak a (ZM) znak operacja znak wyniku b (ZM) Kod ZNAK-MODUŁ dodawanie modułów dodawanie modułów odejmowanie modułu mniejszego od modułu większego 0 1 Znak a (ZM), jeśli moduł ten jest większy od modułu b (ZM). Inaczej znak przeciwny (-3) - (-4) (-3) (-5) (-7)

21 21 Kod ZNAK-MODUŁ Zakres liczb reprezentowanych w n-bitowym kodzie Z-M [-2 n-1 +1, 2 n-1-1] Kod Z-M koncepcyjnie prosty, ale stwarza problemy przy wykonywaniu operacji arytmetycznych Niejednoznaczna wartość 0 - dwa słowa kodowe Bit znakowy ma zupełnie inne znaczenie niż pozostałe bity i nie uczestniczy w operacjach arytmetycznych

22 Kod ZNAK-MODUŁ 22 Stałoprzecinkowe liczby w kodzie ZM moduł liczby ZM to dwójkowa liczba stałoprzecinkowa. 1001,1101 (z-m) 1001,1101 (z-m) 001,1101 (2) = 1 13 / ,1101 (z-m) ) = / 16

23 Kod ZNAK-MODUŁ 23 Stałoprzecinkowe liczby w kodzie ZM moduł liczby ZM to dwójkowa liczba stałoprzecinkowa. -3,75 moduł = 3,75 3,75 (10) = 11,11 (2) Reprezentacja 8-mio bitowa znak + 7 bitów moduł (4 po przecinku) 11,11 = 011,1100-3,75 (10) = 1011,1100 (ZM)

24 24 System uzupełnień System uzupełnień do podstawy wymyślił Blaise Pascal. Aby umożliwić wykonywanie odejmowania, Pascal dodawał liczby uzupełnione do podstawy Uzupełnienie dziesiętne liczby 55 to = 84 + (100-55) -100 = = 29

25 25 Kod uzupełnień do 1 (U1) 1. Wszystkie bity zapisu liczby posiadają swoje wagi. 2. Najstarszy bit jest bitem znaku i ma wagę równą (-2 n-1 +1) 3. Pozostałe bity posiadają wagi takie jak w NBC c n 2 n (U1) 1 2 1) i n cn c c c cn ci 2 i 0 ( (10)

26 26 Kod uzupełnień do 1 (U1) 1. Wszystkie bity zapisu liczby posiadają swoje wagi. 2. Najstarszy bit jest bitem znaku i ma wagę równą (-2 n-1 +1) 3. Pozostałe bity posiadają wagi takie jak w NBC c n 2 n (U1) 1 2 1) i n cn c c c cn ci 2 i 0 ( (10)

27 Kod uzupełnień do 1 (U1) 27 Zakres n bitowej liczby w kodzie U1 [-2 n-1 + 1, 2 n-1 1] Zakres ten jest identyczny z zakresem liczb w kodzie ZM. Liczba przeciwna powstaje w kodzie U1 przez negację wszystkich bitów

28 Przeliczanie liczb dziesiętnych na U1 28 dodatnie znajdujemy reprezentację liczby w NBC i uzupełniamy bitami o wartości 0 do uzyskania zadanej liczby bitów wymaganej przez przyjęty format zapisu U1.

29 Przeliczanie liczb dziesiętnych na U1 29 ujemne obliczamy moduł liczby; moduł przedstawiamy w naturalnym systemie dwójkowym uzupełniając go bitami o wartości 0 do długości przyjętego formatu U1; wszystkie bity zamieniamy na przeciwne (10) 113 (10) = (2) (2) (U1)

30 Przeliczanie liczb dziesiętnych na U1 30 ujemne wyznaczamy wartość (2 n 1) + liczba, gdzie n oznacza liczbę bitów w przyjętym formacie U1. wartość kodujemy w NCB i otrzymujemy kod U1 liczby wyjściowej (10) (8 bitów) (-113) = = (10) = (2) -113 (10) = (U1)

31 Dodawanie liczb w kodzie U1 31 Dodawanie wykonuje się zgodnie z zasadami dodawania dwójkowego. Jeśli występuje przeniesienie poza bit znaku, to do wyniku należy dodać

32 Kod uzupełnień U1 32 Zakres liczb reprezentowanych w n-bitowym kodzie U1 taki sam jak Z-M [-2 n-1 + 1, 2 n-1 1] Operacje arytmetyczne nadal wymagają dodatkowych operacji Niejednoznaczna wartość 0 ma dwa słowa kodowe

33 Kod uzupełnień U1 33 Stałoprzecinkowe dodatnie - stosujemy poznane zasady wyznaczania wartości liczby 0111,1101 (U1) = ,1101 (U1) = / / / ,1101 (U1) = 7 13 / 16

34 Kod uzupełnień U1 34 Stałoprzecinkowe ujemne - wyraz zbudowany z samych jedynek jest zawsze równy , = 0 n m waga bitu znakowgo U1 = -(max części całkowitej + max części ułamkowej )

35 Kod uzupełnień U1 35 Stałoprzecinkowe ujemne - wyraz zbudowany z samych jedynek jest zawsze równy , = 0 n m waga bitu znakowgo U1 = -(max części całkowitej + max części ułamkowej ) max części całkowitej = 2 n-1-1 max części ułamkowej = 2m 1 2 m

36 Kod uzupełnień U , = 0 n m max części całkowitej = 2 n-1 1 max części ułamkowej = 2m 1 2 m waga bitu znakowgo U1 = -(2 n m 1 2 m )

37 Kod uzupełnień U , = 0 n m waga bitu znakowgo U1 = -(2 n m 1 2 m ) 1011,1011 (U1) n = 4; m = 4, waga znakowa -( ) = ,1011 (U1) = ,1011 (U1) =

38 38 Kod uzupełnień U2 1. Wszystkie bity zapisu liczby posiadają swoje wagi. 2. Najstarszy bit jest bitem znaku i ma wagę ujemną równą (-2 n-1 ) 3. Pozostałe bity posiadają wagi takie jak w NBC c n 2 n 1 i n 1cn 2... c2c1c0 cn 1( 2 ) ci 2 i 0

39 Kod uzupełnień U2 39 c n 2 n 1 i n 1cn 2... c2c1c0 cn 1( 2 ) ci 2 i (U2) = = 107 (10 ) (U2) = = = (-21) (10)

40 Kod uzupełnień U2 40 Zakres n bitowej liczby w kodzie U1 [-2 n n-1 1] Zakres ten jest niesymetryczny. Dla reprezentacji 8-bitowej (U2) =2 7 1= (U2) = 2 7 = 128

41 Kod uzupełnień U2 41 Liczba przeciwna zanegowanie wszystkich bitów zapisu liczby U2 dodanie (U2) = 110 (10) NOT (-128) = (-128) + 18 = (-110) (10)

42 Kod uzupełnień U2 42 Liczba przeciwna przejść do pierwszego od prawej strony bitu zapisu liczby; do wyniku przepisać kolejne bity 0, aż do napotkania bitu o wartości 1, który również przepisać; wszystkie pozostałe bity przepisać zmieniając ich wartość na przeciwną.

43 Kod uzupełnień U (U2) Liczba U Liczba przeciwna U2 0 Liczba U Liczba przeciwna U2 10 Liczba U Liczba przeciwna U

44 44 Przeliczanie liczb dziesiętnych na kod U2 dodatnia - znajdujemy jej przedstawienie binarne i uzupełniamy zerami do przyjętego formatu. 3 (10) = 0011 (U2 ) ujemna - bit znaku ma wartość 1. Ponieważ stoi on na pozycji o wadze -2 n-1, a reszta liczby jest dodawana do tej wagi, to musimy znaleźć taką wartość, która dodana do wagi bitu znaku da nam liczbę kodowaną. Wartość tą kodujemy na pozostałych bitach.

45 45 Przeliczanie liczb dziesiętnych ujemnych na U2-3 (10) w 4-bitowym kodzie U2. Bit znaku ma wartość -2 3, czyli -8. Aby otrzymać -3, do -8 musimy dodać liczbę 5 i tą wartość kodujemy na pozostałych bitach: = -3-3 (10) = 1101 (U2) liczba -45 (10) w 8-bitowym kodzie U2. Bit znaku ma wartość -2 7, czyli = 83 = (2) -45 (10) = (U2)

46 46 Przeliczanie liczb dziesiętnych ujemnych na U2 wyznaczamy zapis dwójkowy liczby przeciwnej (czyli dodatniej); otrzymany kod dwójkowy uzupełniamy do rozmiaru formatu U2. wyznaczamy liczbę przeciwną -45 (10) 45 (10) = (2) = (U2) (U2)

47 47 Przeliczanie liczb dziesiętnych ujemnych na U2 do liczby 2 n (n - ilość bitów w formacie U2) dodajemy przetwarzaną liczbę dziesiętną, w wyniku otrzymujemy wartość kodu dwójkowego równoważnego bitowo kodowi U2 przetwarzanej liczby; wynik dodawania zapisujemy w postaci naturalnego kodu dwójkowego (-45) = = 211 = (U2)

48 Kod uzupełnień U2(liczby czterobitowe) Dodawanie: (-3) Niedomiar (-3) +(-2) (-5) Nadmiar

49 49 Kod uzupełnień U2 Uzupełnieniem dwójkowym liczby x zapisanej za pomocą n bitów nazywamy liczbę x U2 =2 n -x x = 0101 x U2 =2 4 -x = =01011 y = 1011 y U2 =2 4 -y = =00101 y U2 = x czyli ( x U2 ) U2=x

50 Kod uzupełnień U2 50 Zakres liczb reprezentowanych w n-bitowym kodzie U2 niesymetryczny [-2 n-1, 2 n-1 1] Operacje arytmetyczne nie wymagają dodatkowych operacji Jednoznaczna wartość 0

51 Kod uzupełnień U1 51 Stałoprzecinkowe dodatnie - stosujemy poznane zasady wyznaczania wartości liczby 0110,1011 (U2) = ,1011 (U2) = / / / ,1011 (U2) = 6 11 / 16

52 Kod uzupełnień U1 52 Stałoprzecinkowe ujemne - stosujemy poznane zasady wyznaczania wartości liczby 1101,0011 (U2) = (-2 3 ) ,0011 (U2) = (-8) / / ,0011 (U2) = -(2 13 / 16 )

53 Notacja nadmiarowa 53 Kolejność 3 bitowych słów kodowych NBC U ZM U

54 Notacja nadmiarowa 54 Wartość binarna słowa kodowego jest równa kodowanej liczbie pomniejszonej o pewną stałą zwaną nadmiarem (ang. excess lub bias) KOD Wartości słów kodowych w systemach z nadmiarem Wartości nadmiaru - bias (-1) (-2) (-3) (-4)

55 Notacja nadmiarowa 55 Wartość dziesiętna liczby zapisanej w dwójkowym kodzie z nadmiarem b n-1 b n-2...b 2 b 1 b 0 (BIAS) = b n-1 2 n-1 + b n-2 2 n b b b bias gdzie b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1 n - liczba bitów w zapisie liczby bias - nadmiar, odchyłka w stosunku do naturalnych wartości słów kodowych (BIAS=63) = (BIAS=63) = (BIAS=63) = (-32) (10)

56 Notacja nadmiarowa Excess 8 Notation: Aby zakodować liczbę dziesiętną należy: 1. dodać do niej wartość 8, 2. zapisać wynik w postaci binarnej, 3. uzupełnić o brakujące początkowe zera.

57 57 Liczby duże i małe Zapisywanie liczb oznaczających bardzo duże lub bardzo małe wartości notacja naukowa. Gwiazda Proxima Centauri znajduje się w odległości [km], 9,4608 x Masa elektronu wynosi me = 0, [g], czyli 9,1095 x [g]

58 58 Zapis zmiennopozycyjny Liczba w tym zapisie składa się z trzech części: liczby stałoprzecinkowej podstawy systemu potęgi zwanej wykładnikiem lub cechą. L = m * p c m mantysa p podstawa systemu c cecha - wykładnik potęgowy

59 59 Zapis zmiennopozycyjny L = m * p c = 32, = 3, = 0, = dokładność liczby wielkość liczby Znormalizowana liczba zmiennoprzecinkowa to taka, w której mantysa spełnia nierówność: p > m 1

60 60 Zapis zmiennopozycyjny L = m * p c Przykład 8-bitowy zapis liczby bit znaku; cecha kodowana z nadmiarem 4 na 3 bitach; mantysa na 4 bitach; liczba dodatnia cecha 110 (BIAS=4) =6-4=2 mantysa czyli 3 1 4

61 61 Zapis zmiennopozycyjny L = m * p c Przykład 8-bitowy zapis liczby liczba ujemna cecha 011 (BIAS=4) =3-4=-1 mantysa czyli 3 8

62 62 Zapis zmiennopozycyjny L = m * p c Przykład cecha powinna mieć wartość 2, (2 + 4 = 6) czyli 110 (BIAS=4)

63 63 Zapis zmiennopozycyjny L = m * p c Przykład 2.625= utracony bit cecha powinna mieć wartość 2, (2 + 4 = 6) czyli 110 (BIAS=4) czyli a nie 2 5 8

64 64 Standard zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 Standard IEEE 754 definiuje dwa rodzaje liczb zmiennoprzecinkowych: 32-bitowe (pojedynczej precyzji - ang. single precision) 64-bitowe (podwójnej precyzji - ang. double precision). Format zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 L = m * p c 32 bity (1 bit) b 31 (8 bitów) b b 23 (BIAS=127) (23 bity)b b 0 (U1) 64 bity (1 bit) b 63 (11 bitów) b b 52 (BIAS=1023) (52 bity)b b 0 (U1) Opis pół bitowych bit znaku bity kodu cechy bity mantysy

65 65 Standard zapisu Zapis cechy w notacji nadmiarowej umożliwia szybkie porównywanie liczb > zmiennoprzecinkowego IEEE 754 Format zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE bity (1 bit) b 31 (8 bitów) b b 23 (BIAS=127) (23 bity)b b 0 (U1) 64 bity (1 bit) b 63 (11 bitów) b b 52 (BIAS=1023) (52 bity)b b 0 (U1) Opis pół bitowych bit znaku bity kodu cechy bity mantysy Wzrost ilości bitów cech liczb zmiennoprzecinkowych wpływa na ich zakres. L = m * p c L = m * p c Wzrost liczby bitów mantys wpływa na ich precyzję, czyli dokładność odwzorowywania liczb rzeczywistych.

66 66 Standard zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 Format zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 Mantysy są zapisywane w stałoprzecinkowym kodzie U1. 32 bity (1 bit) b 31 (8 bitów) b b 23 (BIAS=127) (23 bity)b b 0 (U1) Mantysa jest prawie zawsze znormalizowana (p>m 1 ) - jej wartość liczbowa zawiera się pomiędzy 1 a bity (1 bit) b 63 (11 bitów) b b 52 (BIAS=1023) (52 bity)b b 0 (U1) Opis pół bitowych bit znaku bity kodu cechy bity ułamkowe bity mantysy mantysy Pierwszy bit całkowity mantysy zawsze wynosi 1 => zapamiętujemy tylko bity ułamkowe. Mantysa dłuższa o jeden bit - zwiększamy jej rozdzielczość do 24 bitów dla formatu pojedynczej precyzji i do 53 bitów dla formatu podwójnej precyzji.

67 67 Standard zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 Z kodu wydzielamy poszczególne pola Do odczytanej mantysy dodajemy na początku 01 i przecinek - otrzymujemy dodatnią liczbę stałoprzecinkową w kodzie U1. Obliczamy wartość cechy i mantysy, a następnie wyliczamy wartość liczby wg wzoru: L (IEEE 754) = m * p c = (-1) z *m*2 c (IEEE 754) ) z = 0 - liczba jest dodatnia c = (BIAS=127) = = 6 m = 01, (U1) = 1 9 / 16

68 68 Standard zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 Z kodu wydzielamy poszczególne pola L (IEEE 754) = (-1) z * m * 2 c = (-1) 0 * 1 9 / 16 * 2 6 = 25 / 16 * 2 6 = Do 25 odczytanej * 2 2 = 25 * 4 mantysy = 100 (10) dodajemy na początku 01 i przecinek otrzymujemy dodatnią liczbę stałoprzecinkową (IEEE w 754) kodzie = 100 U1. (10) Obliczamy wartość cechy i mantysy, a następnie wyliczamy wartość liczby wg wzoru: L (IEEE 754) = m * p c = (-1) z *m*2 c (IEEE 754) ) z = 0 - liczba jest dodatnia c = (BIAS=127) = = 6 m = 01, (U1) = 1 9 / 16

69 Zakres w standardzie IEEE Największa cecha i mantysa cecha (BIAS=127) (BIAS=127) wartość zdenormalizowana c = c = 127 mantysa (U1) m = 01, (U1) m = 1+ (2 23-1) / 2 23 = (2 24-1) / 2 23 max (IEEE 754) = m 2 c max (IEEE 754) = (2 24-1) / max (IEEE 754) = (2 24-1) max (IEEE 754) = 3,

70 Zakres w standardzie IEEE W pojedynczej precyzji Z (IEEE 754) = - 3, , W podwójnej precyzji Z (IEEE 754) = - 1, ,

71 Precyzja liczb IEEE Precyzję zapisu liczby zawsze wyznacza ilość dostępnych bitów mantysy. Jedną cyfrę dziesiętną koduje (statystycznie) log 2 (10) bitów mantysy W pojedynczej precyzji - 24 bity mantysy 24 / log 2 (10) = 24 / 3,32 = 7,2 cyfr W podwójnej precyzji - 53 bity mantysy 53 bity / log 2 (10) = 53 bity / 3,32 = 15,96 cyfr

72 Wartości specjalne IEEE Zero ujemne lub dodatnie bit znaku może przyjmować dowolną wartość, wszystkie bity cechy i mantysy są równe zero przy porównaniach zero dodatnie i ujemne są traktowane jako równe sobie Nieskończoności ujemna lub dodatnia wszystkie bity wykładnika (cechy) są równe jeden, zaś wszystkie bity mantysy - zero nieskończoność występuje w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia) oraz przy dzieleniu przez zero

73 73 Wartość zdenormalizowana IEEE 754 pojawia się, gdy występuje niedomiar (ang. underflow), ale wynik operacji można jeszcze zapisać denormalizując mantysę wszystkie bity cechy mają wartość 0 mantysa nie posiada domyślnej części całkowitej - jest liczbą ułamkową (0,xxxxxx). Wartość zdenormalizowana Pojedyncza precyzja m = 00,(pole mantysy) (U1) L = (-1) z *m*2-126 pole znaku pole cechy pole mantysy 0/ bity ułamkowe mantysy Podwójna precyzja m = 00,(pole mantysy) (U1) L = (-1) z *m*2-1022

74 74 Najmniejsza wartość zmiennoprzecinkowa IEEE (IEEE 754) m = 0, (U1) m = 2-23 min (IEEE 754) = 2-23 * = min (IEEE 754) = 1, * min (IEEE 754) = ±1, 4 * 10-45

75 Liczby zmiennoprzecinkowe 75 IEEE 754

76 Kodowanie znaków 76 Dane wprowadzane za pomocą klawiatury, czyli znaki alfabetu, cyfry i znaki takie jak!,?, itd. nazywane są znakami alfanumerycznymi. Proces zamiany znaku wpisanego z klawiatury na jego reprezentację cyfrową nazywamy kodowaniem. Kod ASCII (ang. American Standard Code for Information Interchange) 7-bitowy kod przyporządkowujący liczby z zakresu 0 127: literom alfabetu angielskiego, cyfrom, znakom przestankowym i innym symbolom oraz poleceniom sterującym. litera a jest kodowana jako liczba 97, a znak spacji jest kodowany jako 32.

77 77 Kodowanie znaków

78 Kodowanie znaków 78 liczby z zakresu : służą do zapisu znaków tworzenia tabel lub ramek oraz do zapisu znaków narodowych. Strony kodowe to wersje kodu ASCII różniące się interpretacją symboli od 128 do 255..

79 Kodowanie znaków 79 Tekst zapisany w standardzie ISO Tekst zapisany w standardzie Windows 1250

80 Kodowanie znaków znaków alfanumerycznych nie dawało możliwości zakodowania znaków diakrytycznych wielu języków np.: japońskiego, arabskiego, hebrajskiego itp. kod UNICODE o dłlugości16 bitów dla każdego znaku, a to daje już możliwość zakodowania 216, czyli znaków UNICODE jest jednoznaczny i uniwersalny, jest standardem dla XML, UNICODE mówi jakim znakom odpowiadają kody, a nie jak te znaki mają wyglądać Za sposób wypisywania znaków odpowiada kodowanie UTF-8, UTF-16 i UTF-32.

81 81 Z Windows do Unix...i z powrotem Znaki końca linii to \r (return) oraz \n (new line), które mogą pojawiać się pojedynczo lub razem. W zależności od systemu operacyjnego ich użycie jest inne : CR wykorzystuje tylko \r, carriage return (powrót karetki) (^M) LF wykorzystuje tylko \n, line feed (w wolnym tłumaczeniu: nowa linia) CRLF połączenie obu powyższych, wykorzystuje \r\n (Windows) Plik Unix owy czytany pod Windows ami brak przejścia do nowej linii

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera

Bardziej szczegółowo

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Systemy zapisu liczb.

Systemy zapisu liczb. Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Techniki multimedialne

Techniki multimedialne Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo

Bardziej szczegółowo

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad V

Pracownia Komputerowa wyk ad V Pracownia Komputerowa wyk ad V dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

Naturalny kod binarny (NKB)

Naturalny kod binarny (NKB) SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,

Bardziej szczegółowo

Kodowanie informacji. Kody liczbowe

Kodowanie informacji. Kody liczbowe Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków

Bardziej szczegółowo

Stan wysoki (H) i stan niski (L)

Stan wysoki (H) i stan niski (L) PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo

Bardziej szczegółowo

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad IV

Pracownia Komputerowa wyk ad IV Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1

Bardziej szczegółowo

RODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.

RODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax. RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc

Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia (zaoczne) Rok akademicki 2007/2008 Wykład nr 5 (3.04.2008) Rok akademicki 2007/2008,

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad VII

Pracownia Komputerowa wyk ad VII Pracownia Komputerowa wyk ad VII dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Notacja szesnastkowa - przypomnienie Szesnastkowy

Bardziej szczegółowo

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory

Bardziej szczegółowo

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe 1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Kodowanie informacji. Przygotował: Ryszard Kijanka

Kodowanie informacji. Przygotował: Ryszard Kijanka Kodowanie informacji Przygotował: Ryszard Kijanka Komputer jest urządzeniem służącym do przetwarzania informacji. Informacją są liczby, ale także inne obiekty, takie jak litery, wartości logiczne, obrazy

Bardziej szczegółowo

Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego

Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia

Bardziej szczegółowo

DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY

DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym możemy przedstawić jako następująca

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja znaków i liczb. dr inż. Izabela Szczęch Politechnika Poznańska Podstawy informatyki

Komputerowa reprezentacja znaków i liczb. dr inż. Izabela Szczęch Politechnika Poznańska Podstawy informatyki Komputerowa reprezentacja znaków i liczb dr inż. Izabela Szczęch Politechnika Poznańska Podstawy informatyki Plan wykładu Reprezentacja informacji w systemie komputerowym Podstawowe jednostki informacji

Bardziej szczegółowo

Cyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2

Cyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Cyfrowy zapis informacji 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Bit, Bajt, Słowo 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 3 Cyfrowy zapis informacji Bit [ang. binary digit] jest elementem zbioru dwuelementowego używanym

Bardziej szczegółowo

Cel wykładu. Cel wykładu. Cel wykładu, cd. Cel wykładu, cd. Cel wykładu, cd. Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 1 z 6

Cel wykładu. Cel wykładu. Cel wykładu, cd. Cel wykładu, cd. Cel wykładu, cd. Z. Postawa, Podstawy Informatyki II Strona: 1 z 6 Prof. dr hab. Zbigniew Postawa Zakład Fizyki Nanostruktur i Nanotechnologii pok. 16 (nie 016!) Tel. 5626 e-mail: zbigniew.postawa@uj.edu.pl Sala 057, poniedziałek 16 05 Bez egzaminu C C Cel wykładu Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej

Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej 1. Pozycyjne systemy liczbowe 2. Zasady zapisu liczb w pozycyjnych systemach liczbowych 3. Podstawowe działania na liczbach binarnych 4. Liczby

Bardziej szczegółowo

Wstęp doinformatyki. Systemy liczbowe i arytmetyka komputerów. System dziesiętny. Inne systemy. System dwójkowy

Wstęp doinformatyki. Systemy liczbowe i arytmetyka komputerów. System dziesiętny. Inne systemy. System dwójkowy Wstęp doinformatyki Systemy liczbowe i arytmetyka komputerów Dr inż. Ignacy Pardyka kademia Świętokrzyska Kielce, System dziesiętny Liczba: 5= *+5*+* - każdą z cyfr mnożymy przez tzw. wagę pozycji, która

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia Podstawowe działania na liczbach binarnych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD 2010/2011 Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Dodawanie Odejmowanie Mnoż enie Dzielenie Plan zajęć 2 Izabela Szczęch 1 Dodawanie

Bardziej szczegółowo

- Wszelka informacja przetwarzana przez system komputerowy jest ciągiem zer i jedynek. Niczym więcej.

- Wszelka informacja przetwarzana przez system komputerowy jest ciągiem zer i jedynek. Niczym więcej. Reprezentacja danych Różne sposoby przechowywana danych w komputerze - Wszelka informacja przetwarzana przez system komputerowy jest ciągiem zer i jedynek. Niczym więcej. - Z punktu widzenia systemu KAŻDA

Bardziej szczegółowo

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości

Bardziej szczegółowo

Ochrona danych osobowych. Pozycyjne systemy liczbowe. Jednostki informacji. Kodowanie znaków ASCII, ISO 8859, Unicode. Kodowanie liczb NKB, U2, BCD

Ochrona danych osobowych. Pozycyjne systemy liczbowe. Jednostki informacji. Kodowanie znaków ASCII, ISO 8859, Unicode. Kodowanie liczb NKB, U2, BCD Rok akademicki /, Pracownia nr / Pracownia nr Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki / Pracownia nr (8/..) dr inż.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania

Bardziej szczegółowo

Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki

Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka

Bardziej szczegółowo

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż. Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby

Bardziej szczegółowo

Układy arytmetyczne. Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011

Układy arytmetyczne. Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011 Układy arytmetyczne Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011 Plan prezentacji Metody zapisu liczb ze znakiem Układy arytmetyczne: Układy dodające Półsumator Pełny sumator Półsubtraktor Pełny subtraktor Układy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Systemów Liczbowych

Podstawy Systemów Liczbowych HTTP://WWW.HAKERZY.NET 001 Krzysztof Kryczka Podstawy Systemów Liczbowych Wersja: 1.0 Będzin, dn. 03-11-2010 r. Copyright by Krzysztof Kryczka (gsystem) Data: 03.11.2010 Wydanie I Darmowy poradnik, dostarczony

Bardziej szczegółowo

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0 Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień

Bardziej szczegółowo

Pracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VIII

Pracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VIII Pracownia komputerowa Dariusz Wardecki, wyk. VIII Powtórzenie Podaj wartość liczby przy następującej reprezentacji zmiennoprzecinkowej (Kc = 7) Z C C C C M M M 1 0 1 1 1 1 1 0-1.75 (dec) Rafa J. Wysocki

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW. Reprezentacja danych w komputerach

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW. Reprezentacja danych w komputerach Reprezentacja danych w komputerach dr inż. Wiesław Pamuła wpamula@polsl.katowice.pl Literatura 2. J.Biernat: Architektura komputerów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław2002. 3. Null

Bardziej szczegółowo

2.3. Wyznaczanie wartości wielomianu, pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze

2.3. Wyznaczanie wartości wielomianu, pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze 23 Wyznaczanie wartości wielomianu pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze 231 Systemy liczbowe Definicja Systemem liczbowym nazywamy zbiór zasad określających sposób

Bardziej szczegółowo

MNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny)

MNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny) MNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny) SPOSÓB 1 (z rozszerzeniem mnożnika): Algorytm jak zwykle jest prosty: lewostronne rozszerzenie mnożnej o kilka cyfr (na pewno wystarczy

Bardziej szczegółowo

Elektronika (konspekt)

Elektronika (konspekt) Elektronika (konspekt) Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl) www.pe.ifd.uni.wroc.pl Wykład 12 Podstawy elektroniki cyfrowej (kody i układy logiczne kombinacyjne) Dwa znaki wystarczają aby w układach

Bardziej szczegółowo

Temat 4. Kodowanie liczb

Temat 4. Kodowanie liczb Temat 4. Kodowanie liczb Spis treści do tematu 4 4.1. Kodowanie liczb stałopozycyjnych 4.1.1. Naturalny kod binarny NKB 4.1.2. Kod dwójkowo-dziesiętny BCD 4.1.3. Kod Graya 4.1.4. Kod znak-moduł 4.1.5.

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

2 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota

2 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota Laboratorium nr 2 1/7 Język C Instrukcja laboratoryjna Temat: Wprowadzenie do języka C 2 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota 1) Wprowadzenie do języka C. Język C jest językiem programowania ogólnego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Mikroinformatyka. Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387

Mikroinformatyka. Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387 Mikroinformatyka Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387 Koprocesor arytmetyczny 100 razy szybsze obliczenia numeryczne na liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia prowadzone równolegle z procesorem

Bardziej szczegółowo

1. System pozycyjny zapisu liczb

1. System pozycyjny zapisu liczb W.K.: Kody i liczby 1. System pozycyjny zapisu liczb Oznaczenia: R - podstawa pozycyjnego systemu liczenia (liczba naturalna) L - wartość liczby a i - cyfra ; a i {0,1,.., R-1} Zapis liczby (łańcuch cyfr):

Bardziej szczegółowo

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Reprezentacja binarna. Reprezentacja liczb. Reprezentacja liczb. prof. dr hab. inż.

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Reprezentacja binarna. Reprezentacja liczb. Reprezentacja liczb. prof. dr hab. inż. Plan wyk ladu Reprezentacja liczb Poznań, rok akademicki 2010/2011 1 Plan wyk ladu 2 Liczby naturalne Klasyfikacja Kod BCD Dodawanie w systemie BCD 3 Liczby ca lkowite Kod ZM Kod U1 Kod U2 4 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Szablon programu w C++ Najprostszy program w C++ ma postać: #include #include

Bardziej szczegółowo

1. Systemy liczbowe. addytywne systemy w których wartośd liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych.

1. Systemy liczbowe. addytywne systemy w których wartośd liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. 1. Systemy liczbowe 1.1. System liczbowy zbiór reguł jednolitego zapisu, nazewnictwa i działao na liczbach. Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skooczonego zbioru znaków, zwanych cyframi. Cyfry

Bardziej szczegółowo

Technika cyfrowa Wprowadzenie

Technika cyfrowa Wprowadzenie Sławomir Kulesza Technika cyfrowa Wprowadzenie Wykład dla studentów III roku Informatyki Wer. 6.0, 01/10/2016 Organizacja zajęć Wykład: 2h 15 tyg. Zaliczenie Pracownia: 2h 10 tyg. Ocena Materiały: wmii.uwm.edu.pl/~kulesza

Bardziej szczegółowo

Technologie Informatyczne Wykład IV/V

Technologie Informatyczne Wykład IV/V Technologie Informatyczne Wykład IV/V A. Matuszak 22 października 2010 Pozycyjny układ liczenia Cyfry rzymskie: IX+LC=? Cyfry arabskie: 2341 = 2 1000+3 100+4 10+1 1 = 2 10 3 +3 10 2 +4 10 1 +1 10 0 Pozycyjny

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki (2)

Podstawy informatyki (2) Informacje Podstawy informatyki (2) dr inż Sebastian Pluta pluta@icispczpl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej informatyka to nauka o przetwarzaniu i przechowywaniu informacji informacja to:

Bardziej szczegółowo

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie

Bardziej szczegółowo

2. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych

2. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych 4. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych Liczby stałoprzecinkowe Podstawowym zastosowaniem procesora sygnałowego jest przetwarzanie, w czasie rzeczywistym, ciągu próbek wejściowych w ciąg

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inżynierskie. Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny

Obliczenia inżynierskie. Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny Obliczenia inżynierskie Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny Reprezentacja liczb w komputerze 2 Pozycyjne systemy liczbowe System dziesiętny ( decymalny, arabski) podstawą kolejnych potęg jest 10

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. KOMPRESJA ALGORYTMEM ARYTMETYCZNYM, GOLOMBA I RICE'A Idea algorytmu arytmetycznego Przykład kodowania arytmetycznego Renormalizacja

Bardziej szczegółowo

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich?

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Część IX C++ Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Na początku, przed stworzeniem właściwego kodu programu zaprojektujemy naszą aplikację i stworzymy schemat blokowy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych

Ćwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych Ćwiczenie nr 3 Wyświetlanie i wczytywanie danych 3.1 Wstęp Współczesne komputery przetwarzają dane zakodowane za pomocą ciągów zerojedynkowych. W szczególności przetwarzane liczby kodowane są w systemie

Bardziej szczegółowo

UKŁADY MIKROPROCESOROWE

UKŁADY MIKROPROCESOROWE UKŁADY MIKROPROCESOROWE Kodowanie informacji i systemy liczbowe OPRACOWANIE KŁ MALBORK WPROWADZENIE 1. Pojęcia podstawowe: Czym zajmuje się elektronika? Informacja Sygnał Uproszczona klasyfikacja układów

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny

Systemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny Systemy liczbowe 1. System liczbowy dziesiętny System pozycyjny dziesiętny to system, który używa dziesięciu cyfr, a jego podstawą jest liczba 10, nazywany jest pozycyjnym, bo pozycja cyfry w liczbie rozstrzyga

Bardziej szczegółowo

1. Reprezentacja danych w komputerze

1. Reprezentacja danych w komputerze 1. Reprezentacja danych w komputerze 1.1 Sekwencje bitów W komputerze dane reprezentowane s przez sekwencje bitów cyfry liczbowego systemu binarnego. Te sekwencje bitów interpretowane s w terminach wewntrznych

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy c++ w pigułce.

1 Podstawy c++ w pigułce. 1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Wstęp do Informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej c.d. Kod BCD (Binary Coded Decimal) Arytmetyka liczb całkowitych

Liczby całkowite. Wstęp do Informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej c.d. Kod BCD (Binary Coded Decimal) Arytmetyka liczb całkowitych Podstawy arytmetyki komputerowej c.d. Cezary Bolek Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Liczby całkowite Za pomocą n-bitów moŝna zapisać dokładnie 2 n róŝnych liczb całkowitych (NKB,

Bardziej szczegółowo

Kodowanie informacji. Elementy teorii informacji.

Kodowanie informacji. Elementy teorii informacji. Wyk lad 1 Kodowanie informacji. Elementy teorii informacji. Kontakt Zak lad Chemii Teoretycznej, p. 4 makowskm@chemia.uj.edu.pl tel. 663 20 28 Rozk lad jazdy Kodowanie informacji, elementy teorii informacji

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Technologie informacyjne (wyk. 1) Podstawowe pojęcia związane z informatyką, zarys historii informatyki, komputerowy zapis informacji

Technologie informacyjne (wyk. 1) Podstawowe pojęcia związane z informatyką, zarys historii informatyki, komputerowy zapis informacji Technologie informacyjne (wyk. 1) Podstawowe pojęcia związane z informatyką, zarys historii informatyki, komputerowy zapis informacji dr Tomasz Ordysiński ordych@wneiz.pl tomaszordysinski.pl Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe

Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe Barbara Łukawska, Adam Krechowicz, Tomasz Michno Podstawowym systemem liczbowym uŝywanym na co dzień jest system dziesiętny. Podstawą tego systemu jest 10 cyfr 0, 1, 2,

Bardziej szczegółowo

Struktura i działanie jednostki centralnej

Struktura i działanie jednostki centralnej Struktura i działanie jednostki centralnej ALU Jednostka sterująca Rejestry Zadania procesora: Pobieranie rozkazów; Interpretowanie rozkazów; Pobieranie danych Przetwarzanie danych Zapisywanie danych magistrala

Bardziej szczegółowo

Podstawowe elementy języka Python III. Wykład 3. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 50 / 277

Podstawowe elementy języka Python III. Wykład 3. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 50 / 277 Wykład 3 J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 50 / 277 liczby całkowite wartości logiczne liczby rzeczywiste liczby zespolone łańcuchy znaków krotki listy zbiory J. Cichoń, P.

Bardziej szczegółowo

Pascal typy danych. Typy pascalowe. Zmienna i typ. Podział typów danych:

Pascal typy danych. Typy pascalowe. Zmienna i typ. Podział typów danych: Zmienna i typ Pascal typy danych Zmienna to obiekt, który może przybierać różne wartości. Typ zmiennej to zakres wartości, które może przybierać zmienna. Deklarujemy je w nagłówku poprzedzając słowem kluczowym

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inżynierskie. Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny

Obliczenia inżynierskie. Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny Obliczenia inżynierskie Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny 2 3 Pozycyjne systemy liczbowe System dziesiętny ( decymalny, arabski) podstawą kolejnych potęg jest 10 do zapisu potrzebnych 10 cyfr: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0

Bardziej szczegółowo

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Temat 1. Algebra Boole a i bramki 1). Podać przykład dowolnego prawa lub tożsamości, które jest spełnione w algebrze Boole

Bardziej szczegółowo

Przetworniki analogowo-cyfrowe - budowa i działanie" anie"

Przetworniki analogowo-cyfrowe - budowa i działanie anie Przetworniki analogowo-cyfrowe - budowa i działanie" anie" Wprowadzenie Wiele urządzeń pomiarowych wyposaŝonych jest obecnie w przetworniki A/C. Końcówki takich urządzeń to najczęściej typowe interfejsy

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzanie danych z klawiatury funkcja scanf

1. Wprowadzanie danych z klawiatury funkcja scanf 1. Wprowadzanie danych z klawiatury funkcja scanf Deklaracja int scanf ( const char *format, wskaźnik, wskaźnik,... ) ; Biblioteka Działanie stdio.h Funkcja scanf wczytuje kolejne pola (ciągi znaków),

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)

SCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka) SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych

Bardziej szczegółowo

Jednostki miar stosowane w sieciach komputerowych. mgr inż. Krzysztof Szałajko

Jednostki miar stosowane w sieciach komputerowych. mgr inż. Krzysztof Szałajko Jednostki miar stosowane w sieciach komputerowych mgr inż. Krzysztof Szałajko Jednostki wielkości pamięci Jednostka Definicja Przykład Bit (b) 0 lub 1 Włączony / wyłączony Bajt (B) = 8 b Litera w kodzie

Bardziej szczegółowo

Formaty obrazów rastrowych biblioteki PBM

Formaty obrazów rastrowych biblioteki PBM Formaty obrazów rastrowych biblioteki PBM Reprezentacja obrazu Obrazy pobierane z kamery, bądź dowolnego innego źródła, mogą być składowane na pliku dyskowym w jednym z wielu istniejących formatów zapisu

Bardziej szczegółowo

BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO

BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Dlaczego modelujemy... systematyczne rozwiązywanie problemów, eksperymentalna eksploracja wielu rozwiązań, dostarczanie abstrakcyjnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 2

Metody numeryczne Laboratorium 2 Metody numeryczne Laboratorium 2 1. Tworzenie i uruchamianie skryptów Środowisko MATLAB/GNU Octave daje nam możliwość tworzenia skryptów czyli zapisywania grup poleceń czy funkcji w osobnym pliku i uruchamiania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka 1. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na ocenę dopuszczającą. 2. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 2.1 Liczby

Bardziej szczegółowo