Informatyka 1. Wykład nr 5 ( ) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc"

Transkrypt

1 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia (zaoczne) Rok akademicki 2007/2008 Wykład nr 5 ( )

2 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 2/53 Plan wykładu nr 5 Arytmetyka liczb binarnych Arytmetyka w kodzie U2 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym Standard IEEE 754

3 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 3/53 Arytmetyka liczb binarnych - dodawanie Operacja dodawania jest wykonywana podobnie jak w systemie dziesiętnym Podstawowe operacje przy dodawaniu mają postać przedstawioną w tabeli Dodatkowo naleŝy pamiętać, Ŝe: = ( 2) + (2) + (2) (2)

4 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 4/53 Arytmetyka liczb binarnych - dodawanie Przykłady: 4 ( 7 = 0) + 4 ( 0) + 7 = 2(0 ) przy dodawaniu + następuje przeniesienie do następnej kolumny w bieŝącej kolumnie zapisujemy 0, a dodajemy w następnej kolumnie jeśli przy dodawaniu + występuje dodatkowo przeniesienie z poprzedniej kolumny, to w bieŝącej kolumnie zapisujemy oraz dodajemy w następnej kolumnie

5 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 5/53 Arytmetyka liczb binarnych - dodawanie W pamięci komputera liczby binarne mają ściśle określony rozmiar:, 2 lub 4 bajty Jeśli wynik sumowania, np. dwóch liczb 8-bitowych jest większy od 8 bitów, to najstarszy bit zostaje utracony i otrzymany wynik jest nieprawidłowy Sytuacja taka nazywana jest nadmiarem (ang. overflow) Przykład: 255 = ( 0)

6 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 6/53 Arytmetyka liczb binarnych - odejmowanie Podstawowe operacje przy odejmowaniu mają postać przedstawioną w tabeli a b a - b poŝyczka do następnej pozycji Przy odejmowaniu 0 - otrzymywany jest wynik i poŝyczka do następnej pozycji PoŜyczka wymaga odjęcia wartości od wyniku odejmowania cyfr w następnej kolumnie

7 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 7/53 Arytmetyka liczb binarnych - odejmowanie Przykłady: 5 ( 5 = 0 0) 0 ( 0) 6 = 4 Bardzo często odejmowanie jest realizowane przez dodanie ze znakiem przeciwnym odjemnika do odjemnej a b = a + ( b) a b = ( a) + ( b)

8 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 8/53 Arytmetyka liczb binarnych - odejmowanie Jeśli od liczby mniejszej odejmiemy większą to wynik będzie ujemny, a w kodzie NKB nie moŝna zapisywać liczb ujemnych Podczas operacji odejmowania moŝe wystąpić konieczność poŝyczki, w sytuacji, gdy skończą się juŝ liczby Problem ten nazywa się niedomiarem (ang. underflow) Przykład: 0 ( 0) =

9 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 9/53 Arytmetyka liczb binarnych - mnoŝenie Zasady mnoŝenia są identyczne jak w systemie dziesiętnym Podstawowe operacje przy mnoŝeniu mają postać przedstawioną w tabeli WymnaŜamy przez siebie kolejne cyfry mnoŝnej i mnoŝnika, a iloczyny częściowe dodajemy

10 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 0/53 Arytmetyka liczb binarnych - mnoŝenie Przykład: 7 = ( 0) 5 35 w mnoŝeniu uczestniczy tylko cyfra dla cyfry 0 wynik jest zerowy i moŝna go pominąć

11 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 /53 Arytmetyka liczb binarnych - dzielenie Algorytmy dzielenia są najbardziej skomplikowane - najprostszą postać ma algorytm dzielenia taki sam jak w przypadku systemu dziesiętnego Algorytm ten polega na polega na cyklicznym odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej Przykład: = ( 0) : 2 5 r.

12 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 2/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - dodawanie Dodawanie liczb w kodzie U2 odbywa się standardową metodą - traktujemy liczby jako zwykłe liczby binarne (dodatnie), dodajemy je otrzymując wynik w kodzie U2 W operacji dodawania bierze udział takŝe bit znaku, a przeniesienie poza najstarszy bit znaku jest ignorowane Przykłady: 3 = ( 0) ( 0) + ( 5) = (U2) (U2) (U2) (U2) (U2) (U2) 3 5 2

13 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 3/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - dodawanie Przykłady: ( 0) + ( 2) = (U2) (U2) (U2) dodawanie dowolnych liczb w kodzie U2 daje poprawny wynik zawsze wtedy, gdy mieści się on w zakresie liczb dla danego formatu ignorujemy przeniesienie

14 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 4/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - odejmowanie Odejmowanie odbywa się według tych samych zasad jak w NKB Przykłady: 5 = ( 0) ( 0) 5 = (U2) (U2) (U2) (U2) (U2) (U2) 3 8 5

15 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 5/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - mnoŝenie MnoŜenie liczb w kodzie U2 wykonywane jest w inny sposób niŝ standardowe mnoŝenie w kodzie NKB Przed wykonaniem mnoŝenia naleŝy rozszerzyć znakowo obie mnoŝone liczby tak, aby ich liczba bitów wzrosła dwukrotnie (bit znaku jest powielany), np. 5 5 = 0.0 =.0 (U2) (U2) 5 5 = =. 0 (U2) (U2) Po wykonaniu rozszerzenia znakowego liczby są mnoŝone standardowo Otrzymywany wynik powinien być liczbą o długości równej sumie długości mnoŝonych liczb - z tego powodu bity wykraczające poza tę długość są ignorowane

16 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 6/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - mnoŝenie Przykład: 2 ( 0) 3 = (U2) rozszerzenie znakowe 0 (U2) 3 00 (U2) rozszerzenie znakowe (U2) (U2) (U2) (U2) -6 ignorujemy

17 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 7/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - dzielenie Najprostsza metoda dzielenia w U2 składa się z następujących kroków: zapamiętanie znaków dzielonych liczb zamiana liczb ujemnych na dodatnie wykonanie dzielenia dla liczb naturalnych zmiana znaku wyniku, jeśli znak dzielnej i dzielnika róŝnią się Podczas dzielenia znaki wyniku i reszty przyjmują wartości przedstawione w tabeli

18 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 8/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U2 - dzielenie Przykład: 6 ( 0) : ( 3) = (U2) 3 0 (U2) liczba dodatnia 3 00 (U2)

19 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 9/53 Reprezentacja liczb ze znakiem - porównanie kodów Porównanie interpretacji wartości słów kodu binarnego w róŝnych systemach zapisu liczb ze znakiem - liczba dodatnia - liczba ujemna - zero

20 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 20/53 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Zapis bardzo duŝych lub bardzo małych liczb w normalnej notacji pozycyjnej jest niewygodny gdyŝ wymaga duŝej ilości cyfr, np. dwanaście bilionów: trzydzieści trylionów: jedna bilionowa: 0, Znacznie prostsze jest przedstawienie powyŝszych liczb w postaci zmiennoprzecinkowej (ang. floating point numbers) =, = 3,00 9 0, =,00-2 PowyŜszy zapis nazywamy takŝe zapisem w postaci wykładniczej lub teŝ notacją naukową

21 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 2/53 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Zapis liczby zmiennoprzecinkowej ma postać: gdzie: L = M B L - wartość liczby M - mantysa B - podstawa systemu E - wykładnik, cecha E Przykład: 3 2,43 0 = 2, = 2430

22 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 22/53 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Przykłady:,0 0 (2) 0 (2) M =,0 B = 0 E = 0 (2),0 0 (2) 0 (2) =? = = 2 0 = =, = =, = 44 3 = + 4 = 5 = + 0,25 + 0,25 =,375 3,2 0 B = 0 E = 32 (4) (4) 3, (4) M = 3,2 (4) = (4) =? 0 = = = 4 = 3, = = = = 3,390625

23 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 23/53 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej PołoŜenie przecinka w mantysie nie jest ustalone i moŝe się zmieniać PoniŜsze zapisy oznaczają tę samą liczbę 2430 = 24,30 2 = 2,430 3 = 0, Dla ujednolicenia zapisu przyjęto tzw. postać znormalizowaną zapisu liczby, w której mantysa spełnia nierówność: B > M Przykład: 2, postać znormalizowana, gdyŝ: 0 > 2,43 0, to nie jest postać znormalizowana 2, to nie jest postać znormalizowana

24 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 24/53 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Jak zapisać liczbę w postaci zmiennoprzecinkowej? Przykład: 523,69 zapisujemy mantysę przy wykładniku równym zero 523, normalizujemy mantysę modyfikując wykładnik liczby, dodatkowo moŝe nastąpić obcięcie (ang. truncate) albo zaokrąglenie (ang. round) mantysy do zadanej ilości cyfr, np., obcięcie: - zaokrąglenie:,

25 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 25/53 Arytmetyka zmiennoprzecinkowa W arytmetyce zmiennoprzecinkowej kolejność wykonywania operacji ma wpływ na końcowy wynik arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna (x + y) + z x + (y + z) (x y) z x (y z) arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest rozdzielna x (y + z) (x y) + (x z)

26 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 26/53 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Dodawanie i odejmowanie: załóŝmy, Ŝe mamy dwie liczby zmiennoprzecinkowe: L E = M B L2 = M2 B E 2 zakładając, Ŝe E < E 2, suma (róŝnica) liczb ma postać: L E ± L2 = (M ± M2 B ) B 4243 wyrównanie wykladników 2 E E mantysa sumy (róŝnicy) liczb jest sumą (róŝnicą) mantys liczb wyjściowych sprowadzeniu ich do wspólnego wykładnika (jest to tzw. wyrównanie wykładników liczb zmiennoprzecinkowych lub denormalizacja) wykładnik sumy (róŝnicy) jest równy wykładnikowi dodawanych (odejmowanych) liczb po wyrównaniu po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana

27 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 27/53 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - dodawanie: obliczamy sumę dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: wzór ogólny: obliczenia: L L L 2 = M = M 2 B E B E 2 =,5 0 = 2,5 0 E + L2 = (M + M2 B ) B L L L L + L + L + L + L = (,5 + 2,5 0 = (,5 + 25) E E 2 = (,5 + 2,5 0 ) 0 = 26,5 0 ) 0 normalizacja: L 2 + L2 = 26,5 0 = 2,65 0

28 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 28/53 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych MnoŜenie: iloczyn liczb L i L 2 ma postać: L E + E 2 L2 = (M M2) B mantysa iloczynu jest iloczynem mantys, zaś wykładnik iloczynu jest sumą wykładników po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana Dzielenie: iloraz liczb L i L 2 ma postać: L E E 2 / L2 = (M / M2) B mantysa ilorazu jest ilorazem mantys, zaś wykładnik ilorazu jest róŝnicą wykładników po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana

29 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 29/53 Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym W praktycznych realizacjach zapisu liczb zmiennoprzecinkowych przyjmuje się ograniczony zakres na mantysę i cechę Z powyŝszego powodu liczba w zapisie zmiennoprzecinkowym jest określona z pewną dokładnością i moŝe występować tylko w określonym zakresie Zakodowana liczba zmiennoprzecinkowa ma postać:

30 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 30/53 Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym Wartość liczby obliczana jest ze wzoru: L = S M B gdzie: L - wartość liczby S - znak liczby (ang. sign), przyjmuje wartość lub - M - znormalizowana mantysa (ang. mantissa), liczba ułamkowa B - podstawa systemu liczbowego (ang. base) E - wykładnik (ang. exponent), cecha, liczba całkowita E W systemie binarnym podstawa systemu jest stała: B = 2 L = S M 2 E

31 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 3/53 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych ZałóŜmy, Ŝe liczba składa się z: m - cyfr przeznaczonych na mantysę n+ - cyfr przeznaczonych na wykładnik (n - cyfr wartości i cyfry znaku) - cyfry znaku całej liczby Wartości minimalne i maksymalne: wykładnik: E min = B n + E max = B n mantysa: M min = M max = B B (m )

32 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 32/53 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Wartości minimalne i maksymalne: wykładnik: mantysa: E M min min = B = n + E M max max = B n = B B (m ) W takim przypadku najmniejsza i największa wartość moŝliwa do zapisania w tej reprezentacji wynoszą: x x min max = M = M min max B E B E min max = B E min = (B B (m ) ) B E max Natomiast zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym zapisie: x max, x min { 0 } x min, x max Zero jest wartością specjalną, która nie jest bezpośrednio reprezentowana w tym zapisie

33 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 33/53 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - liczba 32-bitowa: E min = B n + = = 27 E max = B n = 2 7 = 27 x min = B E min = 2 27 = 5, x max = (B B (m ) ) B E max = (2 2 (23 ) ) 2 27 = = 3, { 0 } 5,88 0, 3, ,4 0, 5,88 0

34 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 34/53 Liczby zmiennoprzecinkowe - przesunięcie wykładnika W celu uniknięcia konieczności kodowania znaku wykładnika jest on zapisywany jako wartość przesunięta o pewną stałą (ang. biased exponent) - zapis wykładnika z nadmiarem, z przesuniętym wykładnikiem Właściwą wartość wykładnika otrzymuje się poprzez odjęcie od zakodowanego wykładnika wartości przesunięcia (ang. bias) Wartość liczby zmiennoprzecinkowej oblicza się zatem ze wzoru: gdzie: L = ( ) S M 2 E BIAS L - wartość liczby S - znak liczby M - mantysa E - wykładnik BIAS - przesunięcie (nadmiar) Typowe wartości przesunięcia wynoszą: dla formatu 32-bitowego: 27 = 7F (6) dla formatu 64-bitowego: 023 = 3FF (6) dla formatu 80-bitowego: 6383 = 3FFF (6)

35 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 35/53 Standard IEEE 754 W celu ujednolicenia operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych na róŝnych platformach sprzętowych opracowano odpowiedni standard IEEE 754 Pełna nazwa standardu to: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEE Std ) Obecnie praktycznie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych oparte są o ten standard Standard IEEE 754 definiuje dwie podstawowe klasy liczb zmiennoprzecinkowych: pojedynczej precyzji (ang. single-precision) - liczby 32-bitowe podwójnej precyzji (ang. double-precision) - liczby 64-bitowe

36 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 36/53 Standard IEEE 754 W standardzie IEEE 754 zdefiniowane zostały takŝe inne klasy liczb zmiennoprzecinkowych: pojedynczej rozszerzonej precyzji (ang. single-extended precision) - liczby 43-bitowe, nie są powszechnie stosowane podwójnej rozszerzonej precyzji (ang. double-extended precision) - liczby 79-bitowe, zazwyczaj implementowane jako 80-bitowe Standard IEEE 754 definiuje nie tylko sposób reprezentacji liczb, ale takŝe: sposób reprezentacji specjalnych wartości, np. nieskończoności, zera sposób wykonywania działań na liczbach zmiennoprzecinkowych sposób zaokrąglania liczb

37 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 37/53 Standard IEEE liczby 32-bitowe Liczba pojedynczej precyzji przechowywana jest na 32 bitach: Pierwszy bit w zapisie (bit nr 3) jest bitem znaku (0 - liczba dodatnia, - liczba ujemna) Wykładnik zapisywany jest na 8 bitach (bity nr 30-23) z nadmiarem (przesunięciem wykładnika) o wartości 27 Wykładnik moŝe przyjmować wartości od -27 (wszystkie bity wyzerowane) do 28 (wszystkie bity ustawione na )

38 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 38/53 Standard IEEE liczby 32-bitowe Liczba pojedynczej precyzji przechowywana jest na 32 bitach: Mantysa zapisywana jest na 23 bitach w stałoprzecinkowym kodzie U W większości przypadków mantysa jest znormalizowana Wartość mantysy zawiera się pomiędzy a 2, a zatem w zapisie liczby pierwszy bit jest zawsze równy PowyŜszy bit nie jest zapamiętywany, natomiast jest automatycznie uwzględniany podczas wykonywania obliczeń Dzięki pominięciu tego bitu zyskujemy dodatkowy bit mantysy (zamiast 23 bitów mamy 24 bity)

39 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 39/53 Standard IEEE liczby 32-bitowe Przykład: obliczmy wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej ( =? dzielimy liczbę na części IEEE754) 0{ S bit znaku E wykladnik M mantysa (tylko czesc ulamkowa) określamy znak liczby S = 0 liczba dodatnia obliczamy wykładnik pamiętając, Ŝe w reprezentacji 32-bitowej nadmiar wynosi 27 E = = + + = = ( 2) { 6 nadmiar

40 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 40/53 Standard IEEE liczby 32-bitowe Przykład (cd.): wyznaczamy mantysę dopisując na początku 0 (0 - znak liczby w kodzie U, - część całkowita) i stawiając przecinek M = 0, = (U) = = + 0,5 + 0,0625 =,5625 wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru: L = ( ) S M 2 E podstawiając otrzymujemy: S = 0, E = 6 = 0 6 L = ( ), = ( 0), M, ( = 00 IEEE754)

41 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 4/53 Standard IEEE liczby 32-bitowe Przykład: obliczmy wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej ( =? dzielimy liczbę na części IEEE754) { S bit znaku E wykladnik M mantysa (tylko czesc ulamkowa) określamy znak liczby S = liczba ujemna obliczamy wykładnik pamiętając, Ŝe w reprezentacji 32-bitowej nadmiar wynosi 27 E = 0000 = ( 2) = = { 8 nadmiar

42 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 42/53 Standard IEEE liczby 32-bitowe Przykład (cd.): wyznaczamy mantysę dopisując na początku 0 (0 - znak liczby w kodzie U, - część całkowita) i stawiając przecinek M = 0, = (U) = = + 0,5 + 0,25 + 0,0625 =,825 wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru: L = ( ) S M 2 E podstawiając otrzymujemy: S = 0, E = 8 = L = ( ),825 2 ( 0), M, = ( = 464 IEEE754)

43 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 43/53 Standard IEEE liczby 64-bitowe Liczba podwójnej precyzji przechowywana jest na 64 bitach: Pierwszy bit w zapisie (bit nr 63) jest bitem znaku (0 - liczba dodatnia, - liczba ujemna) Wykładnik zapisywany jest na bitach (bity nr 62-52) z nadmiarem (przesunięciem wykładnika) o wartości 024 Wykładnik moŝe przyjmować wartości od -023 (wszystkie bity wyzerowane) do 024 (wszystkie bity ustawione na ) Mantysa zapisywana jest na 52 bitach w stałoprzecinkowym kodzie U Podobnie jak w liczbie pojedynczej precyzji, pierwszy bit mantysy, zawsze równy, nie jest zapamiętywany

44 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 44/53 Standard IEEE zakres i precyzja liczb Zakres liczb zmiennoprzecinkowych pojedynczej precyzji: 38 3, ,4 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych podwójnej precyzji: 308,8 0..., Precyzję podaje się najczęściej jako przybliŝoną ilość dziesiętnych cyfr znaczących, precyzja zaleŝna jest od liczby bitów mantysy Liczba zmiennoprzecinkowa pojedynczej precyzji ma 7 cyfr dziesiętnych Liczba zmiennoprzecinkowa podwójnej precyzji ma 5-6 cyfr dziesiętnych

45 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 45/53 Standard IEEE wartości specjalne Oprócz zwykłych liczb w standardzie IEEE 754 zdefiniowano kilka wartości specjalnych Zero bit znaku moŝe przyjmować dowolną wartość, a zatem moŝna otrzymać zero dodatnie lub zero ujemne - zero dodatnie - zero ujemne wszystkie bity wykładnika i mantysy są równe zeru przy porównaniach zero dodatnie i ujemne są traktowane jako równe sobie

46 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 46/53 Standard IEEE wartości specjalne Nieskończoność bit znaku określa czy mamy nieskończoność dodatnią czy ujemną - nieskończoność dodatnia - nieskończoność ujemna wszystkie bity wykładnika są równe jeden, zaś wszystkie bity mantysy - zero nieskończoność występuje w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia) oraz przy dzieleniu przez zero

47 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 47/53 Standard IEEE wartości specjalne Liczba zdenormalizowana bit znaku moŝe być równy zero lub jeden, wszystkie bity wykładnika są równe zeru, zaś bity mantysy przyjmują dowolne wartości pojawia się, gdy występuje niedomiar (ang. underflow), ale wynik operacji moŝna jeszcze zapisać denormalizując mantysę w takim przypadku mantysa nie posiada domyślnej części całkowitej równej, tzn. reprezentuje liczbę o postaci 0,xxx xxx, a nie,xxx xxx

48 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 48/53 Standard IEEE wartości specjalne Nieliczby w standardzie IEEE 754 zdefiniowane są dwie specjalne wartości, które nie reprezentują wartości liczbowej wartości te nazywane są NaN (ang. Not A Number - nie liczba) powstają zazwyczaj w wyniku niedozwolonej operacji, np. (obliczanie pierwiastka z liczby ujemnej) wyróŝnia się dwa rodzaje nieliczb: QNaN i SNaN QNaN (ang. Quiet NaN) - ciche nieliczby ciche nieliczby przechodzą przez działania arytmetyczne najczęściej oznaczają wartość niezdefiniowaną ich wystąpienie nie powoduje wyjątku

49 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 49/53 Standard IEEE wartości specjalne Nieliczby (cd.) SNaN (ang. Significant NaN) - istotne, głośne nieliczby powodują powstanie wyjątków w operacjach arytmetycznych i przerwanie obliczeń najczęściej oznaczają wartość niedozwoloną

50 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 50/53 Standard IEEE operacje z wartościami specjalnymi Standard IEEE 754 definiuje dokładnie wyniki operacji, w których występują specjalne argumenty

51 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 5/53 Język C - operacje z wartościami specjalnymi #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int main() { printf(".0/0.0 = %f\n",.0/0.0); printf("-.0/0.0 = %f\n",-.0/0.0); printf("0.0/0.0 = %f\n",0.0/0.0); printf("sqrt(-.0) = %f\n",sqrt(-.0)); printf(".0/inf = %f\n",.0/(.0/0.0)); printf("0*inf = %f\n",0.0*(.0/0.0));.0/0.0 =.#INF00 -.0/0.0 = -.#INF00 0.0/0.0 = -.#IND00 sqrt(-.0) = -.#IND00.0/INF = *INF = -.#IND00 } system("pause"); return 0;

52 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 52/53 Język C - reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych Typy zmiennoprzecinkowe w języku C: Nazwa typu Rozmiar (bajty) Zakres wartości Cyfry znaczące float 4 bajty -3, , double 8 bajtów -, , long double 2 bajtów PowyŜsze rozmiary podane zostały dla kompilatora Dev-C++ Typ long double moŝe mieć takŝe inny rozmiar: Kompilator MS Visual C++6.0 Borland C++ 3. Borland C++ Builder 6 Dev-C++ Rozmiar (bajty) 8 bajtów 0 bajtów 0 bajtów 2 bajtów

53 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 53/53 Koniec wykładu nr 5 Dziękuj kuję za uwagę!

54 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 54/53 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Biernat J.: Architektura komputerów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Rozdz Kodowanie i formaty danych uŝytkowych (str ) Kincaid D., Cheney W.: Analiza numeryczna. WNT, Warszawa, Rozdz. 2. Arytmetyka komputerowa (str. 33-5) Ogrodzki J.: Wstęp do systemów komputerowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, Rozdz Arytmetyka stałoprzecinkowa (str ) Stallings W.: Organizacja i architektura systemu komputerowego. Projektowanie systemu a jego wydajność. WNT, Warszawa, Rozdz Arytmetyka liczb całkowitych (str ) Wojtuszkiewicz K.: Urządzenia techniki komputerowej. Część. Jak działa komputer?. PWN, Warszawa, Rozdz Arytmetyka dwójkowa (str ) Biernat J.: Metody i układy arytmetyki komputerowej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Rozdz Reprezentacje zmiennoprzecinkowe (str )

55 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 55/53 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Ogrodzki J.: Wstęp do systemów komputerowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, Rozdz. 4.. Liczby zmiennoprzecinkowe i operacje na nich (str. 6-64) Pochopień B.: Arytmetyka systemów cyfrowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, Rozdz Format zmiennoprzecinkowy (str ) Stallings W.: Organizacja i architektura systemu komputerowego. Projektowanie systemu a jego wydajność. WNT, Warszawa, Rozdz Reprezentacja zmiennopozycyjna (str ) Biernat J.: Architektura komputerów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Rozdz Arytmetyka zmiennoprzecinkowa (str ) Biernat J.: Metody i układy arytmetyki komputerowej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Rozdz Działania zmiennoprzecinkowe (str ) Pochopień B.: Arytmetyka systemów cyfrowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, Rozdz. 5. Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych (str. 7-25)

56 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 56/53 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Stallings W.: Organizacja i architektura systemu komputerowego. Projektowanie systemu a jego wydajność. WNT, Warszawa, Rozdz Arytmetyka zmiennopozycyjna (str ) Tanenbaum A.S.: Strukturalna organizacja systemów komputerowych. Helion, Gliwice, Rozdz. B. Zasady arytmetyki zmiennoprzecinkowej (str ) Biernat J.: Metody i układy arytmetyki komputerowej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Rozdz. D. Standardy zmiennoprzecinkowe IEEE 754/854 (str ) Tanenbaum A.S.: Strukturalna organizacja systemów komputerowych. Helion, Gliwice, Rozdz. B2. Standard arytmetyki zmiennoprzecinkowej IEEE-754 (str )

57 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 57/53 Źródła a (Internet): - Naturalny kod binarny: operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym - Kodowanie liczb ze znakiem: zapis uzupełnień do 2 - U2 - Kod uzupełnień do dwóch - Two s complement - Kodowanie liczb ze znakiem: podsumowanie systemów dwójkowych - Liczba zmiennoprzecinkowa - Liczbowe systemy pozycyjne: zapis zmiennoprzecinkowy - Dwójkowe liczby zmiennoprzecinkowe: przykładowy system zmiennoprzecinkowy

58 Rok akademicki 2007/2008, Wykład nr 5 58/53 Źródła a (Internet): - IEEE IEEE Dwójkowe liczby zmiennoprzecinkowe: standard IEEE 754

Reprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej

Reprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Plan wykładu nr 4. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Plan wykładu nr 4. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc

Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009 Wykład nr 4 (8.04.009) Informatyka, studia stacjonarne I stopnia

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład VI

Pracownia Komputerowa wykład VI Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:

Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne

Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)

Bardziej szczegółowo

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie: Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera

Bardziej szczegółowo

Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński

Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.

Bardziej szczegółowo

Kod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci

Kod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f

Bardziej szczegółowo

dr inż. Jarosław Forenc

dr inż. Jarosław Forenc Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 2014/2015 Pracownia nr 2 (08.10.2014) dr inż. Jarosław Forenc Rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad VI

Pracownia Komputerowa wyk ad VI Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite

Bardziej szczegółowo

Jednostki informacji - bit. Kodowanie znaków: ASCII, ISO 8859, Unicode liczb: NKB (BCN), U2, BCD. Liczby zmiennoprzecinkowe standard IEEE 754

Jednostki informacji - bit. Kodowanie znaków: ASCII, ISO 8859, Unicode liczb: NKB (BCN), U2, BCD. Liczby zmiennoprzecinkowe standard IEEE 754 Rok akademicki 06/07, Pracownia nr /33 Pracownia nr Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 06/07 Jednostki informacji

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Informatyki

Teoretyczne Podstawy Informatyki Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa

Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład IV

Pracownia Komputerowa wykład IV Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka binarna - wykład 6

Arytmetyka binarna - wykład 6 SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków

Bardziej szczegółowo

Naturalny kod binarny (NKB)

Naturalny kod binarny (NKB) SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System

Bardziej szczegółowo

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255

Bardziej szczegółowo

Systemy zapisu liczb.

Systemy zapisu liczb. Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:

Bardziej szczegółowo

Operacje arytmetyczne

Operacje arytmetyczne PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik

Bardziej szczegółowo

Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1

Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad IV

Pracownia Komputerowa wyk ad IV Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q

LABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb

Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Reprezentacja liczb Reprezentacja stałopozycyjna

Bardziej szczegółowo

Pozycyjny system liczbowy

Pozycyjny system liczbowy Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne

Technologie Informacyjne System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym

Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze

Podstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

Bardziej szczegółowo

Stan wysoki (H) i stan niski (L)

Stan wysoki (H) i stan niski (L) PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka stałopozycyjna

Arytmetyka stałopozycyjna Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Kodowanie informacji. Kody liczbowe

Kodowanie informacji. Kody liczbowe Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,

Bardziej szczegółowo

Prefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)

Prefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit) Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Zmiennoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa

Bardziej szczegółowo

Mikroinformatyka. Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387

Mikroinformatyka. Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387 Mikroinformatyka Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387 Koprocesor arytmetyczny 100 razy szybsze obliczenia numeryczne na liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia prowadzone równolegle z procesorem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania

Bardziej szczegółowo

Architektura systemów komputerowych. Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące

Architektura systemów komputerowych. Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące Architektura systemów komputerowych Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące Cezary Bolek Katedra Informatyki Plan wykładu Układy mnoŝące liczby całkowite MnoŜenie liczb bez znaku MnoŜarka

Bardziej szczegółowo

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M

SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Architektura systemów komputerowych. MnoŜenie realizacja sprzętowa (wersja 1) Układy mnoŝące liczby całkowite.

Plan wykładu. Architektura systemów komputerowych. MnoŜenie realizacja sprzętowa (wersja 1) Układy mnoŝące liczby całkowite. Plan wykładu rchitektura systemów komputerowych Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące Cezary Bolek Katedra Informatyki Układy mnoŝące liczby całkowite MnoŜenie liczb bez znaku MnoŜarka sekwencyjna

Bardziej szczegółowo

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1

Reprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1 Reprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1 Bity i kody binarne Bit (binary digit) najmniejsza ilość informacji {0, 1}, wysokie/niskie napięcie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA KOMPUTERA

ARYTMETYKA KOMPUTERA 006 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ ARYTMETYKA KOMPUTERA Systemy liczbowe o róŝnych podstawach 1 UTK System dziesiętny Cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Liczba 764.5 oznacza 7 * 10 2 + 6 * 10 1 + 4

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.

Metody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania. Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie

Bardziej szczegółowo

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA. Zajęcia organizacyjne. Arytmetyka komputerowa.

INFORMATYKA. Zajęcia organizacyjne. Arytmetyka komputerowa. INFORMATYKA Zajęcia organizacyjne Arytmetyka komputerowa http://www.infoceram.agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~grzesik/ KONSULTACJE Zbigniew Grzesik środa, 9 ; A-3, p. 2 tel.: 67-249 e-mail: grzesik@agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki. Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery

Wstęp do Informatyki. Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery Wstęp do Informatyki Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery Pozycyjne systemy liczbowe Dziesiętny system liczbowy (o podstawie 10):

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze

Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze [materiał ze strony: http://sigma.wsb-nlu.edu.pl/~szyszkin/] Wszelkie dane zapamiętywane przetwarzane przez komputery muszą być odpowiednio zakodowane.

Bardziej szczegółowo

Ochrona danych osobowych. Pozycyjne systemy liczbowe. Jednostki informacji. Kodowanie znaków ASCII, ISO 8859, Unicode. Kodowanie liczb NKB, U2, BCD

Ochrona danych osobowych. Pozycyjne systemy liczbowe. Jednostki informacji. Kodowanie znaków ASCII, ISO 8859, Unicode. Kodowanie liczb NKB, U2, BCD Rok akademicki /, Pracownia nr / Pracownia nr Technologie informacyjne Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny semestr I, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki / Pracownia nr (8/..) dr inż.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię

Bardziej szczegółowo

Systemem liczenia systemach addytywnych !!" Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego

Systemem liczenia systemach addytywnych !! Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Podstawą systemów liczenia są systemy liczbowe

Bardziej szczegółowo

Temat 4. Kodowanie liczb

Temat 4. Kodowanie liczb Temat 4. Kodowanie liczb Spis treści do tematu 4 4.1. Kodowanie liczb stałopozycyjnych 4.1.1. Naturalny kod binarny NKB 4.1.2. Kod dwójkowo-dziesiętny BCD 4.1.3. Kod Graya 4.1.4. Kod znak-moduł 4.1.5.

Bardziej szczegółowo

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe 1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych

Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja

Bardziej szczegółowo

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1 Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa. 1. Informacje wstępne

Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa. 1. Informacje wstępne Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa 1. Informacje wstępne Każdą informację można przedstawid w komputerze za pomocą łaocucha elemantarnych jednostek, zwanych bitami. W przypadku, gdy chcielibyśmy wyrazid

Bardziej szczegółowo

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1

Bardziej szczegółowo

Dodawanie liczb binarnych

Dodawanie liczb binarnych 1.2. Działania na liczbach binarnych Liczby binarne umożliwiają wykonywanie operacji arytmetycznych (ang. arithmetic operations on binary numbers), takich jak suma, różnica, iloczyn i iloraz. Arytmetyką

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład V

Pracownia Komputerowa wykład V Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia Podstawowe działania na liczbach binarnych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD 2010/2011 Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Dodawanie Odejmowanie Mnoż enie Dzielenie Plan zajęć 2 Izabela Szczęch 1 Dodawanie

Bardziej szczegółowo

Sposób reprezentacji informacji w systemie. Reprezentacja informacji. Dzięki kodowaniu informacji.

Sposób reprezentacji informacji w systemie. Reprezentacja informacji. Dzięki kodowaniu informacji. Sposób reprezentacji informacji w systemie Reprezentacja informacji Jak to się dzieje że w pamięci komputera można przechowywać teksty, obrazy, dźwięki i liczby? Dzięki kodowaniu informacji. Kodowanie

Bardziej szczegółowo

DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE

DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5

Bardziej szczegółowo

Jednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles).

Jednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles). Wykład 1 1-1 Informatyka nauka zajmująca się zbieraniem, przechowywaniem i przetwarzaniem informacji. Informacja obiekt abstrakcyjny, który w postaci zakodowanej moŝe być przechowywany, przesyłany, przetwarzany

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?

METODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać

Bardziej szczegółowo

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW 17.11.2010 Liczby zmiennoprzecinkowe Sprawa bardzo podobna jak w systemie dziesiętnym po przecinku mamy kolejno 10-tki do ujemnych potęg, a w systemie binarnym mamy 2-ki w ujemnych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

Dokładność obliczeń numerycznych

Dokładność obliczeń numerycznych Dokładność obliczeń numerycznych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 MOTYWACJA Komputer czasami produkuje nieoczekiwane wyniki >> 10*(1-0.9)-1 # powinno być 0 ans = -2.2204e-016 >>

Bardziej szczegółowo

Wydział Mechaniczny. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych

Wydział Mechaniczny. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Politechnika Białostocka Wydział Mechaniczny Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: Arytmetyka układów cyfrowych część 1 dodawanie i odejmowanie liczb binarnych Numer ćwiczenia: 1 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,

Bardziej szczegółowo

Systemem liczenia systemach addytywnych !!" Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego

Systemem liczenia systemach addytywnych !! Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Podstawą systemów liczenia są systemy liczbowe

Bardziej szczegółowo

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską: Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka

Bardziej szczegółowo

Informatyka kodowanie liczb. dr hab. inż. Mikołaj Morzy

Informatyka kodowanie liczb. dr hab. inż. Mikołaj Morzy Informatyka kodowanie liczb dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu definicja informacji sposoby kodowania reprezentacja liczb naturalnych i całkowitych arytmetyka binarna arytmetyka oktalna arytmetyka

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej

Bardziej szczegółowo

Systemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1

Systemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1 Systemy liczenia. System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, Ŝe wartość liczby zaleŝy od pozycji na której się ona znajduje np. w liczbie 333 kaŝda cyfra oznacza inną wartość bowiem: 333=

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61

Metody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of

Bardziej szczegółowo

Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym

Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Zasady arytmetyki w systemie binarnym są identyczne (prawie) jak w dobrze nam znanym systemie dziesiętnym. Zaletą arytmetyki

Bardziej szczegółowo

Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki. sem. II - wykłady M. Czyżak

Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki. sem. II - wykłady M. Czyżak Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki sem. II - wykłady 8-11 M. Czyżak Arytmetyka komputerowa (ang. computer arithmetic) zajmuje się problemami realizacji obliczeń w urządzeniach cyfrowych.

Bardziej szczegółowo