SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M

Transkrypt

1 SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba Wagi systemu dziesiętnego:,,,,... L = C n P n + C n 2 P n C P + C P C elementy zbioru cyfr dostępnych w danym systemie, C {,...,P }, P podstawa systemu, P = 2, 4, 8,, 6 (6 Babilon, czas), n liczba całkowita. Przykłady: P = 2 C {, } P = 4 C {,,2,3 } P = 8 C {,,2,3,4,5,6,7 } P = C {,,2,3,4,5,6,7,8,9 } P = 6 C {,,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} cyfr uzupełnienie 37

2 ZAPIS liczby w różnych systemach (n = 4): (2) = =8++2+= (4) = =64++4+=69 (8) = =52++8+=52 () = =+++= (6) = = =43 System () SYSTEM NATURALNY System (2) SYSTEM KOMPUTEROWY {, } System (6) SYSTEM KOMPUTEROWY Przykłady: (6) = 6 () 6 (6) () = 6 = = 6 + = 6 = + 6 = 6 9 (6) = 25 () 9 25 (6) () = 6 = = = 25 = = 25 BF (6) = 9 () BF 9 (6) () = B 6 = 2 + F = = 9 + = = 9 SYSTEM DZIESIĘTNY Podstawa P =, znaki + oraz Liczby są przedstawiane jako sumy potęg podstawy. 245,245 =

3 SYSTEM DWÓJKOWY (BINARNY) Znaki:, Dwójkowy system pozycyjny, kod dwójkowy ZALETY: prostota łatwa realizacja techniczna (elektronika) możliwość interpretacji cyfr {, } jako wartości logicznych (algebra Boole a) WADY: długość zapisu przyzwyczajenie KOMPUTERY: konwersja systemów 6 2 Liczby w zapisie dwójkowym: c n- c n-2... c c c n, c n- cyfry liczby dwójkowej, przyjmujące wartości, Wartość liczby binarnej w systemie dziesiętym: L = c n n 2 n 2 + cn c 2 + c 2 39

4 Porównanie systemów P = oraz P = 2: System dziesiętny P = System dwójkowy P = n = 6 pozycji

5 LICZBY NATURALNE (CAŁKOWITE DODATNIE) = = n = = = = 37 KONWERSJA LICZBY DZIESIĘTNEJ DO DWÓJKOWEJ: (47) = (? ) 2 Reszta: 47 : 2 = 73 C = 73 : 2 = 36 C = 36 : 2 = 8 C 2 = 8 : 2 = 9 C 3 = 9 : 2 = 4 C 4 = 4 : 2 = 2 C 5 = 2 : 2 = C 6 = : 2 = C 7 = n = 8 (47) = () 2 = = = = () = (2) n = () = (2) n = 8 (2) = = = = 255 () Zapis binarny prosty pozwala za pomocą n cyfr zapisywać liczby z zakresu: L 2 n Dla n = 8: L 2 8 = 256 = 255 4

6 KODOWANIE DODATNICH LICZB UŁAMKOWYCH (ułamki właściwe) n = 8: 2) c - c c -n L = c c c -n 2 -n (2) = = = = =,6875 ( = ) = = ( =, KODOWANIE DOWOLNYCH LICZB I UŁAMKÓW należy wprowadzić znak dla liczb ujemnych nalezy wprowadzić znak oddzielający część całkowitą liczby od części ułamkowej ułamek nieujemny (dodatni) ułamek niedodatni (ujemny) KODOWANIE BEZPOŚREDNIE KODOWANIE ODWROTNE KOD UZUPEŁNIENIOWY 42

7 Liczby rzeczywiste Liczby rzeczywiste część całkowita + część ułamkowa Zapis w dwóch bajtach (6 liczb): PRZECINEK, n = 8 n = = = = Powyższy zapis ma same wady:. nie można zapisać liczb większych od 255, 2. przy małych liczbach pozostaje dużo wolnego miejsca, 3. MARNOWANIE PAMIĘCI KOMPUTEROWEJ. Błąd przy zapisie liczb: Liczba Część całkowita Część ułamkowa dziesiętna. 28, 2., 3. /256, Obcięcie liczb na dziewiątym miejscu błąd bezwzględny 9 = = =, wartość tracona z powodu braku miejsca BŁĄD WZGLĘDNY: Liczba :,5% Liczba 2:,945% Liczba 3: 5%! Powyższy sposób zapisu powoduje, że obliczenia są niewiarygodne (obliczenia naukowe, ekonomiczne, multimedialne). ZAPIS STAŁOPRZECINKOWY DLA LICZB RZECZYWISTYCH JEST NIEPRAKTYCZNY. 43

8 Kodowanie liczb o module x > y y = x x x y = x dla dla x < x Liczby o module x > przedstawia się w postaci składającej się z dwóch części: ułamkowej mantysa (m) całkowitej cecha (c) Wartość liczby określa zależność: x = sign( x) m 2 c m sign( x) = dla dla x x < ZAPIS LICZBY x: liczby stałoprzecinkowe (fixed point) liczby zmiennoprzecinkowe (floating point) (zmiennopozycyjne) DEFINICJA: BIT NAJMNIEJSZA JEDNOSTKA INFORMACJI {, } kb Mb Gb Tb kilobit megabit gigabit terabit bajt = 8 bitów (ang. byte) kb MB GB TB kilobajt megabajt gigabajt terabajt 44

9 LICZBY STAŁOPRZECINKOWE oddzielne kodowanie modułu i cechy ustalenie stałej umownej pozycji przecinka, oddzielającego część całkowitą od ułamkowej 234,23 =, cecha c = 4 2,7363 =,27363 c =,5934 =,5934 c =,243 =,243-3 c = -3 Mantysa należy do przedziału (, ), cecha pozwala przesunąć przecinek. ZAKRES LICZB: max c = 28 (n = 8, c = 2 7 ) L max = 3,4 38 Można zwiększyć zapis cechy do 2 bajtów. DEFINICJA: SŁOWO KOMPUTEROWE Ilość informacji przetwarzanej przez komputer. KOMPUTER 8, 6, 32 (64, 28-) bitowy oznacza wielkość grupy danych, którą komputer może operować jako całością. 45

10 Słowo: Część całkowita CECHA Część ułamkowa MANTYSA umowny przecinek moduł cechy moduł mantysy znak cechy znak mantysy Zalety zapisu stałoprzecinkowego: prostota elastyczność Wady zapisu stałoprzecinkowego: ograniczony zakres liczb mała dokładność obliczeń (zaokrąglanie wyników) LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby kodowane są w jednym słowie mantysa cecha znak mantysy Mantysa trzy bajty, cecha jeden bajt Wartość liczby L = m 2 c Zalety zapisu zmiennoprzecinkowego: szeroki zakres liczb Wady zapisu stałoprzecinkowego: zajmowanie dużej pamięci znak STANDARD ZAPISU LICZB ZMIENNOPRZECINKOWYCH 46

11 KOD UZUPEŁNIEŃ DO 2 Zapis tradycyjny: 8 bitów, c,..., c 7 przyjmują wartości, L = c c c6 2 + c5 2 + c c3 2 + c c Dla zapisu liczb ujemnych przyjmuje się: c 7 (-2 7 ) = c 7 (-28) L = c c ( 2 ) + c6 2 + c5 2 + c c3 2 + c c C 7 = liczba ujemna = = =- BIT7 BIT6 BIT5 BIT4 BIT3 BIT2 BIT BIT Bit najstarszy Bit najmłodszy Bit najstarszy MSB (Most Significant Bit) Bit najmłodszy LSB (Least Significant Bit) BIT7 służy do kodowanie znaku BIT7 = liczba dodatnia BIT7 = liczba ujemna BIT7 BIT6 BIT5 BIT4 BIT3 BIT2 BIT BIT L

12 SYSTEM SZESNASTKOWY (HEKSADECYMALNY) System dziesiętny P = n = 6 pozycji System szesnastkowy P = 6 System dwójkowy P = A B 2 C 3 D 4 E 5 F Zaleta: prostsze przedstawianie liczb dwójkowych. 48

13 ZAMIANA LICZB BINARNYCH NA HEKSADECYMALNE: podział liczby dwójkowej na grupy cyfr 4-bitowych = 6BD (6) 6 B D Zapis 6 umożliwia przedstawianie wszystkich bitów w bajcie za pomocą dwóch znaków. Konwersja binarno szesnastkowa: = B29 (6) = 2857 () (2) = 6BD (6) = 725 () Konwersja szesnastkowo binarna: 3FA (6) = (2) = 8 () Zapis dwójkowy jest długi. Zapis szesnastkowy stanowi kompromis pomiędzy tym co jest najbliższe komputerowi a tym co jest wygodne dla człowieka. 49