Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Transkrypt

1 Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych w systemach: dwójkowym, ósemkowym i szesnastkowym. Wyznaczanie równoważnych postaci liczb w różnych systemach pozycyjnych. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10). 2. Dokonać konwersji liczby dziesiętnej R = (10) na równoważną postać binarną. 3. Dana jest liczba binarna R = (2). Podać wartość dziesiętną liczby. 4. Dokonać konwersji liczby dziesiętnej R = 0.7 (10) na równoważną postać binarną. 5. Dana jest liczba ósemkowa R = (8). Podać wartość dziesiętną liczby. 6. Dokonać konwersji liczby dziesiętnej R = (10) na równoważną postać ósemkową. 7. Dana jest liczba szesnastkowa R = 1A0F.C8 (16). Podać wartość dziesiętną liczby. 8. Dokonać konwersji liczby dziesiętnej R = (10) na równoważną postać szesnastkową. 9. Dana jest liczba binarna R = (2). Podać postać ósemkową i postać szesnastkową liczby R. 10. Dokonać konwersji liczby dziesiętnej R = (10) na równoważną postać ósemkową. 11. Dokonać konwersji liczby dziesiętnej R = (10) na równoważną postać szesnastkową. 12. Podać wszystkie możliwe liczby binarne oraz ich wartości dziesiętne, które można zakodować na pięciu bitach, z których 2 są przeznaczone na część dziesiętną i 3 na część ułamkową.

2 Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych w systemach: dwójkowym, ósemkowym i szesnastkowym. Wyznaczanie równoważnych postaci liczb w różnych systemach pozycyjnych Reprezentacja liczb rzeczywistych Wprowadzenie teoretyczne Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w różnych systemach pozycyjnych za pomocą skończonego, niepustego zbioru symboli zwanych cyframi. W systemie dziesiętnym liczby zapisuje się w postaci ciągu cyfr dziesiętnych, reprezentowanych przez znaki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, np W systemie dwójkowym, który jest wykorzystywany w technice cyfrowej, liczby są reprezentowane za pomocą ciągów złożonych ze znaków należących do zbioru {0, 1}. Cyfry takiego zbioru przyjęto nazywać bitami. Na przykład liczba binarna reprezentuje liczbę dziesiętną o wartości W ogólnym przypadku liczba rzeczywista R może być zapisana w układzie pozycyjnym o podstawie p > 1 w następujący sposób: R = ±a n-1 a n-2... a 1 a 0.a -1 a -2 a gdzie a k {0,1,..., (p-1)} są cyframi w układzie liczbowym o podstawie p, n-1 numer pozycji o największej wadze. W językach programowania, w celu oddzielenia części całkowitej od ułamkowej, posługujemy się kropką, np , natomiast w matematyce posługujemy się przecinkiem, np. 3124,77. W pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie p są używane cyfry a k z zakresu od 0 do p-1. Sposób zapisywania liczb nazywa się pozycyjnym jeśli wartość cyfry zależy od pozycji jaką ta cyfra zajmuje w napisanej liczbie. Każda pozycja ma jednoznacznie określoną, stałą wagę liczbową. Wartość dziesiętna liczby R w układzie o podstawie p jest obliczana ze wzoru: R = ±(a n-1 p n-1 + a n-2 p n a 1 p 1 + a 0 p 0 + a -1 p -1 + a -2 p -2 + a -3 p ). W przedstawionej reprezentacji waga pozycji a k (waga cyfry a k ) wynosi p k. Inaczej liczbę R można zapisać za pomocą wzoru: R = ± Na przykład liczba R = (10) jest reprezentowana w układzie dziesiętnym w postaci: n 1 k= a k p (10) = ( ). k

3 W układzie dwójkowym liczba R = (10) ma następującą reprezentację: (10) = (2) = = = = = Liczba rzeczywista R składa się z części całkowitej c i ułamkowej u. gdzie n 1 = ± k c a k p, = ± k= 0 k= u a. 1 k k p R = c + u, Jeśli R jest liczbą wymierną, to część ułamkowa 0.a -1 a -2 a zawiera skończoną liczbę cyfr różnych od zera, tzn. począwszy od pewnego k>0 zachodzi a -k =0 (np ), lub zawiera nieskończoną liczbę cyfr różnych od zera, ale wówczas pewne grupy cyfr powtarzają się okresowo, tj. istnieją i>0 oraz k >= 0 takie, że cyfry a -i a -i-1 a -i-2... oraz a -i-k a -i-1-k a -i-2-k... są identyczne (np. liczba wymierna 1/81 = ). Jeśli R jest liczbą niewymierną, to część ułamkowa 0.a -1 a -2 a zawiera nieskończoną liczbę cyfr bez okresowej regularności od dowolnej pozycji k>0 (np. liczba niewymierna π = ) Kodowanie liczb w systemach cyfrowych Każda liczba rzeczywista R może być zapisana w dowolnym układzie pozycyjnym. Na ogół liczby zapisuje się na z góry ustalonej liczbie pozycji. Na przykład w komputerach podstawową jednostką przetwarzania danych jest słowo maszynowe, np. 8-bitowe, 16-bitowe, 32-bitowe, itd. W przypadku arytmetyki stałopozycyjnej miejsce przecinka jest ustalone, co oznacza, że dokładność reprezentacji (mierzona odległością na osi liczbowej sąsiednich liczb reprezentowanych słowami o danej długości) jest stała. Na przykład zakłada się, że część całkowita liczby może składać się maksymalnie z n cyfr, natomiast część ułamkowa z maksymalnie m cyfr. Wówczas, liczbę R złożoną z n cyfrowej części całkowitej i m cyfrowej części ułamkowej można zapisać w postaci: R = ±(a n-1 p n-1 + a n-2 p n a 1 p 1 + a 0 p 0 + a -1 p -1 + a -2 p a m+1 p -m+1 + a m p -m ) lub w formie skróconej: R = ±a n-1 a n-2... a 1 a 0.a -1 a a -m+1 a -m. Zapis równoważny ma postać: n 1 k= m k R = ± a k p. W przypadku słów 4-bitowych (p=2), w których 2 bity są przeznaczone na kodowanie części całkowitej i dwa bity na kodowanie części ułamkowej można zakodować liczby z dokładnością ¼ = Dopuszczalne słowa kodowe to: (2) = 0.00 (10), (2) = 0.25 (10), (2) = 0.50 (10), (2) = 0.75 (10),

4 01.00 (2) = 1.00 (10), (2) = 3.00 (10), (2) = 3.25 (10), (2) = 3.50 (10), (2) = 3.75 (10). W elektronicznych maszynach cyfrowych wykorzystywane są systemy pozycyjne o podstawach p = 2, 8, 16 i 10. Dlatego istotne są wzajemne konwersje między liczbami zapisanymi w tych układach. W przypadku reprezentacji liczb dodatnich wystarczy zakodować daną na ustalonej liczbie pól słowa kodowego. Nieujemna liczba rzeczywista R, składająca się z n-cyfrowej części całkowitej i m-cyfrowej części ułamkowej (razem n+m cyfr), jest reprezentowana w systemach cyfrowych w naturalnym kodzie binarnym (NKB) określonym według wzoru: R n 1 k n 1 n m = ak 2 = an 12 + an a1 2 + a0 2 + a 12 + a a m 2 k= m. Na przykład zapis, (2) jest zapisem skróconym wyrażenia: k ( 2) = k 2 = k= 4 a = = Kodowanie liczb ujemnych wymaga przyjęcia pewnej konwencji reprezentacji znaku. Na przykład można założyć, że najstarszy bit w liczbie binarnej reprezentuje bit znaku. Jeśli wartość bitu znaku jest 1, to liczba jest ujemna. Moduł liczby jest reprezentowany przez pozostałe bity w kodzie NKB. Jeśli wartość bitu znaku jest 0, to liczba jest dodatnia. Zakres reprezentowanych liczb zależy od długości słowa. Za pomocą słowa n-bitowego można przedstawić liczbę całkowitą C z zakresu: (2 1 1) C + (2 1). n 1 n W przypadku arytmetyki zmiennopozycyjnej dokładność reprezentacji zależy od wartości wykładnika. Liczba rzeczywista R jest zapisywana w postaci: R = ) Z E ( 1 S p, gdzie Z jest jednobitowym słowem znaku, p jest wykładnikiem (np. p=2, p=10), S jest n-bitowym słowem mantysy, natomiast E jest m-bitowym słowem wykładnika (cechy). Na przykład: 1 2 R = ( 1) = = 12.4.

5 1.3. Algorytmy konwersji liczb dziesiętnych W praktyce posługujemy się systemem dziesiętnym. W technice komputerowej są również wykorzystywane systemy: dwójkowy, ósemkowy i szesnastkowy. Cyfry wykorzystywane do kodowania liczb w wybranych systemach pozycyjnych: {0, 1} układ dwójkowy, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} układ ósemkowy, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} układ dziesiętny, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} układ szesnastkowy (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). W ogólnym przypadku w układzie pozycyjnym o podstawie p>1 liczby mogą być kodowane za pomocą cyfr należących do zbioru {0, 1,..., (p-1)}, tj. liczba R (p) = ±a n-1 a n-2... a 1 a 0.a -1 a a -m+1 a -m może zawierać wyłącznie cyfry spełniające zależność: 0 a k (p-1). Poniżej przedstawiono przykładowe wartości liczb całkowitych zapisanych w różnych systemach. System dziesiętny System dwójkowy System ósemkowy System szesnastkowy A B C D E F F FF E

6 Algorytm konwersji dziesiętno-binarnej Liczbę całkowitą c, zapisaną w układzie dziesiętnym, sprowadza się do równoważnej postaci binarnej poprzez wielokrotne jej dzielenie przez 2 i zapisywanie kolejnych reszt z dzielenia a 0, a 1, a 2,..., a n-1, które tworzą daną liczbę w dwójkowym systemie pozycyjnym. W ten sposób powstaje sekwencja cyfr liczby począwszy od cyfry najmniej znaczącej do cyfry najbardziej znaczącej. Liczba w układzie dwójkowym ma postać: (a n-1 a n-2...a 1 a 0 ) (2). Przykład 1.1. Konwersja dziesiętno-binarna liczby całkowitej. Niech liczba w układzie dziesiętnym c = 35 (10). Liczbę tę dzieli się wielokrotnie przez dwa zapisując część całkowitą i resztę z dzielenia. Operacja dzielenia kończy się jeśli pojawi się część całkowita równa zero. 35 : 2 = 17 reszta 1 = a 0 (cyfra najmniej znacząca LSD dla binarnych bit a 0 ) 17 : 2 = 8 reszta 1 = a 1 8 : 2 = 4 reszta 0 = a 2 4 : 2 = 2 reszta 0 = a 3 2 : 2 = 1 reszta 0 = a 4 1 : 2 = 0 reszta 1 = a koniec dzielenia Ostatecznie otrzymuje się: c = 35 (10) = (2). Wyniki dzielenia można zapisywać w tabelce w postaci: p= a 0 LSD dla całkowitych 17 1 a a a a a koniec Liczbę ułamkową u zapisaną w systemie dziesiętnym sprowadza się do postaci binarnej mnożąc wielokrotnie przez 2 część ułamkową otrzymywanych iloczynów. Części całkowite otrzymywanych iloczynów tworzą ułamek binarny równy liczbie u, począwszy od cyfry najbardziej znaczącej a -1, aż do cyfry najmniej znaczącej a -m. Zatem, u = (0.a -1 a -2...a -m ) (2).

7 Przykład 1.2. Konwersja dziesiętno-binarna liczby ułamkowej. Niech liczba w układzie dziesiętnym u = (10). Liczbę tę mnoży się wielokrotnie przez dwa zapisując część ułamkową otrzymanego iloczynu i część całkowitą, która jest kolejną cyfrą liczby ułamkowej. Operacja mnożenia kończy się jeśli pojawi się część ułamkowa równa zero lub cyfry części ułamkowej zaczną się powtarzać w sposób okresowy = = nadmiar 1 = a -1 (cyfra najbardziej znacząca MSD bit a -1 ) = 0.75 = 0.75 nadmiar 0 = a = 1.5 = 0.5 nadmiar 1 = a = 1.0 = 0.0 nadmiar 1 = a koniec mnożenia Ostatecznie otrzymuje się: u = (10) = (2). Wyniki dzielenia można zapisywać w tabelce w postaci: a -1 = MSD dla ułamków a -2 = 0 75 a -3 = 1 5 a -4 = koniec Przykład 1.3. Konwersja dziesiętno-binarna liczby rzeczywistej R = Część całkowita c = 21 (10). 21 : 2 = 10 reszta 1 = a 0 (cyfra najmniej znacząca LSD dla binarnych bit a 0 ) 10 : 2 = 5 reszta 0 = a 1 5 : 2 = 2 reszta 1 = a 2 2 : 2 = 1 reszta 0 = a 3 1 : 2 = 0 reszta 1 = a koniec dzielenia c = 21 (10) = (2). Część ułamkowa u = 0.6 (10) = 1.2 = 0.2 nadmiar 1 = a -1 (cyfra najbardziej znacząca MSD bit a -1 ) = 0.4 = 0.4 nadmiar 0 = a = 0.8 = 0.8 nadmiar 0 = a = 1.6 = 0.6 nadmiar 1 = a = 1.2 = 0.2 nadmiar 1 = a = 0.4 = 0.4 nadmiar 0 = a = 0.8 = 0.8 nadmiar 0 = a = 1.6 = 0.6 nadmiar 1 = a -8 u = 0.6 (10) = (2). Zatem: 21.6 (10) = (2).

8 Algorytmy konwersji dziesiętno-ósemkowej i dziesiętno-szesnastkowej Konwersji liczby rzeczywistej R z układu dziesiętnego do ósemkowego dokonuje się poprzez wielokrotne dzielenie jej części całkowitej przez 8 i zapisywanie kolejnych reszt oraz poprzez wielokrotne mnożenie jej części ułamkowej przez 8 i zapisywanie kolejnych nadmiarów. Podobnie realizuje się konwersję dziesiętno-szesnastkową oraz konwersję do dowolnego układu o podstawie p>1. Przykład 1.4. Konwersja dziesiętno-ósemkowa liczby rzeczywistej R = Dopuszczalne cyfry : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. 35 : 8 = 4 reszta 3 = a 0 (cyfra najmniej znacząca LSD) 4 : 8 = 0 reszta 4 = a 1 0 koniec dzielenia = 5.5 = 0.5 nadmiar 5 = a -1 (cyfra najbardziej znacząca MSD) = 4.0 = 0.0 nadmiar 4 = a koniec mnożenia R = (10) = (8). Przykład 1.5. Konwersja dziesiętno-szesnastkowa liczby rzeczywistej R = Dopuszczalne cyfry : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }. 35 : 16 = 2 reszta 3 = a 0 (cyfra najmniej znacząca LSD) 2 : 16 = 0 reszta 2 = a 1 0 koniec dzielenia = 11.0 = 0.0 nadmiar 11 = a -1 (cyfra najbardziej znacząca MSD) 0.0 koniec mnożenia R = (10) = 23.B (16) Algorytmy konwersji dwójkowo-ósemkowej i dwójkowo-szesnastkowej Do przedstawienia w systemie dwójkowym danych o dużych wartościach liczbowych niezbędne są długie ciągi zerojedynkowe. Aby skrócić zapis wartości danych, stosuje się ósemkowy lub szesnastkowy system liczbowy. W celu dokonania konwersji dwójkowo-ósemkowej należy liczbę dwójkową podzielić na grupy trzybitowe (triady), zaczynając podział od kropki ułamkowej w lewo i w prawo, i zastąpić otrzymane triady ekwiwalentnymi cyframi ósemkowymi. Jeśli triada nie jest pełna to należy dopisać zera. W celu dokonania konwersji dwójkowo-szesnastkowej należy liczbę dwójkową podzielić na grupy czterobitowe (tetrady), zaczynając podział od kropki ułamkowej w lewo i w prawo, i zastąpić otrzymane tetrady ekwiwalentnymi cyframi szesnastkowymi. Jeśli tetrada nie jest pełna to należy dopisać zera.

9 Przykład 1.6. Konwersja dwójkowo-ósemkowa i dwójkowo-szesnastkowa liczby rzeczywistej R = (10) = (2) (2) = (2) = (8) (2) = (2) = 23.B (16). Przykład 1.7. Konwersja dwójkowo-ósemkowa i dwójkowo-szesnastkowa liczby rzeczywistej R = (10) = (2) (2) = (2) = (8) (2) = (2) = 7AC. 2F (16).