Kod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci

Transkrypt

1 Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f 2 e 127 zapisuje się na 32-bitach następująco: s e f znak 1 bit wykładnik 8 bitów mantysa 23 bity

2 IEEE754 c.d. (-1) s 1.f 2 e 127 Mantysa zapisywana jest bez wiodącej cyfry 1, co pozwala oszczędzić miejsce Wykładnik zapisany jest w formie przesuniętej, tj. zwiększony o 127, co pozwala na uniknięcie liczb ujemnych jego zapisie b = b = 1.01 b 2 2 = b = b = e 10

3 Dec IEEE b b

4 Ograniczenia zapisu zmiennopozycyjnego Ograniczenie zakresu: skończona długość pola wykładnika -R max -R min 0 R min R max IEEE754 single precision (32 bity) R min 1.2e 38 R max 3.4e+38

5 Ograniczenia zapisu zmiennopozycyjnego Ograniczenie dokładności: skończona długość pola mantysy 0 R max 1.f*2 k 1.f*2 k+1 1.f*2 k+1 1.f*2 k+2 1.f*2 k+3 Zapisać można tylko niektóre liczby wymierne. Zagęszczenie liczb jest zmienne i zależy od wartości wykładnika. W każdym przedziale pomiędzy 2 i i 2 i+1 znajduje się tyle równomiernie rozłożonych liczb, na ile kombinacji pozwala długość pola mantysy. Dla liczb bliskich R min dokładność jest największa, ale zakres najmniejszy, dla liczb bliskich R max najmniejsza, a zakres największy.

6 Liczby całkowite vs zmiennopozycyjne Za pomocą n-bitów można zapisać dokładnie 2 n różnych liczb całkowitych (NKB, U2) 2 n liczb NKB I max =2 n -1 Za pomocą n-bitów można zapisać mniej niż 2 n różnych liczb wymiernych (IEEE754) -R max -R min 0 R min R max Z n-bitów można utworzyć 2 n różnych kombinacji binarnych. Znaczenie tych kombinacji zależy od interpretacji. W przypadku zapisu zmiennopozycyjnego, dostępne wartości są jedynie inaczej rozłożone na osi liczbowej, ale jest ich niemal tyle samo co liczb całkowitych.

7 Single vs Double Precision IEEE754 Single Precision: 32 bity 8b wykładnik + 23b mantysa R min R max dokładność około 7 cyfr znaczących Double Precision: 64 bity 11b wykładnik + 52b mantysa R min R max dokładność około 16 cyfr znaczących

8 Arytmetyka liczb zmiennopozycyjnych Dla zapisu zmiennopozycyjnego IEEE754: 1. Niemożliwe jest zapisanie wszystkich liczb z dostępnego zakresu. 2. Działania arytmetyczne (+,-,*,/) dają wyniki obarczone błędem przybliżenia. 3. Błąd zakresu (niedomiar lub przepełnienie) jest sygnalizowany kodem specjalnym IEEE Błąd przybliżenia nie jest sygnalizowany. 5. Operacje arytmetyczne wymagają skomplikowanych algorytmów.

9 Kody specjalne IEEE754 znak wykładnik mantysa liczba dodatnia mantysa liczba ujemna mantysa liczba zero+ (0+) liczba zero- (0-) liczba zdenormalizowana 0/1 0 mantysa +nieskończoność nieskończoność NaN (Not a Number) 0/ (kod błędu)

10 Dodawanie liczb zmiennopozycyjnych (fp) x = x S 2 x E y = y S 2 y E z = x + y z = 2 START sprowadź liczby do wspólnego wykładnika (denormalizacja liczby mniejszej) dodaj mantysy obu liczb ( =x S +y S ) znormalizuj wynik zaokrąglij wynik Przepełnienie wykładnika lub mantysy? Niedomiar wykładnika lub mantysy? START

11 Sprowadzanie do wspólnego wykładnika - denormalizacja Denormalizacja: przesunięcie mantysy w prawo + zwiększanie wykładnika! W przypadku dodawania liczb znacznie różniących się wartością wykładnika liczba mniejsza jest tracona (nie ma wpływu na wynik dodawania)

12 START Algorytm dodawania T x=0 N z y x E x S +y S (signed) y=0 =0 normalizacja z x x E y E z 0 przepełnienie niedomiar x E x E +1 x S x S >>1 y E >x E y E y E +1 y S y S >>1 y S 0 >>1 +1 przepełnienie <<1-1 niedomiar x S 0 z y z x exception 0 exception zaokrąglij STOP

13 Zaokrąglanie mantysy zaokrąglanie w górę = = zaokrąglanie w dół = = zaokrąglanie do najbliższej parzystej = = = = Rejestry do wykonywania działań na mantysach muszą być dłuższe od docelowego rozmiaru mantysy Przyjęte reguły zaokrąglania umożliwiają otrzymywanie deterministycznych (powtarzalnych) wyników.

14 Dodawanie - Hardware

15 Algorytm mnożenia START x = x S 2 x E x E + y E T x=0 N - bias y = y S 2 y E y=0 przepełnienie z = x S y S 2 x E +y E z 0 exception niedomiar 0 exception x S y S normalizuj z zaokrąglij STOP

16 Algorytm dzielenia START x = x S 2 x E x E - y E T x=0 N + bias y = y S 2 y E y=0 przepełnienie z = x S /y S 2 x E y E z 0 z exception niedomiar 0 exception x S / y S normalizuj z zaokrąglij STOP