Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia"

Transkrypt

1 Zmiennoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej precyzji podwó jnej precyzji Izabela Szczęch

2 Zapis zmiennoprzecinkowy - definicja i konwersje Zakresy liczb w reprezentacji zmiennoprzecinkowej Dokładność reprezentacji zmiennoprzecinkowej Arytmetyka w reprezentacji zmiennoprzecinkowej Problem utarty precyzji Plan zajęć Standardy reprezentacji zmiennoprzecinkowej Zapis zmiennoprzecinkowy - definicja i konwersja Izabela Szczęch

3 Wady zapisu stałoprzecinkowego zapis bardzo duż ych lub bardzo małych liczb w notacji stałoprzecinkowej jest niewygodny ponieważ wymaga duż ej liczby znakó w jeś li chcemy rozszerzyć zakres czy precyzję (liczbę miejsc po przecinku) musimy uż yć większej liczby znakó w dwanaś cie bilionó w: trzydzieś ci trylionó w: jedna bilionowa: 0, Zapis zmiennoprzecinkowy Zapis zmiennoprzecinkowy (ang. floating point numbers) zwany ró wnież postacią wykładniczą, notacją naukowa składa się z następujących elementó w: m mantysy, czyli liczby stałoprzecinkowej p podstawy systemu c cechy, czyli wykładnika potęgowego, do któ rego podnosimy podstawę systemu Wartość liczby zmiennoprzecinkowej L obliczamy według wzoru: c L ( FP) = m* p 6 Izabela Szczęch

4 Zapis zmiennoprzecinkowy Zapis zmiennoprzecinkowy wymaga znacznie mniejszej liczby znakó w niż stałoprzecinkowy przy zapisie bardzo duż ych lub bardzo małych liczb. Przykład dla systemu dziesiętnego: =,x =,0x0 9 0, =,0x0-7 Zapis zmiennoprzecinkowy Położ enie przecinka w mantysie nie jest ustalone i moż e się dowolnie zmieniać. Poniż sze zapisy oznaczają tą samą liczbę: 5 x 0 0 =,5 x 0 =,5 x 0 = 0,05 x 0 4, itd. Zmiana położ enia przecinka w mantysie wpływa na wartość cechy liczby: przesunięcie przecinka o pozycję w lewo wymaga zwiększenia cechy o. przesunięcie przecinka o pozycję w prawo wymaga zmniejszenia cechy o. 8 Izabela Szczęch 4

5 Znormalizowany zapis Znormalizowana liczba zmiennoprzecinkowa to taka, w któ rej mantysa spełnia nieró wność: p > m Według tej definicji postacią znormalizowaną dla zapisó w: 5 x 0 0 =,5 x 0 =,5 x 0 = 0,05 x 0 4 jest jedynie zapis,5 x 0. 9 Binarny zapis zmiennoprzecinkowy W binarnym systemie zmiennoprzecinkowym m, p oraz c zapisane są dwó jkowo, a podstawa p jest zawsze ró wna. Z racji, ż e podstawa jest zawsze znana, do zapisania dwó jkowej liczby zmiennoprzecinkowej wystarczy podanie wartoś ci m, c oraz sposobu ich kodowania. 0 Izabela Szczęch 5

6 Binarny zapis zmiennoprzecinkowy W ramach ć wiczeń będziemy operować na 8-mio bitowych dwó jkowych liczbach zmiennoprzecinkowych (FP), w któ rych: 4 najstarsze bity są przeznaczone na zapis cechy w kodzie U, pozostałe 4 bity są na zapis mantysy ró wnież w kodzie U. Przyjmijmy też, ż e mantysa jest liczbą stałoprzecinkową (w kodzie U) z dwoma miejscami po przecinku. cecha mantysa b 7 b 6 b 5 b 4 b b b b 0 Konwersja binarnego zapisu FP na system dziesię tny Przykład: Oblicz wartość dziesiętną zmiennoprzecinkowej dwó jkowej liczby 00 (FP). c = (U) (U) = = - (0) m = 0,0 (U) 0,0 (U) = + / 4 L (FP) = m* c = 5 / 4 * - = 5 / 4 * / = 5 / 8 00 (FP) = 5 / 8 (0) Izabela Szczęch 6

7 Konwersja binarnego zapisu FP na system dziesię tny Zadania: Oblicz wartość dziesiętną następujących zmiennoprzecinkowych liczb dwó jkowych: a) (FP) b) 00 (FP) c) 00 (FP) Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Algorytm przeliczania liczby dziesiętnej na liczbę zmiennoprzecinkową w innym systemie pozycyjnym: Przeliczamy daną liczbę dziesiętną na liczbę w systemie docelowym. Wynik jest wartoś cią mantysy przy cesze ró wnej 0. Normalizujemy mantysę modyfikując przy tym odpowiednio cechę liczby. 4 Izabela Szczęch 7

8 Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Przykład : Wyznacz dwó jkową zmiennoprzecinkową reprezentację liczby,5 (0),5 (0) =? (U) Z racji, ż e jest to stałoprzecinkowa liczba dodatnia, to z kodzie U wygląda tak samo jak w Znak-moduł. Konwertujemy ją zatem na ZM. Dostajemy:,5 (0) =00, (U) Tak by wyglądała reprezentacja przy cesze = zero czyli 0000 (U). Ale chcemy reprezentację z dwoma miejscami po przecinku, musimy więc przesunąć wszystkie bity o jedną pozycję w prawo i zwiększyć cechę o jeden. Wynik:,5 (0) =00000 (FP) c=000 (U), m=00 (U) 5 Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Sprawdzenie wyniku: L = (U) c = 000 (U) = (0) m = 0,0 (U) = 0*(- ) + * 0 + 0* = / 4 L = m* c = / 4 * = 5 / 4 * = 0 / 4 =, (FP) =,5 (0) 6 Izabela Szczęch 8

9 Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Przykład : Wyznacz dwó jkową zmiennoprzecinkową reprezentację liczby -, (0) -, (0) =? (U) Z racji, ż e jest to stałoprzecinkowa liczba UJEMNA, to aby ją przedstawić w kodzie U, szukamy najpierw zapisu wartoś ci, w kodzie U (któ ry jest toż samy z zapisem w kodzie Znak-moduł), a następnie szukamy liczby przeciwnej (przepisać wszystkie bity łącznie z pierwszą napotkaną jedynką a pozostałe bity zanegować ). +, (0) = 0, (U)=(ZM) Jest to oczywiś cie wartość przybliż ona (,89 ), bo, nie jest liczbą maszynową. -, (0) = 0,0 (U) Tak by wyglądała reprezentacja przy cesze = zero czyli 0000 (U). 7 Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Przykład : -, (0) = 0,0 (U) Tak by wyglądała reprezentacja przy cesze = zero czyli 0000 (U). Mamy tylko dwa miejsca przed przecinkiem (nie zawierające samych zer), nie musimy zatem przesuwać bitó w. Cecha pozostanie bez zmian. Wynik: -, (0) = (FP) c=0000 (U), m=0 (U) 8 Izabela Szczęch 9

10 Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Sprawdzenie wyniku: L = (U) c = 0000 (U) = 0 (0) m = 0, (U) = *(- ) + 0* 0 + * - + * - = -+ / + / 4 = - 8 / 4 + / 4 = - 5 / 4 L = m* c = - 5 / 4 * 0 = - 5 / 4 * = -, (FP) = -,5 ª -, 9 Konwersja z systemu dziesię tnego na zapis FP Zadania: Wyznacz dwó jkową zmiennoprzecinkową reprezentację poniż szych liczb dziesiętnych : a) -,5 b) 0, c) 9,5 d) - 0 Izabela Szczęch 0

11 Zakresy liczb w reprezentacji zmiennoprzecinkowej Zakresy liczb zmiennoprzecinkowych Wyznacz zakres dwó jkowych liczb zmiennoprzecinkowych reprezentowanych na 8-miu bitach (cecha w U to najstarsze 4 bity, pozostałe to mantysa w U z dwoma miejscami po przecinku). Poró wnaj wynik z zakresem liczb stałoprzecinkowych reprezentowanych na 8-miu bitach w kodzie znak-moduł z 4 miejscami po przecinku. Izabela Szczęch

12 Zakresy liczb zmiennoprzecinkowych Wzó r L (FP) = m* c przyjmuje wartość maksymalną dla maksymalnej cechy i maksymalnej mantysy. Cecha przyjmie wartość maksymalną dla kodu: 0 (U) = 7 (0) Mantysa największą wartość przyjmie dla kodu: 0, (U) = / 4 = 7 / 4 Zatem max (FP) = 7 / 4 * 7 = 7 / 4 * 8 = 7 * = 4 Zakresy liczb zmiennoprzecinkowych Wartość najmniejszą uzyskamy dla maksymalnej cechy i minimalnej mantysy. Cechę maksymalną: 0 (U) = 7 (0) Minimalną mantysę reprezentuje kod: 0,00 (U) = - (0) Zatem min (FP) = - * 7 = - * 8 = -56 Stąd wszystkie liczby reprezentowane przez nasz kod zawierają się w przedziale: Z (FP) = Na 8-miu bitach w kodzie znak-moduł z 4 miejscami po przecinku moż na reprezentować liczby w przedziału <, (ZM) ; 0, (ZM) > czyli z przedziału od -7 5 / 6 (0) do 7 5 / 6 (0). 4 Izabela Szczęch

13 Dokładność reprezentacji zmiennoprzecinkowej mantysa / 4 / / 4 / 4 / / / 4 - / - / / 4 - / - / / / / / -4 - / - - / - - / - - / c e c h a / 04 / 5 / 04 / 5 56 / 04 / 7 5 / 04 - / 8-7 / 04 - / 5-5 / 04 - / 56 - / 04 - / 5 - / / 5 / 56 / 5 / 8 5 / 5 / 56 7 / 5 - / 64-7 / 5 - / 56-5 / 5 - / 8 - / 5 - / 56 - / / 56 / 8 / 56 / 64 5 / 56 / 8 7 / 56 - / - 7 / 56 - / 8-5 / 56 - / 64 - / 56 - / 8 - / / 8 / 64 / 8 / 5 / 8 / 64 7 / 8 - / 6-7 / 8 - / 64-5 / 8 - / - / 8 - / 64 - / / 64 / / 64 / 6 5 / 64 / 7 / 64 - / 8-7 / 64 - / - 5 / 64 - / 6 - / 64 - / - / / / 6 / / 8 5 / / 6 7 / - / 4-7 / - / 6-5 / - / 8 - / - / 6 - / 0 0 / 6 / 8 / 6 / 4 5 / 6 / 8 7 / 6 - / - 7 / 6 - / 8-5 / 6 - / 4 - / 6 - / 8 - / 6 0 / 8 / 4 / 8 / 5 / 8 / 7 4 / / 8 - / 4-5 / 8 - / - / 8 - / 4 - / 6 8 Izabela Szczęch

14 Dokładność reprezentacji FP Powyż sza tabela zawiera wszystkie wartoś ci, jakie moż e reprezentować zmiennoprzecinkowy kod przeznaczający po 4 bity na zapis cechy i mantysy w kodzie U (w mantysie dwa miejsca są po przecinku). Są to JEDYNE liczby maszynowe, czyli liczby jakie przy tej reprezentacji moż na dokładnie zapisać w komputerze. Pozostałe liczby wymierne są wyraż ane z pewnym przybliż eniem poprzez wykorzystanie liczb maszynowych. 7 Zadania: Dokładność reprezentacji FP Przeanalizuj gęstość ułoż enia na osi wartoś ci dziesiętnych odpowiadających dwó jkowym zmiennoprzecinkowym liczbom maszynowym. Zwróć uwagę, ż e liczb maszynowych w okolicy zera jest stosunkowo wiele, a im dalej od zera tym rzadziej się one pojawiają (inaczej niż przy reprezentacji stałoprzecinkowej, gdzie poszczegó lne liczby maszynowe były od siebie ró wno oddalone). Okreś l, któ ry element zapisu zmiennoprzecinkowego (cecha czy mantysa) odpowiada za zakres reprezentowanych liczb, a któ ry za ich precyzję? Odpowiedź uzasadnij. 8 Izabela Szczęch 4

15 Nadmiar i podmiar W reprezentacji zmiennoprzecinkowej nadmiarem nazywamy sytuację, gdy liczba jest tak duż a (co do modułu), ż e nie zawiera się w przedziale liczb reprezentowalnych, a podmiarem sytuację, gdy liczba jest tak mała (co do modułu), ż e musi być reprezentowana przez zero. 9 Arytmetyka w reprezentacji zmiennoprzecinkowej Izabela Szczęch 5

16 Dodawanie i odejmowanie Suma lub różnica dwó ch liczb zmiennoprzecinkowych L i L wynosi: c c L ± L = m ± m * * c c * c m * c c L ± L = m * ± c * c c c * c m * m L ± L = ± c L L ± L ± L m = c = Ê Á Ë m c * c + c m ± c m ± c ˆ * c + c * c + c * * c Dodawanie i odejmowanie Mantysa sumy (lub różnicy) jest sumą (lub różnicą) mantys liczb wyjś ciowych po wyró wnaniu ich cech czyli po sprowadzeniu ich do wspó lnej cechy c+c. Cecha sumy (lub różnicy) jest ró wna sumie cech dodawanych (lub odejmowanych) liczb. Po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest sprowadzana do postaci znormalizowanej i zapamiętywana w kodzie liczby zmiennoprzecinkowej. Izabela Szczęch 6

17 Dodawanie i odejmowanie W systemie dwó jkowym operacja dzielenia przez jest ró wnoważ na przesunięciu wszystkich bitó w zapisu liczby o jedną pozycję w prawo (jak w systemie dziesiętnym podział przez 0). Z kolei mnoż enie przez odpowiada przesunięciu wszystkich cyfr o jedną pozycję w lewo. Dzielenie lub mnoż enie przez potęgi liczby jest zatem przesuwaniem wszystkich bitó w o odpowiednią liczbę pozycji (ró wną wykładnikowi potęgi liczby ) w lewo (mnoż enie) lub w prawo (dzielenie). Obie operacje są bardzo proste i nie wymagają wykonywania ż adnych działań arytmetycznych (w procesorze realizują je układy zwane rejestrami przesuwnymi - ang. shift registers). Zadania Zadania: Wykonaj poniż sze działania na liczbach zmiennoprzecinkowych, a następnie sprawdź poprawność obliczeń konwertując liczby na system dziesiętny: a) 000 (FP) (FP) b) (FP) (FP) c) 000 (FP) (FP) d) 0000 (FP) (FP) 4 Izabela Szczęch 7

18 c + c = 0 (U) 6 Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Rozwią zanie (b) (FP) (FP) Z zapisu zmiennoprzecinkowego wydobywamy cechy i mantysy obu liczb: c = 000 (U) = 4; m = 0,00 (U) c = 00 (U) = ; m =,00 (U) Pierwszą mantysę musimy podzielić przez zatem bity przesuwamy o pozycje w prawo (brakujące pozycje z przodu wypełniamy jedynkami, bo jest to liczba ujemna; odpowiada to dopisywaniu zer przed liczbą dodatnią): m =,000 (U) Drugą mantysę musimy podzielić przez 4, zatem bity przesuwamy o 4 pozycję w prawo: m =,00 (U) 5 Obliczamy mantysę sumy:,000 +, ,000 Rozwią zanie (b) m + m =,000 (U) Obliczamy cechę sumy: Izabela Szczęch 8

19 Rozwią zanie (b) Mantysę sumy sprowadzamy do postaci znormalizowanej: c = 0 (U) ; m =,000 (U) jedynki z przodu liczby ujemnej są nieznaczące (tak jak zera przed liczbą dodatnią), pierwszym miejscem znaczącym jest druga od lewej jedynka. Mamy mieć dwie pozycje przed przecinkiem, musimy zatem przesunąć bity o pozycje lewo i zmniejszyć cechę o c = 0 (U) -000 (U) =00 (U) ; m = 0, (U) Otrzymaną cechę i mantysą łączymy w jeden kod i otrzymujemy wynik operacji dodawania: (FP) (FP) = 000 (FP). 7 Sprawdźmy, czy wynik jest prawidłowy. W tym celu posługując się tabelką wyznaczamy wartoś ci poszczegó lnych liczb zmiennoprzecinkowych: (FP) = (FP) = (FP) =-40 Rozwią zanie (b) -+(-8)=-40 - wynik prawidłowy. 8 Izabela Szczęch 9

20 Nadmiar - przykład Zaobserwuj zjawisko nadmiaru pró bując wykonać dodawanie: 000 (FP) (FP) (czyli 60 (0) + 80 (0) ) Wydobywamy cechy i mantysy: c = 0 (U) = 7; m = 0,0 (U) c = 00 (U) = 6; m = 0,0 (U) Pierwszą mantysę przesuwamy o 6 bitó w w prawo, a drugą o 7 bitó w w prawo: m = 00, (U); m = 00, (U) Sumujemy cechy i mantysy: m + m = 00,00000 (U) ; c + c = 0 (U) Nie uda nam się znormalizować mantysy bez utraty precyzji, to nam sygnalizuje problem, któ ry w tym przykładzie wynika z wystąpienia nadmiaru. 9 Utrata precyzji Izabela Szczęch 0

21 Zadanie: Zsumuj dużą i małą liczbę i przeanalizuj wynik: (FP) (FP) czyli 4 (0) + (0) Utrata precyzji (FP) (FP) (czyli 4 (0) + (0) ) Wydobywamy cechy i mantysy: c = 000 (U) = 4; m = 0,0 (U) c = 000 (U) = ; m = 0,0 (U) Pierwszą mantysę przesuwamy o bit w prawo, a drugą o 4 bity w prawo: m = 00,000 (U); Sumujemy cechy i mantysy: m + m = 00,0 (U) ; m = 00,000 (U) Normalizujemy mantysę wyniku: c = 000 (U) ; Utrata precyzji m = 0,00 (U) c + c = 00 (U) Wynik dodawania: (FP) (FP) = (FP) = 4 (0). 4 Izabela Szczęch

22 Utrata precyzji Wnioski: suma jest ró wna pierwszej z sumowanych liczb. Dodanie drugiej liczby nie wpłynęło na wynik sumowania. Nastąpiła utrata precyzji. W systemie zmiennoprzecinkowym sumowanie liczby duż ej z liczbą małą moż e być niedokładne z uwagi na utratę precyzji. Dlatego sumując ciąg liczb zawsze sumujmy od wartoś ci najmniejszych do największych. 4 Standardy reprezentacji zmiennoprzecinkowej Izabela Szczęch

23 Format IEEE 754 Aby ujednolicić wyniki obliczeń numerycznych wykonywanych na różnych platformach sprzętowych, wprowadzono ś ciś le okreś lony standard zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754. Pełna nazwa standardu to: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic Pierwsza wersja standardu obowiązywała od 985r, najnowsza, pod nazwą IEEE , została opublikowana w sierpniu 008 Obecnie praktycznie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych oparte są o ten standard 45 Standard IEEE 754(-985, -008) definiuje dwie podstawowe klasy binarnych liczb zmiennoprzecinkowych: binary - pojedynczej precyzji (ang. single-precision) binary 64 - podwó jnej precyzji (ang. double-precision) Format Bit znaku Bity cechy bity - pojedyncza precyzja 64 bity - podwó jna precyzja Format IEEE 754 bit 8 bitó w bity bit bitó w 5 bity Bity mantysy Standard IEEE rozszerza też wersję IEEE o definicje kilku formató w dziesiętnych liczb zmiennoprzecinkowych 46 Izabela Szczęch

24 Format IEEE 754 Reprezentacja zmiennoprzecinkowa IEEE 754 pojedynczej precyzji bit znaku: 0 oznacza liczbę dodatnią, ujemną cecha zapisywana jest w kodzie z nadmiarem (dla 8-mio bitowego zapisu nadmiar wynosi 7, zatem w polu cechy moż na zapisać wartoś ci od -7 do 8) mantysa zapisywana jest w stałoprzecinkowym kodzie U. 47 Format IEEE 754 Standard IEEE definiuje nie tylko sposó b reprezentacji liczb, ale takż e: sposó b reprezentacji specjalnych wartoś ci, np. nieskończonoś ci, zera sposó b wykonywania działań na liczbach zmiennoprzecinkowych sposó b zaokrąglania liczb 48 Izabela Szczęch 4

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia

Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia Kod znak-moduł (ZM) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład VI

Pracownia Komputerowa wykład VI Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1

Bardziej szczegółowo

Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński

Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze

Podstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia Podstawowe działania na liczbach binarnych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD 2010/2011 Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Dodawanie Odejmowanie Mnoż enie Dzielenie Plan zajęć 2 Izabela Szczęch 1 Dodawanie

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad VI

Pracownia Komputerowa wyk ad VI Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej

Reprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Informatyki

Teoretyczne Podstawy Informatyki Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji

Bardziej szczegółowo

Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1

Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b

Bardziej szczegółowo

Kod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci

Kod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f

Bardziej szczegółowo

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika

Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka binarna - wykład 6

Arytmetyka binarna - wykład 6 SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.

Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne

Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30

Bardziej szczegółowo

Systemy zapisu liczb.

Systemy zapisu liczb. Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Naturalny kod binarny (NKB)

Naturalny kod binarny (NKB) SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:

Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,

Bardziej szczegółowo

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10). Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne

Technologie Informacyjne System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym

Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q

LABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone

Bardziej szczegółowo

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW 17.11.2010 Liczby zmiennoprzecinkowe Sprawa bardzo podobna jak w systemie dziesiętnym po przecinku mamy kolejno 10-tki do ujemnych potęg, a w systemie binarnym mamy 2-ki w ujemnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze

Podstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

Bardziej szczegółowo

RODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.

RODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax. RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA

Bardziej szczegółowo

Prefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)

Prefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit) Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE 275,538 =

SYSTEMY LICZBOWE 275,538 = SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc

Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia (zaoczne) Rok akademicki 2007/2008 Wykład nr 5 (3.04.2008) Rok akademicki 2007/2008,

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M

SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...

Bardziej szczegółowo

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie: Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)

Bardziej szczegółowo

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,

Bardziej szczegółowo

Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego

Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa

Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Stan wysoki (H) i stan niski (L)

Stan wysoki (H) i stan niski (L) PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład V

Pracownia Komputerowa wykład V Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne Wykład 4

Technologie Informacyjne Wykład 4 Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA. Zajęcia organizacyjne. Arytmetyka komputerowa.

INFORMATYKA. Zajęcia organizacyjne. Arytmetyka komputerowa. INFORMATYKA Zajęcia organizacyjne Arytmetyka komputerowa http://www.infoceram.agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~grzesik/ KONSULTACJE Zbigniew Grzesik środa, 9 ; A-3, p. 2 tel.: 67-249 e-mail: grzesik@agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Pozycyjny system liczbowy

Pozycyjny system liczbowy Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w

Bardziej szczegółowo

Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze

Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze [materiał ze strony: http://sigma.wsb-nlu.edu.pl/~szyszkin/] Wszelkie dane zapamiętywane przetwarzane przez komputery muszą być odpowiednio zakodowane.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki. Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery

Wstęp do Informatyki. Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery Wstęp do Informatyki Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery Pozycyjne systemy liczbowe Dziesiętny system liczbowy (o podstawie 10):

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię

Bardziej szczegółowo

Liczby zmiennoprzecinkowe i błędy

Liczby zmiennoprzecinkowe i błędy i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan

Bardziej szczegółowo

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory

Bardziej szczegółowo

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie

Bardziej szczegółowo

Zwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :

Zwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej : Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka stałopozycyjna

Arytmetyka stałopozycyjna Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Operacje arytmetyczne

Operacje arytmetyczne PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład IV

Pracownia Komputerowa wykład IV Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.

Metody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania. Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {

Bardziej szczegółowo

Kodowanie informacji. Kody liczbowe

Kodowanie informacji. Kody liczbowe Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad V

Pracownia Komputerowa wyk ad V Pracownia Komputerowa wyk ad V dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Sposób reprezentacji informacji w systemie. Reprezentacja informacji. Dzięki kodowaniu informacji.

Sposób reprezentacji informacji w systemie. Reprezentacja informacji. Dzięki kodowaniu informacji. Sposób reprezentacji informacji w systemie Reprezentacja informacji Jak to się dzieje że w pamięci komputera można przechowywać teksty, obrazy, dźwięki i liczby? Dzięki kodowaniu informacji. Kodowanie

Bardziej szczegółowo

architektura komputerów w. 2

architektura komputerów w. 2 architektura komputerów w. 2 Wiadomości i kody Wiadomości (Informacje) dyskretne ciągłe Kod - zbiór ciągów kodowych oraz reguła przyporządkowania ich wiadomościom. Ciąg kodowy - sygnał mający postać ciągu

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7

Bardziej szczegółowo

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe 1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Pracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VI

Pracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VI Pracownia komputerowa Dariusz Wardecki, wyk. VI Powtórzenie Ile wynoszą poniższe liczby w systemie dwójkowym/ dziesiętnym? 1001101 =? 77! 63 =? 111111! Arytmetyka w reprezentacji bezznakowej Mnożenie liczb

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY INFORMATYKI. Informatyka? - definicja

PODSTAWY INFORMATYKI. Informatyka? - definicja PODSTAWY INFORMATYKI Informatyka? - definicja Definicja opracowana przez ACM (Association for Computing Machinery) w 1989 roku: Informatyka to systematyczne badanie procesów algorytmicznych, które charakteryzują

Bardziej szczegółowo

Systemem liczenia systemach addytywnych !!" Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego

Systemem liczenia systemach addytywnych !! Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Podstawą systemów liczenia są systemy liczbowe

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki- wykład 2

Wstęp do informatyki- wykład 2 MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe Plan zaję ć

Systemy liczbowe Plan zaję ć Systemy liczbowe Systemy liczbowe addytywne (niepozycyjne) pozycyjne Konwersja konwersja na system dziesię tny (algorytm Hornera) konwersja z systemu dziesię tnego konwersje: dwójkowo-ósemkowa, ósemkowa,

Bardziej szczegółowo

1. Operacje logiczne A B A OR B

1. Operacje logiczne A B A OR B 1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne

Bardziej szczegółowo

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych

Bardziej szczegółowo

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1 Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad IV

Pracownia Komputerowa wyk ad IV Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Plan wykładu nr 4. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Informatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Plan wykładu nr 4. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania

Bardziej szczegółowo

Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych

Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb

Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Reprezentacja liczb Reprezentacja stałopozycyjna

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja znaków i liczb. dr inż. Izabela Szczęch Politechnika Poznańska Podstawy informatyki

Komputerowa reprezentacja znaków i liczb. dr inż. Izabela Szczęch Politechnika Poznańska Podstawy informatyki Komputerowa reprezentacja znaków i liczb dr inż. Izabela Szczęch Politechnika Poznańska Podstawy informatyki Plan wykładu Reprezentacja informacji w systemie komputerowym Podstawowe jednostki informacji

Bardziej szczegółowo

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,

Bardziej szczegółowo