Technologie Informacyjne Wykład 4
|
|
|
- Magda Sobczyk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014
2 Część I Liczby binarne i arytmetyka komputerów (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
3 Podstawowe fakty Arytmetyka komputerów Zapis liczb dwójkowy. Każda z liczb zapisywana jest za pomocą cyfr 0 i 1. Układ jest pozycyjny waga cyfry zależy od miejsca, w którym została ustawiona. Najmniej znaczące miejsca są po stronie prawej to czyli = 10 NB liczby parzyste mają zero na końcu, nieparzyste 1. Arytmetyka dwójkowa bardzo prosta = = = = = = 0 1 = = 0 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
4 Operacje logiczne Operacje logiczne (Podstawowe) operacje logiczne to suma logiczna (OR), iloczyn logiczny (AND), negacja (NOT), różnica symetryczna (XOR) OR AND XOR (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
5 Arytmetyka komputera (c.d.) Arytmetyka komputera Arytmetyka klasyczna Jesteśmy przyzwyczajeni do następujących rzeczy : 1 Jeżeli x 0 to a a + x a (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
6 Arytmetyka komputera (c.d.) Arytmetyka komputera Arytmetyka klasyczna Jesteśmy przyzwyczajeni do następujących rzeczy : 1 Jeżeli x 0 to a a + x a 2 a + b + + z = z + y + + b + a (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
7 Arytmetyka komputera (c.d.) Arytmetyka komputera Arytmetyka klasyczna Jesteśmy przyzwyczajeni do następujących rzeczy : 1 Jeżeli x 0 to a a + x a 2 a + b + + z = z + y + + b + a 3 a, b R a < b c : a < c < b (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
8 Arytmetyka komputera (c.d.) Arytmetyka komputera Arytmetyka klasyczna Jesteśmy przyzwyczajeni do następujących rzeczy : 1 Jeżeli x 0 to a a + x a 2 a + b + + z = z + y + + b + a 3 a, b R a < b c : a < c < b W arytmetyce komputerowej powyższe zasady nie obowiązują! (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
9 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby zmiennoprzecinkowe 1 Arytmetyka 1 Liczby naturalne 2 Liczby całkowite 3 Liczby wymierne 4 Liczby rzeczywiste 2 Komptery 1 Liczby całkowite ( integer ) 2 Liczby stałoprzecinkowe 3 Liczby zmiennoprzecinkowe (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
10 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby całkowite I Sytuacja dosyć klarowna. Na n bitach możemy zapisać liczby całkowite dodatnie z zakresu od zera do 2 n 1 Jest pewien problem z liczbami ujemnymi: trzeba zarezerwować miejsce na znak Trzeba to tak zrobić, żeby podstawowe operacje (dodawanie, odejmowanie i mnożenie,... ) były wykonywane tak samo gdy argumenty są dodatnie jak i wtedy gdy są ujemne. Układ uzupełnieniowy to załatwił. Czasami korzysta się z kodu BCD (Binary Coded Decimal (cyfry) dziesiętne kodowane binarnie: liczba zapisywana jest w układzie dziesiętnym (za pomocą cyfr dziesiętnych), ale poszczególne cyfry kodowane są binarnie 321 (10) zapisywane jest jako (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
11 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby ujemne 1 Trzeba zarezerwować jeden bit na zapamiętanie znaku! 2 Wariant najprostszy Wariant najprostszy Jest to zapis znak moduł 4 Ale jak dodawać takie liczby? (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
12 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby ujemne Tablica odejmowania: (Zakładamy, że operujemy na liczbach czterobitowych!) Zatem 1 to 1111 (czterobitowo!) = = = = 1111 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
13 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby ujemne Dokonajmy prostego sprawdzenia: 5 + ( 1) (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
14 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby ujemne Dokonajmy prostego sprawdzenia: 5 + ( 1) (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
15 Liczby zmiennoprzecinkowe Dygresja Liczby dziesiętne, dwucyfrowe: (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
16 Liczby zmiennoprzecinkowe Dygresja Liczby dziesiętne, dwucyfrowe: (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
17 Liczby zmiennoprzecinkowe Negacja liczby Mnemotechniczny algorytm negacji jest bardzo prosty: negujemy wszytskie bity i powstałą liczbę zwiększamy o 1: 1 to 0001 negacje: 1110 zwiększenie o 1: to 0010 negacja: 1101 zwiększenie o 1: 1110 sprawdzenie 5 + ( 2) (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
18 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby stałoprzecinkowe 1 Liczby w których na zapamiętanie części całkowitej przeznacza się kilka(naście/dziesiąt) bitów 2 Na zapamiętanie części ułamkowej również używa się kilku(nastu?) bitów: , co odczytujemy jako: lub czyli 10, Używany bardzo rzadko (finanse??) 4 Z matematycznego punktu widzenia są to liczby wymierne 5 Jak w tej postaci zapisać liczbę 1,1 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
19 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby zmiennoprzecinkowe I 1 Są to liczby zapisywane (kodowane) w sposób podobny do zananego nam: c = m/s 2 Czyli w postaci mantysa (2, ) plus wykładnik 8, zatem 2, *10 8 albo inaczej 2, e8 3 W przypadku komputerów podstawa kodowania (tak mantysy jak i wykładnika) to 2! 4 Dodatkowo liczby zapisywane są zawsze w postaci znormalizowanej czyli takiej, że cyfra przed przecinkiem (kropką) dziesiętnym jest zawsze z zakresu między 1 a 9. (a w układzie dwójkowym zawsze jest równa 1!) 5 Na zapamiętanie mantysy i wykładnika przeznaczana jest zawsze skończona liczba bitów. 6 Z matematycznego punktu widzenia są to liczby wymierne. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
20 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby zmiennoprzecinkowe II 7 Sposób zapisu liczb zmiennoprzecinkowych reguluje standard IEEE-754. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
21 Liczby zmiennoprzecinkowe Parę problemów 1 Zawsze(?) ograniczona liczba bitów przeznaczona na zapamiętanie liczby (ale znane są specjalne programy, które starają się te ograniczenie przezwyciężać). 2 Wynik działań arytmetycznych często prowadzi do powstania nadmiaru (czyli przekroczenia maksymalnej dopuszczalnej wartości liczb). 3 Większość liczb które (z przyzwyczajenia) traktujemy jako dokładne, nie ma dokładnej reprezentacji dwójkowej (0,5 jest OK ale 0,1 już nie). (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
22 Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych I 1 Mnożenie. Jest proste: mnożymy mantysy i dodajemy wykładniki. 1, 33 e+3 1, 55 e+7 = 2, 0615 e+10 Następnie trzeba wynik obciąć do odpowiedniej liczby miejsc znaczących (w naszym przypadku niech to będą trzy cyfry) 2, 06 e+10 W przyku liczb binarnych będzie podobnie. Uwaga: czasami może zdarzyć się problem: w wyniku mnożenia liczba może ulec denormalizacji wówczas trzeba ją znormalizować, zaokrąglić i skorygować wykładnik: 5, 55 e+0 6, 33e+0 = 35, 13 e+0 = 3, 51 e+1 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
23 Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych II 2 Dzielenie. Postępujemy analogicznie jak w przypadku mnożenie (dzielimy mantysy, odejmujemy wykładniki). W przypadku denormalizacji postępujem jak wyżej 1, 33 e+0/9, 88 e+0 = 0, e+0 = 1, 35 e 1 3 Dodawanie. Sprawa nieco bardziej skomplikowana. Aby dodawać liczby zmiennoprzecinkowe trzeba je najpierw zdenormalizować i doprowadzić do równości wykładników: 1, 22 e+0 + 3, 35 e 4 = 1, 22 e+0 + 0, e+0 = 1, e+0 = 1, 22 e+0 a następnie zaokrąglić i znormalizować... 4 Odejmowanie. Identycznie jak dodawanie. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
24 Dziesiętny do dwójkowego Liczby całkowite: Liczbę dzielimy przez dwa zapisując reszty z dzielenia: 10 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
25 Dziesiętny do dwójkowego Liczby całkowite: Liczbę dzielimy przez dwa zapisując reszty z dzielenia: (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
26 Dziesiętny do dwójkowego Liczby całkowite: Liczbę dzielimy przez dwa zapisując reszty z dzielenia: (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
27 Dziesiętny do dwójkowego Liczby całkowite: Liczbę dzielimy przez dwa zapisując reszty z dzielenia: (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
28 Dziesiętny do dwójkowego Liczby całkowite: Liczbę dzielimy przez dwa zapisując reszty z dzielenia: (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
29 Dziesiętny do dwójkowego Liczby całkowite: Liczbę dzielimy przez dwa zapisując reszty z dzielenia: Reszty z dzielenia zapisujemy od końca otrzymując 1010 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
30 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
31 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
32 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
33 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
34 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
35 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
36 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
37 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
38 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 0,48 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
39 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
40 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 1,92 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
41 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 1,92 1,84 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
42 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 1,92 1,84 1,68 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
43 Dziesiętny do dwójkowego Część ułamkowa: Liczbę mnożymy przez dwa i zapisujemy część całkowitą:,33 0,66 1,32 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 1,92 1,84 1,68 0, =0, (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
44 Dwójkowy do dziesiętnego Do zrobienia w domu! (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
45 Wnioski 1 Konwersja liczb dziesiętnych do dwójkowych często wprowadza błędy. 2 Ograniczona liczba bitów powoduje, że każde działanie wykonywane jest z błędem. 3 W przypadku wielokrotnego powtarzania jakiegoś obliczenia sprawa zaczyna mieć znaczenie... (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
46 Część II Błędy numeryczne (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
47 Podstawowe definicje Podstawowe definicje Wielkość dowolna stała matematyczna, wynik jakiejś operacji matematycznej (działania), pierwiastek rozwiązywanego równania. π jest określony jako stosunek obwodu okręgu do jego średnicy; 2 jest pierwiastkiem równania kwadratowego X 2 2 = 0. Wartość dokładna wielkości wartość wynikająca wprost z definicji wielkości, nie obarczona żadnymi błędami. Wartość przybliżona wielkości wartość liczbowa uzyskana w wyniku obliczeń. Zazwyczaj w wyniku obliczeń nie uzyskujemy dokładnej wartości. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
48 Podstawowe definicje Wielkości fizyczne Ciśnienie, temperatura, długość, stężenie to przykłady wielkości fizycznych, które bardzo często mierzymy. Każdy pomiar obarczony jest błędem wynikającym z dokładności użytego narzędzia pomiarowego. Wartość dokładna to temperatura w jakimś miejscu sali; wartość przybliżona to wartość zmierzona jakimś termometrem. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
49 Podstawowe definicje Obliczenia Używamy komputera do dokonania jakichś obliczeń. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
50 Podstawowe definicje Obliczenia Używamy komputera do dokonania jakichś obliczeń. Komputer podaje wynik (a = 5, ) mający 8 cyfr po przecinku. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
51 Podstawowe definicje Obliczenia Używamy komputera do dokonania jakichś obliczeń. Komputer podaje wynik (a = 5, ) mający 8 cyfr po przecinku. Czy możemy powiedzieć, że wyznaczona liczba ma wszystkie cyfry poprawne?, Czy różni się od wartości dokładnej o mniej niż 0,5 10 8? (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
52 Podstawowe definicje Obliczenia Używamy komputera do dokonania jakichś obliczeń. Komputer podaje wynik (a = 5, ) mający 8 cyfr po przecinku. Czy możemy powiedzieć, że wyznaczona liczba ma wszystkie cyfry poprawne?, Czy różni się od wartości dokładnej o mniej niż 0,5 10 8? A co z sytuacją, że zastosowana metoda obliczeń jest mało dokładna? (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
53 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej Błąd bezwzględny wartości przybliżonej I Niech A będzie wartością dokładną, a a wartością przybliżoną pewnej wielkości. Błędem bezwzględnym wartości przybliżonej nazywamy każdą liczbę a spełniającą warunek: to znaczy taką liczbę, że A a a, a a A a + a. Wartość przybliżona a i jej błąd bezwzględny a wyznaczają przedział: < a a; a + a >, do którego należy dokładna wartość A Błąd bezwzględny nie jest określony jednoznacznie! (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
54 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej Liczba przybliżona Jeżeli a jest wartością przybliżoną dla wartości dokładnej A, obciążoną błędem a, to parę liczb a, a zapisaną w postaci będziemy nazywali liczbą przybliżoną dla A. a a (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
55 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej π Wiemy, że π = 3, Wartością przybliżoną π często używaną w rachunkach, jest liczba 3,14. Jej błędem bezwzględnym jest na przykład liczba a = 0,0016. Dokładna wartość π jest zawarta między liczbami: 3,14 0,0016 π 3, ,0016 to znaczy π znajduje się w przedziale Zatem możemy zapisać π = 0,0016 3,14 < 3,1384; 3,1416 > (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
56 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej Równość w przybliżeniu Jeżeli liczby przybliżone α a i β b są takie, że przedział < a α; a + α > jest zawarty w przedziale < b β; b + β > to mówimy, że liczba α a jest w przybliżeniu równa liczbie β b. Zapisujemy to α a β b. Z tego że α a jest w przybliżeniu równe β b NIE WYNIKA, że β b jest w przybliżeniu równe α a! (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
57 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej Zaokrąglanie liczb przybliżonych Dla dowolnej liczby przybliżonej a α i dowolnej liczby rzeczywistej b zachodzi związek: α a α+ a b b czyli a α jest w przybliżeniu równe α+ a b b Zaokrąglanie stosujemy wtedy, gdy wynik jakichś działań ma zbyt wiele cyfr. Zastępując liczbę a= α 0, ,14159 liczbą 3,14 możemy oszacować błąd. Wynosi on 0, , ,14. Czyli: 0, Zatem: 0, , , ,14 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
58 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej Zaokrąglanie liczb przybliżonych Jeżeli β α, to: Zatem 0, ,14 0,0016 3,14 α a β b (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
59 Błąd bezwzględny wartości przybliżonej Reguły zaokrąglania Gdy wynik działania arytmetycznego ma (za) dużo cyfr możemy odrzucić ostatnie, zbędne cyfry (pamiętając o zwiększeniu błędu zaokrąglenia). Gdy pierwszą odrzuconą cyfrą jest 0, 1, 2, 3, 4 cyfr pozostawionych w wartości przybliżonej nie zmieniamy. Jeżeli pierwszą odrzuconą cyfrą jest 5, 6, 7, 8, 9 do pozostawionej części wartości przybliżonej dodajemy 1 na ostatnim zostawianym miejscu dziesiętnym. Taka zmiana liczby przybliżonej nazywa się poprawnym zaokrągleniem. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
60 Działania na liczbach przybliżonych Działania na liczbach przybliżonych suma α a + b= β α+β a + b (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
61 Działania na liczbach przybliżonych Działania na liczbach przybliżonych suma różnica α a + b= β α+β a + b α a b= β α+β a b (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
62 Działania na liczbach przybliżonych Działania na liczbach przybliżonych iloczyn α a b β a β+ b α+αβ ab (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
63 Działania na liczbach przybliżonych Działania na liczbach przybliżonych iloczyn α a b β a β+ b α+αβ ab dzielenie gdzie α a: β b γ a b γ = α + a b β b β. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
64 Działania na liczbach przybliżonych Działania na liczbach przybliżonych suma 1 Pierwszy najmniej korzystny przypadek: a α + b β = (a + b) (α + β) 2 Drugi najmniej korzystny przypadek: a + α + b + β = (a + b) + (α + β) (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
65 Działania na liczbach przybliżonych Działania na liczbach przybliżonych suma 1 Pierwszy najmniej korzystny przypadek: a α + b β = (a + b) (α + β) 2 Drugi najmniej korzystny przypadek: a + α + b + β = (a + b) + (α + β) (Zadanie domowe: jak będzie w przypadku różnicy? A w przypadku iloczynu?) (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
66 Przykład Przykład Obliczyć wartość wielomianu w(x) = a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 dla x = 2,1. Przyjmijmy, że współczynniki wielomianu są liczbami dokładnymi i równają się: a 0 = 2,3, a 1 = 3, a 2 = 4,5, a 3 = 7,2, a 4 = 0, 1 Najpierw obliczenia wykonamy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, a później z dokładnością do czterech. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
67 Przykład Przykład cd dwie cyfry x 2 = 0,0 2,1 0,0 2,1= 0,00 4,41 x 3 = 4, 0, , 0,0 1= 9,261 0,000 0,001 9,26 x 4 = 0,001 9,26 2,1 0,0 0, ,446 0, ,45 2,3 x 4 = 0,0 2,3 0, ,45 0, ,735 0, ,74 0,02 44,74 3x 3 = 0 3 0,001 9,26 0,003 27,78 4,5x 2 = 0,0 4,5 0,00 4,41 0,000 19,845 0,005 19,85 suma: 7,2x = 0,0 7,2 0,0 2,1 0,00 15,12 w(2,1) = 0,02 44,74 + 0,003 0,005 27,78 19,85 + 0,00 15,12 0,0 0,1= 0,028 67,69 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
68 Przykład Przykład cd cztery cyfry x 2 = 0,0 2,1 0,0 2,1= 0,00 4,41 x 3 = 0,00 4, 41 0,0 2, 1= 0,000 9,261 x 4 = 0,000 9,261 0,0 2,1= 0, ,4481 2,3 x 4 = 0,0 2,3 0, ,4481= 0, , , ,7306 3x 3 = 0 3 0,000 9,261= 0,000 27,783 4,5x 2 = 0,0 4,5 0,00 4,41= 0,000 19,845 suma 7,2x = 0,0 7,2 0,0 2,1= 0,00 15,12 w(2,1) = 0, , ,000 27,783 0,000 19, ,00 15,12 0,0 0,1= 0, ,6886 (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
69 Przykład Przykład cd Załóżmy teraz, że współczynniki obarczone są błędami i równają się: a 0 = 0,01 2,3, a 1 = 0 3, a 2 = 0,02 4,5, a 3 = 0,02 7,2, a 4 = 0,01 0, 1 dwie cyfry cztery cyfry w(2,1) 0,42 67,69 w(2,1) 0, ,6886 0, ,69 0,37 67,69 Prowadzenie obliczeń z dokładnością do czterech cyfr po przecinku praktycznie nie zwiększyło dokładności! Wynika to stąd, że dane obarczone są dużym błędem (już druga cyfra po przecinku nie jest dokładna). (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
70 Przykład Kolofon Prezentacja złożona w systemie L A TEX 2ε z wykorzystaniem klasy beamer. Użyto fontu Iwona. (IMMT PWr) TI-W01 30 października / 1
Arytmetyka komputerów
Arytmetyka komputerów Wersja: 5 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2012-11-09 09:23:41 +0100 Część I Liczby binarne i arytmetyka komputerów Arytmetyka komputerów Zapis liczb dwójkowy. Każda z liczb
Technologie Informacyjne Wykład 3
Technologie Informacyjne Wykład 3 Procesor i jego architektura (CISC, RISC, 32/64 bity) Systemy wieloprocesorowe Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa wer. 5
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa wer. 5 Wojciech Myszka, Maciej Panek listopad 2014r. Ułamki Powinniśmy wiedzieć już wszystko na temat arytmetyki liczb całkowitych. Teraz zajmiemy się liczbami zmiennoprzecinkowymi.
Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Arytmetyka komputerów
Arytmetyka komputerów wer. 4 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2017-10-26 20:59:28 +0200 Liczby binarne Liczby dwójkowe nie są wcale nowym wynalazkiem: Pierwsze wzmianki pochodzą z Indii, z 5 2
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Arytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Naturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Procesor i jego architektura (CISC, RISC, 32/64 bity). Systemy wieloprocesorowe. wer Wojciech Myszka 16 pa«zdziernika 2008
Procesor i jego architektura (CISC, RISC, 32/64 bity). Systemy wieloprocesorowe. wer. 1.4 Wojciech Myszka 16 pa«zdziernika 2008 CISC I Complex Instruction Set Computers nazwa architektury mikroprocesorów
Kod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Systemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Stan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Podstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Zapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Teoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Arytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa
Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja
SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Pracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Kodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Technologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Architektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
LABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Reprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Metody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Architektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Operacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1
Pracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Liczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Pracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Metody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.
Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {
Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej
Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Wprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Pozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał
EMN. dr Wojtek Palubicki
EMN dr Wojtek Palubicki Zadanie 1 Wyznacz wszystkie dodatnie liczby zmiennopozycyjne (w systemie binarnym) dla znormalizowanej mantysy 3-bitowej z przedziału [0.5, 1.0] oraz cechy z zakresu 1 c 3. Rounding
Cyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2
Cyfrowy zapis informacji 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Bit, Bajt, Słowo 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 3 Cyfrowy zapis informacji Bit [ang. binary digit] jest elementem zbioru dwuelementowego używanym
Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Cyfry znaczące reguły Kryłowa-Bradisa: Przy korzystaniu z przyrządów z podziałką przyjęto zasadę, że
Pracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Podstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Zwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Układy kombinacyjne 1
Układy kombinacyjne 1 Układy kombinacyjne są to układy cyfrowe, których stany wyjść są zawsze jednoznacznie określone przez stany wejść. Oznacza to, że doprowadzając na wejścia tych układów określoną kombinację
Cyfrowy zapis informacji
F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =
RODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.
RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA
Techniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Wstęp do informatyki- wykład 2
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Prefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
W jaki sposób użyć tych n bitów do reprezentacji liczb całkowitych
Arytmetyka komputerowa Wszelkie liczby zapisuje się przy użyciu bitów czyli cyfr binarnych: 0 i 1 Ile różnych liczb można zapisać używajac n bitów? n liczby n-bitowe ile ich jest? 1 0 1 00 01 10 11 3 000001010011100101110111
Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki
Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji
Pracownia Komputerowa wyk ad IV
Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
2.3. Wyznaczanie wartości wielomianu, pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze
23 Wyznaczanie wartości wielomianu pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze 231 Systemy liczbowe Definicja Systemem liczbowym nazywamy zbiór zasad określających sposób
Informatyka kodowanie liczb. dr hab. inż. Mikołaj Morzy
Informatyka kodowanie liczb dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu definicja informacji sposoby kodowania reprezentacja liczb naturalnych i całkowitych arytmetyka binarna arytmetyka oktalna arytmetyka
Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb
Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Reprezentacja liczb Reprezentacja stałopozycyjna
Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory
Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory Poniżej pozwoliłem sobie za cytować za wikipedią definicję zmiennej w informatyce.