ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus"

Transkrypt

1 ANALIZA ZESPOLONA IV semestr 203/4 oprac. Janina Kotus

2 Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str Funkcje zespolone str Granica i ciag lość str Pochodna str Pochodne formalne str Pochodna kierunkowa funkcji str Funkcje holomorficzne str Funkcje elementarne str Funkcja wyk ladnicza str Funkcje trygonometryczne str Funkcje hiperboliczne str Funkcja logarytmiczna str Funkcja pot egowa str Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych str Szeregi funkcyjne str Szeregi liczbowe str Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych str Szeregi pot egowe str Funkcje analityczne str Odwzorowania konforemne str Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-riemanna str Odwzorowania konforemne str. 35 2

3 6. Ca lka z funkcji zespolonej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy ego str Funkcje holomorficzne w C str Zera funkcji holomorficznej str Szeregi Laurenta str. 6. Punkty osobliwe str. 65. Punkty osobliwe izolowane str Zachowanie si e funkcji holomorficznej w punkcie str Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl edu na ich punkty osobliwe str Obliczanie ca lek za pomoca residuów str Geometryczna teoria funkcji str Przed lużenia analityczne str Rodziny normalne funkcji str Funkcje harmoniczne str. 97 3

4 . 4

5 Poj ecia podstawowe Zbiór liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y R} można utożsamiać z p laszczyzna dwuwymiarowa, która bedziemy oznaczać symbolem C i nazywać p laszczyzna zespolona otwarta. Aby zdefiniować jej domkni ecie podamy najpierw definicj e przekszta lcenia zwanego rzutem stereograficznym.. Rzut stereograficzny W przestrzeni R 3 definiujemy sfere x 2 + y 2 + ( z 2) 2 = o środku w punkcie (x 4 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, ) i promieniu r =, styczn a 2 2 do p laszczyzny uk ladu OXY w poczatku uk ladu wspó lrzednych. Punkt N = (0, 0, ) S 2 nazywać bedziemy biegunem pó lnocnym sfery. Konstrukcja rzutu stereograficznego Każdemu punktowi z = x + iy C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) S 2 \ {N} bed acy punktem przeciecia odcinka l acz acego punkt z C z punktem N. Definicja. Odwzorowanie gdzie ξ = P : C nazywamy rzutem stereograficznym. z = Z S 2 \ {N}, z = x + iy = Z = (ξ, η, ζ), x + z 2, η = y + z 2, ζ = z 2 + z 2, Uwaga. Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne P : S 2 \ {N} = C, Z = (ξ, η, ζ) = z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = ξ, y = η. ζ ζ Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja miedzy p laszczyzna otwarta C i sfera bez bieguna pó lnocnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na p laszczyźnie. 5

6 Uwaga.2 Umówimy si e, że punktowi N odpowiada punkt w nieskończoności (ozn. ). Definicja.2 P laszczyzna domnkiet a, która oznaczamy symbolem C nazywamy sume C { } i utożsamiamy ja z dwywymiarowa sfera zwana sfera Riemanna..2 Metryki w C i C W p laszczyźnie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesowa d(z, z 2 ) := (Rez Rez 2 ) 2 + (Imz Imz 2 ) 2 = z z 2. W p laszczyźnie domknietej C wprowadzamy metryke sferyczna, w której odleg lość miedzy punktami z, z 2 rozumiemy odleg lość euklidesowa miedzy ich obrazami przy rzucie stereograficznym na sferze tzn. ρ(z, z 2 ) := d(p (z ), P (z 2 )) = ρ(z, ) := z z 2 + z 2 + z 2 2 z z 2 C, + z 2, z. Uwaga.3 Aby otrzymać drugi wzór z pierwszego należy za z mianownik przez z 2. podstawić z i podzielić licznik oraz ρ(z, z 2 ) = z z 2 + z 2 + z 2 = z z z 2 + z 2 2 z z 2 jesli z 2. Uwaga.4 z, z 2 C, 0 ρ(z, z 2 ). Uwaga.5 P laszczyzna domknieta C z metryka sferyczna jest przestrzenia metryczna zwarta. Uwaga.6 Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa równoważne tzn. jeśli A {z : z R}, (R < ), to z z 2 + R 2 ρ(z, z 2 ) z z 2 z, z 2 A. 6

7 Definicja.3 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : d(z, z 0 ) = z z 0 < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (otwartej). Definicja.4 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : ρ(z, z 0 ) < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (domkni etej). Zatem: U(, ɛ) = {z C : ρ(z, ) < ɛ} = {z C : {z C : z > ɛ 2 }, + z 2 < ɛ} = ɛ ma le. Otoczeniem punktu w w p laszczyźnie C jest dope lnienie domkni etego ko la o środku w zerze. Definicja.5 - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < z z 0 < ɛ}. - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < ρ(z, z 0 ) < ɛ}. Definicja.6 Obszarem D nazywamy zbiór punktów p laszczyzny C spe lniajacy warunki: - (otwartość) a D U(a, ɛ)-otoczenie takie, że U(a, ɛ) D, - ( lukowa spójność) a, b D istnieje droga o końcach a,b zawarta w D. Droga o końcach a, b nazywamy funkcje ciag l a γ : [t 0, t ] C taka, że γ(t 0 ) = a, γ(t ) = b. Stwierdzenie. Dla zbiorów otwartych zawartych w C (odpow. w C) lukowa spójność pokrywa sie ze spojnościa zbiorów. Definicja.7* Obszar D C (odpow. D C) nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzeg jest zbiorem spójnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielospójnym. (*) Później podamy inna definicje jednospójności. 7

8 2 Funkcje zespolone Definicja 2. Odwzorowanie f : D C, z w = f(z) nazywamy funkcje zespolona zmiennej zespolonej. D C Argument z funkcji f i jej wartość w = f(z) rozk ladamy na cześć rzeczywista i urojona tzn. z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten sposób rozk lad funkcji w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na cześć rzeczywista Ref(z) := u(x, y) i cześć urojona Imf(z) := v(x, y). Cześć rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywista dwóch zmiennych x, y. Przyk lad 2. Znaleźć cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = iz 2. Zatem f(z) = iz 2 = i(x + iy) 2 = i(x 2 + 2ixy y 2 ) = ix 2 2xy iy 2 = 2xy + i(x 2 y 2 ). Ref(z) = u(x, y) = 2xy, Imf(z) = v(x, y) = x 2 y 2. Przyk lad 2.2 Dane sa cześć rzeczywista u(x, y) = x y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej f. Przedstawić funkcje f jako funkcje zmiennej zespolonej z. z = x + iy, z = x iy x = z + z 2, y = z z. 2i Podstawiamy ( ) ( ) ( ) ( ) z + z z z z + z z z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x y) + i4xy = + i4 2 2i 2 2i ( = z 2 ) ( + z 2i 2 + ) ( ) ( ) (z 2 z 2 ) = z 2i 2 + i + z 2 2 i + z 2 z

9 2. Granica i ciag lość Definicja 2.2 lim f(z) = g ɛ > 0 δ > 0 z D 0 < d(z, z 0 ) < δ d(f(z), g) < ɛ. z z 0 Stwierdzenie 2. lim f(z) = g lim u(x, y) = Reg i lim v(x, y) = Img. z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Definicja 2.3 Funkcja f jest ciag la w z 0 lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Twierdzenie 2. Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciag la w z 0 funkcje u i v sa ciag le w (x 0, y 0 ). Definicja 2.4 Funkcja f jest ciag la w, jeśli funkcja f( ) jest ci ag la z w zerze. 2.2 Pochodna Definicja 2.5 Granice w laściwa ilorazu różnicowego f(z + z) f(z) lim z 0 z nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy f (z). f (z) := lim z 0 f(z + z) f(z), z f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Jeżeli funkcje f i g maja pochodna w punkcie z, to. (f ± g) (z) = f (z) ± g (z). 2. (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z). ( ) f 3. g (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) dla z / g (0). [g(z)] 2 9

10 Jeżeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodna w punkcie z, to (f g) (z) = f (g(z))g (z). Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z 0 = x 0 +iy 0 pochodna f (z 0 ), to istnieja w punkcie (x 0, y 0 ) pochodne czastkowe u, u, v, v i spe lniaj a x y x y w punkcie (x 0, y 0 ) warunki: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), zwane warunkami Cauchy ego-riemanna. Dowód. Zak ladamy, że istnieje Niech z = x + i y f (z 0 ) = lim z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ). z () y = 0 z = x f u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim x 0 [ x u(x0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = lim + i v(x ] 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) x 0 x x = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). (2) x = 0 z = i y f u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim y 0 i y [ u(x0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) = lim + v(x ] 0, y 0 + y) v(x 0, y 0 ) y 0 i y y = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). Zatem u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). 0

11 Stad u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) oraz u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z 0, to: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2.2 Pochodne czastkowe funkcji f wyrażaja sie wzorami f x f y (x, y) = u x (x, y) = u y (x, y) + i v (x, y) x (x, y) + i v (x, y). y Stad i z wniosku 2. otrzymamy nastepuj ace wzory na pochodna funkcji f w punkcie z 0. f (z 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = i f y (x 0, y 0 ). Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa rózniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ) i spe lniaja w tym punkcie warunki Cauchy ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodna f (z 0 ). Dowód. Funkcje u i v sa różniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ), wiec () u(x 0, y 0 ) = u(x, y) u(x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) x + u y (x 0, y 0 ) y + o ( z ), gdzie z = ( x) 2 + ( y) 2, o jest wielkościa ma lego rzedu tzn. Analogicznie lim z 0 o ( z ) z = 0. (2) v(x 0, y 0 ) = v(x, y) v(x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) x + v y (x 0, y 0 ) y + o 2 ( z ), o o 2 jest wielkościa ma lego rzedu tzn. lim 2 ( z ) z 0 = 0. z f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ).

12 (3) f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ) = u(x 0, y 0 ) + i v(x 0, y 0 ). Podstawiajac () i (2) do (3) otrzymamy: f z (z 0) = u z (x 0, y 0 ) + i v z (x 0, y 0 ) = ( u x (x 0, y 0 ) x z + u y (x 0, y 0 ) y ) + o ( z ) z z ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) x x (x 0, y 0 ) z + ( v + i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x z + v y (x 0, y 0 ) y ) z ) y z + o ( z ) z + i o 2( z ) z + i o 2( z ). z = Korzystajac z za lożenia, że funkcje u(x, y) i v(x, y) spe lniaja warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że Zatem f z (z 0) = u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) ( ) x + i y x (x 0, y 0 ) z + o ( z ) z ( f u lim z 0 z (z 0) = lim z 0 x (x 0, y 0 ) + i v ) x (x 0, y 0 ) + o ( z ) z + i o 2( z ). z + i o 2( z ). z Stad wynika, że istnieje granica w laściwa ilorazu różnicowego w punkcie z 0, czyli istnieje pochodna f (z 0 ). Przyk lad 2.3 Dla jakich punktów z C funkcja f(z) = z z = z 2 = x 2 + y 2 ma pochodna? Ref(z) = u(x, y) = x 2 + y 2, Imf(z) = v(x, y) 0. Funkcje u i v sa różniczkowalne dla (x, y) R 2. Sprawdzamy warunki C-R. Stad u x = 2x, u y = 2y, v x = v y = 0. u x = v y x = 0, u y = v x y = 0. Zatem warunki Cauche go Riemanna sa spe lnione tylko w punkcie z 0 = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spe lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie z 0 = 0 spe lnione sa również warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji f. Pochodna funkcji policzymy z definicji. f (0) = lim z 0 f(z) f(0) z 0 2 z z = lim z 0 z = lim z = 0. z 0

13 2.3 Pochodne formalne Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Za lóżmy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f(z). Ponieważ dz = dx + idy i d z = dx idy, to df = du + idv =(u xdx + u ydy) + i(v xdx + v ydy) =(u xdx + iv xdx) + (u ydy + iv ydy) = f f dx + x y dy. (2.) Wstawiajac (2.2) do (2.) otrzymamy dx = 2 (dz + d z), dy = (dz d z). (2.2) 2i df = f f (dz + d z) + x 2 y 2i = ( ) f 2 x i f dz + y 2 = f f dz + z z d z. (dz d z) ( f x + i f y ) d z Definicja 2.6. Pochodne formalne funkcji f(z) definiujemy nastepuj aco: f z := ( ) f 2 x i f f, y z := ( ) f 2 x + i f. y (2.3) Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej) Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Zak ladamy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wtedy funkcja f(z) ma pochodna w punkcie z 0 = x 0 + iy 0 wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Dowód Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, że f z = ( ) f 2 x + i f = ( u y 2 x + iv x + i(u y + iv y) ) = ( u 2 x v y + i(u x + iv y) ). Zauważmy, że warunek f (z z 0) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u x(x 0, y 0 ) = v y(x 0, y 0 ) i u y(x 0, y 0 ) = v x(x 0, y 0 ), czyli gdy spe lnione sa warunki Cauchy ego-riemanna w punkcie z 0. 3

14 Uwaga 2. f (z 0 ) = f z (z 0) Dowód ( ) Z wniosku 2. wynika, że f (z 0 ) = u(x x 0, y 0 ) + i v (x x 0, y 0 ). Natomiast f = f i f = z 2 x y ( 2 u x + iv x i(u y + iv y) ) ( = 2 (u x + v y) + i(v x u y) ). Korzystajac z faktu, że jeśli istnieje f (z 0 ) to f spe lnia w punkcie z 0 warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że f z (z 0) = [ u 2 x (x 0, y 0 ) + v y(x 0, y 0 ) + i(v x(x 0, y 0 ) u y(x 0, y 0 )) ] = 2 [2u x(x 0, y 0 ) + i2v x(x 0, y 0 )] = f (z 0 ) 2.4 Pochodna kierunkowa funkcji Niech D C, f : D C, z 0 D. Wtedy f = f(z) f(z 0 ), z = z z 0, z = z z 0. Zatem f = f z f z + z + o( z), z o( z) gdzie o( z) oznacza ma l a wyższego rzedu wzgledem tzn. lim z 0 z z = z e iθ, wtedy z = z e iθ. = 0. Zapiszemy gdzie η( z) = o( z) z dla z 0. f z = f z + f z e 2iθ + η( z), Do istnienia granicy ilorazu f dla z 0 potrzeba i wystarcza, aby przy d ażeniu z z 0 kat θ = arg( z) daży l do pewnej granicy φ. Granica ilorazu f gdy arg( z) d aży z do kata φ nazywamy pochodna funkcji f w kierunku kata φ w punkcie z 0 i oznaczamy symbolem f f = f z φ z + f z e 2iφ. Uwaga 2.2 Jeżeli f (z z 0) 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależa od od kierunku. z φ. 4

15 Uwaga 2.3 Funkcja ma pochodna w punkcie z 0 f (z z 0) = 0 gdy pochodna funkcji f nie zależy od od kierunku φ w punkcie z Funkcje holomorficzne Definicja 2.7 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze D jeśli w każdym punkcie z D istnieje pochodna f (z). Ozn. f H(D). Definicja 2.8 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie z 0 D jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu. Przyk lad 2.4 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 = z z. Wiadomomo, że f (z 0 ) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Policzymy f (z) = z. z Stad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. Policzymy ja z definicji f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 z z 0 = lim z 0 z 0 = lim z = 0. z 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Przyk lad 2.5 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 z. Policzymy f (z) = z z2. St Policzymy ja z definicji ad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z 0 z 2 z 0 z 0 = lim z 0 z z = 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Jest to kolejny przyk lad funkcji, która ma pochodna w punkcie ale nie jest w nim holomorficzna. 5

16 W lasności funkcji holomorficznych:. Jeśli f, g H(D), to (f ± g) H(D) oraz fg H(D). 2. Jeśli f, g H(D), to f g H(D \ (g (0)). 3. Jeśli g H(D), f H(f(D)), to (f g) H(D). 3 Funkcje elementarne 3. Funkcja wyk ladnicza Funkcje wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej tzn. exp(z) := lim ( + z ) n. n n Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego z C.. Najpierw pokażemy zbieżność modu lów tzn. ( lim + n) z n = e x. (3.) n Skorzystamy z w lasności, że z n = z n. Zatem ( + z ) n [ ( = + x ] 2 y + n n) 2 n/2 = [ + 2xn ] n + x2 + y 2 n/2. 2 n 2 Przechodzac do granicy otrzymamy, że ( lim + n) z n = e x, czyli zachodzi (3.). n 2. Niech Argz oznacza argument g lówny liczby z. Pokażemy, że lim ( Arg + z ) n = y. (3.2) n n Zauważmy najpierw, że Ponieważ Arg(z n ) = narg(z), to ( Arg + z ) n y n = arctg + x. n ( Arg + n) z ( n y = narctg n + x n 6 ).

17 Przechodzac do granicy otrzymamy, że czyli zachodzi (3.2). lim n ( narctg ( y n + x n )) = y, Z jednoznaczności zapisu liczby ( zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że modu l liczby e z czyli e z = lim n + z n n) = e x, zaś Arg(e z ) = lim n Arg ( + n) z n = y. St ad exp(z) = e z = e x+iy = e x (cosy + isiny). (3.3) Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wzór Eulera tzn. y IR e iy = cosy + isiny (3.4) Wracajac do definicji funkcji wyk ladniczej e z (znowu korzystajac z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że W lasności e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy + isiny). a) Cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = e z wynosza odpowiednio u(x, y) = e x cosy, v(x, y) = e x siny. b) e z = e x. c) funkcja e z jest holomorficzna w C oraz (e z ) = e z. Jest oczywiste, że cześć rzeczywista i urojona funkcji sa klasy C (R 2 ). Pokażemy, że spe lniaja równania Cauchy ego-riemanna: u x(x, y) = e x cosy, u y(x, y) = e x siny, v x(x, y) = e x siny, v y(x, y) = e x cosy, u x(x, y) = v y(x, y), u y(x, y) = v x(x, y). f (z) = f z = u x + iv x = e x cosy + ie x siny = e x (cosy + isiny) = e z. d) z, z 2 C, e z +z 2 = e z e z 2. e z e z 2 = e x (cosy + isiny )e x 2 (cosy 2 + isiny 2 ) = e x +x 2 (cos(y + y 2 ) + isin(y + y 2 )). = e (x +x 2 )+i(y +y 2 ) = e z +z 2. 7

18 e) z C, e z 0. Przypuśćmy, że e z = 0 e x (cosy + isiny) = 0 e x cosy = 0 e x siny = 0. Ponieważ e x 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza równość zachodzi dla y = π + kπ, 2 druga zaś dla y = kπ, gdzie k Z. Ponieważ obie równości nie moga zachodzić jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że e z 0 dla każdego z C. f) funkcja e z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi. Dla k Z korzystajac z okresowości funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy e z+2kπi = e z e 2kπi = e z (cos(2kπ) + isin(2kπ)) = e z ( + i0) = e z. g) funkcja e z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej e x. Niech z = x + i0 R. Wtedy e z = e x (cos0 + isin0) = e x ( + i0) = e x. Uwaga 3. Zostanie później udowodnione, że funkcja wyk ladnicza e z rozwinie sie w szereg Maclaurina tzn. e z z k = dla każdego z C. k! k= 3.2 Funkcje trygonometryczne Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj aco: W lasności tgz = sinz cosz = cosz := eiz + e iz, sinz := eiz e iz, 2 2i eiz e iz i(e iz + e iz ), cosz ctgz = sinz = i(eiz + e iz ) (e iz e iz ). a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z C, tgz dla z {z C : z kπ + π, k Z}, ctgz dla z {z C : z kπ, k Z}. 2 8

19 Korzystamy z faktu, że funkcja wyk ladnicza e z jest funkcja holomorficzna oraz z w lasności dzia lań na tych funkcjach. Stad można wyprowadzić wzory na pochodna: (cosz) = 2 (ieiz ie iz ) = i 2 (eiz e iz ) = 2i (eiz e iz ) = sinz. (sinz) = 2i (ieiz + ie iz ) = i 2i (eiz + e iz ) = 2 (eiz + e iz ) = cosz. b) cos 2 z + sin 2 z =. (tgz) = cos 2 z (ctgz) = sin 2 z. ( ) e cos 2 z + sin 2 iz + e iz 2 ( ) e iz e iz 2 z = + 2 2i = ( e 2iz + 2e iz e iz + e 2iz) ( e 2iz 2e iz e iz + e 2iz) 4 4 = 4eiz e 2iz 4 =. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosza odpowiednio: Dowód podamy dla funkcji sinz sinz = sinxchy + icosxshy cosz = cosxchy isinxshy sin2x tgz = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y sinz = eiz e iz 2i = ei(x+iy) e i(x+iy) 2i = e y (cosx + isinx) e y (cosx isinx) ( ) 2i ( ) e y e y e y + e y = cosx + isinx 2i 2i = sinxchy + icosxshy. = e y+ix e y ix 2i d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji sinx, cosx, tgx. 9

20 Niech z = x + i0 IR. Wtedy sinz = sinxch0 + icos0sh0 = sinx + i0 = sinx. cosz = cosxch0 icosxsh0 = cosx i0 = cosx. sin2x tgz = cos2x + ch0 + i sh0 cos2x + ch0 = 2sinxcosx + (2cos 2 x ) = tgx. e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn. sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π. tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π. sin(z + 2π) =sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π)chy + icos(x + 2π)shy Dowód dla cosz jest analogiczny. =sin(x)chy + icos(x)shy = sinz. sin2(x + π) tg(z + π) = cos2(x + π) + ch2y + i sh2y cos2(x + π) + ch2y sin2x = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y = tgz. f) sinz = sin 2 x + sh 2 y oraz cosz = cos 2 x + sh 2 y. Ponieważ funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika sta, że w przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz sa nieograniczone. g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzysta tzn. sin( z) = sinz, coz( z) = cosz. h) sin( z) = sinz, cos( z) = cosz tg( z) = tgz ctg( z) = ctgz. i) sin(z ± z 2 ) = sinz cosz 2 ± cosz sinz 2. cos(z + z 2 ) = cosz cosz 2 sinz sinz 2. cos(z z 2 ) = cosz cosz 2 + sinz sinz 2. j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie wartości z p laszczyzny otwartej C. Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie wartości i, i, natomiast przyjmuja wartość, tgz w punktach z k = π + kπ, ctgz w punktach z 2 k = kπ, k Z. 20

21 3.3 Funkcje hiperboliczne Funkcje chz i shz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn. chz := ez + e z, shz := ez e z, 2 2 W lasności thz := shz chz = ez e z e z + e z, chz cthz := shz = ez + e z e z e. z a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z C, thz dla z {z C : z i(kπ + π ), k Z}, cthz dla z {z C : z ikπ, k Z}. 2 (chz) = shz, (shz) = chz, (thz) = ch 2 z, (cthz) = sh 2 z. b) ch 2 z sh 2 z = dla z C. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosza odpowiednio: shz = shxcosy + ichxsiny, chz = chxcosy + ishxsiny, sh2x thz = ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y. d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji shx, chx, thx, cthx. e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn. shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi. thz i cthz o okresie podstawowym T = πi. f) shz = sh 2 x + sin 2 y oraz chz = sh 2 x + cos 2 y. g) cosiz = chz, siniz = ish(z). 2

22 3.4 Funkcja logarytmiczna Niech z C \ {0}. Każda liczbe zespolona w spe lniajac a równanie e w = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Niech z = x + iy = e w = e u+iv = e u (cosv + isinv). (3.5) Zatem z = e u czyli u = ln z = ln x 2 + y 2. Z (3.5) wynika, że v = Argz +2kπ dla pewnego k Z, gdzie Argz oznacza argument g lówny liczby z. Każda liczba zespolona z C \ {0} ma nieskończenie wiele logarytmów wyrażonych wzorem Funkcja zdefiniowa wzorem w = u + iv = ln z + i(argz + 2kπ), k Z. lnz = ln z + iargz (3.6) dla z 0 nazywamy funkcja logarytmiczna. Funkcja lnz jest nieskończenie wielowartościowa. Funkcje Lnz = ln z + iargz, π < Argz π (3.7) nazywamy ga lezia g lówna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, że lnz = Lnz + i2kπ, k Z. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym 0 i istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd luż osi ujemnej tzn. 3.5 Funkcja pot egowa E = C \ {x R : x 0}. Niech µ bedzie dowolna liczba zespolona, E obszarem spójnym w którym istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu zmiennej z. Funkcje potegowa o wyk ladniku µ nazywamy funkcje zdefiniowana wzorem z µ = e µlnz. (3.8) Jest to także fukcja wielowartościowa. Ga l ezi a g lówna tej funkcji nazywamy ga l aź zdefiniowana za pomoca ga l ezi g lównej logarytmu tzn. e µlnz. Szczególnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja n z = e (/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z C \ {0}. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym zera i istnieje dok ladnie n ga l ezi różniacych sie czynnikiem e 2kπi/n, k = 0,,... n. 22

23 3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych Funkcja lnz zdefiniowana dla z C \ {0} jest nieskończenie wielowartościowa. Na p laszczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej istnieje nieskończenie wiele ga l ezi jednoznacznych logarytmu Lnz + 2kπi, k Z. Utwórzmy nieskończony ciag tak rozcietych p laszczyzn i ponumerujmy je liczbami k Z. Z każdej p laszczyzny usuwamy punkt 0. L aczymy górny brzeg rozciecia każdej z nich z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej tak aby punkty brzegowe o tych samych wspó lrzednych tworzy ly jeden punkt. Otrzymamy nieskończenie wielolistna powierzchnie z lożona z plaszczyzn zwanych liściami. Taka powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji lnz. Punktom p laszczyzny oznaczonej liczba 0 przyporzadkujemy wartości ga l ezi g lownej Lnz. Ogólnie, punktowi z n-p laszczyzny przyporzadkowujemy wartości Lnz + i2nπ. W ten sposób każdej wartości funkcji lnz zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i na odwrót. Na tej powierzchni lnz jest funkcja jednoznaczna. Startujac z pewnego punktu z i okrażaj ac punkt 0 dojdziemy po jednym okrażeniu do punktu z ± 2πi zależnie od tego czy okrażamy punkt 0 w dodatniej czy ujemnej orientacji. Funkcja n z ma n ga l ezi jednoznacznych na ca lej p lasczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okrażamy raz punkt 0 wzd luż pewnej krzywej zamknietej w kierunku dodatnim na p laszczyźnie nierozcietej, wówczas każda ga l aź przechodzi w nastepn a. Wartość funkcji zostaje pomnożona przez e 2πi/n. Po n-krotnym okrażeniu punktu 0 wartość funkcji wraca do swej poczatkowej wartości bo zmieni sie o czynnik e 2πi/n =. n Aby skonstruować powierzchnie Riemanna funkcji z umieszczamy n rozcietych p laszczyzn wzdluż osi rzeczywistej ujemnej i l aczymy górny brzeg rozciecia każdej p laszczyzny z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej. Tak samo po l aczymy górny brzeg ostatniej p laszczyzny z dolnym brzegiem pierwszej. Zawsze l aczymy punkty o tych samych wspó lrzednych. Otrzymana n w ten sposób n-listna powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji z. Na jednym liściu tej powierzchni rozmieśćmy wartości jednoznacznej ga l ezi naszej funkcji, a na każdym nastepnym liściu wartości tej ga l ezi pomnożonej przez e 2πi/n. W ten sposób n każdej wartości funkcji z zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i n na odwrót. Na tej powierzchni z jest funkcja jednoznaczna. 4 Szeregi funkcyjne 4. Szeregi liczbowe Definicja 4. Szereg a 0 + a + a = a n o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbieżnym do sumy s, gdy ciag sum czastkowych s n = n k=0 a n, n N, jest zbieżny do granicy s. 23

24 Definicja 4.2 Szereg a n nazywamy: i) bezwzgl ednie zbieżnym jeśli a n jest zbieżny, ii) warunkowo zbieżnym jeśli jest zbieżny ale nie jest bezwgl ednie zbieżny. Twierdzenie 4. i) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. ii) Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny przy dowolnym uporzadkowaniu wyrazów i jego suma nie zależy od porzadku wyrazów. iii) Szereg a n, gdzie a n = α n +iβ n, jest zbieżny do sumy s = α+β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi α n i β n sa zbieżne tzn. α n = α i β n = β. Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze) Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów szeregu a n zachodzi nierówność a n A n i szereg A n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzglednie. Twierdzenie 4.3 (Kryterium d Alamberta) Szereg a a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim n+ n a n < oraz rozbieżny, gdy lim n a n+ a n >. Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy ego) Szereg a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim sup n n a n < oraz rozbieżny, gdy lim sup n n a n >. Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta) Szereg a nb n jest zbieżny, jeśli wyrazy a n sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n maleja do zera, a ciag sum czastkowych szeregu b n jest ograniczony. Przyk lad 4. Szereg z n n= jest zbieżny dla z =, z, bo przyjmuj ac n a n =, b n n = z n, z = i z > η otrzymamy s n = z + z z n = z( z n ) z < 2 η, a wiec za lożenia kryterium Dirichleta sa spe lnione. Zauważmy, że ten szereg nie jest zbieżny bezwglednie dla z takich, że z =, ponieważ z n n= n = n= =. n 24

25 4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych Definicja 4.3 Niech D C zbiór (czesto otwarty lub obszar), f n : D C ciag funkcji. Powiemy, że szereg funkcyjny n= f n(z) jest zbieżny w D jeżeli ciag {s n (z) = n k= f k(z)} jest zbieżny w D tzn. jeśli granica lim n s n (z) = s(z) jest funkcja dobrze określona w zbiorze D. Taki rodzaj zbieżności nazywamy zbieżnościa punktowa. Zbieżność w D nazywamy jednostajna, jeśli ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D s n (z) s(z) < ɛ. Warunek jednostajnej zbieżności szeregu n= f n(z) można także sformu lować nastepuj aco: ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D n=n+ f n (z) < ɛ. Funkcje graniczna s(z) = lim n s n (z) nazywamy suma danego szeregu. Uwaga 4. Niech D C zbiór otwarty (lub obszar), f n : D C ciag funkcji ciag lych. Jeżeli ciag funkcyjny (szereg funkcyjny n= f n(z)) jest zbieżny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma szeregu) jest funkcja ciag l a w D. Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa) Szereg n= f n(z) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze D C, jeśli istnieje ciag liczbowy {a n } n= taki, że n N, f n (z) a n i szereg n= a n jest zbieżny. Definicja 4.4 Niech D C, f n : D C ciag funkcji. Szereg funkcyjny n= f n(z) nazywamy zbieżnym niemal jednostajnie w zbiorze D, jeśli jest on zbieżny jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze zbioru D. Uwaga 4.2 Zbieżność jednostajna można czesto zastapić zbieżnościa niemal jednostajna. Granica zbieżnego niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ciag lych jest funkcja ciag l a. 25

26 4.3 Szeregi pot egowe Definicja 4.5 Szeregiem pot egowym o środku w punkcie z 0 nazywamy szereg postaci gdzie a n C. a n (z z 0 ) n, (4.) Definicja 4.6 Promieniem zbieżności szeregu potegowego (4.) nazywamy kres górny zbioru tych liczb r, że dany szereg jest zbieżny w kole {z : z z 0 < r}. Wzór Cauchy ego-hadamarda Niech dany b edzie szereg pot egowy (4.) i lim sup n n an = R, (4.2) gdzie 0 R (przyjmujemy, że =, = 0). Wówczas szereg (4.) jest zbieżny w 0 każdym punkcie z, dla którego z z 0 < R, i jest rozbieżny w każdym punkcie z, dla którego z z 0 > R. Dowód Niech 0 < R <. Wtedy dla każdego ɛ > 0 istnieje N N takie, że dla n N mamy n an < /R + ɛ. Stad [( ) n a n (z z 0 ) n < R + ɛ z z 0 ]. (4.3) Jeśli z z 0 < R, to ɛ można dobrać tak ma le, że spe lniona bedzie nierówność ( ) R + ɛ z z 0 = q <. Wówczas z (4.3) widać, że wyrazy szeregu (4.) dla n N sa majoryzowane przez wyrazy szeregu geometrycznego qn i w konsekwencji szereg (4.) jest zbieżny, gdy z z 0 < R. Z definicji granicy górnej wynika, że dla dowolnej liczby ɛ > 0 istnieje taki podciag n k, że n k a nk > /R ɛ. 26

27 Zatem a nk (z z 0 ) n k > [( ) nk R ɛ z z 0 ]. (4.4) Jeśli z z 0 > R, to liczbe ɛ można dobrać tak ma l a aby (/R ɛ) z z 0 >. Wówczas z (4.4) wynika, że a nk (z z 0 ) n k >, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny zbieżności szeregu (4.), wiec szereg ten jest rozbieżny dla z z 0 > R. Wniosek 4. Obszarem zbieżności szeregu potegowego (4.) jest ko lo {z : z z 0 < R}, gdzie R jest liczba wyznaczona ze wzoru Cauchy ego-hadamarda. Przyk lad 4.2. Szereg zn jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z < }, ponieważ lim sup n n an = R =. Jeśli z =, to szereg n= zn nie jest zbieżny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbieżności - wyraz z n = e inφ ma modu l równy, czyli nie daży do zera. 2. Szereg z n n= n 2 oraz n N z n n 2 n 2. ( jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z }, ponieważ lim sup n n 2 n = R = n 2 <.) Zatem szereg jest zbieżny w kole i na brzegu. 3. Dla szeregu nn z n promień zbieżności R = 0, ponieważ lim sup n Szereg jest zbieżny tylko dla z = 0. n nn = lim sup n n = = R. Twierdzenie 4.7 (Abela) Jeżeli szereg potegowy a nz n jest zbieżny w punkcie z 0, to jest on bezwglednie zbieżny w kole K(0, z ) = {z : z < z } oraz jest zbieżny jednostajnie w każdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < z. 27

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści FUNKCJE ANALITYCZNE JEDNOSEMESTRALNY WYK LAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008 Zbigniew B locki Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 2 2. Różniczkowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki FUNKCJE ANALITYCZNE WYK LADY DLA SEKCJI TEORETYCZNEJ INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2007 Zbigniew B locki Typeset by AMS-TEX 2 ZBIGNIEW B LOCKI Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 1 2. Różniczkowanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0 A. Definicje. z = z z, z = z (cos θ + i sin θ) (argument z - każdy kąt θ spełniający tę równość; każde dwa argumenty z różnią się o całkowitą wielokrotność 2π). Ponadto dla z n z 0 Rez n Rez 0, Imz n Imz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Funkcje zespolone. Agata Pilitowska. dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza

Funkcje zespolone. Agata Pilitowska. dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza Funkcje zespolone. Agata Pilitowska 2007 1 Liczby zespolone Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Dwie liczby zespolone z = (x, y) i w = (u, v)

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Fizyka laboratorium 1

Fizyka laboratorium 1 Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4. Grafy skierowane

Wyk lad 4. Grafy skierowane Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo