ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus"

Transkrypt

1 ANALIZA ZESPOLONA IV semestr 203/4 oprac. Janina Kotus

2 Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str Funkcje zespolone str Granica i ciag lość str Pochodna str Pochodne formalne str Pochodna kierunkowa funkcji str Funkcje holomorficzne str Funkcje elementarne str Funkcja wyk ladnicza str Funkcje trygonometryczne str Funkcje hiperboliczne str Funkcja logarytmiczna str Funkcja pot egowa str Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych str Szeregi funkcyjne str Szeregi liczbowe str Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych str Szeregi pot egowe str Funkcje analityczne str Odwzorowania konforemne str Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-riemanna str Odwzorowania konforemne str. 35 2

3 6. Ca lka z funkcji zespolonej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy ego str Funkcje holomorficzne w C str Zera funkcji holomorficznej str Szeregi Laurenta str. 6. Punkty osobliwe str. 65. Punkty osobliwe izolowane str Zachowanie si e funkcji holomorficznej w punkcie str Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl edu na ich punkty osobliwe str Obliczanie ca lek za pomoca residuów str Geometryczna teoria funkcji str Przed lużenia analityczne str Rodziny normalne funkcji str Funkcje harmoniczne str. 97 3

4 . 4

5 Poj ecia podstawowe Zbiór liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y R} można utożsamiać z p laszczyzna dwuwymiarowa, która bedziemy oznaczać symbolem C i nazywać p laszczyzna zespolona otwarta. Aby zdefiniować jej domkni ecie podamy najpierw definicj e przekszta lcenia zwanego rzutem stereograficznym.. Rzut stereograficzny W przestrzeni R 3 definiujemy sfere x 2 + y 2 + ( z 2) 2 = o środku w punkcie (x 4 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, ) i promieniu r =, styczn a 2 2 do p laszczyzny uk ladu OXY w poczatku uk ladu wspó lrzednych. Punkt N = (0, 0, ) S 2 nazywać bedziemy biegunem pó lnocnym sfery. Konstrukcja rzutu stereograficznego Każdemu punktowi z = x + iy C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) S 2 \ {N} bed acy punktem przeciecia odcinka l acz acego punkt z C z punktem N. Definicja. Odwzorowanie gdzie ξ = P : C nazywamy rzutem stereograficznym. z = Z S 2 \ {N}, z = x + iy = Z = (ξ, η, ζ), x + z 2, η = y + z 2, ζ = z 2 + z 2, Uwaga. Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne P : S 2 \ {N} = C, Z = (ξ, η, ζ) = z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = ξ, y = η. ζ ζ Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja miedzy p laszczyzna otwarta C i sfera bez bieguna pó lnocnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na p laszczyźnie. 5

6 Uwaga.2 Umówimy si e, że punktowi N odpowiada punkt w nieskończoności (ozn. ). Definicja.2 P laszczyzna domnkiet a, która oznaczamy symbolem C nazywamy sume C { } i utożsamiamy ja z dwywymiarowa sfera zwana sfera Riemanna..2 Metryki w C i C W p laszczyźnie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesowa d(z, z 2 ) := (Rez Rez 2 ) 2 + (Imz Imz 2 ) 2 = z z 2. W p laszczyźnie domknietej C wprowadzamy metryke sferyczna, w której odleg lość miedzy punktami z, z 2 rozumiemy odleg lość euklidesowa miedzy ich obrazami przy rzucie stereograficznym na sferze tzn. ρ(z, z 2 ) := d(p (z ), P (z 2 )) = ρ(z, ) := z z 2 + z 2 + z 2 2 z z 2 C, + z 2, z. Uwaga.3 Aby otrzymać drugi wzór z pierwszego należy za z mianownik przez z 2. podstawić z i podzielić licznik oraz ρ(z, z 2 ) = z z 2 + z 2 + z 2 = z z z 2 + z 2 2 z z 2 jesli z 2. Uwaga.4 z, z 2 C, 0 ρ(z, z 2 ). Uwaga.5 P laszczyzna domknieta C z metryka sferyczna jest przestrzenia metryczna zwarta. Uwaga.6 Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa równoważne tzn. jeśli A {z : z R}, (R < ), to z z 2 + R 2 ρ(z, z 2 ) z z 2 z, z 2 A. 6

7 Definicja.3 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : d(z, z 0 ) = z z 0 < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (otwartej). Definicja.4 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : ρ(z, z 0 ) < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (domkni etej). Zatem: U(, ɛ) = {z C : ρ(z, ) < ɛ} = {z C : {z C : z > ɛ 2 }, + z 2 < ɛ} = ɛ ma le. Otoczeniem punktu w w p laszczyźnie C jest dope lnienie domkni etego ko la o środku w zerze. Definicja.5 - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < z z 0 < ɛ}. - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < ρ(z, z 0 ) < ɛ}. Definicja.6 Obszarem D nazywamy zbiór punktów p laszczyzny C spe lniajacy warunki: - (otwartość) a D U(a, ɛ)-otoczenie takie, że U(a, ɛ) D, - ( lukowa spójność) a, b D istnieje droga o końcach a,b zawarta w D. Droga o końcach a, b nazywamy funkcje ciag l a γ : [t 0, t ] C taka, że γ(t 0 ) = a, γ(t ) = b. Stwierdzenie. Dla zbiorów otwartych zawartych w C (odpow. w C) lukowa spójność pokrywa sie ze spojnościa zbiorów. Definicja.7* Obszar D C (odpow. D C) nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzeg jest zbiorem spójnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielospójnym. (*) Później podamy inna definicje jednospójności. 7

8 2 Funkcje zespolone Definicja 2. Odwzorowanie f : D C, z w = f(z) nazywamy funkcje zespolona zmiennej zespolonej. D C Argument z funkcji f i jej wartość w = f(z) rozk ladamy na cześć rzeczywista i urojona tzn. z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten sposób rozk lad funkcji w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na cześć rzeczywista Ref(z) := u(x, y) i cześć urojona Imf(z) := v(x, y). Cześć rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywista dwóch zmiennych x, y. Przyk lad 2. Znaleźć cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = iz 2. Zatem f(z) = iz 2 = i(x + iy) 2 = i(x 2 + 2ixy y 2 ) = ix 2 2xy iy 2 = 2xy + i(x 2 y 2 ). Ref(z) = u(x, y) = 2xy, Imf(z) = v(x, y) = x 2 y 2. Przyk lad 2.2 Dane sa cześć rzeczywista u(x, y) = x y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej f. Przedstawić funkcje f jako funkcje zmiennej zespolonej z. z = x + iy, z = x iy x = z + z 2, y = z z. 2i Podstawiamy ( ) ( ) ( ) ( ) z + z z z z + z z z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x y) + i4xy = + i4 2 2i 2 2i ( = z 2 ) ( + z 2i 2 + ) ( ) ( ) (z 2 z 2 ) = z 2i 2 + i + z 2 2 i + z 2 z

9 2. Granica i ciag lość Definicja 2.2 lim f(z) = g ɛ > 0 δ > 0 z D 0 < d(z, z 0 ) < δ d(f(z), g) < ɛ. z z 0 Stwierdzenie 2. lim f(z) = g lim u(x, y) = Reg i lim v(x, y) = Img. z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Definicja 2.3 Funkcja f jest ciag la w z 0 lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Twierdzenie 2. Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciag la w z 0 funkcje u i v sa ciag le w (x 0, y 0 ). Definicja 2.4 Funkcja f jest ciag la w, jeśli funkcja f( ) jest ci ag la z w zerze. 2.2 Pochodna Definicja 2.5 Granice w laściwa ilorazu różnicowego f(z + z) f(z) lim z 0 z nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy f (z). f (z) := lim z 0 f(z + z) f(z), z f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Jeżeli funkcje f i g maja pochodna w punkcie z, to. (f ± g) (z) = f (z) ± g (z). 2. (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z). ( ) f 3. g (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) dla z / g (0). [g(z)] 2 9

10 Jeżeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodna w punkcie z, to (f g) (z) = f (g(z))g (z). Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z 0 = x 0 +iy 0 pochodna f (z 0 ), to istnieja w punkcie (x 0, y 0 ) pochodne czastkowe u, u, v, v i spe lniaj a x y x y w punkcie (x 0, y 0 ) warunki: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), zwane warunkami Cauchy ego-riemanna. Dowód. Zak ladamy, że istnieje Niech z = x + i y f (z 0 ) = lim z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ). z () y = 0 z = x f u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim x 0 [ x u(x0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = lim + i v(x ] 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) x 0 x x = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). (2) x = 0 z = i y f u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim y 0 i y [ u(x0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) = lim + v(x ] 0, y 0 + y) v(x 0, y 0 ) y 0 i y y = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). Zatem u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). 0

11 Stad u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) oraz u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z 0, to: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2.2 Pochodne czastkowe funkcji f wyrażaja sie wzorami f x f y (x, y) = u x (x, y) = u y (x, y) + i v (x, y) x (x, y) + i v (x, y). y Stad i z wniosku 2. otrzymamy nastepuj ace wzory na pochodna funkcji f w punkcie z 0. f (z 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = i f y (x 0, y 0 ). Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa rózniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ) i spe lniaja w tym punkcie warunki Cauchy ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodna f (z 0 ). Dowód. Funkcje u i v sa różniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ), wiec () u(x 0, y 0 ) = u(x, y) u(x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) x + u y (x 0, y 0 ) y + o ( z ), gdzie z = ( x) 2 + ( y) 2, o jest wielkościa ma lego rzedu tzn. Analogicznie lim z 0 o ( z ) z = 0. (2) v(x 0, y 0 ) = v(x, y) v(x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) x + v y (x 0, y 0 ) y + o 2 ( z ), o o 2 jest wielkościa ma lego rzedu tzn. lim 2 ( z ) z 0 = 0. z f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ).

12 (3) f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ) = u(x 0, y 0 ) + i v(x 0, y 0 ). Podstawiajac () i (2) do (3) otrzymamy: f z (z 0) = u z (x 0, y 0 ) + i v z (x 0, y 0 ) = ( u x (x 0, y 0 ) x z + u y (x 0, y 0 ) y ) + o ( z ) z z ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) x x (x 0, y 0 ) z + ( v + i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x z + v y (x 0, y 0 ) y ) z ) y z + o ( z ) z + i o 2( z ) z + i o 2( z ). z = Korzystajac z za lożenia, że funkcje u(x, y) i v(x, y) spe lniaja warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że Zatem f z (z 0) = u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) ( ) x + i y x (x 0, y 0 ) z + o ( z ) z ( f u lim z 0 z (z 0) = lim z 0 x (x 0, y 0 ) + i v ) x (x 0, y 0 ) + o ( z ) z + i o 2( z ). z + i o 2( z ). z Stad wynika, że istnieje granica w laściwa ilorazu różnicowego w punkcie z 0, czyli istnieje pochodna f (z 0 ). Przyk lad 2.3 Dla jakich punktów z C funkcja f(z) = z z = z 2 = x 2 + y 2 ma pochodna? Ref(z) = u(x, y) = x 2 + y 2, Imf(z) = v(x, y) 0. Funkcje u i v sa różniczkowalne dla (x, y) R 2. Sprawdzamy warunki C-R. Stad u x = 2x, u y = 2y, v x = v y = 0. u x = v y x = 0, u y = v x y = 0. Zatem warunki Cauche go Riemanna sa spe lnione tylko w punkcie z 0 = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spe lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie z 0 = 0 spe lnione sa również warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji f. Pochodna funkcji policzymy z definicji. f (0) = lim z 0 f(z) f(0) z 0 2 z z = lim z 0 z = lim z = 0. z 0

13 2.3 Pochodne formalne Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Za lóżmy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f(z). Ponieważ dz = dx + idy i d z = dx idy, to df = du + idv =(u xdx + u ydy) + i(v xdx + v ydy) =(u xdx + iv xdx) + (u ydy + iv ydy) = f f dx + x y dy. (2.) Wstawiajac (2.2) do (2.) otrzymamy dx = 2 (dz + d z), dy = (dz d z). (2.2) 2i df = f f (dz + d z) + x 2 y 2i = ( ) f 2 x i f dz + y 2 = f f dz + z z d z. (dz d z) ( f x + i f y ) d z Definicja 2.6. Pochodne formalne funkcji f(z) definiujemy nastepuj aco: f z := ( ) f 2 x i f f, y z := ( ) f 2 x + i f. y (2.3) Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej) Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Zak ladamy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wtedy funkcja f(z) ma pochodna w punkcie z 0 = x 0 + iy 0 wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Dowód Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, że f z = ( ) f 2 x + i f = ( u y 2 x + iv x + i(u y + iv y) ) = ( u 2 x v y + i(u x + iv y) ). Zauważmy, że warunek f (z z 0) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u x(x 0, y 0 ) = v y(x 0, y 0 ) i u y(x 0, y 0 ) = v x(x 0, y 0 ), czyli gdy spe lnione sa warunki Cauchy ego-riemanna w punkcie z 0. 3

14 Uwaga 2. f (z 0 ) = f z (z 0) Dowód ( ) Z wniosku 2. wynika, że f (z 0 ) = u(x x 0, y 0 ) + i v (x x 0, y 0 ). Natomiast f = f i f = z 2 x y ( 2 u x + iv x i(u y + iv y) ) ( = 2 (u x + v y) + i(v x u y) ). Korzystajac z faktu, że jeśli istnieje f (z 0 ) to f spe lnia w punkcie z 0 warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że f z (z 0) = [ u 2 x (x 0, y 0 ) + v y(x 0, y 0 ) + i(v x(x 0, y 0 ) u y(x 0, y 0 )) ] = 2 [2u x(x 0, y 0 ) + i2v x(x 0, y 0 )] = f (z 0 ) 2.4 Pochodna kierunkowa funkcji Niech D C, f : D C, z 0 D. Wtedy f = f(z) f(z 0 ), z = z z 0, z = z z 0. Zatem f = f z f z + z + o( z), z o( z) gdzie o( z) oznacza ma l a wyższego rzedu wzgledem tzn. lim z 0 z z = z e iθ, wtedy z = z e iθ. = 0. Zapiszemy gdzie η( z) = o( z) z dla z 0. f z = f z + f z e 2iθ + η( z), Do istnienia granicy ilorazu f dla z 0 potrzeba i wystarcza, aby przy d ażeniu z z 0 kat θ = arg( z) daży l do pewnej granicy φ. Granica ilorazu f gdy arg( z) d aży z do kata φ nazywamy pochodna funkcji f w kierunku kata φ w punkcie z 0 i oznaczamy symbolem f f = f z φ z + f z e 2iφ. Uwaga 2.2 Jeżeli f (z z 0) 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależa od od kierunku. z φ. 4

15 Uwaga 2.3 Funkcja ma pochodna w punkcie z 0 f (z z 0) = 0 gdy pochodna funkcji f nie zależy od od kierunku φ w punkcie z Funkcje holomorficzne Definicja 2.7 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze D jeśli w każdym punkcie z D istnieje pochodna f (z). Ozn. f H(D). Definicja 2.8 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie z 0 D jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu. Przyk lad 2.4 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 = z z. Wiadomomo, że f (z 0 ) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Policzymy f (z) = z. z Stad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. Policzymy ja z definicji f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 z z 0 = lim z 0 z 0 = lim z = 0. z 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Przyk lad 2.5 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 z. Policzymy f (z) = z z2. St Policzymy ja z definicji ad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z 0 z 2 z 0 z 0 = lim z 0 z z = 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Jest to kolejny przyk lad funkcji, która ma pochodna w punkcie ale nie jest w nim holomorficzna. 5

16 W lasności funkcji holomorficznych:. Jeśli f, g H(D), to (f ± g) H(D) oraz fg H(D). 2. Jeśli f, g H(D), to f g H(D \ (g (0)). 3. Jeśli g H(D), f H(f(D)), to (f g) H(D). 3 Funkcje elementarne 3. Funkcja wyk ladnicza Funkcje wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej tzn. exp(z) := lim ( + z ) n. n n Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego z C.. Najpierw pokażemy zbieżność modu lów tzn. ( lim + n) z n = e x. (3.) n Skorzystamy z w lasności, że z n = z n. Zatem ( + z ) n [ ( = + x ] 2 y + n n) 2 n/2 = [ + 2xn ] n + x2 + y 2 n/2. 2 n 2 Przechodzac do granicy otrzymamy, że ( lim + n) z n = e x, czyli zachodzi (3.). n 2. Niech Argz oznacza argument g lówny liczby z. Pokażemy, że lim ( Arg + z ) n = y. (3.2) n n Zauważmy najpierw, że Ponieważ Arg(z n ) = narg(z), to ( Arg + z ) n y n = arctg + x. n ( Arg + n) z ( n y = narctg n + x n 6 ).

17 Przechodzac do granicy otrzymamy, że czyli zachodzi (3.2). lim n ( narctg ( y n + x n )) = y, Z jednoznaczności zapisu liczby ( zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że modu l liczby e z czyli e z = lim n + z n n) = e x, zaś Arg(e z ) = lim n Arg ( + n) z n = y. St ad exp(z) = e z = e x+iy = e x (cosy + isiny). (3.3) Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wzór Eulera tzn. y IR e iy = cosy + isiny (3.4) Wracajac do definicji funkcji wyk ladniczej e z (znowu korzystajac z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że W lasności e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy + isiny). a) Cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = e z wynosza odpowiednio u(x, y) = e x cosy, v(x, y) = e x siny. b) e z = e x. c) funkcja e z jest holomorficzna w C oraz (e z ) = e z. Jest oczywiste, że cześć rzeczywista i urojona funkcji sa klasy C (R 2 ). Pokażemy, że spe lniaja równania Cauchy ego-riemanna: u x(x, y) = e x cosy, u y(x, y) = e x siny, v x(x, y) = e x siny, v y(x, y) = e x cosy, u x(x, y) = v y(x, y), u y(x, y) = v x(x, y). f (z) = f z = u x + iv x = e x cosy + ie x siny = e x (cosy + isiny) = e z. d) z, z 2 C, e z +z 2 = e z e z 2. e z e z 2 = e x (cosy + isiny )e x 2 (cosy 2 + isiny 2 ) = e x +x 2 (cos(y + y 2 ) + isin(y + y 2 )). = e (x +x 2 )+i(y +y 2 ) = e z +z 2. 7

18 e) z C, e z 0. Przypuśćmy, że e z = 0 e x (cosy + isiny) = 0 e x cosy = 0 e x siny = 0. Ponieważ e x 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza równość zachodzi dla y = π + kπ, 2 druga zaś dla y = kπ, gdzie k Z. Ponieważ obie równości nie moga zachodzić jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że e z 0 dla każdego z C. f) funkcja e z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi. Dla k Z korzystajac z okresowości funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy e z+2kπi = e z e 2kπi = e z (cos(2kπ) + isin(2kπ)) = e z ( + i0) = e z. g) funkcja e z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej e x. Niech z = x + i0 R. Wtedy e z = e x (cos0 + isin0) = e x ( + i0) = e x. Uwaga 3. Zostanie później udowodnione, że funkcja wyk ladnicza e z rozwinie sie w szereg Maclaurina tzn. e z z k = dla każdego z C. k! k= 3.2 Funkcje trygonometryczne Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj aco: W lasności tgz = sinz cosz = cosz := eiz + e iz, sinz := eiz e iz, 2 2i eiz e iz i(e iz + e iz ), cosz ctgz = sinz = i(eiz + e iz ) (e iz e iz ). a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z C, tgz dla z {z C : z kπ + π, k Z}, ctgz dla z {z C : z kπ, k Z}. 2 8

19 Korzystamy z faktu, że funkcja wyk ladnicza e z jest funkcja holomorficzna oraz z w lasności dzia lań na tych funkcjach. Stad można wyprowadzić wzory na pochodna: (cosz) = 2 (ieiz ie iz ) = i 2 (eiz e iz ) = 2i (eiz e iz ) = sinz. (sinz) = 2i (ieiz + ie iz ) = i 2i (eiz + e iz ) = 2 (eiz + e iz ) = cosz. b) cos 2 z + sin 2 z =. (tgz) = cos 2 z (ctgz) = sin 2 z. ( ) e cos 2 z + sin 2 iz + e iz 2 ( ) e iz e iz 2 z = + 2 2i = ( e 2iz + 2e iz e iz + e 2iz) ( e 2iz 2e iz e iz + e 2iz) 4 4 = 4eiz e 2iz 4 =. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosza odpowiednio: Dowód podamy dla funkcji sinz sinz = sinxchy + icosxshy cosz = cosxchy isinxshy sin2x tgz = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y sinz = eiz e iz 2i = ei(x+iy) e i(x+iy) 2i = e y (cosx + isinx) e y (cosx isinx) ( ) 2i ( ) e y e y e y + e y = cosx + isinx 2i 2i = sinxchy + icosxshy. = e y+ix e y ix 2i d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji sinx, cosx, tgx. 9

20 Niech z = x + i0 IR. Wtedy sinz = sinxch0 + icos0sh0 = sinx + i0 = sinx. cosz = cosxch0 icosxsh0 = cosx i0 = cosx. sin2x tgz = cos2x + ch0 + i sh0 cos2x + ch0 = 2sinxcosx + (2cos 2 x ) = tgx. e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn. sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π. tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π. sin(z + 2π) =sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π)chy + icos(x + 2π)shy Dowód dla cosz jest analogiczny. =sin(x)chy + icos(x)shy = sinz. sin2(x + π) tg(z + π) = cos2(x + π) + ch2y + i sh2y cos2(x + π) + ch2y sin2x = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y = tgz. f) sinz = sin 2 x + sh 2 y oraz cosz = cos 2 x + sh 2 y. Ponieważ funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika sta, że w przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz sa nieograniczone. g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzysta tzn. sin( z) = sinz, coz( z) = cosz. h) sin( z) = sinz, cos( z) = cosz tg( z) = tgz ctg( z) = ctgz. i) sin(z ± z 2 ) = sinz cosz 2 ± cosz sinz 2. cos(z + z 2 ) = cosz cosz 2 sinz sinz 2. cos(z z 2 ) = cosz cosz 2 + sinz sinz 2. j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie wartości z p laszczyzny otwartej C. Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie wartości i, i, natomiast przyjmuja wartość, tgz w punktach z k = π + kπ, ctgz w punktach z 2 k = kπ, k Z. 20

21 3.3 Funkcje hiperboliczne Funkcje chz i shz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn. chz := ez + e z, shz := ez e z, 2 2 W lasności thz := shz chz = ez e z e z + e z, chz cthz := shz = ez + e z e z e. z a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z C, thz dla z {z C : z i(kπ + π ), k Z}, cthz dla z {z C : z ikπ, k Z}. 2 (chz) = shz, (shz) = chz, (thz) = ch 2 z, (cthz) = sh 2 z. b) ch 2 z sh 2 z = dla z C. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosza odpowiednio: shz = shxcosy + ichxsiny, chz = chxcosy + ishxsiny, sh2x thz = ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y. d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji shx, chx, thx, cthx. e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn. shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi. thz i cthz o okresie podstawowym T = πi. f) shz = sh 2 x + sin 2 y oraz chz = sh 2 x + cos 2 y. g) cosiz = chz, siniz = ish(z). 2

22 3.4 Funkcja logarytmiczna Niech z C \ {0}. Każda liczbe zespolona w spe lniajac a równanie e w = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Niech z = x + iy = e w = e u+iv = e u (cosv + isinv). (3.5) Zatem z = e u czyli u = ln z = ln x 2 + y 2. Z (3.5) wynika, że v = Argz +2kπ dla pewnego k Z, gdzie Argz oznacza argument g lówny liczby z. Każda liczba zespolona z C \ {0} ma nieskończenie wiele logarytmów wyrażonych wzorem Funkcja zdefiniowa wzorem w = u + iv = ln z + i(argz + 2kπ), k Z. lnz = ln z + iargz (3.6) dla z 0 nazywamy funkcja logarytmiczna. Funkcja lnz jest nieskończenie wielowartościowa. Funkcje Lnz = ln z + iargz, π < Argz π (3.7) nazywamy ga lezia g lówna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, że lnz = Lnz + i2kπ, k Z. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym 0 i istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd luż osi ujemnej tzn. 3.5 Funkcja pot egowa E = C \ {x R : x 0}. Niech µ bedzie dowolna liczba zespolona, E obszarem spójnym w którym istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu zmiennej z. Funkcje potegowa o wyk ladniku µ nazywamy funkcje zdefiniowana wzorem z µ = e µlnz. (3.8) Jest to także fukcja wielowartościowa. Ga l ezi a g lówna tej funkcji nazywamy ga l aź zdefiniowana za pomoca ga l ezi g lównej logarytmu tzn. e µlnz. Szczególnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja n z = e (/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z C \ {0}. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym zera i istnieje dok ladnie n ga l ezi różniacych sie czynnikiem e 2kπi/n, k = 0,,... n. 22

23 3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych Funkcja lnz zdefiniowana dla z C \ {0} jest nieskończenie wielowartościowa. Na p laszczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej istnieje nieskończenie wiele ga l ezi jednoznacznych logarytmu Lnz + 2kπi, k Z. Utwórzmy nieskończony ciag tak rozcietych p laszczyzn i ponumerujmy je liczbami k Z. Z każdej p laszczyzny usuwamy punkt 0. L aczymy górny brzeg rozciecia każdej z nich z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej tak aby punkty brzegowe o tych samych wspó lrzednych tworzy ly jeden punkt. Otrzymamy nieskończenie wielolistna powierzchnie z lożona z plaszczyzn zwanych liściami. Taka powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji lnz. Punktom p laszczyzny oznaczonej liczba 0 przyporzadkujemy wartości ga l ezi g lownej Lnz. Ogólnie, punktowi z n-p laszczyzny przyporzadkowujemy wartości Lnz + i2nπ. W ten sposób każdej wartości funkcji lnz zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i na odwrót. Na tej powierzchni lnz jest funkcja jednoznaczna. Startujac z pewnego punktu z i okrażaj ac punkt 0 dojdziemy po jednym okrażeniu do punktu z ± 2πi zależnie od tego czy okrażamy punkt 0 w dodatniej czy ujemnej orientacji. Funkcja n z ma n ga l ezi jednoznacznych na ca lej p lasczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okrażamy raz punkt 0 wzd luż pewnej krzywej zamknietej w kierunku dodatnim na p laszczyźnie nierozcietej, wówczas każda ga l aź przechodzi w nastepn a. Wartość funkcji zostaje pomnożona przez e 2πi/n. Po n-krotnym okrażeniu punktu 0 wartość funkcji wraca do swej poczatkowej wartości bo zmieni sie o czynnik e 2πi/n =. n Aby skonstruować powierzchnie Riemanna funkcji z umieszczamy n rozcietych p laszczyzn wzdluż osi rzeczywistej ujemnej i l aczymy górny brzeg rozciecia każdej p laszczyzny z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej. Tak samo po l aczymy górny brzeg ostatniej p laszczyzny z dolnym brzegiem pierwszej. Zawsze l aczymy punkty o tych samych wspó lrzednych. Otrzymana n w ten sposób n-listna powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji z. Na jednym liściu tej powierzchni rozmieśćmy wartości jednoznacznej ga l ezi naszej funkcji, a na każdym nastepnym liściu wartości tej ga l ezi pomnożonej przez e 2πi/n. W ten sposób n każdej wartości funkcji z zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i n na odwrót. Na tej powierzchni z jest funkcja jednoznaczna. 4 Szeregi funkcyjne 4. Szeregi liczbowe Definicja 4. Szereg a 0 + a + a = a n o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbieżnym do sumy s, gdy ciag sum czastkowych s n = n k=0 a n, n N, jest zbieżny do granicy s. 23

24 Definicja 4.2 Szereg a n nazywamy: i) bezwzgl ednie zbieżnym jeśli a n jest zbieżny, ii) warunkowo zbieżnym jeśli jest zbieżny ale nie jest bezwgl ednie zbieżny. Twierdzenie 4. i) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. ii) Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny przy dowolnym uporzadkowaniu wyrazów i jego suma nie zależy od porzadku wyrazów. iii) Szereg a n, gdzie a n = α n +iβ n, jest zbieżny do sumy s = α+β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi α n i β n sa zbieżne tzn. α n = α i β n = β. Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze) Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów szeregu a n zachodzi nierówność a n A n i szereg A n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzglednie. Twierdzenie 4.3 (Kryterium d Alamberta) Szereg a a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim n+ n a n < oraz rozbieżny, gdy lim n a n+ a n >. Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy ego) Szereg a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim sup n n a n < oraz rozbieżny, gdy lim sup n n a n >. Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta) Szereg a nb n jest zbieżny, jeśli wyrazy a n sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n maleja do zera, a ciag sum czastkowych szeregu b n jest ograniczony. Przyk lad 4. Szereg z n n= jest zbieżny dla z =, z, bo przyjmuj ac n a n =, b n n = z n, z = i z > η otrzymamy s n = z + z z n = z( z n ) z < 2 η, a wiec za lożenia kryterium Dirichleta sa spe lnione. Zauważmy, że ten szereg nie jest zbieżny bezwglednie dla z takich, że z =, ponieważ z n n= n = n= =. n 24

25 4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych Definicja 4.3 Niech D C zbiór (czesto otwarty lub obszar), f n : D C ciag funkcji. Powiemy, że szereg funkcyjny n= f n(z) jest zbieżny w D jeżeli ciag {s n (z) = n k= f k(z)} jest zbieżny w D tzn. jeśli granica lim n s n (z) = s(z) jest funkcja dobrze określona w zbiorze D. Taki rodzaj zbieżności nazywamy zbieżnościa punktowa. Zbieżność w D nazywamy jednostajna, jeśli ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D s n (z) s(z) < ɛ. Warunek jednostajnej zbieżności szeregu n= f n(z) można także sformu lować nastepuj aco: ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D n=n+ f n (z) < ɛ. Funkcje graniczna s(z) = lim n s n (z) nazywamy suma danego szeregu. Uwaga 4. Niech D C zbiór otwarty (lub obszar), f n : D C ciag funkcji ciag lych. Jeżeli ciag funkcyjny (szereg funkcyjny n= f n(z)) jest zbieżny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma szeregu) jest funkcja ciag l a w D. Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa) Szereg n= f n(z) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze D C, jeśli istnieje ciag liczbowy {a n } n= taki, że n N, f n (z) a n i szereg n= a n jest zbieżny. Definicja 4.4 Niech D C, f n : D C ciag funkcji. Szereg funkcyjny n= f n(z) nazywamy zbieżnym niemal jednostajnie w zbiorze D, jeśli jest on zbieżny jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze zbioru D. Uwaga 4.2 Zbieżność jednostajna można czesto zastapić zbieżnościa niemal jednostajna. Granica zbieżnego niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ciag lych jest funkcja ciag l a. 25

26 4.3 Szeregi pot egowe Definicja 4.5 Szeregiem pot egowym o środku w punkcie z 0 nazywamy szereg postaci gdzie a n C. a n (z z 0 ) n, (4.) Definicja 4.6 Promieniem zbieżności szeregu potegowego (4.) nazywamy kres górny zbioru tych liczb r, że dany szereg jest zbieżny w kole {z : z z 0 < r}. Wzór Cauchy ego-hadamarda Niech dany b edzie szereg pot egowy (4.) i lim sup n n an = R, (4.2) gdzie 0 R (przyjmujemy, że =, = 0). Wówczas szereg (4.) jest zbieżny w 0 każdym punkcie z, dla którego z z 0 < R, i jest rozbieżny w każdym punkcie z, dla którego z z 0 > R. Dowód Niech 0 < R <. Wtedy dla każdego ɛ > 0 istnieje N N takie, że dla n N mamy n an < /R + ɛ. Stad [( ) n a n (z z 0 ) n < R + ɛ z z 0 ]. (4.3) Jeśli z z 0 < R, to ɛ można dobrać tak ma le, że spe lniona bedzie nierówność ( ) R + ɛ z z 0 = q <. Wówczas z (4.3) widać, że wyrazy szeregu (4.) dla n N sa majoryzowane przez wyrazy szeregu geometrycznego qn i w konsekwencji szereg (4.) jest zbieżny, gdy z z 0 < R. Z definicji granicy górnej wynika, że dla dowolnej liczby ɛ > 0 istnieje taki podciag n k, że n k a nk > /R ɛ. 26

27 Zatem a nk (z z 0 ) n k > [( ) nk R ɛ z z 0 ]. (4.4) Jeśli z z 0 > R, to liczbe ɛ można dobrać tak ma l a aby (/R ɛ) z z 0 >. Wówczas z (4.4) wynika, że a nk (z z 0 ) n k >, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny zbieżności szeregu (4.), wiec szereg ten jest rozbieżny dla z z 0 > R. Wniosek 4. Obszarem zbieżności szeregu potegowego (4.) jest ko lo {z : z z 0 < R}, gdzie R jest liczba wyznaczona ze wzoru Cauchy ego-hadamarda. Przyk lad 4.2. Szereg zn jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z < }, ponieważ lim sup n n an = R =. Jeśli z =, to szereg n= zn nie jest zbieżny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbieżności - wyraz z n = e inφ ma modu l równy, czyli nie daży do zera. 2. Szereg z n n= n 2 oraz n N z n n 2 n 2. ( jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z }, ponieważ lim sup n n 2 n = R = n 2 <.) Zatem szereg jest zbieżny w kole i na brzegu. 3. Dla szeregu nn z n promień zbieżności R = 0, ponieważ lim sup n Szereg jest zbieżny tylko dla z = 0. n nn = lim sup n n = = R. Twierdzenie 4.7 (Abela) Jeżeli szereg potegowy a nz n jest zbieżny w punkcie z 0, to jest on bezwglednie zbieżny w kole K(0, z ) = {z : z < z } oraz jest zbieżny jednostajnie w każdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < z. 27

Wyk lady z funkcji zespolonych

Wyk lady z funkcji zespolonych Wyk lady z funkcji zespolonych III semestr 2009/0 oprac. Janina Kotus Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str. 6 2. Funkcje zespolone str. 8 2. Granica

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek 6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści FUNKCJE ANALITYCZNE JEDNOSEMESTRALNY WYK LAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008 Zbigniew B locki Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 2 2. Różniczkowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

Zadania z funkcji zespolonych. III semestr

Zadania z funkcji zespolonych. III semestr Zadania z funkcji zespolonych III semestr 1 Spis treści 1. Liczby zespolone - dzia lania i w lasności Zad. 1 1. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzność Zad. 11-19 3. Funkcje elementarne Zad.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe

Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki FUNKCJE ANALITYCZNE WYK LADY DLA SEKCJI TEORETYCZNEJ INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2007 Zbigniew B locki Typeset by AMS-TEX 2 ZBIGNIEW B LOCKI Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 1 2. Różniczkowanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8 EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0 A. Definicje. z = z z, z = z (cos θ + i sin θ) (argument z - każdy kąt θ spełniający tę równość; każde dwa argumenty z różnią się o całkowitą wielokrotność 2π). Ponadto dla z n z 0 Rez n Rez 0, Imz n Imz

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki II

Matematyczne Metody Fizyki II Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo