Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:"

Transkrypt

1 Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: 1 x X x x, (zwrotność) 2 x, y, z X (x y y z) = x z (przechodniość) 3 x, y X (x y y x) = x = y (antysymetryczność) 4 x, y X x y y x (liniowość) 5 A X, A a A x A a x (każdy niepusty podzbiór X ma element najmniejszy) Element ten bȩdziemy oznaczać przez min(a) UWAGA: Bȩdziemy pisać x < y gdy x y x y Parȩ (X, ) nazywamy zbiorem dobrze uporz adkowanym Jeśli X jest zbiorem pustym, to nie można w nim zdefiniować porz adku, mimo to też nazwiemy zbiorem dobrze uporz adkowanym Definicja: Odcinkiem pocz atkowym w porz adku (X, ) nazywamy dowolny podzbiór A X spe lniaj acy warunek (a A x a) = x A (Zbiór pusty jest odcinkiem pocz atkowym, bo poprzednik tej implikacji jest zawsze fa lszywy) Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ), to albo A = X albo A = {x X : x < a} dla pewnego a X Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ), to A jest dobrze uporz adkowany (porz adkiem obciȩtym do A A) Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ) i B jest odcinkiem pocz atkowym w (A, ), to B jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ) Definicja: Dwa dobrze uporz adkowane zbiory (X, ) i (Y, ) nazywamy izomorficznymi jeśli albo oba s a puste, albo oba s a niepuste i istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i na ) f : X Y zachowuj aca porz adek, tzn spe lniaj aca dla dowolnych x, y X warunek x y = f(x) f(y) (Ćwiczenie: wtedy x y f(x) f(y)) Wiadomo, że (przy za lożeniu aksjomatu wyboru (AC)) każdy zbiór można dobrze uporz adkować

2 LICZBY PORZA DKOWE Liczby porz adkowe to pewne ustalone zbiory dobrze uporz adkowane (miȩdzy innymi jest też liczb a porz adkow a) Każdy zbiór dobrze uporz adkowany jest izomorficzny z jedyn a liczb a porz adkow a Liczby porz adkowe oznaczać bȩdziemy przez, (α, ), (β, ), itp Zazwyczaj jednak bȩdziemy pomijać znak porz adku i pisać tylko α, β, itp, a zamiast bȩdziemy pisać 0 W lasności liczb porz adkowych: 1 Dla dowolnych liczb porz adkowych α i β albo α jest izomorficzna z pewnym odcinkiem pocz atkowym w β albo odwrotnie Jeśli zachodz a oba warunki, to α = β Oznacza to, że w klasie liczb porz adkowych można wprowadzić porz adek liniowy α β α jest izomorficzna z pewnym odcinkiem pocz atkowym w β 2 Każda liczba porz adkowa α jest izomorficzna ze zbiorem wszystkich liczb porz adkowych ostro mniejszych od niej De facto, każda liczba porz adkowa JEST zbiorem wszystkich liczb porz adkowych ostro mniejszych od niej To zdanie definiuje liczby porz adkowe Liczbami porz adkowymi s a: oznaczany przez 0 {0} oznaczany przez 1 {0, 1} oznaczany przez 2 {0, 1, 2, } oznaczany przez ω (lub ω 0 ) (tożsamy ze zbiorem N 0 ) {0, 1, 2,, ω} oznaczany przez ω + 1 {0, 1, 2,, ω, ω + 1} oznaczany przez ω + 2 {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2, } oznaczany przez 2ω {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω} oznaczany przez 2ω + 1 {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, } oznaczany przez 3ω 3ω + 1 4ω 5ω ωω (oznaczany ω 2 ) ω 3 ω ω itd

3 Widać, że porz adek w klasie wszystkich liczb porz adkowych jest dobry: dowolny niepusty zbiór liczb porz adkowych ma element najmniejszy ich przekrój Każda liczba porz adkowa α ma swój nastȩpnik α + 1 zdefiniowany jako zbiór wszystkich liczb porz adkowych miejszych równych od α Jest to zarazem najmniejsza liczba porz adkowa ostro wiȩksza od α Niektóre liczby porz adkowe α maj a swój poprzednik (najwiȩksz a liczbȩ porz adkow a ostro mniejsz a od α) Jest tak jeśli α = β + 1 dla pewnego β Wtedy poprzednikiem α jest β Jednak nie wszystkie liczby porz adkowe maj a poprzednik Na przyk lad ω nie jest postaci β + 1 Liczby takie nazywamy liczbami porz adkowymi granicznymi Jeśli A jest zbiorem liczb porz adkowych, to β = A jest też liczb a porz adkow a i spe lnia α β dla wszystkich α A Jest to najmniejsza liczba spe lniaj aca taki warunek i dlatego bȩdziemy zamiast A pisać sup A Moc a liczby porz adkowej α nazywamy po prostu jej moc (liczbȩ kardynaln a) Dla nas istotny bȩdzie podzia l na liczby porz adkowe przeliczalne i nieprzeliczlne Wszystkie liczby wypisane na poprzedniej stronie s a przeliczalne 1 Najmniejsz a liczb a porz adkow a nieprzeliczaln a jest ω 1 zdefiniowana jako zbiór wszystkich liczb porz adkowych przeliczalnych Suma dowolnego ci agu (zbioru przeliczalnego) liczb przeliczalnych jest liczb a przeliczaln a (bo suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna) Liczby ω 1 nie można zatem osi agn ać (jako suremum) żadnym ci agiem liczb przeliczalnych Dlatego liczba ω 1 nie pojawi siȩ w diagramie z kropkami jak poprzedniej stronie, gdzie wiadomo co znacz a wszystkie kropki INDUKCJA POZASKOŃCZONA Indukcja pozaskończona pozwala na dwie rzeczy: 1 Definiowanie rodzin zbiorów indeksowanych liczbami porz adkowymi (jest to analogia definiowania ci agów wzorem rekurencyjnym), 2 Dowodzenie w lasności dla elementów zbioru dobrze uporz adkowanego (jest to analogia dowodu przez indukcjȩ) Definiowanie poprzez indukcjȩ pozaskończon a Chcemy zdefiniować rodzinȩ zbiorów A α gdzie α przebiega pewn a liczbȩ porz adkow a α 0 (Przypomnijmy, że elementami liczby porz adkowej s a liczby porz adkowe mniejsze od niej Inaczej można wiȩc powiedzieć,,gdzie α < α 0 ) Postȩpujemy nastȩpuj aco: 1 Najpierw definiujemy A 0 (czasem A 1 ) 2 Bierzemy α < α 0 i zak ladamy, że zdefiniowane zosta ly zbiory A β dla wszystkich β < α Teraz definiujemy A α pos luguj ac siȩ zbiorami A β gdzie β < α Po tych krokach A α jest zdefiniowane dla wszystkich α < α 0 W praktyce czȩsto w kroku 2 rozróżnia siȩ na dwa przypadki: jeśli α ma poprzednik (czyli jest postaci β + 1), to A α = A β+1 definiuje siȩ tylko przy użyciu jednego zbioru A β Jeśli α jest liczb a graniczn a to postȩpuje siȩ jak w pierwotnym opisie w punkcie 2 1 Uwaga: Moc a liczby porz adkowej ω jest ℵ 0, jednak moc a liczby ω ω nie jest ℵ ℵ 0 0 (czyli continuum) Liczba kardynalna ℵ ℵ 0 0 to moc zbioru wszytskich nieskończonych ci agów o wartościach naturalnych, natomiast ω ω to typ porz adkowy zbioru wszystkich skończonych ci agów o wartościach naturalnych (ale bez ograniczenia na ich d lugość)

4 Przyk lad: Niech A bȩdzie niepust a rodzin a zbiorów zawartych w pewnej przestrzeni X Dla liczb porz adkowych α < ω 1 zdefiniujemy rodziny A α podzbiorów X 1 Dla α = 0 k ladziemy A 0 = {A, A c : A A} 2 Weźmy α < ω 1 i za lóżmy, że zdefiniowaliśmy A β dla wszystkich β < α Teraz definiujemy A α nastȩpuj aco: najpierw bierzemy B α = β<α A β, a nastȩpnie niech A α bȩdzie rodzin a wszystkich zbiorów uzyskanych jako przeliczalne sumy zbiorów z B α i ich dope lnienia: A α = { n B n, ( n B n) c : n B n B α } W ten sposób zdefiniowaliśmy A α dla wszystkich α < ω 1 Dowody poprzez indukcjȩ pozaskończon a Dany jest zbiór dobrze uporz adkowany A = {a α : α < α 0 } (najczȩściej bȩdzie to raczej dobrze uporz adkowana rodzina zbiorów A = {A α : α < α 0 }) Dane jest pewne zdanie logiczne Φ(a) z jednym parametrem a, za który można podstawiać elementy zbioru A (czyli w lasność, która ma sens dla tych elementów, choć na razie nie wiadomo, czy i dla których elementów jest ona spe lniona) Chcemy udowodnić, że w lasność Φ jest spe lniona dla wszystkich elementów zbioru A: a A Φ(a) W tym celu wystarczy wykonać dwa kroki: 1 Wykazać Φ(a 0 ) oraz 2 dla dowolnego α < α 0 wykazać, implikacjȩ ( β < α Φ(a β )) = Φ(a α ) W praktyce czȩsto w kroku 2 rozróżnia siȩ na dwa przypadki: jeśli α ma poprzednik (czyli jest postaci β + 1), to sprawdza siȩ tylko implikacjȩ Φ(a β ) = Φ(a α ) Jeśli α jest liczb a graniczn a to postȩpuje siȩ jak w pierwotnym opisie w punkcie 2 Przyk lad: Wracamy do poprzedniego przyk ladu, w którym zdefiniowaliśmy rodziny A α dla wszystkich α < ω 1 Dodatkowo definiujemy B jako α<ω 1 A α Twierdzenie: W laśnie skonstruowaliśmy sigma-cia lo generowane przez rodzinȩ A: B = σ(a) Dowód: Oczywiście A B, bo A A 0, a A 0 jest sk ladnikiem sumy definiuj acej B Przy okazji widać, że rodzina B jest niepusta Teraz pokażemy, że B jest zamkniȩta na dope lnienia Niech B B Wtedy B A α dla pewnego α < ω 1 Rodzina A α jest z definicji zamkniȩta na dope lnienia Zatem B c A α B Teraz pokażemy, że B jest zamkniȩta na przeliczalne sumy Niech B n B (n = 1, 2, ) Wtedy istnieje ci ag α n liczb porz adkowych mniejszych od ω 1, takich, że B n A n Weźmy α = sup α n + 1 Wiemy, że α < ω 1 (do ω 1 nie można dojść ci agiem przeliczalnym) oraz, że dla każdego n, α n sup α n < α St ad B n B α (przypomnijmy, że B α = β<α A β), z czego wynika, że n B n A α B Pokazaliśmy, że B jest sigma-cia lem zawieraj acym A Zosta lo do pokazania, że jest najmniejszym takim sigma-cia lem Niech C bȩdzie sigma-cia lem zawieraj acym A Trzeba pokazać, że B C Wystarczy pokazać, że α < ω 1 A α C Do tego w laśnie użyjemy indukcji pozaskończonej

5 1 A 0 C bowiem z za lożenia C zawiera wszystkie zbiory z A, a jako sigma-cia lo, również ich dope lnienia 2 Dla α < ω 1 za lóżmy, że wiemy już, że A β C o ile β < α Mamy wywnioskować, że A α C Nasze za lożenie jest równoważne temu, że B α C Niech A A α Wtedy A = n B n, gdzie n B n B α lub A jest dope lnieniem takiej sumy W pierwszym przypadku wszystkie zbiory B n s a elementami C, a wiȩc A jako ich przeliczalna suma również (bo C jest sigma-cia lem) W drugim przypadku w laśnie pokazaliśmy, że n B n jest w C, zatem A, jako dope lnienie też

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997 Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada

Bardziej szczegółowo

ep do teorii mnogości

ep do teorii mnogości Wst ep do teorii mnogości Materia ly do wyk ladu dla 1 roku informatyki http://www.mimuw.edu.pl/ urzy/wtm.html Pawe l Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl 2001 2006 Po co komu teoria mnogości Fryderyk Engels definiowa

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady

1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Rozdzia l 1 Zbiory i rodziny zbiorów 1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Zbiory definiujemy poprzez określenie ich elementów. Dwa zbiory, które maj a te same elementy, uważamy za identyczne. A =

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego

2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego 2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

a to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei

a to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. semestr letni 2011 WYK LADY 2 i 3: PRZESTRZENIE UNORMOWANE i BANACHA BAZA TOPOLOGICZNA 29/03/11 Definicja. Norm a w rzestrzeni liniowej V nazywamy funkcjȩ : V [0, ) se lniaj

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (1)

Wstęp do Matematyki (1) Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo