dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba

Transkrypt

1 1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R R uporza dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste puja cy sposób: Trójka C = (C, +, ) jest cia lem. (a, b) C liczbami zespolonymi. Piszemy z C zamiast z C. (a 1, b 1 ) + (a, b ) = (a 1 + a, b 1 + b ), (a 1, b 1 ) (a, b ) = (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 ). Nazywamy je cia lem liczb zespolonych, a pary Odwzorowanie R a (a, 0) C ustala zanurzenie cia la R w cia lo C. Dlatego też liczbe zespolona (a, 0) utożsamiać be dziemy z liczba rzeczywista a. Liczby zespolone postaci (0, b) nazywamy liczbami urojonymi. Liczbe (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy przez i. Każda liczbe zespolona (a, b) można przedstawić w postaci a + ib, zwana postacia kanoniczna. Niech dana be dzie liczba zespolona z = a + ib, a, b R. Liczbe a nazywamy cze ścia rzeczywista liczby z i oznaczamy Re z. Liczbe b nazywamy cze ścia urojona liczby z i oznaczamy Im z. Liczbe a ib nazywamy sprze żeniem z i oznaczamy z. Liczbe a + b nazywamy modu lem liczby z i oznaczamy z. W dalszym cia gu znak przy mnożeniu liczb zespolonych be dziemy pomijać. W lasność 1. Dla dowolnych z, z 1, z C zachodza naste puja ce w lasności: (a) Re(z 1 + z ) = Re z 1 + Re z ; Re(z 1 z ) = Re z 1 Re z ; Im(z 1 + z ) = Im z 1 + Im z ; Im(z 1 z ) = Im z 1 Im z ; Re(z 1 z ) = Re z 1 Re z Im z 1 Im z ; Im(z 1 z ) = Re z 1 Im z +Im z 1 Re z. (b) z = z; z z = z ; z +z = Re z; z z = i Im z; z 1 + z = z 1 + z ; z 1 z = z 1 z ; z 1 z = z 1 z ; z 1 /z = z 1 /z, z 0. (c) z 1 + z z 1 + z ; z 1 z z 1 z. (d) z 1 z = z 1 z ; z 1 /z = z 1 / z, z 0; Re z z ; Im z z ; z Re z + Im z. Ponadto, równości w (c) zachodza wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z liczb jest proporcjonalna do drugiej z nieujemnym wspó lczynnikiem proporcjonalności. W zbiorze C wprowadzamy odleg lość mie dzy punktami z 1, z C, wzorem z 1 z. Tak określona odleg lość jest metryka, która nazywamy metryka euklidesowa. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste 1

2 Niech z C \ {0}. Po lóżmy (1) arg z = {φ R : Re z = z cos φ, Im z = z sin φ}. Każdy element zbioru arg z nazywamy wartościa argumentu liczby z. Wartość argumentu liczby z należa ca do przedzia lu ( π, π nazywamy argumentem g lównym liczby z i oznaczamy Arg z. Dla liczby z C \ {0}, z (1) mamy () z = z (cos φ + i sin φ), gdzie φ arg z. Prawa strone w () nazywamy postacia trygonometryczna liczby z. W lasność. Jeżeli z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z = r (cos φ + i sin φ ), gdzie φ 1, φ, r 1, r R, to (a) z 1 z = r 1 r [cos(φ 1 + φ ) + i sin(φ 1 + φ )], (b) z 1 /z = (r 1 /r )[cos(φ 1 φ ) + i sin(φ 1 φ )], jeśli r 0. Przyk lad 1. Obliczymy modu l oraz cze ść rzeczywista i urojona liczby zespolonej z = 1 + i 3 4i. Mamy z = 1 + i 3 4i z = (1 + i)(3 4i) (3 4i)(3 4i) = 1 + i 3 4i = = 5 5, = (1 + i)(3 + 4i) (3 4i)(3 + 4i) = i 5 = i 5, wie c Re z = 1 5, Im z = 5. Przyk lad. Obliczymy cze ść rzeczywista i urojona naste puja cej liczby zespolonej z = (1 3i) 30 (1 i) 0. Niech z 1 = 1 3i oraz z = 1 i. Wówczas z 1 =, z =, wie c ( ) 1 3 z 1 = z 1 (cos φ + i sin φ) = i, z = z (cos ψ + i sin ψ) = ( ) i, dla pewnych φ, ψ R. Sta d mamy na przyk lad φ = π 3, ψ = π 4 i z w lasności, z = z30 1 z 0 ( = 30 cos( 30 π 3 ) + i sin( 30 π 3 )) 0 ( = 0 cos( 10π) + i sin( 10π) cos( 0 π 4 ) + i sin( 0 π 4 )) cos( 5π) + i sin( 5π) Zatem Re z = 0 oraz Im z = 0. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste = 0.

3 . Zbiory p laskie Każdej liczbie zespolonej z = x + iy, gdzie x, y R, można w sposób wzajemnie jednoznaczny przyporza dkować punkt o wspó lrze dnych (x, y) na p laszczyźnie 0xy. Dlatego też zbiór liczb zespolonych C nazywamy również p laszczyzna zespolona, a liczby zespolone punktami tej p laszczyzny. Zbiór liczb rzeczywistych R nazywamy osia rzeczywista, zbiór liczb urojonych osia urojona. Zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych (który oznaczamy R + ) nazywamy dodatnia pó losia rzeczywista, a zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich (który oznaczamy R ) ujemna pó losia rzeczywista. Niech r be dzie liczba rzeczywista dodatnia. Ko lem otwartym lub ko lem o środku w punkcie z 0 C i promieniu r nazywamy zbiór {z C : z z 0 < r}. Ko lem domknie tym o środku w punkcie z 0 C i promieniu r nazywamy zbiór {z C : z z 0 r}. Sa siedztwem punktu z 0 C nazywamy zbiór {z C : 0 < z z 0 < r}. Okre giem o środku w punkcie z 0 C i promieniu r nazywamy zbiór {z C : z z 0 = r}. Niech z 1, z C i z 1 z. Zbiór {z C : z = z 1 + (z z 1 )t, 0 t 1} nazywamy odcinkiem, a punkty z 1, z nazywamy końcami tego odcinka. Niech be dzie dany skończony cia g punktów z 1,..., z n C taki, że z k z k+1 dla k = 1,..., n 1. Niech I k oznacza odcinek o końcach z k, z k+1. Zbiór L = I 1... I n 1 nazywamy lamana, a punkty z 1, z n jej końcami. Niech a 1, a, b 1, b R oraz a 1 < a, b 1 < b. Zbiór {z C : a 1 Re z a, b 1 Im z b } nazywamy prostoka tem normalnym. Punkty z 1 = a 1 + ib 1, z = a + ib 1, z 3 = a + ib, z 4 = a 1 + ib nazywamy wierzcho lkami tego prostoka ta, a punkt z 0 = [(a 1 + a ) + i(b 1 + b )]/ jego środkiem. 3. Pierwiastki liczby zespolonej Niech z C oraz n N, n > 0. Liczbe zespolona w nazywamy pierwiastkiem stopnia n z liczby z, jeśli w n = z. Pierwiastki stopnia n z liczby z = 1 nazywamy pierwiastkami stopnia n z jedynki. Jedynym pierwiastkiem stopnia n z liczby z = 0 jest liczba 0. Twierdzenie 1. Niech n N, n > 0. Dla każdej liczby zespolonej z C \ {0} istnieje dok ladnie n pierwiastków stopnia n z liczby z. Ponadto, jeśli z = z (cos φ + i sin φ), gdzie φ R, to pierwiastki stopnia n z liczby z wyrażaja sie wzorami: w k = n ( z cos φ + kπ + i sin φ + kπ ), k = 0,..., n 1. n n 3 Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste

4 4 Twierdzenie. Pierwiastki stopnia n z jedynki wyrażaja sie wzorami: w k = cos kπ n kπ + i sin, k = 0,..., n 1. n Uwaga 1. Wszystkie pierwiastki stopnia n z liczby zesopolonej z 0 leża na okre gu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu n z. Uwaga. Wszystkie pierwiastki stopnia n z jedynki leża na okre gu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1. Tworza one grupe z dzia laniem mnożenia. 4. Podstawowe twierdzenie algebry Mówimy, że cia lo K jest algebraicznie domknie te, gdy każdy wielomian dodatniego stopnia o wspó lczynnikach w ciele K ma w ciele K pierwiastek. Twierdzenie 3. (Podstawowe twierdzenie algebry). Cia lo C jest algebraicznie domknie te. To znaczy, że każdy wielomian dodatniego stopnia o wspó lczynnikach w ciele C ma pierwiastek w ciele C. 5. Cia gi i szeregi liczbowe Niech be dzie dany cia g {a n } liczb zespolonych oraz liczba zespolona g. Mówimy, że cia g {a n } jest zbieżny do liczby g, co zapisujemy lim n a n = g, gdy ε>0 N N n>n a n g < ε. Twierdzenie 4. Cia g {z n } C jest zbieżny do granicy z 0 C wtedy i tylko wtedy, gdy lim Re z n = Re z 0 oraz lim Im z n = Im z 0. n n Niech be dzie dany cia g {a n } liczb zespolonych. Wyrażenie a 0 + a lub krócej a n nazywamy szeregiem nieskończonym lub szeregiem. Cia g s 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1,... nazywamy cia giem sum cze ściowych tego szeregu, a a 0, a 1,... jego wyrazami. Jeśli cia g {s n } jest zbieżny do granicy s C, to mówimy, że szereg a n jest zbieżny i piszemy (1) a n = s. W przeciwnym razie szereg w (1) nazywamy rozbieżnym. Szereg a n nazywamy bezwzgle dnie zbieżnym, gdy zbieżny jest szereg a n. Niech α n = Re a n, β n = Im a n. Jako latwy wniosek z twierdzenia 1 otrzymujemy Twierdzenie 5. Na to, by szereg a n by l zbieżny, potrzeba i wystarcza, by zbieżne by ly szeregi α n i β n. Ponadto a n = α n+i β n. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste

5 Twierdzenie 6. (a) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to a n 0, gdy n. (b) Jeżeli szereg jest bezwzgle dnie zbieżny, to jest zbieżny. (c) Jeżeli a n A n i szereg A n jest zbieżny, to szereg a n jest bezwzgle dnie zbieżny. Warunek (a) nazywamy warunkiem koniecznym zbieżności szeregu, a (c) kryterium porównawczym zbieżności szeregu. Twierdzenie 7. (a) Szereg o wyrazach a n 0 jest bezwzgle dnie zbieżny, gdy lim sup a n+1 /a n < 1, rozbieżny zaś, gdy a n+1 /a n 1 dla prawie wszystkich n (kryterium d Alemberta). (b) Szereg a n jest bezwzgle dnie zbieżny, gdy lim sup n a n < 1, rozbieżny zaś, gdy lim sup n a n > 1 (kryterium Cauchy ego). (c) Jeśli szeregi a n i b n sa bezwzgle dnie zbieżne, to szereg c n, gdzie n c n = a ν b n ν, jest zbieżny oraz ν=0 ( )( ) a n b n = c n. Szereg c n nazywamy iloczynem szeregów a n i b n w sensie Cauchy ego. 6. Definicja funkcji holomorficznej Przez funkcje zespolona zmiennej zespolonej (lub krótko funkce zespolona ) rozumiemy każda funkcje określona na podzbiorze zbioru C i o wartościach w C. Niech f : D C, gdzie D C jest zbiorem niepustym, i niech z 0 C be dzie punktem skupienia zbioru D. Mówimy, że liczba zespolona g jest granica funkcji f w punkcie z 0, co zapisujemy g = lim z z0 f(z), gdy ε>0 δ>0 z D (0 < z z 0 < δ f(z) g < ε). Mówimy, że funkcja f : D C, gdzie D C jest zbiorem niepustym, jest cia g la w punkcie z 0 D, gdy ε>0 δ>0 z D ( z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ε). Mówimy, że funkcja f : D C jest cia g la, gdy jest ona cia g la w każdym punkcie zbioru D. Niech be dzie dana funkcja zespolona f określona w otoczeniu punktu z 0 C. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie z 0 pochodna równa f (z 0 ) C, gdy f(z) f(z 0 ) lim = f (z 0 ). z z 0 z z 0 Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste 5

6 6 Mówimy, że funkcja zespolona f jest holomorficzna w punkcie z C, jeżeli jest ona określona w pewnym otoczeniu tego punktu i ma pochodna w każdym punkcie tego otoczenia. Mówimy, że funkcja f jest holomorficzna w zbiorze D, jeżeli jest holomorficzna w każdym punkcie tego zbioru. Funkcje, która w każdym punkcie z D przyjmuje wartość f (z), nazywamy pochodna funkcji f i oznaczamy f. W lasność 3. Jeśli funkcja f : D C, gdzie D C jest zbiorem niepustym, jest holomorficzna, to jest ona cia g la. Przyk lad 3. Funkcjami holomorficznymi w zbiorze C sa mie dzy innymi: funkcje wielomianowe f(z) = a 0 + a 1 z + + a n z n, z C, gdzie a 0,..., a n C sa wspó lczynnikami tego wielomianu; funkcja wyk ladnicza exp z = e x (cos y + i sin y), z = x + iy C, x, y R; funkcja sinus exp(iz) exp( iz) sin z =, z C; i funkcja cosinus exp(iz) + exp( iz) cos z =, z C. Funkcje wymierne, funkcja tangens tg z = sin z cos z oraz cotangens, sa holomorficzne we wszystkich punktach, w których sa określone. Ponadto, suma, różnica, iloczyn i iloraz (przy za lożeniu, że mianownik nie ma zer) funkcji holomorficznych, sa funkcjami holomorficznymi. 7 Ca lka krzywoliniowa Niech f : [a, b] C. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie t 0 [a, b] pochodna równa f (t 0 ) C, gdy f(t) f(t 0 ) lim = f (t 0 ). t t 0 t t 0 Funkcje, która w każdym punkcie t [a, b] przyjmuje wartość f (t) nazywamy pochodna funkcji f i oznaczamy f. Krzywa nazywamy pare uporza dkowana Γ = (γ, Γ ), gdzie γ : [a, b] C jest funkcja cia g la, a Γ = γ([a, b]). Wówczas funkcje γ nazywamy opisem parametrycznym krzywej Γ, a zbiór Γ - jej podk ladem. Mówimy, że krzywa Γ o opisie parametrycznym γ : [a, b] C jest regularna, gdy istnieje podzie l a = t 0 < t 1 <... < t n = b przedzia lu [a, b] taki, że w każdym przedziale [t j 1, t j ] funkcja γ ma cia g la pochodna. Niech γ 1 : α 1, β 1 C, γ : α, β C be da odpowiednio opisami parametrycznymi krzywych Γ 1, Γ. Jeśli γ 1 (β 1 ) = γ (α ), to krzywa o opisie parametrycznym γ danym wzorem { γ1 (t) dla t α 1, β 1, γ(t) = γ (t β 1 + α ) dla t β 1, β 1 + (β α ) nazywamy suma tych krzywych i oznaczamy Γ 1 + Γ. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste

7 Niech z 1, z C. Odcinkiem zorientowanym o pocza tku w punkcie z 1 i końcu w punkcie z nazywać be dziemy krzywa o opisie parametrycznym γ danym wzorem γ(t) = z 1 + (z z 1 )t dla t 0, 1 i oznaczać symbolem [z 1, z ]. Niech a 1, a, b 1, b R oraz a 1 < a, b 1 < b. Dodatnio zorientowanym brzegiem prostoka ta normalnego P = {z C : a 1 Re z a, b 1 Im z b } nazywamy krzywa P = [z 1, z ] + [z, z 3 ] + [z 3, z 4 ] + [z 4, z 1 ], gdzie z 1 = a 1 + ib 1, z = a + ib 1, z 3 = a + ib, z 4 = a 1 + ib sa wierzcho lkami prostoka ta P. W lasność 4. Dodatnio zorientowany odcinek oraz dodatnio zorientowany przeg prostoka ta normalnego sa krzywymi regularnymi. Niech f : [a, b] C i niech u : [a, b] R oraz v : [a, b] R be da funkcjami określonymi odpowiednio wzorami u(t) = Re f(t) oraz v(t) = Im f(t) dla t [a, b]. Funkcje u i v nazywamy odpowiednio cze ścia rzeczywista i cze ścia urojona funkcji f. Mówimy, że funkcja f jest ca lkowalna w przedziale [a, b], gdy funkcje u i v sa ca lkowalne w sensie Riemanna w tym przedziale. Wówczas przez ca lke zwyczajna funkcji f rozumiemy liczbe b a f(t)dt C określona wzorem b a f(t)dt = b a b u(t)dt + i v(t)dt. a W lasność 5. Jeżeli funkcje f i g sa ca lkowalne w przedziale [a, b], to: (a) Re b a f(t)dt = b Re f(t)dt, a (b) Im b a f(t)dt = b Im f(t)dt, a (c) z b a f(t)dt = b a zf(t)dt, gdzie z jest dowolna liczba zespolona, (d) b a [f(t) + g(t)]dt = b a f(t)dt + b a g(t)dt, (e) b a f(t)dt = c a f(t)dt + b c (f) b a f(t)dt b a f(t) dt. f(t)dt, gdzie a < c < b, Niech γ : [a, b] C be dzie opisem parametrycznym krzywej regularnej Γ = (γ, Γ ) oraz f : Γ C be dzie funkcja cia g la. Liczbe 7 (1) Γ f(z)dz = β α f(γ(t))γ (t)dt nazywać be dziemy ca lka krzywoliniowa funkcji f wzd luż krzywej Γ. W lasność 6. Jeżeli Γ, Γ 1, Γ sa krzywymi regularnymi oraz f, g sa funkcjami cia g lymi na Γ (ewentualnie Γ 1, Γ ), to (a) a Γ f(z)dz = af(z)dz, gdzie a dowolna liczba zespolona, Γ (b) Γ [f(z) + g(z)]dz = Γ f(z)dz + Γ g(z)dz, (c) Γ f(z)dz = Γ f(z)dz, (d) Γ 1 +Γ f(z)dz = Γ 1 f(z)dz + Γ f(z)dz. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste

8 8 Uwaga 3. Dla ca lki krzywoliniowej odpowiednik punktu (f) we w lasności 5 nie jest prawdziwy. Zachodzi natomiast naste puja ca w lasność: Jeżeli Γ jest krzywa regularna, f : Γ C jest funkcja cia g la, to (3) Γ f(z)dz ML, gdzie M = sup{ f(z) : z Γ } i L = b a γ (t) dt jest d lugościa krzywej Γ, a γ : [a, b] C jej opisem parametrycznym. Przyk lad 4. Obliczymy ca lke Γ (z + z)dz, gdzie Γ jest krzywa o opisie parametrycznym γ; [0, π] C określonym wzorem γ(t) = exp(it), t [0, π]. Mamy γ(t) = cos t + i sin t, γ(t) = cos t i sin t oraz γ (t) = sin t + i cos t dla t [0, π], wie c z definicji ca lki krzywoliniowej mamy Γ (z + z)dz = π 0 π π cos t( sin t + i cos t)dt = sin t cos t dt + i cos t dt 0 0 Stosuja c twierdzenie o ca lkowaniu przez cze ści dostajemy π sin t cos t dt = 0. Ponadto cos cos t sin t 0 tdt = + 1 t + C. Zatem z podstawowego twierdzenia rachunku ca lowego, mamy (z + z)dz = πi. Γ 8 Twierdzenie i wzór ca lkowy Cauchy ego dla prostoka ta Twierdzenie 8 (Cauchy). Niech G C be dzie zbiorem otwartym i f : G C funkcja holomorficzna. Jeżeli P jest prostoka tem normalnym i P G, to P f(z)dz = 0, gdzie P oznacza dodatnio zorientowany brzeg prostoka ta P. Twierdzenie 9. Niech G C be dzie zbiorem otwartym i f : G C funkcja holomorficzna. Jeżeli P jest prostoka tem normalnym, P G i z Int P, to f(z) = 1 πi P f(ζ) ζ z dζ. Uwaga 4. Twierdzenie 9 pokazuje nam, że jeśli wiemy, że funkcja f : G C jest holomorficzna w zbiorze otwartym G C i P jest prostoka tem normalnym, P G, to w Int P jest ona jednoznacznie określona przez obcie cie tej funkcji do brzegu prostoka ta P. Przyk lad 5. Funkcja sin (odpowiednio exp) jest holomorficzna w C, wie c w myśl twierdzenia 9, dla każdego prostoka ta normalnego P C takiego, że 0 Int P, mamy sin z P z dz = πi sin 0 = 0 oraz exp z P z dz = πi exp 0 = πi. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste

9 9 Rozwijanie funkcji w szereg pote gowy Szeregiem pote gowym lub szeregiem Taylora o środku z 0 C i wspó lczynnikach a n C (n = 0, 1,... ) nazywamy szereg postaci (1) a n (z z 0 ) n. Twierdzenie 10 (Cauchy Hadamard). Jeśli ρ = lim sup n a n, to promień zbieżności szeregu (1) wyraża sie wzorem + dla ρ = 0, R = 1/ρ dla 0 < ρ < +, 0 dla ρ = +, tj., szereg (1) jest zbieżny w każdym punkcie zbioru K = {z C : z z 0 < R} i rozbieżny w każdym punkcie zbioru {z C : z z 0 > R}. Ko lo K w powyższym twierdzeniu nazywamy ko lem zbieżności szeregu (1). W lasność 7. Suma szeregu (1) jest funkcja holomorficzna wewna trz ko la zbieżności. O funkcji f, która jest suma szeregu (1) w pewnym kole K = {z : z z 0 < r}, mówimy że rozwija sie w kole K w szereg pote gowy lub w szereg Taylora, a szereg (1) nazywamy jej rozwinie ciem. Twierdzenie 11. Jeśli funkcja f jest holomorficzna w punkcie z 0, to rozwija sie w szereg pote gowy w pewnym kole o środku w punkcie z 0 i rozwinie cie to jest określone jednoznacznie. Twierdzenie 1. Jeśli funkcja f jest holomorficzna w pewnym zbiorze otwartym G C, to jej pochodna również jest funkcja holomorficzna w zbiorze G. Ponadto funkcja ta ma pochodne wszystkich rze dów w zbiorze G i pochodne te sa funkcjami holomorficznymi. Twierdzenie 13. Funkcje exp, sin, cos rozwijaja sie w naste puja ce szeregi pote gowe: 1 ( 1) n ( 1) n exp z = n! zn, sin z = (n + 1)! zn+1, cos z = (n)! zn, z C. Przyk lad 6. Rozwiniemy funkcje f(z) = exp z w szereg pote gowy o środku w punkcie z 0 = 1. Wykorzystuja c twierdzenie 13 dla z C, mamy 1 exp z = exp(z 1 + 1) = e exp(z 1) = e n! (z e 1)n = n! (z 1)n. Zatem wspó lczynniki tego rozwinie cia sa postaci a n = e n!, n = 0, 1,.... Przyk lad 7. Rozwiniemy funkcje f(z) = z(z+), z C \ {0, }, w szereg Laurenta o środku w punkcie z 0 = 1. Wykorzystuja c wzór na sume szeregu geometrycznego, mamy f(z) = 1 z 1 z+ = 1 1+(z 1) 1 3+(x 1) = 1 1 [ (z 1)] [ z 1 ], wie 3 c f(z) = ( 1) n (z 1) n ( 1) n ( 3 n+1 (z 1)n = ( 1) n 1 1 ) 3 n+1 (z 1) n dla z C takich, że z 1 < 1 oraz z 1 < 3, czyli dla z {ζ C : ζ 1 < 1}. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste 9

10 10 10 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta, residuum Szeregiem Laurenta o środku w punkcie z 0 C i wspó lczynnikach a n (n Z) nazywamy szereg postaci (1) Szeregi () oraz (3) + n= a n (z z 0 ) n. a n (z z 0 ) n, n=1 a n 1 (z z 0 ) n nazywać be dziemy odpowiednio cze ścia regularna i cze ścia g lówna szeregu (1). Mówimy, że szereg Laurenta (1) jest zbieżny w danym punkcie z, gdy w tym punkcie zbieżne sa szeregi () i (3). Niech R be dzie promieniem zbieżności szeregu (), η = lim sup n a n i niech + dla η = 0, r = 1/η dla 0 < η < +, 0 dla η = +, Twierdzenie 14. Jeżeli r < R, to szereg (1) jest zbieżny w każdym punkcie pierścienia P = {z : r < z z 0 < R} i jego suma jest funkcja holomorficzna w P. Szereg (1) nie jest zbieżny dla z C\P. O funkcji f, która jest suma szeregu Laurenta (1) w pewnym sa siedztwie Ω = {z C : 0 < z z 0 < r} punktu z 0, mówimy, że rozwija sie w sa siedztwie Ω w szereg Laurenta, szereg (1) zaś nazywamy jej rozwinie ciem w szereg Laurenta w sa siedztwie punktu z 0. Twierdzenie 15. Jeśli funkcja f jest holomorficzna w pewnym sa siedztwie punktu z 0 C, to w pewnym sa siedztwie tego punktu rozwija sie ona w szereg Laurenta postaci (1) i rozwinie cie to jest określone jednoznacznie. Jeśli funkcja f jest holomorficzna w sa siedztwie punktu z 0, to punkt z 0 nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f. Wówczas funkcja rozwija sie w szereg Laurenta postaci (1) w sa siedztwie punktu z 0. Jeśli cze ść g lówna (3) tego rozwiniećia znika, to punkt z 0 nazywamy punktem pozornie osobliwym funkcji f. Jeśli cze ść g lówna (3) tego rozwiniećia ma skończona lecz dodatnia ilość wyrazów różnych od zera, to punkt z 0 nazywamy biegunem funkcji f. Jeśli cze ść g lówna (3) tego rozwiniećia ma nieskończenie wiele wyrazów różnych od zera, to punkt z 0 nazywamy punktem istotnie osobliwym funkcji f. Niech f be dzie funkcja holomorficzna w sa siedztwie punktu z 0 i niech szereg (1) bdzie jej rozwinie ciem w szereg Laurenta w sa siedztwie punktu z 0. Wówczas wspó lczynnik a 1 nazywamy residuum funkcji f w punkcie z 0 i oznaczamy res z0 f. Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste

11 Przyk lad 8. Rozwiniemy funkcje f(z) = z(z+), z C \ {0, } w szereg Laurenta o środku w punkcie z 1 = 0 oraz w szereg Laurenta o środku w punkcie z = i z tych ro. Podobnie jak w przyk ladzie 7, 11 f(z) = 1 z 1 z + = z z = z 1 ( 1) n + n zn dla z C takich, że 0 < z <. Zatem cze ścia g lówna tego rozwinie cia jest z 1. W konsekwencji, res 0 f = 1. Podobnie jak wyżej, mamy f(z) = 1 z (z + ) = 1 z z+ = (z+) (z+)n n+1 dla z C takich, że 0 < z + <. Zatem cza ścia regularna tego rozwinie cia jest (z + ) 1 oraz res f = Twierdzenie o residuach dla prostoka ta Niech G C be dzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja f jest regularna w G, gdy istnieje zbiór A izolowany i domknie ty w G taki, że f jest określona i holomorficzna w G \ A. Przypomnijmy, że podzbiór A przestrzeni C nazywamy izolowanym, gdy dla każdego a A istnieje otoczenie U takie, że A U = {a}. W lasność 8. Zbiór A w powyższej definicji jest przeliczalny i jest zbiorem punktów osobliwych odosobnionych funkcji f. Twierdzenie 16 (o residuach dla prostoka ta). Jeżeli f jest funkcja regularna w zbiorze otwartym G C, P jest prostoka tem normalnym zawartym w G i takim, że f nie ma punktów osobliwych odosobnionych na P, to (1/πi) f(z) dz = P n res zk f, gdzie z 1,..., z n sa wszystkimi punktami osobliwymi odosobnionymi funkcji f leża cymi w prostoka cie P. Przyk lad 8. Weźmy funkcje f(z) = z(z+), z C \ {0, } i niech P C be dzie prostoka tem normalnym o wierzcho lkach 1 i, 1 i, 1 + i, 1 i. Obliczymy ca lke P f(z)dz. Funkcja f ma dwa punkty osobliwe odosobnione (które nie sa punktami pozornie osobliwymi) i sa nimi z 1 = 0 oraz z =. Zatem funkcja f nie ma punktów osobliwych na brzegu prostoka ta P. Oczywiście z 1 Int P, a z / P. W myśl zadania 7, mamy res 0 f = 1. Zatem stosuja c twierdzenie 16 o residuach dla prostoka ta, mamy f(z)dz = πi res 0 f = πi. P k=1 Na podstawie: J. Cha dzyński, Wste