w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

Transkrypt

1 Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014

2 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane cześciowe rozwiazania wykorzystuja metody równań różniczkowych czastkowych. 2

3 Definicja 1 Niech Ω C n b edzie obszarem. Funkcj e f : Ω C nazywamy funkcja holomorficzna, jeżeli dla każdego j = 1,..., n i dla dowolnie ustalonych punktów z 1,..., z j 1, z j+1,..., z n funkcja z f(z 1,..., z j 1, z, z j+1,..., z n ) jest holomorficzna jako funkcja jednej zmiennej zespolonej, dla wszystkich z {z C: (z 1,..., z j 1, z, z j+1,..., z n ) Ω}. 3

4 Definicja 2 Mówimy, że funkcja f : D C określona na obszarze D C jest holomorficzna w punkcie z D, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z, to znaczy istnieje granica lim h 0 h C f(z + h) f(z). h Funkcja f jest holomorficzna na obszarze D, jeżeli jest holomorficzna w każdym punkcie obszaru D. 4

5 Historycznie funkcje holomorficzne Ω C n by ly definiowane jako funkcje holomorficzne wzgledem każdej zmiennej osobno i ograniczone na zbiorach zwartych. Z wzoru ca lkowego Cauchy ego wynika, że sa one klasy C. Z wzoru ca lkowego Cauchy ego wynika, że sa one klasy C. 5

6 Twierdzenie 1 (Hartogs) Funkcja holomorficzna f : Ω C jest ciag la. 6

7 Podobnie jak w przypadku funkcji holomorficznej jednej zmiennej. Definicja 3 Funkcja f : Ω C jest holomorficzna, jeżeli dla kadego z 0 Ω można dobrać r = r(z 0 ) tak, aby D n (z 0, r) Ω i aby f da la si e przedstawić w postaci sumy bezwzgl ednie zbieżnego szeregu pot egowego f(z) = α a α (z z 0 ) α dla z D n (z 0, r). 7

8 Podstawowa idea: Być może znane w lasności funkcji holomorficznych jednej zmiennej można w prosty sposób przenieść na przypadek funkcji holomorficznych wielu zmiennych. 8

9 Podstawowa idea: Być może znane w lasności funkcji holomorficznych jednej zmiennej można w prosty sposób przenieść na przypadek funkcji holomorficznych wielu zmiennych. Teoria funkcji wielu zmiennych jest znacznie bardziej geometryczna. 9

10 Trzeba badać zwiazki miedzy trzema światami: zbiory, obszary, na których określone sa funkcje, funkcje lub przestrzenie funkcji, operatory określone na przestrzeniach funkcji, na przyk lad operatory różniczkowe. 10

11 I Problem: Problem Korony Dla zadanych ograniczonych funkcji holomorficznych rozwiazać równanie f 1,..., f k : Ω C g 1 f g k f k = 1 zwane równaniem Bézout. 11

12 Interesuje nas wi ec przestrzeń H (Ω) ograniczonych funkcji holomorficznych na obszarze Ω. 12

13 Zauważmy, że jeżeli dla f 1,..., f k H (Ω) istnieja funkcje g 1,..., g k H (Ω), to 1 = C k j=1 ( k j=1 ( k j=1 f j g j Musi wi ec wtedy być ( k j=1 f j 2 ) 1/2 ( k f j 2 ) 1/2. j=1 g j 2 ) 1/2 f j (z) 2 ) 1/2 1 C > 0. 13

14 Faktycznie wiec problem korony polega na znalezieniu dla zadanych funkcji f 1,..., f k H (Ω) spe lniajacych warunek k j=1 f j (z) δ > 0, dla pewnej liczby δ, funkcji takich, że g 1,..., g k H (Ω) k j=1 f j (z)g j (z) = 1. 14

15 Przestrzeń jest algebra Banacha. H (Ω) To znaczy z norma f := sup f(z) z Ω H (Ω) jest przestrzenia Banacha, z mnożeniem punktowym jest algebra oraz mnożenie jest ciag le fg f g. 15

16 Niech m: H (Ω) C b edzie funkcjona lem liniowo-multiplikatywnym na H (Ω) m(a 1 f 1 + a 2 f 2 ) = a 1 m(f 1 ) + a 2 m(f 2 ), m(f 1 f 2 ) = m(f 1 )m(f 2 ), a 1, a 2 C, f 1, f 2 H (Ω). 16

17 Zbiór M wszystkich funkcjona lów m: H (Ω) C, które sa liniowo-multiplikatywne nazywa sie przestrzenia idea lów maksymalnych. 17

18 Zbiór M wszystkich funkcjona lów m: H (Ω) C, które sa liniowo-multiplikatywne nazywa sie przestrzenia idea lów maksymalnych. m jest automatycznie ciag ly, 18

19 Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mi edzy funkcjona lami liniowo-multyplikatywnymi, a idea lami maksymalnymi m ker m. 19

20 Na zbiorze M istnieje naturalna topologia. Jest nia tak zwana -s laba topologia. W tej topologii sieć m α M zbiega do m M wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji f H (Ω) m α (f) m(f). 20

21 Dla dowolnego z Ω funkcjona l m z : H (Ω) f f(z) C jest liniowy, multyplikatywny i ciag ly. To oznacza, że Ω M. 21

22 Równoważne sformu lowanie problemu korony: Czy zbiór Ω jest g esty w M? 22

23 Równoważne sformu lowanie problemu korony: Czy zbiór Ω jest g esty w M? TAK dla dysku D L. Carleson (1962), dowód oparty na analizie funkcjonalnej L. Hörmander, znacznie prostszy dowód pochodzi z 1980 roku od Wolffa. Nie jest znana odpowiedź dla podstawowych obszarów w C n takich jak kula B n, czy polidysk P n = { z C n : z j < 1, j = 1,..., n }. 23

24 Niech f 1, f 2 H (Ω) spe lniaja warunek f 1 (z) + f 2 (z) δ > 0. Możemy przyjać: f γ 1 := 1 (z) f 1 (z) 2 + f 2 (z) 2 f γ 2 := 2 (z) f 1 (z) 2 + f 2 (z) 2. Wówczas oczywiście: γ 1 f 1 + γ 2 f 2 = 1. Funkcje γ 1, γ 2 nie sa jednak oczywiście holomorficzne. Sa jednak g ladkie. 24

25 Pomys l polega poprawieniu γ 1, γ 2. Przyjmijmy: g 1 := γ 1 + uf 2 g 2 := γ 2 uf 1. Wówczas oczywiście dla dowolnej funkcji u f 1 g 1 + f 2 g 2 = f 1 γ 1 + f 2 γ 2 + f 1 uf 2 f 1 uf 2 = f 1 γ 1 + f 2 γ 2 = 1. Musimy wi ec wybrać u tak, aby g 1, g 2 by ly holomorficzne. 25

26 Tutaj wkraczaja równania różniczkowe czastkowe! Funkcje holomorficzne można zdefiniować jako rozwiazania równań Cauchy ego-riemanna. Zdefiniujmy dla f : D C f z = 1 ( 2 x + 1 ) f. y Funkcja f : D C jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy f z = 0. 26

27 Podobnie funkcja f : C n Ω C jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy: f = 0, z 1... f = 0. z n 27

28 Przypomnijmy, że szukamy u takiego, aby g 1 := γ 1 + uf 2 by la holomorficzna. Musi wi ec być g 1 z = 0. 28

29 Prowadzi to do nastepuj acego problemu: Rozwiazać równanie (lub w C n uk lad równań) postaci: u z = V. 29

30 Oczywiście g 1 := γ 1 + uf 2 ma być funkcja ograniczona. Szukamy wiec ograniczonego rozwiazania równań u z = V. 30

31 Podstawowy wi ec problem jakie jest V. Okazuje sie, że prawa strona definiuje tak zwana miare Carlesona. Dodatnia miara borelowska na dysku D jest miara Carlesona, jeżeli: gdzie: µ(s(θ 0, ε)) Cε, S(θ 0, ε) = { re 1θ : θ θ 0 < ε, 1 r ε }. 31

32 Podobny problem na obszarach w C n, n > 1 prowadzi do problemów, które nie sa izotropowe. To znaczy odpowiedniki obszarów S(θ 0, ε) maja różne w lasności, w szczególności wymiary, w zależności od kierunku. 32

33 Skad sie bierze nieizotropowa natura problemów w C n, n > 1? Jeżeli dla z 0 Ω, v C n oraz r > 0 D(z 0, v, r) := { z 0 + λv : λ C, λ < r } Ω to wzór ca lkowy Cauchy ego f (z 0 ) = 1 2π 1 da oszacowanie D(z 0,v,r) f (z 0 ) f H. r f(ζ) (ζ z 0 ) 2dζ 33

34 Podsumowujac: Metoda rozwiazania problemu korony w C n, n > 1 prowadzi do uk ladu równań postaci f z j = V j, j = 1,..., n, które trzeba rozwiazać znajdujac rozwiazanie ograniczone. Prawa strona (V 1,..., V n ) spe lnia pewne geometryczne oszacowania nieizotropowej natury. 34

35 Znane metody daja rozwiazania w wiekszych przestrzeniach takich jak przestrzenie Hardy ego H p, 1 p <, przestrzeń BMOA funkcji holomorficznych o ograniczonej oscylacji na brzegu lub przestrzenie funkcji o wzroście logarytmicznym: dla pewnego k N 0. f(z) C log(1 z ) k 35

36 Problem II: Zasada odpowiedniości brzegów Carathéodory ego: Twierdzenie 2 Niech obszary D 1, D 2 bed a ograniczone krzywymi Jordana D 1, D 2. Wówczas przekszta lcenie biholomorficzne f : D 1 D 2 można przed lużyć na brzeg obszaru D 1 do homeomorfizmu obszarów domknietych D 1 i D 2. 36

37 Niech Ω 1, Ω 2 C n bed a ograniczonymi obszarami o g ladkich brzegach. Czy biholomorfizm F : Ω 1 Ω 2 przed luża si e do dyfeomorfizmu domkni eć obszarów Ω 1, Ω 2? 37

38 Rozwiazanie tego problemu pozwoli loby przyporzadkować obszarowi Ω pewne niezmienniki zdefiniowane dla punktów należacych do brzegu Ω. To z kolei pozwoli loby myśleć o klasyfikacji obszarów ze wzgledu na relacje bycia biholomorficznym. 38

39 Twierdzenie 3 (Riemann) Dowolny obszar jednospójny, którego brzeg sk lada si e z wi ecej niż jednego punktu, jest biholomorficzny z dyskiem. 39

40 Problem istnienia rozszerzenia biholomorfizmu jest rozwiazany dla obszarów silnie pseudowypuk lych Fefferman

41 Inna idea (Bell, Ligocka 1980): przestrzenie Sobolewa wykorzystać 41

42 Przestrzeń Sobolewa W k (Ω) := { u L 2 (Ω): D α u L 2 (Ω), α k }. u L 2 (Ω) = ( Ω u 2 dx) 1/2. 42

43 Dla funkcji ciag lej u C( Ω) ma sens odwzorowanie u u Ω to ślad funkcji u. u Ω 43

44 Podobnie dla odpowiednio dużego k funkcje z przestrzeni Sobolewa W k (Ω) też maja ślady! 44

45 Pomys l: Wykorzystajmy ślad w sensie teorii przestrzeni Sobolewa jako rozszerzenie biholomorfizmu! 45

46 Zamiast badać równanie u = V latwiej jest badać równanie ( + )u = f. 46

47 Aby skonstruować rozszerzenie trzeba zbadać w lasności + na przestrzeniach Sobolewa. 47

48 to operator formalnie sprz eżony z Ω u vdx = u v Ω dla u, v o zwartym nośniku zawartym w Ω, czyli ( u, v) = (u, v). 48

49 Operator = + to w zasadzie laplasjan = 2n j=1 2 x 2 j. 49

50 Rozważmy równanie gdzie Lu = f, Lu = n i,j=1 (a ij (x)u xi ) xj + Na przyk lad Laplasjan. n i=1 b i u xi + c(x)u. 50

51 Wówczas, jeżeli f W k (Ω) oraz Lu = f, to u W k+2,loc (Ω), gdy a ij, b i, c C k+1 (Ω). 51

52 Rozwiazanie u ma wiec lepsze w lasności od prawej strony równania Lu = f. 52

53 Być może te sama w lasność ma nasze równanie ( + )u = f. 53

54 Jeżeli Ω jest obszarem skończonego typu, to zachodza oszacowania subeliptyczne dla ε > 0. u 2 ε C ( u 2 + u 2 + u 2) 54

55 Zatem dla obszarów skończonego typu mamy rozszerzenia biholomorfizmów. 55

56 Przyk lady obszarów skończonego typu: {z C 2 : z z 2 6 < 1} {2Rz 3 + z 2 1 z z z 1 18 z 2 12 < 1} 56