stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

Transkrypt

1 Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży do 0, czyli = lim y x 0 x. Interpretacja geometryczna pochodnej. Pochodna funkcji y = f(x) w danym punkcie równa sie wspó lczynnikowi katowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Interpretacje fizyczne pochodnej. Jeśli wielkość fizyczna y jest funkcja wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna jest predkości a zmiany wielkości y w porównaniu ze zmianami wielkości x. Predkość v jest pochodna przebytej drogi s wzgledem czasu t, v = ds Przyspieszenie a jest pochodna pr edkości wzgl edem czasu, a = dv Nateżenie pradu I jest pochodna ilości przep lywajacego ladunku Q wzgledem czasu I = dq Pojemność cieplna c jest pochodna ilości ciep la W wzgledem temperatury T. c = dw dt. Nateżenie pola elektrycznego wzd luż drogi x, E, jest pochodna potencja lu elektrycznego, V, wzgledem drogi E = dv. W lasności pochodnej y = cf(x), gdzie c jest sta l a y = f(x) ± g(x) y = f(x)g(x) y = f(x) g(x) = cdf(x) = df(x) ± dg(x) = g(x)df(x) + f(x)dg(x) df(x) g(x) = dg(x) f(x) [g(x)] 2

2 y = g(z); z = f(x) y = g[f(x)] Pochodne funkcji elementarnych y = c, c = const = dg(z) df(x) dz = 0 Ca lka y = x a = axa 1 y = sin ωx = ω cos ωx y = cos ωx = ω sin ωx y = e bx = bebx y = log bx = 1 x Jeżeli funkcja f(x) jest pochodna funkcji F (x), czyli f(x) = to funkcje F (x) nazywamy funkcja pierwotna funkcji f(x). Jeżeli funkcja F (x) jest funkcja pierwotna funkcji f(x) to funkcja F (X) + C, gdzie C jest sta l a jest również funkcja pierwotna funkcji f(x). Ca lka nieoznaczona funkcji f(x) nazywamy rodzine funkcji pierwotnych tej funkcji i oznaczamy symbolem: f(x) = F (x) + C w lasności ca lek (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x) Af(x) = A f(x) x n = 1 n+1 xn+1 + C x 1 = ln x + C e bx = 1 b ebx + C cos(ωx) = 1 ω sin(ωx) + C sin(ωx) = 1 ω cos(ωx) + C df (x) Ca lka oznaczona. Niech P bedzie polem pod krzywa y = f(x) od x = a do x = b. P = lim y i x i = lim f(x i ) x i = x i 0 x i 0 i b a f(x) = F (b) F (a), gdzie funkcja F (x) jest funkcja pierwotna funkcji f(x). i b a f(x)

3 Zastosowania ca lek. Jeśli wielkość fizyczna z jest pochodna wielkości y wzgledem zmiennej x, z(x) = (x) y(x) = z(x) + C Po lożenie punktu materialnego jest ca lka z predkości po czasie x(t) = v(t)dt + C to predkość jest ca lka przyśpieszenia po czasie v(t) = a(t)dt + C Ilość ladunku przep lywajacego przez przewodnik jest ca lka z nateżenia pradu po czasie q(t) = I(t)dt + C Wektory Postać geometryczna wektora. Wektor to ukierunkowany odcinek linii prostej lub wielkość z określona d lugościa i kierunkiem w przestrzeni. Postać algebraiczna wektora. W przestrzeni trójwymiarowej wektor A to uporzadkowana trójka liczb rzeczywistych (A 1, A 2, A 3 ). Umieszczajac poczatek wektora A w środku uk ladu wspólrzednych, trójka liczb rzeczywistych (A 1, A 2, A 3 ) jest wspó lrzedn a jego końca. Kartezjański uk lad wspó lrzednych. Uk lad kartezjański określony jest poprzez podanie trzech wersorów osi, tzn. wektorów ˆx, ŷ, ẑ wyznaczajacych kierunki trzech osi liczbowych. Wersory te sa prostopad le i jednostkowe. Wersory zachowuja te same kierunki we wszystkich punktach przestrzeni. Dowolny wektor A może być przedstawiony w bazie kartezjańskiej: A = A xˆx + A y ŷ + A z ẑ A = (A x, A y, A z ), gdzie A x, A y, A z sa sk ladowymi wektora w uk ladzie kartezjańskim. Rozk lad wektora na sk ladowe w uk ladzie kartezjańskim: A x = A sin θ cos φ A y = A sin θ sin φ A z = A cos θ, gdzie φ jest katem miedzy wektorem A a p laszczyzna xz a φ jest katem miedzy wektorem A a wersorem ẑ(osia z)

4 Zawsze możemy wybrac uk lad tak aby wektor A by l prostopad ly do wersora ẑ wte θ = 90, cos θ = 0, sin θ = 1 A x = A cos φ A y = A sin φ A z = 0 gdzie φ jest katem miedzy wektorem A a wersorem ˆx(osia x) Dodawanie(odejmowanie) wektorów. Suma(różnica) wektorów A i B jest wektorem C = A ± B = (A x ± B x )ˆx + (A y ± B y )ŷ + (A z ± B z )ẑ C x = A x ± B x C y = A y ± B y C z = A z ± B z Mnożenie wektorów przez liczbe. Iloczyn wektora A i liczby b jest wektorem C = b A = ba xˆx + ba y ŷ + ba z ẑ Iloczyn skalarny wektorów. Iloczyn skalarny wektorów A i B jest liczba C x = ba x C y = ba y C z = ba z A B = AB cos φ, gdzie φ jest katem miedzy wektorem A i B Iloczyn skalarny jest przemienny A B = B A Iloczyn skalarny jest rozdzielny ze wzgl edu na dodawanie(odejmowanie) A ( B ± C) = A B ± A C Jeśli wektory A i B sa niezerowe a ich iloczyn skalarny A B = 0 to wektory te sa prostopad le D lugość wektora A Dla wersorów uk ladu kartezjańskiego A = A = A A ˆx ŷ = 0, ŷ ẑ = 0, ẑ ˆx = 0 ˆx ˆx = 1, ŷ ŷ = 1, ẑ ẑ = 1 W uk ladzie kartezjańskim: A B = A x B x + A y B y + A z B z Iloczyn wektorowy wektorów.

5 Iloczyn wektorowy wektorów A i B jest wektorem C = A B = (AB sin θ)ˆn, gdzie θ jest katem mierzonym od A do B, θ < π a wektor ˆn jest wektorem jednostkowym prostopad lym do p laszczyzny zawierajacej A i B i skierowanym w kierunku danym przez prawo prawej reki Iloczyn wektorowy antykomutuje A B = B A A A = 0 Iloczyn wektorowy jest roz l aczny wzgledem dodawania(odejmowania) Dla werorów uk ladu kartezjańskiego W uk ladzie kartezjańskim A ( B ± C) = A B ± A C ˆx ŷ = ẑ, ẑ ˆx = ŷ, ŷ ẑ = ˆx C = A B = (A y B z A z B y )ˆx + (A z B x A x B z )ŷ + (A x B y A y B x )ˆx C x = A y B z A z B y C y = A z B x A x B z C z = A x B y A y B z Tożsamości wektorowe A ( B C) = B ( A C) C ( A B) A ( B C) = C ( A B) = B ( C A)