FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści

Transkrypt

1 FUNKCJE ANALITYCZNE JEDNOSEMESTRALNY WYK LAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008 Zbigniew B locki Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 2 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych 5 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych 9 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Wzór ca lkowy Cauchy ego Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych Szeregi potegowe Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych, cd Funkcje analityczne Globalne twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Szeregi Laurenta Osobliwości funkcji holomorficznych Twierdzenie o residuach 29 13a. Obliczanie pewnych ca lek rzeczywistych Lokalizowanie zer funkcji holomorficznych Odwzorowania konforemne Sfera Riemanna Funkcje harmoniczne Iloczyny nieskończone Funkcja ζ Riemanna Rodziny normalne, iteracja funkcji wymiernych 48 Literatura 51 Zagadnienia na egzamin ustny 52 Typeset by AMS-TEX

2 2 ZBIGNIEW B LOCKI 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych Liczba zespolona nazywamy pare liczb rzeczywistych, zbiór liczb zespolonych C to zatem dok ladnie zbiór R 2. Element z = (x, y) C zapisujemy w postaci x + iy. Na zbiorze C wprowadzamy mnożenie (zgodnie z regu l a i 2 = 1): (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 2 y 1 + x 1 y 2 ). Można latwo pokazać Ćwiczenie, że C z dodawaniem wektorowym w R 2 oraz tak wprowadzonym mnożeniem jest cia lem. Jeżeli z = x + iy, to x nazywamy cześci a rzeczywista, natomiast y cześci a urojona liczby z; ozn. x = Re z, y = Im z. Każda liczbe zespolona z możemy rówież zapisać przy pomocy wspó lrzednych biegunowych: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = z = x 2 + y 2, zaś ϕ jest katem pomiedzy odcinkami [0, 1] i [0, z] (gdy z 0) - nazywamy go argumentem liczby z. Zachodzi oczywiście nierówność trójkata z + w z + w, z, w C, można również latwo pokazać Ćwiczenie, że zw = z w, z, w C. Chcemy teraz zdefiniować zespolona funkcje wyk ladnicza exp : C C. Dla z = x + iy C oczekujemy, że e z = e x e iy, czyli wystarczy określić e it dla t R. Chcemy by funkcja ta spe lnia la d dt eit = ie it, e 0 = 1, a wiec (oznaczajac e it = A + ib) A = B, B = A, A(0) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwiazaniem tego uk ladu sa funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcje wyk ladnicza definiujemy zatem nastepuj aco: e z := e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Można latwo pokazać Ćwiczenie jej nastepuj ace w lasności e z+w = e z e w, z, w C, d dt etz = ze tz, t R, z C. Z faktu, że e z = e x oraz dzieki temu, że y jest argumentem liczby e z wynika, że funkcja wyk ladnicza proste pionowe x = x 0 odwzorowuje na okregi o promieniu e x 0, natomiast proste poziome y = y 0 na pó lproste otwarte o poczatku w 0 o argumencie y 0. Wracajac do wspó lrzednych biegunowych, możemy je teraz zapisać w postaci z = re iϕ. Dla z 0 przez arg z oznaczamy zbiór argumentów liczby z, tzn. arg z := {ϕ R : z = z e iϕ }.

3 FUNKCJE ANALITYCZNE 3 Ponieważ e i(ϕ+2π) = e iϕ, dla dowolnego ϕ 0 arg z mamy arg z = {ϕ 0 + 2kπ : k Z}. Dla każdego z C (:= C \ {0}) znajdziemy dok ladnie jeden element arg z należacy do przedzia lu [ π, π). Nazywamy go argumentem g lównym liczby z i oznaczamy Arg z. Funkcja Arg, określona na C, jest nieciag la na pó lprostej (, 0). Możemy teraz podać geometryczna interpretacje mnożenia w C: jeżeli z = re iϕ, w = ρe iψ, to zw = rρe i(ϕ+ψ) ; czyli mnożymy d lugości, a dodajemy argumenty. Możemy stad również wywnioskować wzór de Moivre a: z tego, że (e iϕ ) n = e inϕ otrzymamy (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ), ϕ R, n N. Dla danego z C oraz n N przez pierwiastek z stopnia n rozumiemy zbiór n z := {w C : w n = z}. Zapisujac z i w we wspó lrzednych biegunowych: otrzymamy warunki z = re iϕ, w = ρe iψ, ρ = r 1/n, ψ = ϕ + 2kπ, k Z. n Ponieważ e iψ = e i(ψ+2π), dla k = 0, 1,..., n 1 otrzymamy wszystkie rozwiazania. Zatem n z = { z 1/n e i(ϕ+2kπ)/n : k = 0, 1,..., n 1}. W szczególności, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym. Ćwiczenie Udowodnić, że rozwiazaniem równania kwadratowego w C: gdzie a C, b, c C, jest az 2 + bz + c = 0, z = b +, 2a gdzie = b 2 4ac, przy czym jest zbiorem dwuelementowym jeżeli 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwiazania (jedno jeżeli = 0). W przypadku wielomianów dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie 1.1. Każdy niesta ly wielomian zespolony ma pierwiastek. Powyższy rezultat można udowodnić w sposób elementarny przy pomocy lematu d Alemberta (oryginalny dowód z 1746 r. zawiera l luk e): Lemat 1.2. Za lóżmy, że P jest niesta lym wielomianem zespolonym oraz, że dla pewnego z 0 C mamy P (z 0 ) 0. Wtedy dla każdego otoczenia U punktu z 0 znajdziemy z U takie, że P (z) < P (z 0 ).

4 4 ZBIGNIEW B LOCKI Dowód. (Argand, 1806) Niech Wtedy P (z) = a 0 + a 1 z + + a n z n. P (z 0 + h) = a 0 + a 1 (z 0 + h) + + a n (z 0 + h) n = P (z 0 ) + A 1 h + + A n h n, gdzie wspó lczynniki A j zależa tylko od P i z 0. Któryś z nich na pewno nie znika, gdyż w przeciwnym wypadku wielomian P by lby sta ly. Niech j bedzie najmniejszym indeksem, dla którego A j 0. Mamy zatem gdzie P (z 0 + h) = P (z 0 ) + A j h j + R(h), R(h) < A j h j, gdy h jest odp. ma le, h 0. Możemy znaleźć h o dowolnie ma lym h, dla którego A j h j ma argument przeciwny do argumentu P (z 0 ). Wtedy P (z 0 + h) P (z 0 ) + A j h j + R(h) = P (z 0 ) A j h j + R(h) < P (z 0 ). Dowód Twierdzenia 1.1. Oznaczajac P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zak ladajac, że a n 0, mamy P (z) a n z n a 0 + a 1 z + + a n 1 z n 1 a n z n a 0 a 1 z a n 1 z n 1. Możemy w szczególności znaleźć R > 0 takie, że P (z) > P (0), gdy z = R. Funkcja P jest ciag la na C (bo oczywiste jest, że mnożenie jest odwzorowaniem ciag lym), znajdziemy zatem z 0 K(0, R) takie, że P (z 0 ) = min P. K(0,R) Jeżeli P (z 0 ) 0, to dzi eki Lematowi 1.2 znajdziemy z K(0, R) takie, że P (z) < P (z 0 ) - sprzeczność. Dla z C definiujemy log z := {w C : e w = z} (dla z = 0 ten zbiór jest oczywiście pusty). Jeżeli zapiszemy w = η + iξ, z = re iϕ, to otrzymamy równanie e η e iξ = re iϕ. Zatem η = log r = log z, natomiast ξ = ϕ + 2kπ, k Z. Ostatecznie log z = log z + iarg z. Liczb e Log z := log z + iarg z

5 FUNKCJE ANALITYCZNE 5 nazywamy logarytmem g lównym z. Przy pomocy logarytmu możemy zdefiniować pot egi zespolone: dla z C, w C k ladziemy z w = e w log z. Zauważmy, że z 1/n = e 1 n (log z +iarg z) = z 1/n e i arg z n, czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka. Ćwiczenie Obliczyć i i. Przypomnijmy, że e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R. Zespolone funkcje trygonometryczne można latwo wyprowadzić ze wzorów Eulera: Stad Mamy również e iz = cos z + i sin z, e iz = cos z i sin z. cos z := eiz + e iz, 2 sin z := eiz e iz. 2i cosh z := cos(iz) = ez + e z, 2 sinh z := i sin(iz) = ez e z. 2 Ćwiczenie Pokazać, że arccos z = i log(z + z 2 1). Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprz eżenie: z := x iy. Natychmiast otrzymujemy, że z 2 = zz. Ćwiczenie Pokazać, że (zw) = z w oraz e z = e z. 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych Oczywiście każde odwzorowanie liniowe C C jest postaci (2.1) C z az C dla pewnego a C. Ponieważ C = R 2, możemy również rozpatrywać równania liniowe w sensie rzeczywistym - bed a one postaci C = R 2 z Az R 2 = C,

6 6 ZBIGNIEW B LOCKI gdzie ( p q (2.2) A = s t ), p, q, s, t R. Takie odwzorowania C C bedziemy nazywać R-liniowymi, natomiast odwzorowania postaci (2.1) C-liniowymi. Można latwo sprawdzić, że każde odwzorowanie C-liniowe jest R-liniowe, przy czym A jest postaci ( α β A = β α gdzie a = α + iβ. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = s w (2.2) ( Ćwiczenie ). Niech f bedzie funkcja o wartościach zespolonych określona w pewnym otoczeniu punktu z 0 C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, że f jest C-różniczkowalna w punkcie z 0, jeżeli istnieje granica ), f(z) f(z 0 ) lim C. z z 0 z z 0 Granice te nazywamy pochodna zespolona funkcji f w z 0 i oznaczamy przez f (z 0 ). Jest oczywiste, że każda funkcja C-różniczkowalna w z 0 jest w ciag la w z 0. W podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych w lasności funkcji C-różniczkowalnych. Propozycja 2.1. Jeżeli funkcje f, g sa C-różniczkowalne w z 0, to funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g(z 0 ) 0) sa C-różniczkowalne w z 0 oraz w z 0 mamy (f ± g) = f ± g, (fg) = f g + fg, ( ) f = f g fg g g 2. Propozycja 2.2. Jeżeli f jest C-różniczkowalna w z 0, zaś g jest C-różniczkowalna w f(z 0 ), to g f jest C-różniczkowalna w z 0 oraz (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ). Przypomnijmy, że funkcja zespolona f jest różniczkowalna w z 0 w klasycznym sensie (b edziemy wtedy mówić, że jest ona R-różniczkowalna), jeżeli istnieje odwzorowanie R-liniowe A takie, że f(z) f(z 0 ) A(z z 0 ) lim = 0. z z 0 z z 0 Jeżeli f = u + iv, gdzie u, v sa funkcjami rzeczywistymi, to ( ) ux (z A = 0 ) u y (z 0 ) v x (z 0 ) v y (z 0 )

7 FUNKCJE ANALITYCZNE 7 (ozn. u x = u/ x, u y = u/ y). Zauważmy, że każda funkcja C-różniczkowalna jest R-różniczkowalna, przy czym A = ( ) Re f (z 0 ) Im f (z 0 ) Im f (z 0 ) Re f. (z 0 ) Przyk lad. Funkcja f(z) = z, z C, jest R-różniczkowalna w każdym punkcie (jest nawet R-liniowa), ale nigdzie nie jest C-różniczkowalna: zauważmy, że dla t R mamy { z z 0 1, jeżeli z = z0 + t, = z z 0 1, jeżeli z = z 0 + it, czyli odpowiednia granica nie istnieje. Za lóżmy, że f = u + iv jest R-różniczkowalna w z 0. Oznaczajac f x = u x + iv x, f y = u y + iv y mamy Ponieważ f(z) = f(z 0 ) + f x (z 0 )(x x 0 ) + f y (z 0 )(y y 0 ) + o( z z 0 ). (2.3) x = z + z 2, y = z z, 2i otrzymamy f(z) = f(z 0 ) + f x(z 0 ) if y (z 0 ) 2 (z z 0 ) + f x(z 0 ) + if y (z 0 ) (z z 0 ) + o( z z 0 ). 2 Dla funkcji R-różniczkowalnej definiujemy pochodne formalne (2.4) f z (= f z) := 1 ( f 2 f z (= f z) := 1 2 ) x i f, y ( ) f x + i f. y Pochodne czastkowe / z i / z prowadzić możemy również przy pomocy formy df: mamy a stad f x dx + f y dy = df = f z dz + f z dz = f z (dx + idy) + f z (dx idy), (2.5) { fx = f z + f z, f y = i(f z f z ), skad latwo dostaniemy (2.4). Ćwiczenie Pokazać, że dla dowolnej funkcji R-różniczkowalnej f mamy ( ) f = f z z, ( ) f = f z z.

8 8 ZBIGNIEW B LOCKI Ćwiczenie Obliczyć f z oraz f z, gdzie f(z) = z 2 Re (z 8 ). Dla funkcji R-różniczkowalnej w z 0 mamy wi ec oraz, dla z z 0, f(z) = f(z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 ) f(z) f(z 0 ) z z 0 = f z (z 0 ) + f z (z 0 ) z z 0 z z 0 + o( z z 0 ) z z 0. Wspólnie z ostatnim przyk ladem daje to nastepuj ac a charakteryzacje funkcji C- różniczkowalnych: Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-różniczkowalna w punkcie z o wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-różniczkowalna w z 0 oraz f z (z 0 ) = 0, tzn. w z 0 spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna: W takiej sytuacji f (z 0 ) = f z (z 0 ). { ux = v y, u y = v x. Powiemy, że funkcja f : Ω C (Ω bedzie zawsze oznacza lo obszar w C) jest holomorficzna, jeżeli jest ona C-różniczkowalna w każdym punkcie. Zbiór wszystkich funkcji holomorficznych w Ω oznaczamy przez O(Ω), natomiast przez O (Ω) zbiór nigdzie nieznikajacych funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika, że suma, iloczyn, iloraz i z lożenie funkcji holomorficznych sa funkcjami holomorficznymi. Jeżeli f = u + iv jest R-różniczkowalna, to f jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna. Ćwiczenie Pokazać, że e z jest jedyna funkcja z O(C) taka, że f = f oraz f(0) = 1. Ćwiczenie Pokazać, że cos, sin, cosh, sinh O(C) oraz obliczyć pochodne zespolone tych funkcji. Propozycja 2.4. Za lóżmy, że f jest holomorficzna i klasy C 1 w pewnym otoczeniu z 0 C oraz f (z 0 ) 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie z 0 oraz V - otwarte otoczenie f(z 0 ), t.że f : U V jest bijekcja, f 1 jest holomorficzna oraz (2.6) (f 1 ) (f(z)) = 1 f (z), z U. Dowód. Jeżeli zapiszemy f = u + iv, to rzeczywista różniczka f ma postać ( ) ( ) ux u A := y ux u = y v x v y u y u x dzi eki równaniom Cauchy ego-riemanna. Z drugiej strony, wprost z definicji C- różniczkowalności f = f x = u x iu y. Mamy wi ec det A = u 2 x + u 2 y = f 2.

9 FUNKCJE ANALITYCZNE 9 Dzieki temu, że f (z 0 ) 0, z rzeczywistego twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie wynika, że istnieja odp. otoczenia U i V, t.że f : U V jest bijekcja klasy C 1 oraz f 1 jest również klasy C 1. Zapiszmy f 1 = α + iβ. Różniczka f 1 jest równa ( ) ( ) αx α y = A 1 1 ux u = y β x β y u 2 x + u 2. y u y u x W szczególności α x = β y, α y = β x, czyli f 1 jest holomorficzna. Formu l e (2.6) dostaniemy różniczkujac wzór f 1 (f(z)) = z, z U. Ćwiczenie Pokazać, że Log z O(C \ (, 0]) oraz (Log z) = 1/z. Podamy teraz formu l e na różniczkowanie z lożenia funkcji zespolonej z krzywa. Za lóżmy, że funkcje f : Ω C oraz γ = (γ 1, γ 2 ) : (a, b) Ω sa różniczkowalne (w klasycznym sensie). Wtedy, korzystajac z (rzeczywistej) formu ly na pochodna z lożenia oraz z (2.3), (2.5), otrzymamy (2.7) d dt f(γ(t)) = f x(γ(t)) γ 1(t) + f y (γ(t)) γ 2(t) = f z (γ(t)) γ (t) + f z (γ(t))γ (t). 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych Niech a, b R, a < b. Funkcje γ : [a, b] C nazywamy droga, jeżeli γ jest ciag la oraz γ jest kawa lkami klasy C 1, tzn. istnieja a = t 0 < t 1 < < t n = b takie, że γ C 1 ([t j, t j+1 ]), j = 0, 1,..., n 1. Punkt γ(a) nazywamy poczatkiem zaś γ(b) końcem drogi γ. Obraz γ bedziemy oznaczać γ. Jeżeli γ(a) = γ(b), to γ nazywamy droga zamkniet a. Za lóżmy, że f : γ([a, b]) C jest funkcja ciag l a. Definiujemy γ f(z)dz := b a f(γ(t))γ (t)dt. (Powyższa definicje otrzymamy także rozpatrujac cześć rzeczywista i urojona formy różniczkowej f dz = (u + iv)(dx + idy).) Zauważmy, że funkcja pod ca lka jest ca lkowalna w sensie Riemanna niezależnie od tego jakie wartości przyjmuje w punktach t j. Ponadto, jeżeli ϕ : [c, d] [a, b] jest dyfeomorfizmem, to γ := γ ϕ jest droga taka, że γ = γ oraz { d f(z)dz = f(γ(ϕ(s)))γ (ϕ(s))ϕ γ (s)ds = f(z)dz, jeżeli ϕ > 0; γ f(z)dz, jeżeli ϕ < 0. γ c Zatem, jeżeli γ (a,b) jest iniekcja, to f(z)dz zależy tylko od obrazu γ oraz od γ kierunku, w którym ca lkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji bedziemy czesto utożsamiać drogi z ich obrazem oraz odpowiednia orientacja.

10 10 ZBIGNIEW B LOCKI W szczególności, jeżeli D jest obszarem, którego brzeg można iniektywnie sparametryzować droga zamkniet a, to możemy mówić o dodatniej orientacji D - bedzie nia dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Ca lka f(z)dz ma wówczas sens, gdyż nie zależy od wyboru takiej parametryzacji (i jest ona zgodna z ca lka D z formy po krzywej g ladkiej). Bedziemy używać tego oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest ko lem lub wnetrzem trójkata. Jeżeli f jest określone w pewnym otoczeniu γ i ma tam funkcje pierwotna, tzn. istnieje funkcja holomorficzna F taka, że F = f, to z (2.7) otrzymamy (3.1) γ f(z)dz = b a d F (γ(t)) dt = F (γ(b)) F (γ(a)). dt W szczególności, jeżeli γ jest droga zamkniet a, to f(z)dz = 0. γ Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f = u + iv ma pierwotna, to pole wektorowe (v, u) jest potencjalne, tzn. (v, u) = χ dla pewnej funkcji χ. Przyk lad. Dla n Z, z 0 C oraz r > 0 obliczymy (z z 0 ) n dz. K(z 0,r) Dla n 1 pierwotna funkcji podca lkowej jest funkcja (z z 0 ) n+1 /(n+1), określona na C \ {z 0 }. W tym przypadku wiec, dzieki (3.1), nasza ca lka znika. Dla n = 1 po lóżmy γ j (t) = z 0 + re it, a j t b j, gdzie a j jest pewnym ciagiem malejacym do zera, zaś b j rosnacym do 2π. Wtedy, także z (3.1), mamy K(z 0,r) Otrzymaliśmy wiec (3.2) dz z z 0 = lim j K(z 0,r) γ j dz ( = lim Log (re ib j ) Log (re ia j ) ) = 2πi. z z 0 j { 0, jeżeli n 1; (z z 0 ) n dz = 2πi, jeżeli n = 1. Pokazuje to w szczególności, że funkcja 1/(z z 0 ) nie ma pierwotnej w żadnym pierścieniu o środku w z 0. Jeżeli z, w C, to przez [z, w] oznaczamy droge dana przez parametryzacje γ(t) = (1 t)z + tw, t [0, 1]. Ćwiczenie Obliczyć Log z dz. Ćwiczenie Zauważmy, że (3.3) [1,i] Podobnie jak powyżej pokazać, że dζ ζ z = 2πi, z K(z 0, r). γ K(z 0,r) b f(z)dz a f(γ(t)) γ (t) dt l(γ) max f, γ

11 FUNKCJE ANALITYCZNE 11 gdzie jest d lugościa γ. l(γ) := b a γ (t) dt 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Podstawowa w lasnościa geometryczna funkcji holomorficznych jest twierdzenie ca lkowe Cauchy ego. Latwo wynika ono ze wzoru Greena w nastepuj acym przypadku (Cauchy, 1825): za lóżmy, że f jest funkcja holomorficzna klasy C 1 w obszarze Ω, natomiast γ jest droga zamkniet a w Ω, która parametryzuje brzeg klasy C 1 obszaru D Ω. Wtedy γ f(z)dz = D d(fdz) = D f z dz dz = 0. G lównym problemem w uogólnieniu tego faktu jest pozbycie sie za lożenia, że f jest klasy C 1. Zosta lo to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie ogólnej wersji twierdzenia ca lkowego Cauchy ego by lo wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu trójkata (sam Goursat rozpatrywa l czworokaty, jak jednak wkrótce zauważy l Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata by ly trójkaty): Twierdzenie 4.1. Za lóżmy, że f O(Ω \ {z 0 }) C(Ω), gdzie z 0 Ω. Wtedy dla dowolnego trójkata T Ω (czyli otoczki wypuk lej trzech niewspó lliniowych punktów) mamy f(z)dz = 0. T Dowód. Za lóżmy najpierw, że z 0 / T. Przez z 1, z 2, z 3 oznaczmy wierzcho lki T. Rozpatrujac punkty (z j + z k )/2, j, k = 1, 2, 3, dzielimy trójkat T na cztery trójkaty T 1,..., T 4. Mamy wtedy T f(z)dz = 4 j=1 T j f(z)dz. Wybierajac jako T 1 odpowiedni z trójkatów T 1,..., T 4 otrzymamy T f(z)dz T 4 f(z)dz. 1 Zauważmy także, że l( T 1 ) = l( T )/2. W ten sam sposób wybieramy indukcyjnie trójkaty T n, n = 1, 2,..., tak, że f(z)dz T n 1 4 f(z)dz T n

12 12 ZBIGNIEW B LOCKI oraz l( T n ) = l( T n 1 )/2. Otrzymaliśmy zatem zstepuj acy ciag trójkatów T n taki, że (4.1) f(z)dz T 4n f(z)dz n oraz T (4.2) diam(t n ) l( T n) 2 Z twierdzenia Cantora wynika, że = l( T ) 2 n+1. T n = { z} n=1 dla pewnego z T. Z C-różniczkowalności f w z mamy gdzie f(z) = f( z) + ( f ( z) + ε(z) ) (z z), lim ε(z) = 0. z z Ponieważ funkcja f( z) + f ( z)(z z) ma pierwotna, z (3.1) i (3.3) wynika, że f(z)dz = ε(z)(z z)dz T n T l( T n)diam(t n ) max ε. T n n Korzystajac z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla każdego n T f(z)dz (l( T ))2 2 max ε, T n czyli twierdzenie zachodzi przy za lożeniu, że z 0 / T. Jeżeli z 0 T, to dzielac T na trzy (lub dwa) mniejsze trójkaty, których wierzcho lkiem jest z 0 widzimy, że bez straty ogólności możemy za lożyć, że z 0 jest jednym z wierzcho lków T. Jeżeli teraz podzielimy T na trójkat T n o wierzcho lku w z 0 oraz czworokat Q n tak, że l(t n) daży do 0, to z poprzedniej cześci wnioskujemy, że f(z)dz = 0, Q n zatem T f(z)dz = T n f(z)dz l(t n) max f. T Przyk lady. i) Niech f(z) = e z2 i dla R > 0 niech T R bedzie trójkatem o wierzcho lkach 0, R, R + ir. Z Twierdzenia 4.1 mamy f(z)dz = 0. T R

13 Mamy także, gdy R, π i) e z2 dz e x2 dx = [0,R] 0 2, R ii) e z2 dz [R,R+Ri] = i e t2 R 2 2iRt dt 0 R iii) e z2 dz = (1 + i) e 2it2 dt, [R+Ri,0] skad latwo wnioskujemy, że 0 FUNKCJE ANALITYCZNE 13 0 cos t 2 dt = 0 R 0 sin t 2 dt = e t2 R 2 dt π 8. R 0 e Rt R2 dt 0, Nastepnym krokiem jest pokazanie zwiazku twierdzenia ca lkowego Cauchy ego z istnieniem funkcji pierwotnej: Twierdzenie 4.2. Niech f bedzie funkcja ciag l a w Ω. Wtedy nastepuj ace warunki sa równoważne i) Istnieje F O(Ω) takie, że F = f; ii) f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamknietej γ w Ω. γ Jeżeli Ω jest obszarem gwiaździstym, to powyższe warunki sa równoważne nastepu- jacej w lasności iii) f(z)dz = 0 dla każdego trójkata T Ω. T Dowód. Implikacja i) ii) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy z 0 Ω. Dla z Ω niech γ bedzie dowolna droga l acz ac a z 0 oraz z. K ladziemy F (z) := f(ζ)dζ. Dzi eki i) widać, że definicja F nie zależy od wyboru γ. Dla odp. ma lych h mamy (4.3) F (z + h) F (z) = a stad, dzieki (3.3), F (z + h) F (z) h f(z) = 1 h [z,z+h] γ [z,z+h] f(ζ)dζ, (f(ζ) f(z))dζ sup f(ζ) f(z). ζ [z,z+h] Z ciag lości f w z wynika, że ostatnie wyrażenie daży do 0. Otrzymaliśmy zatem, że F O(Ω) oraz F = f. Jeżeli Ω jest gwiaździsty, to implikacja ii) iii) jest trywialna, natomiast, zak ladajac, że zachodzi iii) i że Ω jest gwiaździsty wzgledem z 0, k ladziemy F (z) := [z 0,z] f(z)dz, z Ω.

14 14 ZBIGNIEW B LOCKI Z iii) wynika, że zachodzi (4.3) i identycznie jak poprzednio dowodzimy, że F = f. Z Twierdzeń 4.1 i 4.2 wynika wersja twierdzenia Cauchy ego dla zbiorów gwiaździstych: Wniosek 4.3. Jeżeli obszar Ω jest gwiaździsty i f O(Ω\{z 0 }) C(Ω) dla pewnego z 0 Ω, to f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamkni etej γ w Ω. γ 5. Wzór ca lkowy Cauchy ego Podstawowa w lasnościa funkcji holomorficznych jest wzór ca lkowy Cauchy ego (1831), który odtwarza dana funkcje wewnatrz ko la z jej wartości na brzegu. Twierdzenie 5.1. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to (5.1) f(z) = 1 f(ζ) 2πi K(z 0,r) ζ z dζ, z K(z 0, r). Co wiecej, f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz f (n) (z) = n! f(ζ) 2πi K(z 0,r) (ζ z) n+1 dζ, z K(z 0, r), n = 1, 2,... Dowód. Niech Ω b edzie gwiaździstym otoczeniem K(z 0, r), w którym funkcja f jest określona. Dla ζ Ω zdefiniujmy f(ζ) f(z), ζ z, g(ζ) := ζ z f (z), ζ = z. Wtedy g O(Ω \ {z}) C(Ω), zatem Wniosek 3.3 implikuje, że 0 = K(z 0,r) g(ζ)dζ = K(z 0,r) f(ζ) dζ 2πif(z). ζ z Otrzymaliśmy zatem (5.1). Druga cześć tezy wynika z faktu, że możemy teraz różniczkować pod znakiem ca lki, zauważmy, że ( ) n ( ) 1 =0, z ζ z ( ) n ( ) 1 1 = z ζ z (ζ z) n+1.

15 FUNKCJE ANALITYCZNE 15 Druga cz eść Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem ogólnego rezulatu o holomorficzności funkcji danej wzorem ca lkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych): Lemat 5.2. Za lóżmy, że γ jest dowolna droga w C, natomiast g funkcja ciag l a na γ. Po lóżmy g(ζ) f(z) := ζ z dζ, z C \ γ. γ Wtedy f O(C \ γ ), f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz dla n = 1, 2,... mamy Ćwiczenie f (n) (z) = n! γ Obliczyć K(0,2) g(ζ) (ζ z) n+1 dζ, z C \ γ. e z (z + 1) 2 dz. Jeżeli rozpatrzymy wzór Cauchy ego dla z = z 0 oraz parametryzacj e ζ = z 0 +re it, 0 t 2π, otrzymamy twierdzenie o wartości średniej: Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to f(z 0 ) = 1 2π f(z 0 + re it )dt. 2π 0 Bezpośrednia konsekwecja wzoru Cauchy ego jest także nierówność Cauchy ego (1835): Twierdzenie 5.4. Niech f O(K(z 0, r)) bedzie taka, że f M dla pewnej sta lej M. Wtedy f (n) (z 0 ) n! M, n = 1, 2,... rn Dowód. Wystarczy zastosować wzór Cauchy ego w kole K(z 0, ρ) dla ρ < r oraz (3.3), a nast epnie skorzystać z dowolności ρ. 6. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych Udowodnimy teraz szereg w lasności funkcji holomorficznych wynikajacych ze wzoru Cauchy ego. Pokazaliśmy, że każda funkcja holomorficzna jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy. W szczególności, każda funkcja, która lokalnie ma pierwotna jest holomorficzna. Z Twierdzenia 4.2 wynika zatem rezultat odwrotny do twierdzenia ca lkowego Cauchy ego: Twierdzenie 6.1. (Morera, 1886) Za lóżmy, że funkcja f C(Ω) spe lnia f(z) dz = 0 T dla każdego trójkata T Ω. Wtedy f O(Ω).

16 16 ZBIGNIEW B LOCKI Funkcje holomorficzna określona na C nazywamy ca lkowita. Twierdzenie 6.2. (Liouville, 1847, Cauchy, 1844) Każda ograniczona funkcja ca lkowita jest sta la. Dowód. Jeżeli f M na C, to z nierówności Cauchy ego wynika, że f (z) M/r dla każdego z C i r > 0. Jeżeli wiec r, to dostaniemy, że f = 0 na C. Ale to oznacza, że również pochodna rzeczywista f wszedzie znika. Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f O(C) jest taka, że Re f M dla pewnej sta lej M, to f jest sta la. Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja ca lkowita f spe lnia f(z) C z n, gdy z R, dla pewnych C, R > 0, to f musi być wielomianem stopnia n. Z twierdzenia Liouville a w latwy sposób wynika zasadnicze twierdzenie algebry. Bo jeżeli niesta ly wielomian P nie mia lby pierwiastka, to f := 1/P by loby funkcja ca lkowita. Co wiecej lim f(z) = 0. z W szczególności, f by laby funkcja ograniczona, a wiec na mocy twierdzenia Liouville a otrzymalibyśmy, że P jest sta ly. Nastepnym rezulatem jest zasada maksimum dla funkcji holomorficznych: Twierdzenie 6.3. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω taka, że f osiaga maksimum w Ω, to f jest sta la. Dowód. Dla K(z 0, r) Ω z twierdzenia o wartości średniej wynika, że f(z 0 ) 1 2π f(z 0 + re it ) dt. 2π 0 Jeśli zatem f f(z 0 ) na K(z 0, r), to z ciag lości f wynika, że f = f(z 0 ) na K(z 0, r), a wobec dowolności r, także w K(z 0, r). Twierdzimy, że jeżeli f = f(z 0 ) w K(z 0, r), to wtedy f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli f(z 0 ) = 0, to jest to oczywiste, możemy wiec za lożyć, że f 0 w K(z 0, r). Mamy 0 = ( f 2 ) z = f z f + (f z )f = f f, a zatem f = 0, wi ec f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Pokazaliśmy wi ec, że jeżeli f(z 0 ), to f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli teraz f osiaga maksimum w z 0 Ω, to k ladziemy Ω := {z Ω : f(z) = f(z 0 )}. max f = K(z 0,r) Zbiór ten jest oczywiście domkniety, natomiast z pierwszej cześci dowodu wynika, że jest on również otwarty, co oznacza, że Ω = Ω. Twierdzenie 6.3 to s laba zasada maksimum (zak ladamy, że maksimum jest globalne), nied lugo pokażemy wzmocnienie Twierdzenia 6.3 (przy za lożeniu, że maksimum jest lokalne).

17 FUNKCJE ANALITYCZNE 17 Ćwiczenie Niech wielomian P (z) = a 0 +a 1 z+ +a n z n b edzie taki, że P (z) 1, gdy z = 1. Pokazać, że a j 1, j = 1,..., n. Ćwiczenie Niech f bedzie funkcja holomorficzna w otoczeniu pierścienia {1 z 3} taka, że f 1, gdy z = 1 oraz f 9, gdy z = 3. Pokazać, że f(z) 4, gdy z = 2. Przy pomocy wzoru Cauchy ego możemy też latwo udowodnić podstawowy rezultat dotyczacy ciagów funkcji holomorficznych: Twierdzenie 6.4. (Weierstrass, 1841) Jeżeli f n jest ciagiem funkcji holomorficznych w Ω zbieżnym lokalnie jednostajnie do funkcji f, to f jest funkcja holomorficzna oraz dla każdego k = 1, 2,... mamy lokalnie jednostajna zbieżność f n (k) f (k). Dowód. Niech K(z 0, r) Ω. Funkcje f n spe lniaja wzór Cauchy ego (3.6), zatem spe lnia go również f. Z Lematu 4.2 wynika, że f jest holomorficzna w K(z 0, r). Co wiecej, z nierówności Cauchy ego (stosowanej w kole K(z, r/2) K(z 0, r), z K(z 0, r/2)) dostaniemy max f n (k) f (k) k! K(z 0,r/2) (r/2) k max f n f. K(z 0,r) 7. Szeregi pot egowe Wyrażenie (7.1) a n (z z 0 ) n, n=0 z C nazywamy szeregiem potegowym o środku w z 0 C i wspó lczynnikach a n C, n = 0, 1,.... Przyk lad. Szereg geometryczny z n. Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy z < 1. Wynika to ze wzoru Możemy zatem zapisać n=0 1 + z + + z n = 1 zn+1, z 1. 1 z (7.2) n=0 z n = 1, z < 1. 1 z Twierdzenie 7.1. (Cauchy, 1821, Hadamard, 1892) Po lóżmy (7.3) R := 1 n lim sup an. n

18 18 ZBIGNIEW B LOCKI Wtedy szereg (7.1) jest bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie zbieżny w kole K(z 0, R) oraz rozbieżny dla każdego z C \ K(z 0, R). Dowód. Dla z K(z 0, R) niech r i λ bed a takie, że z z 0 r < R oraz r/r < λ < 1. Wtedy dla n odp. dużego mamy n a n λ/r, zatem N 2 N2 a n (z z 0 ) n a n (z z 0 ) n n=n 1 n=n 1 n=n 1 λ n = λn1 1 λ 0, gdy N 1. Z warunku Cauchy ego zbieżności otrzymaliśmy zatem bezwzgledn a i jednostajna zbieżność szeregu na K(z 0, r). Z drugiej strony, jeżeli z z 0 > R, to istnieje podciag a nk taki, że k n ank 1/ z z 0, co oznacza, że a nk (z z 0 ) n k 1, nie jest zatem spe lniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Ko lo K(z 0, R) z Twierdzenia 7.1 nazywamy ko lem zbieżności, zaś R promieniem zbieżności szeregu (7.1). Formu la (7.3) na promień zbieżności szeregu potegowego nosi nazwe wzoru Cauchy ego-hadamarda. Zauważmy, że promień zbieżności szeregu (7.1) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje M > 0 takie, że dla n odp. dużego mamy a n M n - wtedy R 1/M. Twierdzenie 7.1 nie rozstrzyga zbieżności szeregu potegowego na brzegu ko la zbieżności: Przyk lady. Ko lem zbieżności każdego z szeregów z n, n=0 z n n, n=1 n=1 z n jest K(0, 1). n2 i) Szereg z n jest rozbieżny we wszystkich punktach z brzegu ko la zbieżności. ii) Szereg z n /n 2 jest zbieżny bezwzgl ednie na brzegu. iii) Szereg z n /n jest rozbieżny w 1 i zbieżny warunkowo na K(0, 1) \ {1} ( Ćwiczenie ). Istotna w lasnościa szeregów potegowych jest jednoznaczność ich wspó lczynników: Propozycja 7.2. Za lóżmy, że szeregi potegowe a n (z z 0 ) n oraz b n (z z 0 ) n sa zbieżne do tych samych wartości na zbiorze A takim, że z 0 jest punktem skupienia A. Wtedy a n = b n dla wszystkich n. Dowód. Bez straty ogólności możemy za lożyć, że b n = 0 dla wszystkich n. Przypuśćmy, że a m 0 dla pewnego m i wybierzmy najmniejsze takie m. Wtedy a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) m n=0 n=0 a n+m (z z 0 ) n, z z 0. Szereg n=0 a n+m(z z 0 ) n, zbieżny do pewnej funkcji ciag lej w otoczeniu z 0 (dzieki Twierdzeniu 7.1), znika dla z A, zatem znika również w z 0, czyli a m = 0 - sprzeczność. Przyk lad. Rozpatrzmy ciag Fibonacciego (1202): a 0 = 0, a 1 = 1, a n = a n 2 + a n 1, n = 2, 3,...

19 FUNKCJE ANALITYCZNE 19 Ćwiczenie Pokazać, że w pewnym (rzeczywistym) otoczeniu 0 mamy a n x n = n=0 x 1 x x 2 oraz, rozwijajac prawa strone w szereg potegowy, że a n = 1 5 [( 1 + ) n ( ) n ] 5 2 (de Moivre, 1730). Nastepuj acy rezultat jest bezpośrednia konsekwencja Twierdzenia 6.4 (można go zreszta udowodnić w bardziej elementarny sposób): Twierdzenie 7.3. Suma szeregu potegowego jest funkcja holomorficzna w kole zbieżności. Szereg potegowy można różniczkować wyraz po wyrazie. 8. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych, cd. Udowodnimy najpierw, że każda funkcja holomorficzna w kole jest granica szeregu potegowego, czyli wynik odwrotny do Twierdzenia 7.3: Twierdzenie 8.1. Za lóżmy, że f O(Ω). Wtedy dla każdego z 0 Ω funkcja f rozwija si e w szereg Taylora w kole K(z 0, dist(z 0, Ω)), tzn. f(z) = n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n, z z 0 < dist(z 0, Ω). n! Dowód. Niech r b edzie takie, że z z 0 < r < dist(z 0, Ω). Skorzystamy ze wzoru Cauchy ego (5.1). Dla ζ K(z 0, r) dzi eki (7.2) mamy 1 ζ z = 1 ζ z z z 0 ζ z 0 = n=0 (z z 0 ) n (ζ z 0 ) n+1, przy czym zbieżność jest jednostajna dla ζ K(z 0, r). Zatem f(z) = 1 f(ζ) 2πi K(z 0,r) ζ z dζ = 1 (z z 0 ) n 2πi = n=0 n=0 K(z 0,r) f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n! f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+1 Pokazaliśmy zatem, że funkcje holomorficzne to dok ladnie te funkcje, które można lokalnie rozwinać w szereg potegowy (bed acy równocześnie szeregiem Taylora tej funkcji). Co wiecej, szereg Taylora funkcji holomorficznej w danym punkcie

20 20 ZBIGNIEW B LOCKI jest zbieżny w każdym kole o środku w tym punkcie, w którym funkcja ta jest określona. Zasad e identyczności dla funkcji holomorficznych latwo teraz wynika z zasady identyczności dla szeregów pot egowych (Propozycja 7.2): Twierdzenie 8.2. Niech f, g bed a funkcjami holomorficznymi w obszarze Ω. Za- lóżmy, że f = g na zbiorze A Ω posiadajacym punkt skupienia w Ω. Wtedy f = g w Ω. Dowód. Jeżeli z 0 jest punktem skupienia zbioru A, to z Twierdzenia 7.6 i Propozycji 7.2 wynika, że f = g w dowolnym kole K(z 0, r) Ω. Zatem zbiór Ω = {z Ω : f = g w pewnym otoczeniu z} jest domkniety w Ω. Ponieważ jest on również oczywiście otwarty, otrzymujemy Ω = Ω. Ćwiczenie i) Czy istnieje f O( ) takie, że f(1/n) = n/(n + 1), n = 2, 3,...? ii) Czy istnieje f O( ) takie, że f(1/n) = n/(n + 2), n = 2, 3,...? iii) Czy istnieje f O( ) takie, że f(1/n) = e n, n = 2, 3,...? (Ozn. := K(0, 1).) Z Twierdzeń 6.3 i 8.2 wynika natychmiast mocna zasada maksimum dla funkcji holomorficznych. Twierdzenie 8.3. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω taka, że f osiaga maksimum lokalne w Ω, to f jest sta la. Korzystajac z zasady identyczności oraz zasady maksimum można udowodnić twierdzenie o odwzorowaniu otwartym: Twierdzenie 8.4. Niesta le funkcje holomorficzne określone na obszarze w C sa odwzorowaniami otwartymi. Dowód. Trzeba pokazać, że jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to istnieje δ > 0 takie, że f(k(z 0, r)) K(w 0, δ), gdzie w 0 = f(z 0 ). Wybieramy ε (0, r) tak, że w 0 / f( K(z 0, ε)). Gdyby takie ε nie istnia lo, to dla każdego odp. ma lego ε > 0 znaleźlibyśmy punkty z ε takie, że z 0 z ε = ε oraz f(z ε ) = w 0. Dzieki zasadzie identyczności sta loby to w sprzeczności z tym, że funkcja f nie jest sta la. K ladziemy teraz δ := 1 2 min f(ζ) w 0. ζ K(z 0,ε) Z definicji ε wynika, że δ > 0. Dla w K(w 0, δ) musimy teraz znaleźć z K(z 0, r) takie, że f(z) = w. Przypuśćmy, że takie z nie istnieje. Z definicji δ mamy f(ζ) w f(ζ) w 0 w 0 w > δ, ζ K(z 0, ε). Funkcja z 1/(f(z) w) jest wi ec holomorficzna w otoczeniu K(z 0, ε), zatem z zasady maksimum wynika, że 1 f(z) w max ζ K(z 0,ε) 1 f(ζ) w < 1 δ, z K(z 0, ε). Dla z = z 0 otrzymamy w 0 w > δ - sprzeczność.

21 FUNKCJE ANALITYCZNE 21 Zauważmy, że w przypadku rzeczywistym nawet wielomiany nie musza być odwzorowaniami otwartymi, np. f(x) = x 2. Ćwiczenie Pokazać, że z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym latwo wynika s laba zasada maksimum (Twierdzenie 6.3) oraz lemat d Alemberta (Lemat 1.2). 9. Funkcje analityczne Funkcje f : (a, b) R nazywamy analityczna, jeżeli dla każdego x 0 (a, b) istnieje r > 0 takie, że f jest rozwijalna w szereg Taylora w przedziale (x 0 r, x 0 +r). Korzystajac z w lasności szeregów potegowych można elementarnie pokazać naste- pujacy fakt: Propozycja 9.1. Jeżeli funkcje f, g sa funkcjami analitycznymi, to również funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g 0) sa analityczne. Przyk lad. Funkcja 1/(1 + x 2 ) jest analityczna na R dzi eki Propozycji 9.1. Szereg Taylora w 0 ma postać (korzystamy z (7.2)) x 2 = ( 1) n x 2n. n=0 Szereg ten jest zbieżny tylko w przedziale ( 1, 1), a wiec, w przeciwieństwie do przypadku zespolonego, funkcji analitycznej nie można zawsze rozwinać w szereg Taylora w maksymalnym przedziale, w którym funkcja jest określona. Funkcje analityczne sa ściśle zwiazane z funkcjami holomorficznymi dzieki naste- pujacej charakteryzacji: Propozycja 9.2. Każda funkcja analityczna na (a, b) jest zacieśnieniem pewnej funkcji holomorficznej określonej w pewnym otoczeniu (a, b) w C. Dowód. Jeżeli dla α (a, b) mamy f(x) = a n (x α) n, x (α r α, α + r α ), n=0 to jest oczywiste (dzieki Twierdzeniu 7.1), że zespolony szereg n=0 a n(z α) n jest zbieżny do funkcji holomorficznej f α w kole K(α, r α ). Co wiecej, z zasady identyczności wynika, że f α = f β w K(α, r α ) K(β, r β ). Na obszarze α (a,b) K(α, r α ) C możemy wiec dobrze zdefiniować funkcje holomorficzna f := f α na K(α, r α ). Zauważmy, że Propozycja 9.1 wynika z Propozycji 9.2 i w lasności funkcji holomorficznych. To, że promień zbieżności szeregu Taylora funkcji 1/(1 + x 2 ) w 0 wynosi 1 wynika z tego, że jej jednoznacznie określone zespolone przed lużenie, czyli funkcja 1/(1 + z 2 ), ma osobliwości w ±i.

22 22 ZBIGNIEW B LOCKI Podobnie możemy znaleźć promień zbieżności szeregu Taylora w 0 funkcji ( ) 1 x e x 1 = x n. (n + 1)! n=0 Jest ona zacieśnieniem do R funkcji z/(e z 1), która jest holomorficzna w (maksymalnym) obszarze C \ {2kπi : k Z }. Szukany promień jest wi ec równy 2π. Znalezienie go bez korzystania z analizy zespolonej by loby nieporównanie trudniejsze. 10. Globalne twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Bedziemy chcieli uogólnić twierdzenie ca lkowe Cauchy ego (zob. Wniosek 4.3) na szersza klase obszarów i dróg zamknietych. W tym celu wprowadzimy pojecie indeksu drogi zamknietej w C. Propozycja Dla drogi zamkni etej γ : [a, b] C po lóżmy Ind γ (z) = 1 2πi γ dζ ζ z, z C \ γ. Wtedy i) Ind γ jest funkcja o wartościach ca lkowitych; ii) Ind γ jest sta la na każdej sk ladowej spójnej zbioru C \ γ ; iii) Ind γ 0 na sk ladowej nieograniczonej C \ γ ; iv) Liczba Ind γ (z) jest równa liczbie obrotów (w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara) wektora o poczatku w z i końcu w γ(t), a t b, dooko la z. Dowód. i) Po lóżmy ( t γ ) (s) ϕ(t) = exp a γ(s) z ds, t [a, b], wtedy ϕ = ϕγ /(γ z), a stad (ϕ/(γ z)) = 0 (tam, gdzie γ jest klasy C 1 ). Stad wynika, że funkcja ϕ/(γ z) jest sta la. Korzystajac z faktu, że ϕ(a) = 1, otrzymujemy ( t γ ) (s) exp a γ(s) z ds = γ(t) z γ(a) z, t [a, b]. Dla t = b oznacza to, że exp(2πi Ind γ (z)) = 1, co jest równoważne temu, że Ind γ (z) Z. ii) Wynika natychmiast z i) i z tego, że Ind γ jest funkcja ciag l a (a dzieki lematowi o produkcji funkcji holomorficznych nawet holomorficzna) na C \ γ. iii) Z definicji Ind γ latwo otrzymujemy i wystarczy skorzystać z ii). lim Ind γ(z) = 0 z

23 FUNKCJE ANALITYCZNE 23 iv) Przez A(t), t [a, b], oznaczymy ca lkowity przyrost argumentu wektora γ(s) z, gdy s rośnie od a do t. Znajdziemy podzia l a = t 0 < t 1 < < t n = b taki, że γ([t j 1, t j ]) jest zawarte w kole niezawierajacym z, j = 1,..., n. Dla danego j możemy wtedy wybrać logarytm tak, by by l ciag ly na γ([t j 1, t j ]). Otrzymamy n tj γ (t) 2πi Ind γ (z) = γ(t) z dt = = j=1 t j 1 n (log(γ(t j ) z) log(γ(t j 1 ) z)) j=1 n ( ) log γ(t j ) z γ(t j 1 ) z + i(a(t j) A(t j 1 )) j=1 = i(a(b) A(a)). W dalszym ciagu wygodnie bedzie ca lkować funkcje zespolone po skończonej sumie dróg (np. po brzegu g ladkiego obszaru wielospójnego). Niech γ 1,..., γ k bed a drogami w C. Tworza one lańcuch, który zapisujemy Γ = γ γ k. Obrazem lańcucha Γ jest Γ = γ1 γk. Mamy wtedy k (10.1) f(z)dz := f(z)dz, f C(Γ ), Γ γ j j=1 przy czym prawa strone możemy traktować jako formalna definicje lańcucha Γ, tzn. jako funkcjona l liniowy określony na C(Γ ). Zauważmy, że tak naprawde do tej pory dla danej drogi γ interesowa l nas w laściwie tylko funkcjona l C(γ ) f f(z)dz C. Dlatego też sume γ 1 + +γ k należy rozumieć jako sume odpowiednich funkcjona lów (a oczywiście nie jako sume algebraiczna funkcji γ 1,..., γ k, która zreszta nie mia- laby w ogólnym przypadku sensu). W oczywisty sposób definiujemy sume i różnice dwóch lańcuchów. D lugościa lańcucha Γ = γ 1 + +γ k jest l(γ) = l(γ 1 )+ +l(γ k ). Jest oczywiste (dzieki (3.3)), że norma funkcjona lu (10.1) nie przekracza l(γ). Jeżeli wszystkie drogi γ 1,..., γ k sa zamkniete, to lańcuch Γ = γ γ k nazywamy cyklem. Na cykle możemy rozszerzyć pojecie indeksu: Ind Γ (z) := k j=1 γ Ind γj (z) = 1 dζ 2πi Γ ζ z, z C \ Γ. Poniższe twierdzenie precyzyjnie charakteryzuje cykle, dla których zachodzi twierdzenie ca lkowe oraz wzór ca lkowy Cauchy ego (jest ono czasami nazywane twierdzeniem Cauchy ego-dixona): Twierdzenie Dla cyklu Γ w obszarze Ω NWSR i) Ind Γ (z) f(z) = 1 f(ζ) dζ, z Ω \ Γ, f O(Ω) (wzór ca lkowy 2πi Γ ζ z Cauchy ego); ii) f(z)dz = 0, f O(Ω) (twierdzenie ca lkowe Cauchy ego); Γ iii) Ind Γ (z) = 0, z C \ Ω.

24 24 ZBIGNIEW B LOCKI Dowód. (Dixon, 1971) i) ii) Dla f O(Ω) i z Ω \ Γ niech h(ζ) := (ζ z)f(ζ). Wtedy korzystajac z i) mamy 0 = Ind Γ (z) h(z) = 1 f(ζ)dζ. 2πi ii) iii) Dla z C \ Ω funkcja f(ζ) := 1/(ζ z) jest holomorficzna w Ω. iii) i) Niech f O(Ω). Dla z, w Ω po lóżmy { f(z) f(w) z w, z w, g(z, w) := f (z), z = w. Twierdzimy, że g C(Ω Ω). Jest oczywiste, że funkcja g jest ciag la na = {(z, w) Ω Ω : z = w} oraz na Ω Ω \. Dla z, w K(a, r), z w, gdzie r > 0 jest takie że K(a, r) Ω, ze wzoru Cauchy ego dla ko la otrzymamy g(z, w) g(a, a) = 1 2πi = 1 2πi K(a,r) K(a,r) [ 1 z w ( f(ζ) Γ ( f(ζ) ζ z f(ζ) ζ w ) 1 (ζ z)(ζ w) 1 (ζ a) 2 f(ζ) (ζ a) 2 ) dζ. ] dζ Wyrażenie w nawiasie daży do 0 jednostajnie na K(a, r), gdy (z, w) (a, a), a wi ec g C(Ω Ω). Zdefiniujmy Zauważmy, że (10.2) h(z) = 1 2πi h(z) := Γ 1 2πi 1 2πi Z ciag lości g wynika, że h jest ciag la w Ω. Fubiniego mamy Γ Γ g(ζ, z) dζ, z Ω, f(ζ) dζ, z C \ Ω. ζ z g(ζ, z) dζ = 1 f(ζ) 2πi Γ ζ z dζ Ind Γ(z) f(z), z Ω \ Γ. T h(z)dz = 1 g(ζ, z)dz dζ = 0 2πi Γ T Dla trójkata T Ω z twierdzenia (dzieki Wnioskowi 4.3), z twierdzenia Morery otrzymamy zatem holomorficzność h w Ω. Jeżeli U jest sk ladowa spójna C \ Γ taka, że U Ω, to dzieki iii) i Propozycji 10.1.ii mamy Ind Γ (z) = 0, z U, a wiec z (10.2) h(z) = 1 g(ζ, z) dζ = 1 f(ζ) dζ, z U. 2πi 2πi ζ z Γ Z lematu o produkcji funkcji holomorficznych otrzymamy h O(U). L acz ac to z tym, że h O(Ω) wnioskujemy, że h jest funkcja ca lkowita. Co wiecej Γ lim h(z) = 0, z

25 FUNKCJE ANALITYCZNE 25 z twierdzenia Liouville a mamy zatem h 0. Z (10.2) otrzymujemy i). Mówimy, że cykl Γ jest homologiczny zeru w Ω, jeżeli spe lniony jest warunek iii) w Twierdzeniu Szeregi Laurenta Pokazaliśmy, że każda funkcje holomorficzna w kole można przedstawić jako sume szeregu potegowego. Pokażemy teraz, że funkcje określone w pierścieniu P (z 0, r, R) := {z C : r < z z 0 < R} = K(z 0, R) \ K(z 0, r) rozwijaja sie w uogólniony szereg potegowy zawierajacy również potegi ujemne: Twierdzenie (Laurent, 1843, Weierstrass, 1841) Jeżeli f O(P (z 0, r, R)), gdzie 0 r < R, to dla z P (z 0, r, R) mamy f(z) = n= a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a k (z z 0 ) k, n=0 k=1 (tzn. oba szeregi sa zbieżne), gdzie dla dowolnego ρ (r, R) (11.1) a n = 1 f(ζ) dζ, n Z. 2πi B(z 0,ρ) (ζ z 0 ) n+1 Dowód. Niech r, R bed a takie, że r < r < R < R. Wtedy P (z 0, r, R ) jest cyklem (orientacja dodatnia wzgledem wnetrza, czyli zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara na K(z 0, r ) i z kierunkiem odwrotnym na K(z 0, R )) takim, że { 0, z C \ P (z0, r, R ), Ind P (z0,r,r )(z) = 1, z P (z 0, r, R ). Spe lniony jest wiec warunek iii) w Twierdzeniu 10.2 (z Ω = P (z 0, r, R)). Dzieki równoważnemu warunkowi ii) dostaniemy teraz niezależność prawej strony (11.1) od ρ (bo funkcja podca lkowa jest holomorficzna w P (z 0, r, R)). Z i) otrzymamy natomiast dla z P (z 0, r, R ) f(z) = 1 ( f(ζ) 2πi P (z 0,r,R) ζ z dζ = 1 ). 2πi K(z 0,R) K(z 0,r) Rozumujemy teraz jak w dowodzie Twierdzenia 8.1. Z (7.2) otrzymamy (z z 0 ) n 1 (ζ z ζ z = n=0 0 ) n+1, ζ K(z 0, R), (ζ z 0 ) k 1 (z z 0 ) k, ζ K(z 0, r), k=1 przy czym zbieżność jest jednostajna wzgledem ζ na, odpowiednio, K(z 0, R) i K(z 0, r).

26 26 ZBIGNIEW B LOCKI Szereg postaci (11.2) n= a n (z z 0 ) n nazywamy szeregiem Laurenta. Jest on suma dwóch szeregów: cześci regularnej oraz cz eści osobliwej a n (z z 0 ) n = a 0 + a 1 (z z 0 ) +..., n 0 n 1 a n (z z 0 ) n = a 1 + a 2 z z 0 (z z 0 ) Mówimy, że szereg Laurenta (11.2) jest zbieżny w z, jeżeli w z zbieżna jest jego cz eść regularna oraz cz eść osobliwa. Twierdzenie Cześć regularna szeregu Laurenta (11.2) jest zbieżna bezwzgled- nie i lokalnie jednostajnie w kole K(z 0, R), rozbieżna dla każdego z C \ K(z 0, R), gdzie 1 R = lim sup a n. 1/n n Cz eść osobliwa szeregu Laurenta (11.2) jest zbieżna bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie w C \ K(z 0, r), rozbieżna dla każdego z K(z 0, r), gdzie r = lim sup a k 1/k = k 1 lim sup a n. 1/n n Jeżeli r < R, to szereg Laurenta (11.2) jest zbieżny bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie w pierścieniu P (z 0, r, R), rozbieżny dla każdego z C \ P (z 0, r, R). Dowód. Pierwsza cz eść to dok ladnie Twierdzenie 7.1. Po podstawieniu cz eść osobliwa b edzie mia la postać n 1 w = 1 z z 0, a n (z z 0 ) n = a k w k, a promień zbieżności tego szeregu jest równy 1/r. Stad wynika druga cześć twierdzenia, zaś trzecia jest natychmiastowa konsekwencja pierwszych dwóch. Z Twierdzenia 11.2 wynika w szczególności, że zbieżność w Twierdzeniu 11.1 jest bezwzgl edna i lokalnie jednostajna na P (z 0, r, R). k=1

27 FUNKCJE ANALITYCZNE 27 Mamy nastepuj aca zasade identyczności dla szeregów Laurenta: Twierdzenie Jeżeli szeregi Laurenta a n (z z 0 ) n, n= n= b n (z z 0 ) n sa jednostajnie zbieżne do tej samej granicy na okregu K(z 0, ρ) dla pewnego ρ > 0, to a n = b n dla każdego n Z. Dowód. Bez straty ogólności możemy za lożyć, że b n = 0, n Z. Za lożenie oznacza, że mamy jednostajna zbieżność (11.3) n= a n ρ n e int = 0, t [0, 2π]. Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność w L 2 ([0, 2π]). Dla n, m Z mamy e int, e imt = 2π 0 { 0, n m, e i(n m)t dt = 2π, n = m. Mnożac skalarnie obie strony (11.3) przez e imt otrzymamy a m = 0, m Z. Ćwiczenie Rozwinać funkcje 1/(z 2 z) w szeregi Laurenta w pierścieniach {0 < z < 1} oraz {1 < z < }. 12. Osobliwości funkcji holomorficznych Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma osobliwość izolowana w punkcie z 0, jeżeli f O(U \ {z 0 }), gdzie U jest otwartym otoczeniem punktu z 0 w C. Z Twierdzenia 11.1 (dla r = 0 oraz R takiego, że K(z 0, R) U) wynika, że w otoczeniu z 0 funkcje f możemy rozwinać w szereg Laurenta (12.1) f(z) = n= a n (z z 0 ) n, gdzie wspó lczynniki a n sa wyznaczone jednoznacznie (dzieki Twierdzeniu 11.3; sa one dane przez (11.1)). Jeżeli a n = 0 dla n = 1, 2,..., to mówimy, że f ma osobliwość pozorna w z 0. Jeżeli istnieje m 1 takie, że a m 0 oraz a n = 0 dla n < m, to mówimy, że f ma biegun rzedu m w z 0 (jeżeli m = 1, to biegun nazywamy prostym). W pozosta lych przypadkach (tzn., gdy istnieje nieskończenie wiele n < 0 takich, że a n 0) mówimy, że f ma istotna osobliwość w z 0. Jest jasne, że funkcja holomorficzna ma pozorna osobliwość w z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przed luża sie do funkcji holomorficznej w otoczeniu z 0 (z tego powodu osobliwości pozorne sa również nazywane usuwalnymi). Jeżeli f ma biegun rzedu m w z 0, to (12.2) f(z) = a m (z z 0 ) m + a m+1 (z z 0 ) m = h(z) (z z 0 ) m, gdzie h jest funkcja holomorficzna w otoczeniu z 0 taka, że h(z 0 ) = a m 0.

28 28 ZBIGNIEW B LOCKI Z drugiej strony, jeżeli g jest holomorficzna w otoczeniu z 0, g 0 i g(z 0 ) = 0, to g(z) = b m (z z 0 ) m + b m+1 (z z 0 ) m+1 + = (z z 0 ) m h(z), gdzie m 1, zaś h jest funkcja holomorficzna w otoczeniu z 0 taka, że h(z 0 ) = a m 0. Takie m nazywamy krotnościa zera funkcji g w z 0. Jest to równoważne temu, że g(z 0 ) = g (z 0 ) = = g (m 1) (z 0 ) = 0, g (m) (z 0 ) 0 (dzi eki wzorowi Taylora). Z powyższych rozważań widać, że dla funkcji holomorficznej f w otoczeniu z 0 mamy f ma w z 0 zero krotności m 1/f ma w z 0 biegun rz edu m. Ogólniej, jeżeli f, g sa holomorficzne w otoczeniu z 0 i maja w z 0 zera krotności, odpowiednio, m i k, to f/g ma w z 0 zero krotności m k, jeżeli m > k, oraz biegun rzedu k m, jeżeli m < k. (Jeżeli m = k, to f/g jest funkcja holomorficzna w otoczeniu z 0 nieznikajac a w z 0 ). W szczególności, funkcja f/g nie może mieć istotnej osobliwości. Przyk lad. Funkcja ma istotna osobliwość w 0. e 1/z = k=0 1 k!z k Jak wynika z poprzednich rezultatów (z Twierdzeń 4.1 i 6.1), każda funkcja holomorficzna posiadajaca osobliwość izolowana w z 0, która można przed lużyć do funkcji ciaglej w z 0, ma w z 0 osobliwość pozorna. Ten fakt udowodni l Riemann w 1851 r. Poniższy, ogólniejszy rezultat jest nazywany twierdzeniem Riemanna o usuwaniu osobliwości: Twierdzenie Przypuśćmy, że funkcja holomorficzna f ma w z 0 osobliwość izolowana oraz jest ograniczona w otoczeniu z 0. Wtedy f ma osobliwość pozorna w z 0. Dowód. Niech h(z) := (z z 0 )f(z). Wtedy dla pewnego otoczeniu U punktu z 0 mamy h O(U \ {z 0 }) C(U), a stad h O(U). Ponieważ h ma w z 0 zero krotności 1, a z z 0 zero krotności 1, to f(z) = h(z)/(z z 0 ) ma w z 0 osobliwość pozorna. Twierdzenie (Casorati, 1868, Weierstrass, 1876, Sochocki, 1873) Jeżeli funkcja holomorficzna f ma w z 0 istotna osobliwość, to dla każdego odp. ma lego otwartego otoczenia V punktu z 0, zbiór f(v \ {z 0 }) jest gesty w C. Dowód. Przypuśćmy, że twierdzenie nie jest prawdziwe, tzn. istnieje w 0 C oraz ε > 0 takie, że K(w 0, ε) f(v \ {z 0 }) =. Oznacza to, że f w 0 ε w V \ {z 0 }. Funkcja g := 1/(f w 0 ) jest wiec ograniczona w V \{z 0 }, z Twierdzenia 12.1 wynika zatem, że ma w z 0 pozorna osobliwość. Czyli funkcja f = w 0 + 1/g nie może mieć w z 0 istotnej osobliwości - sprzeczność.

29 FUNKCJE ANALITYCZNE 29 Uwaga. Znacznie mocniejsze (ale i trudniejsze do udowodnienia) niż Twierdzenie 12.2 jest tzw. wielkie twierdzenie Picarda (1879): przy za lożeniach Twierdzenia 12.2 zbiór f(v \ {z 0 }) omija co najwyżej jedna wartość w C. Ćwiczenie Zweryfikować wielkie twierdzenie Picarda w nastepuj acych przypadkach: e 1/z (omija jedna wartość), cos(1/z) (nie omija żadnej wartości). Możemy teraz skojarzyć rodzaje osobliwości izolowanych z istnieniem odpowiednich granic: Twierdzenie Za lóżmy, że funkcja holomorficzna f ma osobliwość izolowana w z 0. Wtedy i) f ma pozorna osobliwość w z 0 istnieje lim f(z) C; z z 0 ii) f ma biegun w z 0 lim f(z) = (tzn. lim f(z) = ); z z 0 z z 0 iii) f ma istotna osobliwość w z 0 nie istnieje lim f(z) (ani z C ani ). z z 0 Dowód. i) Natychmiastowa konsekwencja Twierdzenia 12.1 (a nawet Twierdzeń 4.1 i 6.1). ii) Z (12.2) wynika, natomiast wnioskujemy z i) (f nie ma pozornej osobliwości) i Twierdzenia 12.2 (f nie ma istotnej osobliwości). iii) Natychmiastowa konsekwencja i) oraz ii). 13. Twierdzenie o residuach Niech f bedzie funkcja holomorficzna posiadajac a osobliwość izolowana w z 0. W pewnym otoczeniu z 0 mamy rozwiniecie f w szereg Laurenta (12.1), który jest jednostajnie zbieżny na K(z 0, r) dla r > 0 odp. ma lego. Mamy wtedy (13.1) K(z 0,r) f(z)dz = n= a n K(z 0,r) (z z 0 ) n dz = 2πia 1. Liczb e a 1 z rozwini ecia (12.1) nazywamy residuum funkcji f w punkcie z 0 i oznaczamy res z0 f. Ćwiczenie Skonstruować funkcje f O(C \ {0, 1}) majac a istotna osobliwość w 0, biegun rzedu 2 w 1 oraz taka, że res 1 f = 3. Przypuśćmy, że f ma w z 0 biegun rz edu m. Wtedy f(z) = a m (z z 0 ) m + a m+1 (z z 0 ) m = h(z) (z z 0 ) m, gdzie funkcja h(z) = a m + a m+1 (z z 0 ) +... jest holomorficzna w otoczeniu z 0. Ze wzoru Taylora otrzymamy a m+k = h(k) (z 0 ), k = 0, 1,... k!

30 30 ZBIGNIEW B LOCKI Dla k = m 1 dostaniemy nastepuj acy rezultat, który jest podstawowym narze- dziem przy obliczaniu residuów w przypadku biegunów: Propozycja Jeżeli funkcja holomorficzna f ma biegun rz edu m w z 0, to res z0 f = ( ) m 1 1 d ( (z z0 ) m f(z) ). (m 1)! dz z=z0 Sformu lujemy teraz i udowodnimy twierdzenie o residuach: Twierdzenie Niech Γ bedzie cyklem homologicznym zeru w obszarze Ω. Za lóżmy, że z 1,..., z k Ω \ Γ (z j z l dla j l) i że f O(Ω \ {z 1,..., z k }). Wtedy k f(z)dz = 2πi Ind Γ (z j ) res zj f. Γ j=1 Dowód. Znajdziemy r > 0 takie, że K(z j, r) K(z l, r) = dla j l oraz K(z j, r) Γ =, j, l = 1,..., k. Zastosujemy Twierdzenie 10.2 dla cyklu Γ := Γ k Ind Γ (z j ) K(z j, r) i obszaru Ω \ {z 1,..., z k }. Spe lniony jest warunek iii), zatem z ii) 0 = Γ f(z)dz = Γ j=1 f(z)dz k Ind Γ (z j ) j=1 K(z j,r) f(z)dz i wystarczy skorzystać z (13.1). 13a. Obliczanie pewnych ca lek rzeczywistych Twierdzenie o residuach pozwala obliczyć wiele rzeczywistych ca lek określonych. Poniżej przedstawimy kilka rodzajów takich ca lek. Bedzie to s luży lo przede wszystkim zaprezentowaniu możliwych metod zastosowania twierdzenia o residuach, z ca l a pewnościa poniższa lista nie wyczerpuje przypadków, gdzie można je użyć. I) Ca lki postaci 2π 0 R(cos t, sin t)dt, gdzie R jest funkcja wymierna (czyli R = P/Q, gdzie P i Q sa wielomianami dwóch zmiennych; wielomian Q w tym przypadku nie może mieć zer na rzeczywistym okregu jednostkowym). Podstawiajac z = e it otrzymamy cos t = Re z = z + z 2 sin t = Im z = z z 2i = z + 1/z, 2 = z 1/z 2i