Analiza matematyczna 2 Lista zadań 1

Transkrypt

1 Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysajac z definicji zbadać zbieżność ca lek niew laściwych pierwszego rodzaju: +) 4 b) e) +5 ) +arcg c) f) sin 4+.. Korzysajac z kryerium porównawczego zbadać zbieżność ca lek niew laściwych pierwszego rodzaju: 4 +) b) + ) e) c) +sin) f) +) cos ).. Korzysajac z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność ca lek niew laściwych pierwszego rodzaju: +) b) +) 5 c) +) sin 5 e) sin f*) e + ) e. 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywa y = +4 oraz osi a O. b) Obliczyć obj eość bry ly powsa lej z obrou wokó l osi O obszaru = {,y) R :, y e }. c) zasadnić, że pole powierzchni powsa lej z obrou wykresu funkcji y = dla wokó l osi O ma skończona warość. 5. Korzysajac z definicji zbadać zbieżność ca lek niew laściwych drugiego rodzaju: 5 b) sin c) ) e ln 5 e) e 8 f*) sinln. 6. Korzysajac z kryerium porównawczego zbadać zbieżność ca lek niew laściwych drugiego rodzaju: arcg b) e c) cos 4 + e*) f*) ). Zadania oznaczone gwiazdka sa nieobowiazkowe. Nie należy ich przerabiać na ćwiczeniach. Przeznaczone sa dla sudenów, kórzy chca poszerzyć swoja wiedz e z analizy.

2 7. Korzysajac z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność ca lek niew laściwych drugiego rodzaju: sin e ) 4 b) c) 4 cos g*) arcsin) e*) h*) e e e cos f*) i*) sin. * 8. Zbadać zbieżność podanych ca lek niew laściwych, kóre sa jednocześnie ca lkami niew laściwymi pierwszego i drugiego rodzaju: b) e) +sin ln c) f) 9. Wyznaczyć warości g lówne ca lek niew laściwych: P.V. P.V. Lisa cos b) P.V. +4 ) 9 e) P.V. 4 e e + +. c) P.V. f) P.V. e +5 sin.. Znaleźć sumy cz eściowe podanych szeregów i nas epnie zbadać ich zbieżność: n= ) n 5 b) 6 n= n c) n! waga. W przyk ladzie b) przyjać, że S n = n a k, n. k= n )n+) n++ n.. Korzysajac z kryerium ca lkowego zbadać zbieżność szeregów: n +n b) n n +4 c) n= lnn n. Korzysajac z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n n+. n +n+ n b) n+ n + c) n n sin n sin. n. Korzysajac z kryerium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: n + b) n+ n + c) sin n n= n +sinn! n e) cosn n f) n + n n + n. 4. Korzysajac z kryerium d Alembera zbadać zbieżność szeregów:

3 n b) n! n!) n)! n sin n e) c) n! n n n n n n! f) n + n Korzysajac z kryerium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +) n b) n + n n +4 n c) n n n n+) n arccos n n. 6. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i nas epnie na podsawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: lim n n 5 = b) lim 7n n n n n!) = n n c) lim n n! n)!4n)! = d*) lim n 5n)!n)! =. 7. Korzysajac z wierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ) n+ n+ n ) b) ) n 4 n 4 n +5 n c) g n cosn ) n+n n= n! e) ) nln n n n= n= f*) ) ln + )n. n * 8. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazana dok ladności a: ) n+ n n, δ = ) n 6 b) n+)!, δ =. Lisa 9. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzgl edn a szeregów: ) n+ n + b) ) n n n + c) ) n n n+5 ) n ) n e) n= n= n= n= ) n n + f*). Wyznaczyć przedzia ly zbieżności szeregów po egowych: n= n n n b) n ) n n n + n e) n n + +)n c) f*) n= ) n n+. +) n n n! n n n.. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedzia ly ich zbieżności: b) cos c) e 9+ e) sinh f*) sin4.. Korzysajac z rozwini eć Maclaurina funkcji elemenarnych obliczyć pochodne: f 5) ), f) = sin b) f 4) ), f) = e c) f ) ), f) = + f) ), f) = sin.. Wyznaczyć szeregi po egowe funkcji f ) oraz f) = b) f) = + c*) f) = e. n= f) d, jeżeli funkcja f określona jes wzorem:

4 4. Sosujac wierdzenia o różniczkowaniu i/lub ca lkowaniu szeregów po egowych obliczyć sumy szeregów: n+) n b) n nn+) n c) 4 n. n= n= * 5. Obliczyć podane ca lki oznaczone ze wskazana dok ladności a: Lisa 4 e, δ =. sin, δ =.. 6. Wyznaczyć i narysować dziedziny nauralne funkcji: f,y) = y y b) f,y) = c) f,y) = y +y 5 f,y) = ln +y 4 9 y e) g,y,z) = + y + z f) g,y,z) = arcsin +y +z ). 7. Naszkicować wykresy funkcji: f,y) = +y b) f,y) = + y c) f,y) = +y +y + f,y) = siny e) f,y) = f) f,y) =. * 8. zasadnić, że nie isnieja granice: lim,y),) y 4 +y4 b) lim 9. Obliczyć granice:,y),) y 4 +y c) lim sin,y),) y lim,y),) +y +y. cos +y ) y 4 y 4 lim,y),) +y ) b) lim,y),) +y c) lim,y),) y lim,y),) y 4 y +4 e) lim y y +,y),) g y ) y f) lim +y ) sin,y),) y.. Korzysajac z definicji obliczyć pochodne czaskowe pierwszego rz edu f, f y funkcji f i pochodne czaskowe g, g y, g z funkcji g we wskazanych punkach: f,y) = y,,) b) f,y) = 4 +y 4,,) c) g,y,z) = +y,,,). z. Obliczyć pochodne czaskowe f, f y funkcji f i pochodne czaskowe g, g y, g z funkcji g: f,y) = +y b) f,y) = arcg y y +y f,y) = +y g) g,y,z) = Lisa 5 e) f,y) = ln y c) f,y) = esin + +y ) f) g,y,z) = + z +y +z h) g,y,z) = sincosysinz)) i) g,y) = *. Sprawdzić, że podana funkcja spe lnia wskazane równanie: f,y) = ln +y +y ), f +yf y = b) f,y) = sin y, f +yf y = f. + y +yz y + z.. Obliczyć pochodne czaskowe drugiego rz edu f, f y, f y, f yy funkcji f i pochodne czaskowe g, g y, g z, g y, g y y, g yz, g z, g zy, g zz funkcji g i sprawdzić, że pochodne czaskowe mieszane sa równe: f,y) = sin +y ) b) f,y) = e y c) f,y) = + y f,y) = ylny e) g,y,z) = +y +z f) g,y,z) = ln +y 4 +z 6 + ). 4

5 4. Obliczyć pochodne czaskowe: h yy, h,y) = siny b) h yyy, h,y) = +y y c) h yz, h,y,z) = y z. * 5. Sprawdzić, że funkcje: z = arcg y b) z = + y c) z = +ln + y ) z = + y spe lniaj a równanie z +yzy +y z yy =,, y > ). 6. Napisać równania p laszczyzn sycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punkach wykresu: z = y +,,y,z ) =,,z ) b) z = e +y,,y,z ) =,,z ) c) z = arcsin arccosy,,y,z ) = ),,z z = y,,y,z ) =,4,z ). 7. Na wykresie funkcji z = arcg wskazać punky, w kórych p laszczyzna syczna jes równoleg la do y p laszczyzny +y z = 5. Wyznaczyć równanie p laszczyzny sycznej do wykresu funkcji z = arccg y, kóra jes prosopad la do +y prosej =, y =, z =, R. Lisa 6 8. Wysokość i promień podsawy sożka zmierzono z dok ladności a ± mm. Orzymano h = 5 mm oraz r = 45 mm. Z jaka w przybliżeniu dok ladności a można obliczyć obj eość V ego sożka? b) Kraw edzie prosopad lościanu maja d lugości a = m, b = 4 m, c = m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni si e d lugość przekanej prosopad lościanu d, jeżeli d lugości wszyskich kraw edzi zwi ekszymy o cm. c) Oszacować b l ad wzgl edny δ V obj eości prosopad lościamu V, jeżeli pomiaru jego boków, y, z dokonano z dok ladności a odpowiednio, y, z. * 9. Sprawdzić, że podane funkcje spe lniaj a wskazane równania: z = f +y ), yz z y = b) z = f sin y)), z +z y = z y c) z = n f, z +yz y = nz n N) d*) z = ) y ) y g)+h, yz y +y z yy +z +yz y =. * 4. Korzysajac z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: f,y) = ) +y,,y ) =,), v = b) f,y) = y,,y ) =,), v =,, ) c) g,y,z) = +yz,,y,z ) =,,), v =, 4, ). 4. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: f,y) = +y,,y ) =,4), v =, 5 ) b) f,y) = y ) +y,,y ) =,), v = 5, 4 5 ) c) g,y,z) = e yz,,y,z ) =,, ), v =, 4,. 4 5

6 4. Obliczyć pochodna kierunkowa funkcji f,y) = y + lny). w punkcie ), w kierunku wersora v worzacego ka α z dodanim zwroem osi O. la jakiego kaa α pochodna a ma warość, a dla jakiego przyjmuje warość najwi eksz a? b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku kórych funkcja f,y) = e +y ) w punkcie,) ma pochodna kierunkowa równa. Lisa 7 4. Znaleźć eksrema lokalne funkcji: f,y) = ) +4y +) c) f,y) = +y 5 4y b) f,y) = +y y f,y) = y y +6y e) f,y) = y y),,y > ) f) f,y) = 8 + y +y,,y > ) g) f,y) = y +lny + h) f,y) = 4y + + y. 44. Wyznaczyć eksrema podanych funkcji, kórych argumeny spe lniaj a wskazane warunki: f,y) = +y, +y = 6 b) f,y) = +y 8+, y + = c) f,y) = y ln, 8+y = f,y) = +y, +y =. 45. Znaleźć najmniejsze i najwi eksze warości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f,y) = +4 +y y, = {,y) R : y 4 } b) f,y) = +y 6+4y, = {,y) R : +y 4, +y 6,, y } c) f,y) = +y, = {,y R : + y } f,y) = y +4y 4, = {,y) R :, y } e) f,y) = 4 +y 4, = {,y) R : +y 9 }. 46. W rójkacie o wierzcho lkach A =,5), B =,4), C =, ) znaleźć punk M =,y ), dla kórego suma kwadraów jego odleg lości od wierzcho lków jes najmniejsza. b) Jakie powinny być d lugość a, szerokość b i wysokość h prosopad lościennej owarej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużyej do jej zrobienia by la najmniejsza? c) Znaleźć odleg lość mi edzy prosymi skośnymi: k : { +y =, z + =, l : { y + =, z =. Prosopad lościenny magazyn ma mieć obj eość V = 6m. o budowy ścian magazynu używane sa p lyy w cenie z l/m, do budowy pod logi w cenie 4z l/m, a sufiu w cenie z l/m. Znaleźć d lugość a, szerokość b i wysokość c magazynu, kórego kosz budowy b edzie najmniejszy. f) Firma produkuje drzwi wewn erzne i zewn erzne w cenach zbyu odpowiednio 5 z l i z l za szuk e. Kosz wyprodukowania szuk drzwi wewn erznych i y zewnerznych wynosi K,y) = y +y [z l]. Ile szuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiagn ać najwi ekszy zysk? Lisa Obliczyć ca lki podwójne po wskazanych prosokaach: +y y ) dy, R = [,] [,] b) R c) siny) dy, R = [,] [,] R dy +y +), R = [,] [,] R e y dy, R = [,] [,]. R 6

7 48. Ca lk e podwójna równaniach: f, y) dy zamienić na ca lki ierowane, jeżeli obszar ograniczony jes krzywymi o y =, y = + b) +y = 4, y =, =,y ) c) 4+y +6y 5 = y =, +y = < ). 49. Obliczyć ca lki ierowane: y dy b) 4 Narysować obszary ca lkowania. y dy c) 4 +y ) dy 5. Narysować obszar ca lkowania, a nas epnie zmienić kolejność ca lkowania w ca lkach: f,y)dy dy y y f,y) b) e) f,y)dy sin cos f,y)dy c) f) 4 e 4 ln y dy f,y)dy f,y)dy. y Obliczyć ca lki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, : y =, y = b) ydy, : y =, y =, y = c) e y dy, : y =, =, y = e) e y dy, : y =, y =, = y +4 ) dy, : y = +, y = ++ f) y +) dy, : =, y =, y = ) g) e dy, : y =, y =, = ln h) y +) dy, : y =, y =, =, = siny. * 5. Obliczyć podane ca lki podwójne po wskazanych obszarach: min,y)dy, = [,] [,] b) +y dy, = [,] [,] c) y dy, = {,y) R :, y } sgn y + ) dy, = {,y) R : +y 4 }. waga. Symbol mina,b) oznacza mniejsza spośród liczb a,b, z kolei u oznacza cz eść ca lkowi a liczby u. 5. Obliczyć warości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f,y) = sincosy, = [,], ] b) f,y) = +y, : y, siny. 54. Sosujac odpowiednia zamian e zmiennych obliczyć podane ca lki podwójne po wskazanych obszarach: +y) dy, : +y =,+y =, y =, y = y) b) dy y, : y =, y =, y = +, y = +4 c) ydy, : y =, y =, y =, y = 7

8 d*) 4 y 4) dy, : +y =, +y = 5, y =, y =, y ). Lisa Wprowadzajac wspó lrz edne biegunowe obliczyć podane ca lki podwójne po wskazanych obszarach: ydy, : +y, y b) y dy, :, +y c) y e +y dy, :, y, +y dy, : +y y e) +y ) dy, : y, y +y f) yy, : +y. Obszar naszkicować we wspó lrz ednych karezjańskich i biegunowych. 56. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y = 4, +y =, y = y ) b) +y y =, +y 4y = c) +y = 4, +y = 8, y =, y = 5 +y = y, y =. 57. Obliczyć obj eości bry l ograniczonych powierzchniami: y = z, y =, y =, z =, z = y b) +y +z = 4. z = z ) c) +y y =, z = +y, z = z = 5 +y, =, y =, +y =, z = e*) ) +y ) =, z = y, z = f*) z = +y, y +z = Obliczyć pola p laów: z = +y, +y b) +y +z = R, +y R, z c) z = +y, z. 59. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych g esościach powierzchniowych: = {,y) R :, y sin }, σ,y) = b) = {,y) R : +y 4, y }, σ,y) =. 6. Znaleźć po lożenia środków masy obszarów jednorodnych: rójka równoramienny o podsawie a i wysokości h b) = {,y) R :, y sin } c) = {,y) R : y } = {,y) R :, y e }. 6. Obliczyć momeny bezw ladności podanych obszarów wzgl edem wskazanych osi: kwadra jednorodny o boku a, przekana kwadrau, przyjać σ,y) = b) = {,y) R : +y R, y }, oś O, przyjać σ,y) = +y c) = {,y) R : y }, oś symerii obszaru, przyjać σ,y) = = {,y) R :, y sin }, oś O, przyjać σ,y) =. Lisa 6. Obliczyć podane ca lki porójne po wskazanych prosopad lościanach: dydz, = [,] [,e] [,e] yz b) +y +z)dydz, = [,] [,] [,4] c) sinsin+y)sin+y +z)dydz, = [,] [,] [,] 8

9 +y)e +z dydz, = [,] [,] [,]. 6. Ca lk e porójna z funkcji g,y,z) po obszarze zamienić na ca lki ierowane, jeżeli jes ograniczony powierzchniami o podanych równaniach: z = +y, z = 6 b) +y +z = 5, z = 4, z 4) c) z = +y, z = y. 64. Narysować obszar ca lkowania i nas epnie zmienić kolejność ca lkowania: y 4 y dy f,y,z) dz b) dy f,y,z) dz 4 4 y c) dz z z z z f,y,z) dy dy +y f,y,z)dz. 65. Obliczyć ca lki porójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g,y,z) = e +y+z, :, y, z b) g,y,z) = +y+z+) 4, :, y, z y c) g,y,z) = +y, : +y 4, z g,y,z) = y, : y z. * 66. Sosujac odpowiednia zamian e zmiennych obliczyć ca lki porójne: +y) +y+z) dydz, jes obszarem ograniczonym przez p laszczyzny: =, =, +y =, +y =, +y +z =, +y +z = y ) b) dydz, jes obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y =, y =, y =, y = 4, z = y +, z = y +, > c*) +y ) dydz, jes orusem, j. bry l a powsa l a z obrou wokó l osi Oz ko la R) +z r, y =, < r R. Lisa 67. Wprowadzajac wspó lrz edne walcowe obliczyć ca lki po wskazanych obszarach: +y +z ) dydz, : +y 4, z b) yzdydz, : +y z y c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz +y +z)dydz, : +y, z y. 68. Wprowadzajac wspó lrz edne sferyczne obliczyć ca lki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, : 4 +y +z 9 b) +y ) dydz, : +y z y 9

10 c) z dydz, : +y +z R) R R > ) dydz, : +y +z Obliczyć obj eości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y = 9, +y +z =, +y +z = 5 b) =, =, z = 4 y, z = +y c) z = + +y, z =, +y = +y +z =, y = y ). 7. Obliczyć masy obszarów o zadanych g esościach obj eościowych: = [,a] [,b] [,c], γ,y,z) = +y +z oraz a,b,c > b) : +y +z 9, γ,y,z) = +y +z. 7. Wyznaczyć po lożenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z b) sożek o promieniu podsawy R i wysokości H c) : +y z y. 7. Obliczyć momeny bezw ladności wzgl edem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podsawy R i wysokości H, wzgl edem osi walca b) sożek o promieniu podsawy R i wysokości H, wzgl edem osi sożka c) walec o promieniu podsawy R i wysokości H, wzgl edem średnicy podsawy. Lisa 7. Korzysajac z definicji obliczyć ransformay Laplace a funkcji: b) sin c) e e) e cos f) sinh g) y h) y i) y y = f) y = g) y = h) 74. Wyznaczyć funkcje ciag le, kórych ransformay Laplace a maja posać: s+ b) s s +4s+5 c) s 4s+ s+ s+)s )s +4) e) s + s s ) f) s+9 s +6s+ g) s+ s +4s +5s h) s e s s i) ) s Meoda operaorowa rozwiazać zagadnienia poczakowe dla równań różniczkowych liniowych o sa lych wspó lczynnikach: y y =, y) = b) y y = sin, y) = c) y +y =, y) =, y ) = y +y = e, y) =, y ) = e) y y +y = sin, y) =, y ) = f) y y +y = +, y) =, y ) = g) y +4y +4y =, y) =, y ) = h) y +4y +y = e, y) =, y ) =. 76. Korzysajac z w lasności przeksza lcenia Laplace a obliczyć ransformay funkcji: sin 4 b) cos4cos c) cos sinh e) e cos f) e sin g) )sin ) h) )e.

11 77. Obliczyć sploy par funkcji: f) = e, g) = e b) f) = cos, g) = cos c) f) = ), g) = sin f) = e, g) =. 78. Korzysajac ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, kórych ransformay dane sa wzorami: s+)s+) b) s ) s+) c) s s +) s s +). Lisa 79. Korzysajac z definicji wyznaczyć ransformay Fouriera funkcji: { sin dla, cos dla, { dla, f) = b) f) = dla > dla > c) f) = dla > { dla, f) = e) f) = e f*) f) = e a, a. dla > Wskazówka. f*) Wykorzysać równość e a d = a. 8. Niech c, h R oraz δ >. Wyznaczyć ransforma e Fouriera funkcji h y c c δ c+ δ 8. Pokazać, że jeżeli F {f)} = ˆfω), o: F {f)cosα} = [ˆfω α)+ ˆfω +α) ] b) F {f)sinα} = i [ˆfω α) ˆfω +α) ]. 8. Korzysajac z w lasnści ransformay Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć ransformay funkcji: f) = e b) f) = e c) f) = e 4 4 { cos { dla, cos dla, f) = e) f) = f) f) = [) 4)] dla > dla > g) f) = ) e cos h) f) = e cos i) f) = e sin. { dla <, waga. ) = funkcja Heaviside a. dla 8. Korzysajac z zadania 8 oraz ransformay Fouriera pochodnej wyznaczyć ransformay funkcji: b) y y * 84. W obwodzie RLC, napi ecie ) jes sygna lem wejściowym, a napi ecie y) sygna lem wyjściowym rys.). + ) R L C y) + Wyznaczyć rnsforma e Fouriera sygna lu wyjściowego y).

12 85. Obliczyć ransforma e Fouriera funkcji f )+f ), jeżeli ˆfω) = +ω. 86. Wyznaczyć funkcje, kórych ransformay Fouriera maja posać: +iω b) 4+ω c) e iω +iω sinωcosω e) f) ω +ω )4+ω ) 87. Obliczyć sploy podanych par funkcji i ich ransformay Fouriera: f) = g) = ) ), b) f) = ) ), g) = +) ), c) f) = ) e, g) = ) e, f) = g) = e.