Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy w przestrzeni dowoln a p laszczyznȩ (w laściw a) τ jako rzutniȩ oraz punkt (w laściwy) O jako środek rzutowania. P laszczyznȩ τ nazywać bȩdziemy p laszczyzn a obrazu albo t lem, punkt O - okiem. Dowolnemu punktowi A różnemu od punktu O przyporz adkowujemy punkt A przebicia t la prost a OA (rys. 6A-01a). Odwzorowanie takie, jak już wiadomo z wyk ladu 01, nazywamy rzutem środkowym. Rzut środkowy nie jest odwracalny, t.zn. na podstawie rzutu punktu nie jesteśmy w stanie odtworzyć po lożenia punktu w przestrzeni (por. Rys. 6A-01c). Takich punktów jest nieskończenie wiele - zbiorem wszystkich punktów o tej w lasności jest prosta przechodz aca przez ten punkt i przez oko. Jeżeli prosta nie przechodzi przez oko, to jej rzutem środkowym jest prosta. Istotnie, rzutowana prosta wraz ze środkiem rzutu (okiem) tworzy p laszczyznȩ, która w przeciȩciu z rzutni a daje prost a, która jest obrazem. Zatem wspó lliniowość jest niezmiennikiem rzutu środkowego. Z twierdzenia Talesa wynika, że w rzucie środkowym zachowuje siȩ stosunek podzia lu odcinka równoleg lego do t la (por. rys. 6A-02b). Z w lasności jednok ladności wnioskujemy, że zachowana jest miara k ata o ramionach równoleg lych do t la. Ponadto rzut środkowy zachowuje dwustosunek podzia lu odcinka (patrz rys. 6A-02c a także dodatek D06). Dwustosunkiem podzia lu odcinka [AB] punktami C, D nazywamy liczbȩ (AB, C) (AB; CD) = (AB, D), gdzie (AB, C), (AB, D) s a stosunkami podzia lu odcinka [AB] odpowiednio punktami C i D. Aby jednoznacznie by l określony aparat rzutuj acy należy określić (ustalić na rysunku) po lożenie oka wzglȩdem t la. Określamy to wskazuj ac rzut prostok atny O τ oka O na t lo τ i podaj ac odleg lość d oka od t la. Najwygodniej jest to zrobić poprzez wskazanie t.zw. okrȩgu g lȩbokości t lowej (rys. 6A-01b) o środku w punkcie O τ i promieniu d lugości d. Środek O τ tego okrȩgu nazywać bȩdziemy punktem g lównym. 2. Odwzorowanie prostej Rzutem prostej jest prosta. Aby zapewnić odwracalność rzutu a s prostej a wyróżniamy rzuty dwóch punktów tej prostej: punkt T a wspólny z t lem, t.zw. ślad t lowy oraz punkt Z a - rzut Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A Rys. 6A-01: Aparat rzutuj acy rzutu środkowego: a) p laszczyzna τ - rzutnia czyli t lo oraz punkt O - środek rzutowania czyli oko; b) elementy określaj ace aparat rzutuj acy rzutu środkowego w realizacji tego rzutu na p laszczyźnie: O τ - punkt g lówny, okr ag g lȩbokości t lowej; c) rzut środkowy nie jest odwracalny, punkt X S = Y S = Z S =... jest rzutem wszystkich punktów: X, Y, Z,... prostej p, różnych od O Rys. 6A-02: Niezmienniki rzutu środkowego: a) wspó lliniowość punktów; b) stosunek podzia lu odcinka (AB, C) dla punktów leż acych na prostej równoleg lej do t la; c) dwustosunek podzia lu (AB; CD) punktu niew laściwego prostej a, zwany śladem zbiegu prostej a. Ślad zbiegu jest wiȩc to punkt przebicia prostej przechodz acej przez oko równoleg lej do prostej a. Obydwa ślady leż a, naturalnie, na prostej a s (rzucie prostej a). Aby zorientować siȩ o po lożeniu prostej a (by np. określić k at jaki tworzy prosta ta z t lem ) dokonujemy k ladu oka (rys. 6A-04a2). Punkt A jest jednoznacznie określony przez swój rzut A s, jeśli wiemy, że należy do prostej a, której rzutem jest prosta a s (T a Z a ).

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 3 Rys. 6A-03: Powstawanie rzutu prostej: a) prosta a i jej ślad t lowy T a - punkt przebicia z rzutni a; a1) rzut A s dowolnego punktu A prostej a wraz z ze śladem T a wyznaczaj a rzut a s prostej a; a2) wyróżnienie rzutu Z a jeszcze jednego (niew laściwego) punktu Z prostej a zapewnia odwracalność (restytuowalność) odwzorowania. Rys. 6A-04: Konstrukcja k ata nachylenia prostej do t la: a) reprezentacja rzutu środkowego prostej; a1 a2) konstrukcja k ladu a-z x promienia zbiegu a-z prostej a 3. Odwzorowanie p laszczyzny Podobnie, jak prosta, dowolna p laszczyzna α w rzucie środkowym określona bȩdzie przez swój ślad t lowy t α (krawȩdź z t lem) i ślad zbiegu z α - (krawȩdź p laszczyzny, równoleg lej do α i przechodz acej przez oko, z t lem (rys. 6A-05a,c)). Proste t α i z α s a do siebie równoleg le (rys.6a-05c). O po lożeniu p laszczyzny α w przestrzeni, podobnie jak w przypadku prostej, informuje nas k lad p laszczyzny ε, prostopad lej do p laszczyzny α i przechodz acej przez oko, t.zw. p laszczyzny strza lkowej. Widzimy wtedy rzeczywist a rozwartość k ata (k at ω na rysunku 6A-05c2) jaki tworzy p laszczyzna α z rzutni a. K at ten razem ze śladem t lowym odzwier-

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A ciedla jednoznacznie po lożenie p laszczyzny w przestrzeni. Zauważmy przy tym, że dowolna p laszczyzna jest prostopad la do t la wtedy i tylko wtedy, gdy jej ślad zbiegu przechodzi przez punkt g lówny O τ (rys.6a-05b - p laszczyzna ε, rys. 6A-27a - p laszczyzna α). Rys. 6A-05: Odwzorowanie p laszczyzny w rzucie środkowym: a) rysunek pogl adowy; b) z p laszczyzn a strz lkow a ε; b1) widok w p laszczyźnie strza lkowej (z profilu); c) reprezentacja p laszczyzny w rzucie środkowym; c1 c2) konstrukcja k ladu k ata nachylenia p laszczyzny do t la 4. Przynależność punktu do prostej i p laszczyzny Punkt leży na p laszczyźnie, jeżeli leży na prostej leż acej na p laszczyźnie. Prosta a leży na p laszczyźnie α wtedy i tylko wtedy, gdy jej ślad t lowy T a leży na śladzie t lowym t α p laszczyzny α a ślad zbiegu Z a leży na śladzie zbiegu z α. Formalnie zależność miȩdzy elementami odwzorowuj acymi p laszczyznȩ α i prost a a przy za lożeniu, że figury te przynależ a do siebie opisuje zależność (por. rys. 6A-06): C α C a α, (1) a α Z a z α, T a t α. (2) Po lożenie punktu w przestrzeni daje siȩ jednoznacznie odtworzyć w sytuacji, gdy wiemy, że należy on do znanej, odwzorowanej w rzucie środkowym, prostej. Wszystko to przy za lożeniu, że wymienione obiekty pośrednie s a restytuowalne a wiȩc np. wtedy, gdy znane s a punkt g lówny i okr ag g lȩbokości t lowej. Po lożenie (odtworzenie w przestrzeni na podstawie rzutów) elementów czȩsto daje siȩ ustalić w wyniku analizy sytuacji przestrzennej (np. wiadomo, że krawȩdzie sto lu na zdjȩciu s a w rzeczywistości równoleg le).

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 5 5. Elementy wspólne Rysunek 6A-06a informuje nas jeszcze o tym, że proste a i b przecinaj a siȩ w punkcie C. Dlaczego? Dlatego, że ślady prostych a i b leż a na odpowiednich śladach p laszczyny α czyli proste a i b leż a w jednej p laszczyźnie, a wiȩc przecinaj a siȩ. Ogólniej, proste a s (T a, Z a ), b s (T b, Z b ), przecinaj a siȩ wtedy i tylko wtedy, gdy proste T a T b, Z a Z b s a do siebie równoleg le. Wtedy wyznaczaj a odpowiednio ślady t α, z α pewnej p laszczyzny α na której leż a (rys. 6A- 06a). Formalnie możemy to zapisać: a b Z a Z b Z a Z b. (3) Prosta przebija p laszczyznȩ w danym punkcie, jeżeli przecina w tym punkcie pewn a prost a leż ac a na tej p laszczyźnie (por. rys. 6A-07). Rys. 6A-06: Odwzorowanie p laszczyzny w rzucie środkowym: a) rysunek pogl adowy; b) widok z profilu; c) reprezentacja p laszczyzny w rzucie środkowym; c1 c2) konstrukcja k ladu k ata nachylenia p laszczyzny do t la 6. Równoleg lość prostych i p laszczyzn Proste równoleg le maj a wspólny punkt niew laściwy, którego rzutem środkowym jest, jak już wiadomo, punkt zbiegu każdej z prostych (rys.6a-06b). Możemy wiȩc zapisać: Podobnie dla p laszczyzn: a b Z a = Z b. (4) α β z α = z β. (5) Odwzorowanie dowolnego równoleg loboku ABCD leż acego na p laszczyźnie α ilustruje rysunek 6A-08a. Przeciwleg le boki równoleg loboku leż a odpowiednio na parach prostych równoleg lych a, b; c, d. Odwzorowanie dowolnego (bez określonych wymiarów) prostok ata zosta lo przedstawione na rysunkach 6A-08, 6A-09, 6A-10.

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A Rys. 6A-07: Konstrukcja punktu przebicia p laszczyzny prost a w rzucie środkowym: a1) przez prost a p prowadzimy dowoln a p laszczyznȩ β; a2) znajdujemy krawȩdź wspóln a k p laszczyzn α i β; a3) punkt przebicia P jest punktem wspólnym prostych p i k Rys. 6A-08: Dowolny równoleg lobok i prostok at w rzucie środkowym: a) rzut środkowy równoleg loboku; b b7) konstrukcja rzutu środkowego prostok ata o bokach na danych prostych równoleg lych a i b; b1) konstrukcja punktu strza lkowego N α p laszczyzny α; b2) k lad boczny O x oka 7. Prosta prostopad la do p laszczyzny Proste prostopad le do danej p laszczyzny α s a wzajemnie równoleg le, posiadaj a wiȩc wspólny kierunek (punkt niew laściwy) czyli w rzucie wspólny punkt zbiegu, który oznaczymy przez Z 90.

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 7 Rys. 6A-09: Dowolny prostok at w rzucie środkowym (cd): b4 b5) k lad p laszczyzny zbiegu: b4) k lad oka; b5) k lad promienia zbiegu prostych a i b Rys. 6A-10: Dowolny prostok at w rzucie środkowym (cd): b6) konstrukcja w k ladzie promienia zbiegu c z o (= d z o ) szukanych prostych c i d prostopad lych do prostych a i b (c z o a z o ) i, tym samym, śladów zbiegu prostych c i d; b7) konstrukcja rzutów środkowych prostych c i d i prostok ata ABCD Konstrukcjȩ promienia zbiegu n x w k ladzie bocznym p laszczyzny strza lkowej, a tym samym, śladu zbiegu prostych prostopad lych do p laszczyzny α ilustruje rys. 6A-11. Przebieg konstrukcji tej jest nastȩpuj acy: przez oko prowadzimy p laszczyznȩ ε prostopad l a do p laszczyzny α (t.zw. p laszczyznȩ strza lkow a). Jej ślady zbiegu i t lowy, pokrywaj a siȩ i stanowi a prost a przechodz ac a przez O τ prostopad l a do z α (t α ) (rys. 6A-11a), przecinaj ac a prost a z α w punkcie strza lkowym, który oznaczamy przez N α. Dokonuj ac k ladu bocznego p laszczyzny strza lkowej i prowadz ac przez O x prost a prostopad l a do odcinka [O x N α ] znajdujemy promień zbiegu n x a nastȩpnie ślad zbiegu Z 90 prostych prostopad lych do p laszczyzny α (rys.6a-11a). Jako ilustracjȩ powyższych charakteryzacji rzutu środkowego skonstruujemy prostopad lościan o

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A Rys. 6A-11: Prostopad lość i konstrukcja prostopad lościanu: a) konstrukcja śladu zbiegu prostych prostopad lych do p laszczyzny α; b) rzut środkowy prostok ata podstawy prostopad lościanu Rys. 6A-12: Konstrukcja prostopad lościanu (cd): b1) konstrukcja śladu zbiegu Z 90 prostych prostopad lych do p laszczyzny α; b2) poprowadzenie przez punkt Z 90 czterech prostopad lych do podstawy krawȩdzi prostopad lościanu podstawie na zadanej p laszczyźnie α (rys.6a-11b) o zadanym kierunku krawȩdzi podstawy, czyli śladzie zbiegu Z a = (Z b ) dwu (a w konsekwencji czterech krawȩdzi prostopad lościanu) krawȩdzi podstawy prostopad lościanu. Konstrukcjȩ realizujemy nastȩpuj aco. Konstruujemy dowolny prostok at - podstawȩ prostopad lościanu (rys. 6A-11b). Znajdujemy punkt zbiegu Z 90, nie znanych jeszcze krawȩdzi prostopad lościanu prostopad lych do p laszczyzny α podstawy (rys. 6A-12b1). Przez punkt Z 90 i przez wierzcho lki A, B, C, D podstawy prostopad lościanu prowadzimy cztery proste (rys.6a-12b2) na których bȩd a leżeć krawȩdzie boczne prostopad lościanu. Potem przez ślad zbiegu Z c i przez punkt A s 1 prowadzimy prost a na której leżeć bȩdzie górna krawȩdź [A s 1 Ds 1 ] prostopad lościanu (Rys.6A-13b4). W przeciȩciu z prost a przechodz ac a przez punkt D S znajdujemy drugi górny wierzcho lek D1 s prostopad lościamu (rys. 6A-13b4). Nastȩpnie przez ślad zbiegu Z a i przez D1 s prowadzimy kolejn a prost a i znaj-

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 9 Rys. 6A-13: Konstrukcja prostopad lościanu (cd): b3) wybór na krawȩdzi przechodz acej przez punkt A(A s ) dowolnego punktu A s 1 ; b4) konstrukcja pierwszej górnej krawȩdzi prostopad lościanu, przechodz acej przez punkt A 1 (A s 1 ) Rys. 6A-14: Konstrukcja prostopad lościanu (cd): b5) konstrukcja drugiej górnej krawȩdzi prostopad lościanu, przechodz acej przez punkt D 1 (D1 s ); b6) konstrukcja pozosta lych krawȩdzi dujemy w przeciȩciu z trzeci a prost a prostopad l a trzeci górny wierzcho lek prostopad lościanu C1 s (rys. 6A-14b5). Pozosta ly punkt B1 s możemy znaleźć na dwa sposoby posi lkuj ac siȩ punktami A s 1 i Z a lub C1 s i Z c. Wynika to z w lasności tzw. konfiguracji Reidemeistera R Otrzymana perspektywa prostopad lościanu jest tzw. perspektyw a trójzbieżn a (rys. 6A-14b6). Perspektywa dwuzbieżna - to perspektywa stosowana lub pionowa o której mówimy w zadaniach 11. Z perspektyw a tak a mamy do czynienia wtedy, gdy p laszczyzna podstawy α, na której ustawiony jest obiekt, jest prostopad la do t la. Ten rodzaj perspektywy jest szeroko omówiony w wyk ladzie 6B, przyk lady znajduj a siȩ także w innych wyk ladach. Przyk lad perspektywy jednozbieżnej jako perspektywy wnȩtrza pokoju znajdziemy w wyk ladach 6C i 6G. Literatura

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Pal85] Z. Pa lasiński: Zasady perspektywy. Skrypt. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Kraków 1985.