Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Transkrypt

1 Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,..., n ) jest nieznana. Wprowadzaj ac oznaczenie X = ( 1,..., n ) równanie można zapisać w postaci n i=1 W przypadk n = równanie (1) można zapisać a i (X) i = 0. a(, y) + b(, y) y gdzie a, b - dane fnkcje, a = (, y) - fnkcja niewiadoma. W przypadk n = 3 równanie (1) można zapisać a(, y, z) + b(, y, z) + c(, y, z) y z = 0, () = 0, (3) gdzie a, b, c - dane fnkcje, a = (, y, z) - fnkcja niewiadoma. Jeżeli (X) jest rozwi azaniem równania (1) w pewnym obszarze D R n, to powierzchniȩ o równani = (X) nazywamy powierzchni a ca lkow a tego równania w obszarze Ω R n+1. Uk lad równań różniczkowych zwyczajnych 1 a 1 (X) = a (X) =... = n a n (X) (4) nazywamy k ladem równań w postaci symetrycznej odpowiadaj acem równani (1). Równania (4) nazywamy równaniami charakterystycznymi równania (1), a ich rozwi azania charakterystykami tego równania. Uk lad (4) ma n 1 niezależnych rozwi azań ψ 1 (X) = C 1, ψ (X) = C,..., ψ n 1 (X) = C n 1. Fnkcje ψ j = ψ j (X), j = 1,,..., n 1 nazywamy ca lkami pierwszymi k lad (4). Tak wiȩc k lad ten ma n 1 niezależnych ca lek ψ 1 = ψ 1 (X), ψ = ψ (X),..., ψ n 1 = ψ n 1 (X). (5) 1

2 Równość = F (ψ 1, ψ,..., ψ n 1 ), gdzie F jest dowoln a fnkcj a klasy C 1, nazywamy rozwi azaniem ogólnym równania (1). W przypadk równania () k lad (4) redkje siȩ do jednego równania a(, y) = b(, y). Jeżeli ψ(, y) jest ca lk a tego równania, to rozwi azaniem ogólnym równania () jest = F (ψ(, y)), gdzie F jest dowoln a fnkcj a klasy C 1. Znaleźć rozwi azanie ogólne równania sk ad znajdjemy czyli rozwi azaniem ogólnym danego równania jest y + y = 0. y =, y = C, ψ = y, = F ( y ). W przypadk równania (3) k lad (4) jest postaci a(, y, z) = b(, y, z) = dz c(, y, z). Jeżeli ψ 1 (, y, z) i ψ (, y, z) s a ca lkami tego k lad, to rozwi azaniem ogólnym równania (3) jest = F (ψ 1 (, y, z), ψ (, y, z)), gdzie F jest dowoln a fnkcj a klasy C 1. Znaleźć rozwi azanie ogólne równania sk ad znajdjemy + y y + z z = 0. = y = dz 1 z, y = C 1, wobec czego k lad ma dwie niezależne ca lki z = C, ψ 1 = y, ψ = z,

3 tak wiȩc rozwi azaniem ogólnym danego rówania jest ( ) y = F, z. Zagadnienie Cachy ego dla równania (1) polega na wyznaczeni rozwi azania tego równania spe lniaj acego warnek pocz atkowy = ϕ(,..., n ), 1 = 0 1, (6) gdzie 0 1 R. Aby rozwi azać zagadnienie Cachy ego postȩpjemy wed lg schemat: do k lad ca lek pierwszych (5) podstawiamy 1 = 0 1 i otrzymane fnkcje oznaczamy przez ψ j, j = 1,,..., n 1, czyli otrzymjemy k lad równań ψ 1 ( 0 1,,..., n ) = ψ 1 ψ ( 0 1,,..., n ) = ψ ψ n 1 ( 0 1,,..., n ) = ψ n 1 rozwi azjemy powyższy k lad wzglȩdem i, i =, 3,..., n ( ) = ω ψ1, ψ (,..., ψ n 1 ) 3 = ω 3 ψ1, ψ,..., ψ n ( ) n = ω n ψ1, ψ,..., ψ n 1 podstawiamy do równości (6) zamiast i fnkcje ω i, zastȩpj ac ψ j przez ψ j, otrzymjemy = ϕ (ω (ψ 1,..., ψ n 1 ),..., ω n (ψ 1,..., ψ n 1 )), co daje szkane rozwi azanie zagadnienia Cachy ego. W przypadk n = warnek (6) można zapisać w postaci a w przypadk n = 3 w postaci gdzie 0 R. = ϕ(y), = 0, = ϕ(y, z), = 0, Znaleźć rozwi azanie zagadnienia Cachy ego y + y Ca lka pierwsza tego równania ma postać = 0, y > 0, = y, = 0. ψ = y. Na rozwi azanie zagadnienia Cachy ego otrzymjemy wiȩc równanie y = ψ, 3

4 sk ad Zatem poszkiwane rozwi azanie jest postaci y = ψ. = ψ lb (, y) = y. Znaleźć rozwi azanie zagadnienia Cachy ego Ca lkami pierwszymi tego równania s a + y y + z z = 0, = y + z, = 1. ψ 1 = y, ψ = z. Na rozwi azanie zagadnienia Cachy ego otrzymjemy wiȩc k lad równań { y = ψ1 sk ad y = ψ 1, z = ± ψ. Tak wiȩc poszkiwanym rozwi azaniem jest z = ψ = ψ 1 + ψ lb (, y, z) = y + z. Równanie qasi-liniowe Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n, ) a n ( 1,..., n, ) n = f( 1,..., n, ), (7) gdzie a i, i = 1,..., n i f s a dane, a fnkcja = ( 1,..., n ) jest nieznana. Wprowadzaj ac oznaczenie X = ( 1,..., n ) równanie można zapisać w postaci n i=1 W przypadk n = równanie (7) można zapisać a i (X, ) i = f(x, ). a(, y, ) + b(, y, ) y gdzie a, b, f - dane fnkcje, a = (, y) - fnkcja niewiadoma. = f(, y, ), (8) 4

5 W przypadk n = 3 równanie (7) można zapisać a(, y, z, ) + b(, y, z, ) + c(, y, z, ) y z = f(, y, z, ), (9) gdzie a, b, c, f - dane fnkcje, a = (, y, z) - fnkcja niewiadoma. Jeżeli (X) jest rozwi azaniem równania (7) w pewnym obszarze D R n, to powierzchniȩ o równani = (X) nazywamy powierzchni a ca lkow a tego równania w obszarze Ω R n+1. Uk lad równań różniczkowych zwyczajnych 1 a 1 (X, ) = a (X, ) =... = n a n (X, ) = d f(x, ) (10) nazywamy k ladem równań w postaci symetrycznej odpowiadaj acem równani (7). Równania (10) nazywamy równaniami charakterystycznymi równania (7), a ich rozwi azania charakterystykami tego równania. Uk lad (9) ma n niezależnych rozwi azań ψ 1 (X, ) = C 1, ψ (X, ) = C,..., ψ n (X, ) = C n. Fnkcje ψ j = ψ j (X, ), j = 1,,..., n nazywamy ca lkami pierwszymi k lad (10). Tak wiȩc k lad ten ma n niezależnych ca lek Równość ψ 1 = ψ 1 (X, ), ψ = ψ (X, ),..., ψ n = ψ n (X, ). (11) Ψ(ψ 1, ψ,..., ψ n ) = 0, gdzie Ψ jest dowoln a fnkcj a klasy C 1, nazywamy rozwi azaniem ogólnym równania (7) w postaci wik lanej. Rozwi azj ac je wzglȩdem otrzymamy rozwi azanie w postaci jawnej. Znaleźć rozwi azanie ogólne równania sk ad = y = 0. = = d 0, d = 0, = C 1, wobec czego ca lkami pierwszymi tego równania s a C 1, ln = y C 1 + C, ln + y = C, ψ 1 =, ψ = ln + y, czyli rozwi azaniem ogólnym danego równania jest ( Ψ, ln + y ) = 0. Znaleźć rozwi azanie ogólne równania + (y + ) y =. 5

6 sk ad = y +, = y + = d, y = (C 1 + ), = d, = C, wobec czego ca lkami pierwszymi tego równania s a y = C, = C 1, ψ 1 = y, ψ =, czyli rozwi azaniem ogólnym danego równania jest ( y Ψ, ) = 0. Zagadnienie Cachy ego dla równania (7) polega na wyznaczeni rozwi azania tego równania spe lniaj acego warnek pocz atkowy = ϕ(,..., n ), 1 = 0 1, (1) gdzie 0 1 R. Aby rozwi azać zagadnienie Cachy ego postȩpjemy wed lg schemat: do k lad ca lek pierwszych (11) podstawiamy 1 = 0 1 i otrzymane fnkcje oznaczamy przez ψ j, j = 1,,..., n 1, czyli otrzymjemy k lad równań ψ 1 ( 0 1,,..., n, ) = ψ 1 ψ ( 0 1,,..., n, ) = ψ ψ n ( 0 1,,..., n, ) = ψ n rozwi azjemy powyższy k lad wzglȩdem i, i =, 3,..., n i ( ) = ω ( ψ1, ψ,..., ψ n ) 3 = ω 3 ψ1, ψ,..., ψ n ( ). n = ω n ψ1, ψ,..., ψ n = ω ( ) ψ 1, ψ,..., ψ n podstawiamy do równości (1) zamiast i fnkcje ω i, a zamiast fnkcjȩ ω, zastȩpj ac ψ j przez ψ j, otrzymjemy ω = ϕ (ω (ψ 1,..., ψ n ),..., ω n (ψ 1,..., ψ n )), co daje szkane rozwi azanie zagadnienia Cachy ego. Znaleźć rozwi azanie zagadnienia Cachy ego + (y + ) y =, (y) = y 4, =. 6

7 Ca lkami pierwszymi tego równania s a ψ 1 = y, ψ =. Na rozwi azanie zagadnienia Cachy ego otrzymjemy wiȩc k lad równań y 4 = ψ 1, = ψ sk ad y = ψ 1 + 4, = ψ. Podstawiaj ac wartości y i do wzor = y 4 otrzymamy ψ = ψ , ψ = ψ 1, wobec czego poszkiwanym rozwi azaniem jest = y, (, y) = y. Zagadnienie Cachy ego można też stawiać na krzywej określonej parametrycznie. Pokażemy to w przypadk n = i równania (8). Niech dana krzywa l 0 ma równanie wektorowe r(t) = [ 0 (t), y 0 (t), 0 (t)], gdzie 0 (t), y 0 (t), 0 (t) C 1 dla t [α; β] R. Zagadnienie Cachy ego polega na wyznaczeni rozwi azania równania (9), które spe lnia warnek ( 0 (t), y 0 (t)) = 0 (t), t [α; β]. (13) Znaleźć rozwi azanie zagadnienia Cachy ego Równania charakterystyczne maj a postać + y =, r(t) = [0, t, t], t R. a wiȩc ca lki pierwsze s a postaci = = d, y = C 1, e = C. Przyjmj ac = 0, y = t, = t, obliczamy C 1 = t, C = t, zatem y = t, e = t. Eliminj ac parametr t otrzymjemy równanie szkanej powierzchni y = e, czyli rozwi azanie postawionego zagadnienia. 7