Zadania. kwiecień Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.

Transkrypt

1 kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk ladu A do uk ladu B Rozwiazanie 1: Liczba stanów mikroskopowych realizujacych sytuacj e makroskopowa w której uk lad A ma energi e E A natomiast uk lad B ma energi e E B dana jest jako iloczyn liczby stanów mikroskopowych uk ladów A i B Ω AB (E A E B = Ω A (E A Ω B (E B oraz ln Ω AB (E A E B = ln Ω A (E A + lnω B (E B Zbadajmy co si e stanie gdy infinitezymalna ilośća ciep la dq przep lynie z uk ladu A do uk ladu B Liczba stanów mikroskopowych ca lego uk ladu wyniesie Ω AB (E A dq E B + dq = Ω A (E A dqω B (E B + dq Zamiast badać Ω AB wygodniej b edzie badać logarytm tej wielkości ln Ω AB (E A dq E B + dq = ln Ω A (E A dq + ln Ω B (E B + dq Ponieważ rozpatrujemy bardzo ma ly przekaz ciepa to możemy funkcje ln Ω rozwinać w szereg aylora zachowujac wyrazy co najwyżej linowe w dq ln Ω AB (E A dq E B + dq = = ln Ω A (E A ln Ω A(E A dq + ln Ω B (E B + ln Ω B(E B dq = E A E ( B ln ΩB (E B = ln Ω AB (E A E B + ln Ω A(E A dq E B E A Z warunków zadania wynika że wyraz w nawiasie mnożacy dq jest dodatni czyli ln Ω AB (E A dq E B + dq > ln Ω AB (E A E B 1

2 zatem S AB (E A dq E B + dq > S AB (E A E B Widzimy że przekazowi ciep la w uk ladu A do uk ladu B towarzyszy wzrost entropii ca lkowitej stad wniosek że taki proces b edzie zachodzi l samorzutnie Zadanie Rozpatrzmy uk lad N nieoddzia luj acych czastek kaźda z których może znajdować si e na jednym z dwóch poziomów energii ε 0 ε 0 Przyk ladem tego uk ladu moga być czastki o spinie 1/ umieszczonych w zewn etrznym jednorodnym polu magnetycznym B energia których może wynosi E 1 = µh = ε 0 lub E = µh = ε 0 w zależności od orientacji spinu wzgl edem pola H a znaleźć liczb e stanów Ω b entropi e S c energi e uk ladu w zależnoći od temperatury d obliczyć pojemność cieplna i ciep lo waściwe uk ladu przy sta lej obj etości e sprawdzić s luszność trzeciej zasady termodynamiki Rozwiazanie: a Wprowadzimy nast epuj ace oznaczenia N + liczba czastek o spinie równoleg lym do pola H N liczba czastek o spinie antyrównoleg lym do pola N Oczywiście N = N + + N E = (N + N ε 0 = Mε 0 Funkcja g estości stanów dana jest nast epuj acym wyrażeniem ( ( N N Ω = = = N! N +!N! N + N Dalej wyznaczymy N + i N przez N E i ε 0 { N+ + N = N N + N = E/ε 0 N + = 1 (N + Eε0 N = 1 (N Eε0

3 b eraz wyznaczymy entropi e uk ladu (znów korzyjstajac z wzoru Stirlinga N! S = k B ln Ω = k B ln N +!N! = Nk B ln N N + k B ln N + N k B ln N = = Nk B ln N 1 (N + Eε0 k B ln 1 (N + Eε0 1 (N Eε0 k B ln 1 (N Eε0 Entropia stanu w którym wszystkie spiny sa zgodne z polem magnetycznym wynosi S(E = Nε 0 = Nk B ln N 1 (N + Nk B ln 1 (N + N = 0 analogicznie S(E = Nε 0 = 0 Wyznaczamy maksimum entropii czyli E = 0 c Znajdziemy rozk lad energii mamy eraz możemy wyznaczyć temperatur e 1 = ln Ω E = ln N! E = (N ln N N E S E = k B ln N E ε 0 N + E ε 0 N E ε 0 N + E ε 0 = 1 S(E = 0 = Nk B ln N Nk B ln 1 N = Nk B ln N E = 1 E lnn! E ln N +! = (N + ln N + N E N + E = 1 = 1 ln N ln N + 1 = = 1 ( ln 1 (N Eε0 ln 1 (N + Eε0 = 1 N E ε ln 0 N + E = 1 ln N N + ε 0 Stad czyli N N N = N N (1 + exp ( ε0 = exp N + ( ε0 = N exp ( ε0 N = Ne/ 1 + e / = Ne ε0/kb e ε 0/k B + e ε 0/ 3

4 05-05 Energia uk ladu wynosi N + = N N = Ne ε 0/ e ε 0/k B + e ε 0/ e ε 0/ e ε 0/ E = ε 0 (N + N = Nε 0 e ε 0/k B + e = Nε ε 0/ 0 sinh ε 0 cosh ε 0 = Nε 0 tanh ε 0 Możemy naszkicować wykres entropii w funkcji energii S/Nk B 05 k B / E/N oraz temperatury w funkcji energii 1 <0 E/Nk B 0 > k B / 4

5 d Pozostaje jeszcze wyznaczyć ciep lo w laściwe uk ladu ( E V c V = 1 1 = ε 0 ( N cosh ε 0 ( ε0 4 = k B (e ε 0/k B + e ε 0/k B = k B ( ε ( ( 0 = k ε0 B cosh ε0 = ( ( E e E/k B E (1 + e E/k B = k 1 B 4 cosh ( E/( gdzie E = jest różnica energii stanów + i czyli energia wzbudzenia C/Nk B k B / aka postać ciep la w laściwego nazywana jest ciep lem Schottky ego Widzimy że osi ega ono maksimum dla pewnej temperatury Wyznaczamy po lożenie tego maksimum czyli c V = 0 c V = (ε ( ( 0 ( ( ε0 ε0 3 cosh + k B cosh 3 ε0 ε0 ε0 sinh = ( = (ε 0 ε ε sinh 0 ( 0 ( 1 cosh ε0 3 cosh ε 0 stad otrzymujemy nast epuj ace równanie niealgebraiczne ( ε0 tanh = k B ε 0 którego rozwiazanie numeryczne to ε 0 = 1 Czyli ciep lo w laściwe osi ega maksimum dla temperatury = ε 0 1k B = E 4k B 5

6 e Znajdziemy teraz jawna zależność entropii od temperatury S =Nk B ln N N + k B lnn + N k B ln N = ( = k B N ln N e x e x + e x ln = k B N (ln cosh x x tanh x gdzie x = ε 0 Znajdziemy dalej granic e S w zerze e x e x + e x e x e x + e x ln S(x = k B N(ln N + ln( cosh(x x tanh(x lim ln( cosh(x = x x lim tanh(x = x x lim S = 0 x e x = e x + e x Zadanie 3 Rozważmy jednowymiarowy lańcuch sk ladaj acy si e z N 1 elementów (pr etów Każdy z pr etów ma d lugość a i może być skierowany w lewo lub w prawo a ich orientacja może si e swobodnie zmieniać Za lóżmy że odleg lość mi edzy poczatkiem pierwszego pr eta a końcem ostatniego wynosi x Wyznaczyć entropi e lańcucha w funkcji x oraz zna leźć relacj e mi edzy temperatura lańcucha a si l a (napr eżeniem X która jest niezb edna do zapewnienia danej jego d lugośći x Si la X jest dana jako pochodna energii swobodnej Helmholtza F wzgl edem d lugoci lacucha x przy ustalonej temperaturze X = ( F x 6

7 Rozwiazanie: Jeśli zauważymy że liczba pr etów skierowanych w prawo odgrywa taka sama rol e jak wielkość N a liczba pr etów skierowanych w lewo taka jak wielkość N + W przypadku przedstawionym na rysunku wyźej konfiguracja lańcuchu wyglada ( Znajac N + i N można znaleźć d lugość lańcucha x x = (N + N a N = N + + N N + = NA + x N = NA x a a o jest zadanie analogiczne z poprzednim tylko zamiast energi E mamy d lugość x Dalej od razu wypisujemy wzory na liczb e stanów oraz entropi e ( N Ω = S = k B ln Ω = Nk B lnn 1 ( N + x k B ln 1 ( N + x 1 ( N x k B ln 1 ( N x a a a a Ponieważ elementy lańcucha swobodnie obracaja si e na przegubach to oznacza że energia wewn etrzna uk ladu nie zależy od konfiguracji pr etów czyli Energia swobodna Helmholtza dana jest wzorem czyli napr eżenie lańcucha wynosi ( ( ( F U S X = = x x x = N + U x = 0 F = U S ( S x = k B a ln 1 ( N + x + k B a a k B a ln 1 ( N x k B a a = k B Dla x Na X = k 1 + B a ln x Na 1 x Na = x N + a ln a N x a = k 1 + B a ln x Na 1 x Na = k [( B a ln 1 + x ( 1 + x ] Na Na + = k ( B a ln 1 + x Na + = k B Na x + Liniowa zależność X(x nazywa si e prawem Hooke a Wykresy napr eżeń 7

8 3 ax/k 1 X=kx/Na X=(k/aln 1+x/(Na 1-x/(Na x/na 8