ZASTOSOWANIE METODY ROJU CZĄSTEK W OPTYMALNYM PROJEKTOWANIU ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

Transkrypt

1 PAWEŁ FORYŚ ZASTOSOWANIE METODY ROJU CZĄSTEK W OPTYMALNYM PROJEKTOWANIU ELEMENTÓW KONSTRUKCJI A PARTICLE SWARM OPTIMIZATION APPLIED TO OPTIMAL DESIGN OF STRUCTURAL ELEMENTS Streszczene Abstract Zmodyfowana metoda optymalzacj rojem cząste może być z powodzenem stosowana jao unwersalne narzędze wspomagające optymalzację elementów onstrucj. W artyule przedstawono pewne aspety przystosowana metody do rozwązywana zadań programowana nelnowego w przestrzen zmennych meszanych. Jao przyłady numeryczne przedstawono zadana: projetowana sprężyny, przestrzennej ratowncy oraz optymalzacj modelu ramy Kotera ze względu na stan porytyczny, tj. odtwarzane ształtowane śceż porytycznej. Słowa luczowe: metoda roju cząste, programowane nelnowe, optymalzacja onstrucj A modfed partcle swarm optmzaton method can be successfully appled as a unversal tool to ad optmal desgn of structural elements. Some mprovements of the method to cope wth nonlnear optmzaton tass n mxed varable space are presented n the paper. Desgn of the helcal sprng, spatal truss and Koter s frame model aganst postcrtcal state.e. reconstructon and modelng of postcrtcal path are presented as the numercal examples. Keywords: partcle swarm optmzaton, nonlnear programmng, structural optmzaton Dr nż. Paweł Foryś, Instytut Mechan Stosowanej, Wydzał Mechanczny, Poltechna Kraowsa.

2 3. Wstęp Inspracją dla welu nowoczesnych techn oblczenowych jest obserwacja funcjonowana organzmów żywych. Na przyład sztuczna seć neuronowa jest uproszczonym modelem ludzego mózgu. Z ole algorytmy genetyczne wzorowane są na teor ewolucj stot żywych. Omawana w artyule metoda roju cząste naśladuje zachowana społeczne osobnów tworzących zorganzowane populacje. Osobn żyjące w rojach oddzaływują na sebe przy równoczesnym wpływe środowsa bytowana. Cząst, mając zdolność zapamętywana swoch położeń, przystosowują sę do środowsa, w tórym żyją powracają do obszarów o sprzyjających właścwoścach. Mogą nm być mejsca żerowana, nocowana czy wylęgu. Ta ogntywna cecha cząste umożlwa wyszuwane nowych obszarów o jeszcze lepszych właścwoścach. Przyładam rojów w śwece przyrody są: olone owadów, stada ptaów, ławce ryb td.. Metoda optymalzacj rojem cząste Algorytm numeryczny optymalzacj rojem cząste (PSO Partcle Swarm Optmzaton) został zaproponowany w 995 r. przez Kennedy ego Eberharta []. PSO ma wele elementów wspólnych z technam ewolucyjnym, tam ja algorytmy genetyczne (Genetc Algorthms GA) czy programowane ewolucyjne (Evolutonary Programmng EP). Model numeryczny społecznego zachowana grupy obetów tratuje populację jao rój, a ażdego osobna jao cząstę. W trace olejnych roów zdysretyzowanego czasu cząst przemeszczają sę do nowych położeń, symulując adaptację roju do środowsa, czyl poszuują optmum. Lderem roju zostaje cząsta o najlepszym dotychczas znanym położenu. Każda cząsta ma przyporządowanych sąsadów, tórym są wybrane cząst z roju. Przyporządowane jest zazwyczaj statyczne, co oznacza, że sąsedz są oreślan raz, na początu oblczeń. Lderem sąsadów dla ażdej cząst jest sąsad o najlepszym dotąd znalezonym położenu. Położena cząste w obszarze poszuwana stanową potencjalne rozwązana. W przecweństwe do algorytmów genetycznych PSO zazwyczaj ne orzysta z operatorów ewolucyjnych, tach ja rzyżowane czy mutacja. Zastosowane metody roju cząste do rozwązywana zadań nelnowej optymalzacj z ogranczenam wymaga znacznego usprawnena wydajnośc algorytmu w stosunu do jego wersj orygnalnej. Poprawę uzysano poprzez modyfację równań ruchu cząste (połączene wersj globalnej loalnej), wprowadzene oncepcj algorytmu dwustanowego oraz de elastycznych ogranczeń prędośc cząste []. Algorytm PSO funcjonuje wg następującego schematu:. Nadane cząstom roju losowych położeń prędośc początowych.. Doonane oceny położena cząste za pomocą funcj dopasowana (ftness). 3. Zmana zapsu w pamęc cząste dotycząca najlepszych własnych położeń oraz najlepszych położeń lderów sąsadów. Wyłonene ldera roju. 4. Atualzacja wetora prędośc ażdej cząst g n v + = w v + w [ cr ( p x ) + cr ( p x ) + c3r3 ( p x )] () 5. Atualzacja położena ażdej cząst x = x v () + + +

3 gdze: x v p n wetor położena -tej cząst, odpowedn wetor prędośc, najlepsze dotąd znalezone położene -tej cząst, p najlepsze dotąd znalezone położene ldera sąsadów -tej cząst, g p w, najlepsze dotąd znalezone położene ldera roju, w współczynn wagowe, oreślane na pozome -tej cząst. W powyższych oznaczenach dolny ndes oreśla olejny ro teracj. Współczynn c, c, c 3 są ustalonym mnożnam wagowym oreślanym w lteraturze w zależnośc od nterpretacj jao współczynn przyspeszena (acceleraton constants) lub współczynn uczena sę (learnng factors). Współczynn r, r, r 3 są lczbam losowym o rozładze równomernym w przedzale [0, ]. Generowane są w olejnych roach teracj dla ażdej cząst. Welość w jest mnożnem nterpretowanym jao współczynn bezwładnośc ruchu cząst (nerta weght). W algorytme dwustanowym wartośc współczynnów wagowych są doberane w zależnośc od zachowana sę cząste roju. Jeżel cząsta przemeścła sę do lepszego położena, czyl nastąpła poprawa wartośc funcj celu, to w olejnym rou wartość w przyjmuje sę jao równą 0, natomast wartość w, zezwalając na swobodny ruch w tym erunu dalsze przyspeszane cząst (stan ). Gdy cząsta ne poprawła swego dopasowana, wartośc obu współczynnów przyjmuje sę równe nowe położene jest oreślane z wyorzystanem hstor ruchu roju (stan ), czyl ta ja odbywa sę to w wersj nemodyfowanej. Punty 5 należy wyonywać w pętl aż do spełnena przez algorytm ryterum zatrzymana. Dla zadań przedstawonych w artyule jao ryterum zatrzymana oblczeń przyjęto ustaloną lczbę roów teracj. Jeden przebeg pętl odpowada olejnemu roow czasowemu dla poruszającego sę roju. Wartość rou czasowego przyjmuje sę jao jednostową. Równana (), (), według tórych następuje atualzacja prędośc położena cząste w roju na olejnych roach teracj, noszą nazwę równań atualzacj lub reguły atualzacj. Cząst poruszają sę ruchem odcnowo prostolnowym. Postać równań atualzacj za współczynnem w wyna z drugej zasady dynam Newtona, gdze wypadowa sła wywołująca przyspeszene ażdej cząst powstaje wsute dzałana sł od nacągnętych sprężyn pomędzy położenem atualnym a najlepszym położenam: własnym, ldera sąsada oraz ldera roju. Kolejny wetor prędośc cząst jest wynem jej przyspeszena w erunu nowego, potencjalne lepszego położena, bazując na stale zmenających sę najlepszych wcześnej znanych położenach. Przystosowane algorytmu do obsług ogranczeń nerównoścowych równoścowych zostało szerzej opsane w pracy [3]. Z ole modyfacje umożlwające obsługę całowtych oraz meszanych zmennych projetowych zostały przedstawone w pracach [4 5]. Dobór parametrów sterujących pracą algorytmu omówono w [4]. 33

4 34 W przedstawonych w artyule zadanach lczba cząste wynosła początowo 3. Stopnowo była ona zwęszana do pozomu, powyżej tórego ne obserwowano zmany wynu ońcowego rozwązywanego zadana. Lczba sąsadów zawera sę w przedzale 0,3 0,6 lczby wszystch cząste. 3. Przyłady oblczenowe 3.. Optymalzacja sprężyny ścsanej zmenne cągłe W zadanu mnmalzowana jest objętość rozcąganej/ścsanej sprężyny przedstawonej na rysunu (np. [6]). Rys.. Projetowane walcowej sprężyny ścsanej zmenne decyzyjne Fg.. Helcal sprng desgn the decson verables Matematyczne zadane jest wyrażone następująco (np. [7]). Mnmalzuj f = ( x + x (3) 3 ) x 3 x x3 Przy ogranczenach g = 0 (4) x gdze: x średnca drutu, x średna średnca zwoju, x lczba czynnych zwojów. 3 4x xx g = ( x x x ) 508x g 40,45x = x x 3 3 g x + x 4 = 0, 5 π W równanu (3) pomnęto stały współczynn. Cztery ogranczena są zwązane 4 z: mnmalnym ugęcem g, masymalnym naprężenem stycznym g, częstoścą drgań własnych g 3 średncą zewnętrzną g 4. Wartośc zmennych decyzyjnych wyrażone w calach [n] są przyjmowane z zaresów 0

5 0 3 35,05 x ; 0,5 x,3; x 5 (5) W tabel przedstawono rozwązane optymalne uzysane dla projetowana sprężyny. Do oblczeń zastosowano rój utworzony z 30 cząste. Każda cząsta posadała 8 sąsadów. Lczba roów teracj do zaończena oblczeń wynosła 00. Stałe aceleracj przyjęto jao: c = c = c 3 = 0,5. Wyn są porównane z uzysanym wcześnej przez nnych autorów [7 9] [6]. Rozwązane optymalne projetowana sprężyny Tabela Wyn [7] [8] [9] [6] SI Wyn x [n] 0, , ,0560 0, , x [cm] 0,3 x [n] 0, , , ,3566 0,39980 x [cm] 0,906 x 3,975,876 0,64844,630 9,85400 x 3,97 f(x) [n 3 ] 0,0665 0, ,0669 0, ,07303 f(x) [cm 3 ] 0, Optymalzacja ratowncy przestrzennej zmenne dysretne Projetowana jest ratownca 5-prętowa, będąca prostym modelem weży transmsyjnej (rys. ). Zadane analzy rozwązano metodą elementów sończonych MES. Pełne dane dotyczące geometr, materału, grup prętowych oraz przypadów obcążena weży przedstawono w pracy dotyczącej optymalzacj ratownc [3]. Rys.. Kratownca 5-prętowa Fg.. The 5-bar truss Dysretnych zmennych decyzyjnych jest 8 ze względu na zaszeregowane prętów w grupy o jednaowych przerojach poprzecznych. Dopuszczalne wartośc zmennych decyzyjnych są przyjmowane wg następującego wyrażena

6 36 x = 0, n n =,,..., 50 (6) co oznacza, że są to lczby całowte z przedzału [,50], mnożone przez wartość 0,. Krata pracuje pod dwoma przypadam obcążena. Mnmalzowana jest objętość prętów raty, przy ogranczenach naprężenowych wyboczenowych. Ogranczena naprężenowe są symetryczne. Łączne zadane ma (5 + 5), czyl 00 ogranczeń. Zadane optymalzacj przedstawa sę następująco: Mnmalzuj 5 f ( x ) = A l (7) = Przy ogranczenach σ (x) σ =.. 5 j =, (8) j a gdze: σ x x =.. 5 j =, (9) r j ( ) σ ( ) x mn x x =.. 8 (0) max A pole powerzchn przeroju -tego pręta, l długość -tego pręta, x pole powerzchn przeroju prętów -tej grupy, x dolne ogranczene przeroju wynoszące 0,[ n ] mn max x górne ogranczene przeroju wynoszące 5[ n ] (64,56[mm ]), (36[mm ]), σ j naprężene w -tym pręce dla j-tego przypadu obcążena, σ a naprężene dopuszczalne, r σ naprężene wyboczenowe w -tym pręce, oreślone następująco r 00,0πEA σ = =.. 5 () 8l Wyn optymalne przedstawono w tab. porównano z uzysanym przez [0]. Żadne z ogranczeń ne jest doładne równe wartośc dopuszczalnej, jedna te, tóre są najblżej, przedstawono w tab. 3. Oznacza to, że olejny ro algorytmu optymalzacj wygenerowałby rozwązane poprawające wartość funcj celu, jedna naruszające jedno z tych ogranczeń. Do oblczeń zastosowano rój utworzony z 5 cząste. Każda cząsta mała 5 sąsadów. Lczba roów teracj do zaończena oblczeń wynosła 00. Stałe aceleracj przyjęto jao: c = 0, natomast c = c 3 =,. Projetowane zostało przeprowadzone z wyorzystanem dwóch wersj algorytmu roju cząste: dla zmennych meszanych oraz dla zmennych całowtych. Wersja dedyowana dla zadań programowana całowto-lczbowego wymagała jedyne 40% czasu oblczenowego onecznego do uzysana wynu przy zastosowanu wersj dla zmennych meszanych.

7 Tabela Rozwązane optymalne projetowana ratowncy 5-prętowej Wyn autora [0] Zmenna decyzyjna [n ] [cm ] [n ] x 0, 0,645 0, x 0,8 5,6 0,9 x 3 0,8 5,6 0,9 x 4 0, 0,645 0, x 5 0,,9 0, x 6 0,6 3,87 0,6 x 7,0 6,45,0 x 8 0,8 5,6 0,8 f(x) 39,866 [n 3 ] 3930,05 [cm 3 ] 49,387 [n 3 ] 37 Tabela 3 Wartośc naprężeń blsch dopuszczalnych w prętach ratowncy 5-prętowej Przypade obcążena Numer pręta Naprężene Naprężene rytyczne,849035e + 004, e ,849035e + 004, e ,46555e + 004,96969e ,46555e + 004,96969e , e + 004, e Optymalzacja modelu ramy Kotera zachowane porytyczne Optymalzowany jest model ramy Kotera ze względu na zachowane porytyczne, tj. po utrace statecznośc. Zadane sformułowano na dwa sposoby. W perwszym odtwarzana jest założona śceża porytyczna. W drugm ształtowany jest przebeg śceż porytycznej przy ogranczenach nałożonych na jej nachylene. Sformułowana te obszernej rozważano w pracy []. Model ramy Kotera jest sztywno-sprężystym uładem o sończonej lczbe stopn swobody (rys. 3). Słada sę on z dwóch sztywnych bele sztywnej ątowej ramy. Połączena prętów, ramy oraz połączena z podporam są zrealzowane przez sprężyste przeguby. Uład jest wyposażony w sprężyny srętne o sztywnoścach C, C oraz wzdłużne o sztywnoścach K, K, K 3, K 4, gdze sprężyny srętne reprezentują sztywność podparca, K, K sprężystość ramy, a K 3, K 4 sztywność dodatowych podparć. Załada sę, że sprężyny wzdłużne zachowują początową orentację w trace deformacj uładu. Nelnową funcję przedstawającą śceżę porytyczną uzysano z warunu stacjonarnośc energ potencjalnej uładu. Kąt θ przyjęto jao przemeszczene uogólnone do ontrol zachowana uładu po utrace statecznośc.

8 38 Energę potencjalną uładu przedstawa następujące równane Π = Cϕ + Cϕ + K( L sn ϕ) + K ( L sn ϕ) + + K3(L L cos θ cos ϕ ) + K 4 (L L cos θ cos ϕ) P(L L cos θ L cos ϕ ) () Uwzględnając dodatowe zwąz geometryczne pomędzy ątam (prace [, ]) przyrównując do zera perwszą pochodną energ po nezależnym ące θ, otrzymuje sę funcję opsującą nelnową śceżę równowag cϕϕ + cϕϕ + (/ ) ϕ sn ϕ + (/ ) ϕ sn ϕ p( θ) = ϕ sn ϕ + sn θ (3) 3( cos ϕ cos θ)( ϕ sn ϕ + sn θ) + 4 ( cos ϕ cos θ)( ϕ sn ϕ + sn θ) + ϕ sn ϕ + sn θ gdze sn( ϕ + θ) + cos( ϕ + θ) sn( ϕ + θ) + cos( ϕ + θ) ϕ = ; ϕ = (4) cos( θ ϕ ) cos( θ ϕ ) Rys. 3. Model ramy Fg. 3. The model of the frame W powyższym wyrażenu wprowadzono następujące welośc bezwymarowe (C 0 oznacza sztywność odnesena) C K L j PL c = ; j = ; p = ; =, ; j =,,3, 4 (5) C0 C0 C0 Wartość sły rytycznej dla modelu jest wyrażona przez p r = ( c + c + + ) (6)

9 Wdać, że ne jest ona funcją sztywnośc 3 4. Sztywnośc te jedna wpływają na zachowane sę uładu po utrace statecznośc Odtwarzane założonej śceż porytycznej (0) Założono oreślony przebeg statecznej śceż porytycznej: p ( θ) = 0,00338θ +. Śceża jest odtwarzana poprzez mnmalzację błędu średnowadratowego pomędzy puntam leżącym na atualnej założonej śceżce porytycznej. Dodatowo dodano ogranczene na ustaloną wartość sły rytycznej. (0) Mnmalzuj [ p( θ;,, 3, 4 ) p ( θ )] =.. N (7) Przy ogranczenu p,,, ) (8) r ( 3 4 = gdze: p θ ;,,, ) punty na atualnej śceżce równowag, ( 3 4 (0) p ( θ ) punty na śceżce założonej, θ wartośc przemeszczena uogólnonego w przyjętych puntach, zmenne decyzyjne (sztywnośc sprężyn). j Wyn projetowana wraz z optymalnym wartoścam zmennych decyzyjnych przedstawono na rys. 4. Przerywaną lną poazano śceżę równowag ramy neoptymalzowanej. Lnam cągłym przedstawono śceż: czarną śceżę założoną, szarą śceżę odtworzoną. 39 Rys. 4. Odtwarzane założonej śceż równowag Fg. 4. Reconstructon of the predcted equlbrum path

10 Kształtowane przebegu śceż porytycznej przy ogranczenach nałożonych na jej nachylene Mnmalzowana jest suma sztywnośc sprężyn wzdłużnych ramy. Ogranczane jest nachylene śceż porytycznej przez zadane dopuszczalnych wartośc gradentów w wybranych puntach ontrolnych. Przeps oreślający wartośc dopuszczalne podzelono na dwa podzbory ze względu na wartośc ąta θ. W sąsedztwe puntu rytycznego, tj. dla θ 6 o, narzucono wartość gradentu Gˆ = 0, natomast na zewnątrz tego przedzału wartośc Gˆ reprezentują gradenty funcj 0, θ +, użytej w przyładze poprzednm do odtwarzana śceż. Mnmalzuj (9) Przy ogranczenach p( θ j + ;,, 3, 4) p( θ j;,, 3, 4) Gˆ j dla θ j 0 j =,... m (0) θ + ˆ dla θ 0 =,... l () p( ;,, 3, 4) p( θ ;,, 3, 4) G Ze względu na nesymetryczną postać śceż równowag dla zadana, ogranczena (0) () postawono osobno dla dodatnch ujemnych wartośc ąta θ, wprowadzając odpowedno Gˆ j oraz G ˆ. Sformułowane powyższe wymusza ta ształt śceż porytycznej, tóry zapewn oreślone nachylene funcj uogólnonego ąta sterującego deformacją modelu ramy. Dodatowo wymuszona została symetra śceż równowag w punce rytycznym. Uształtowana, optymalna śceża została przedstawona na rys. 5. Do rozwązana zadana optymalzacj modelu ramy Kotera zastosowano rój 7 cząste. Każda cząsta posadała 3 sąsadów. Lczba roów teracj do zaończena oblczeń wynosła 00. Przyjęto następujące wartośc stałych aceleracj: c = c =, c 3 = Wnos Optymalzacja rojem cząste (PSO) jest nowoczesną metodą przeszuwana stochastycznego, opartą na de zachowana społecznego w populacjach organzmów żywych. Metoda posada pewne elementy wspólne z szeroo znanym technam ewolucyjnym, tam ja algorytmy genetyczne (Genetc Algorthms GA) oraz programowane ewolucyjne (Evolutonary Programmng EP). W porównanu z nm ma jedna stotną zaletę. Cząst, pamętając najlepsze znalezone wcześnej położena, dysponują pseudogradentową nformacją o przestrzen poszuwana. Ne jest to węc metoda rzędu zerowego w ścsłym znaczenu tego słowa. Dodatowo przez sprzężene uładu równań atualzacj cząst dzelą sę tą wedzą pomędzy sobą. Prowadz to w onsewencj do znacznego ogranczena lczby nezbędnych wywołań funcj dopasowana (ftness) w trace procesu poszuwana rozwązana. Zaleta ta staje sę szczególne stotna w rozwązywanu zadań wymagających znacznych naładów oblczenowych na wyznaczene wartośc funcj celu /lub ogranczeń (np. zadana z analzą MES). W mnonych lunastu latach powstało wele algorytmów optymalzacyjnych bazujących na metodze roju cząste. Jednym z nch jest algorytm przedstawony w nnejszym

11 4 Rys. 5. Kształtowane śceż równowag przy ogranczenach nałożonych na jej nachylene Fg. 5. Modelng of the equlbrum path subject to constrants mposed on ts slope artyule. Algorytm jest przystosowany do rozwązywana zadań programowana nelnowego. W tej lase zadań optymalzacj meśc sę wele problemów optymalnego projetowana elementów onstrucj. Dobór przyładów poazuje szeroe spetrum możlwośc oblczenowych algorytmu. Zmenne projetowe w przedstawonych zadanach są meszane: cągłe, dysretne oraz całowte. Nelnowe funcje celu ogranczeń mają jawną lub nejawną postać. Optymalne rezultaty zadań projetowych poazują, że algorytm znajduje najlepsze rozwązane notowane w lteraturze. Predysponuje to opracowany algorytm do szeroego stosowana w zadanach pratycznej optymalzacj nżynersej. W szczególnośc dotyczy to nowo formułowanych zadań optymalzacj o neznanych dotąd rozwązanach. Lteratura [] K e n n e d y J., E b e r h a r t R.C., Partcle Swarm Optmzaton, Proc. IEEE Int. Conf. On Neural Networs, Pscataway, NJ 995, [] F o r y ś P., Numercal optmzaton wth partcle swarms, Proc. of 0th Internatonal Conference on Numercal Methods n Contnuum Mechancs, Zlna, August 3 6, 005, (CD-ROM), 3. [3] F o r y ś P., A modfed partcle swarm optmzer appled to mxed varable desgn of truss structures, Proc. of 7th Internatonal Conference on Computer Methods In Mechancs, CMM-007, June 9, Łódź Spała 007, (CD-ROM), 8. [4] F o r y ś P., Nowy algorytm optymalzacj rojem cząste jego zastosowane w ształtowanu elementów onstrucj, praca dotorsa, Poltechna Kraowsa, 007,

12 4 [5] B o c h e n e B., F o r y ś P., Partcle swarms n engneerng desgn problems, C.A. Mota Soares et.al. (eds.), III European Conference on Computatonal Mechancs, Solds, Structures and Coupled Problems n Engneerng, Lsbon 5 8 June 006. [6] A r o r a J.S., Introducton to optmum desgn, McGraw Hll, New Yor 989. [7] H e S., P r e m p a n E., W u Q.H., An mproved partcle swarm optmser for mechancal desgn optmzaton problems, Eng. Opt. 36, 5, 004, [8] R a y T., L e w K.M., Socety and cvlzaton: An optmsaton algorthm based on the smulaton of socal behavour, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton 7, 4, 003, [9] C o e l l o C.A., Use of a self-adaptve penalty approach for engneerng optmzaton problems, Computers n Industry 4, 4, 000, 3-7. [0] Rao S.S., Xong Y., A hybrd genetc algorthm for mxed-dscrete desgn optmzaton, Journal of Mechancal Desgn, Trans. ASME, 7, 005, 00-. [] Bochene B., Foryś P., Structural optmzaton for post-buclng behavour usng partcle swarms, Struct Multdsc Optm. 3, 6, 006, 5-53.