WYDAJNOŚĆ MECHANIZMÓW MODUŁU PARALLEL COMPUTING TOOLBOX SYSTEMU MATLAB W ZRÓWNOLEGLONEJ REALIZACJI SYMULACJI RUCHU UKŁADÓW CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM

Transkrypt

1 STUDIA INFORMATICA 00 Volume 3 Number 4A (9) Darusz R. AUGUSTYN Poltechna Śląsa Instytut Informaty WYDAJNOŚĆ MECHANIZMÓW MODUŁU PARALLEL COMPUTING TOOLBOX SYSTEMU MATLAB W ZRÓWNOLEGLONEJ REALIZACJI SYMULACJI RUCHU UKŁADÓW CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM Streszczene. W pracy przedstawono zrównoleglone programy symulacj wyonane w systeme MATLAB pozwalające na lustrację wpływu warunów początowych na ruch cała leego w trójątnym uładze trzech cał cężch uzysane zboru torów złożonych uładów N-cał prezentacje trajetor ruchu woół stablnych puntów lbracj Lagrange a w ramach ogranczonego ołowego problemu trzech cał. Do mplementacj wyorzystano mechanzmy modułu Parallel Computng Toolbox m.n. tae ja: pętla zrównoleglona (parfor) omenda dzałająca zgodne z oncepcją jednoczesnego uruchamana tego samego odu programu dla welu danych (spmd) zadana wsadowe (jobs). Zastosowane metody zrównoleglena symulacj pozwolły na przyspeszene realzacj zadań modelowana ruchu uładów cał w polu grawtacyjnym uruchamanych na omputerach z procesoram welordzenowym. W pracy doonano porównana wydajnośc zaproponowanych programów symulacyjnych użytych mechanzmów zrównoleglana oblczeń. Słowa luczowe: symulacja ruchu uładów cał w polu grawtacyjnym programowane w systeme MATLAB Parallel Computng Toolbox programowane dla maszyn z procesoram welordzenowym efetywność salowalność zrównoleglonych programów symulacj EFFECTIVENESS OF MECHANISMS OF PARALLEL COMPUTING TOOLBOX FOR MATLAB USED IN SIMULATIONS OF BODIES SYSTEM S MOVEMENTS IN GRAVITATIONAL FIELD Summary. The paper descrbes parallelzed programs mplemented n MATLAB desgnated for smulatons of bodes movements n a gravtatonal feld. They allow to llustrate hyper-sensvty a weghtless body movement to ntal condtons n the trangular system of 3 heavy bodes. Programs generate orbts for complex N-body systems. They present trajectores near stable lbraton ponts (Lagrangan ponts) for

2 34 D. R. Augustyn the crcular restrcted three-body problem. Some mechansms of Parallel Computng Toolbox were used n smulaton program mplementatons e.g.: parallel FOR-loop (parfor) statement based on the concept sngle program multple data (spmd) and jobs/tass. Those methods of parallelzaton let speedup smulatons executed on machnes wth mult-core processors. The paper presents expermental results that show effectveness of proposed solutons and appled parallelzaton methods. Keywords: smulaton of movements of bodes systems n gravtatonal feld MATLAB programmng Parallel Computng Toolbox multcore-aware software effectveness and scalablty of parallel smulaton programs. Wstęp Pojawene sę omputerów z procesoram welordzenowym spowodowało neuchronny rozwój oprogramowana pozwalającego na wyorzystane mocy oblczenowej wynającej z taej archtetury. Pojawła też sę potrzeba środows wytwórczych umożlwających tworzene programów tórych zrównoleglone nezależne fragmenty mogłyby być wyonywane jednocześne na lu rdzenach procesora ang. multcore-aware software. Przyładem taego środowsa programowego jest system MATLAB wraz z modułem rozszerzającym Parallel Computng Toolbox [0]. Celem nnejszej pracy jest poazane środów programowych wynających z użyca Parallel Computng Toolbox prowadzących do tworzena zrównoleglonych wersj programów symulacyjnych dla systemu MALTAB. W artyule omówone będze zastosowane różnych mechanzmów zrównoleglena dostępnych dzę Parallel Computng Toolbox tach ja: pętla zrównoleglająca (parfor) bloowa omenda dzałająca wg modelu przetwarzana - jeden program wele danych (spmd) zadana wsadowe (jobs/ tass). Mechanzmy zrównoleglena użyte zostały do stworzena programów pozwalających na symulacje ruchu cał w polu grawtacyjnym dzałających efetywne na maszynach welordzenowych. Programy symulacyjne służą do poazana rozwązań lasycznych astronomcznych problemów z zaresu mechan neba. W artyule rozpatrywane są następujące trzy przyłady zadań modelowana ruchu: ) uzysane obrazu charateryzującego ruch czwartego cała leego w trójątnym uładze odnesena trzech cał cężch lustracja charaterysty wrażlwośc ruchu na zmanę warunów początowych ) problem N-cał badane ewolucj uładu złożonego z dużej lczby cał wzajemne oddzałujących ze sobą (ewolucja uładów typu galatya czy gromada gwazd) 3) ogranczony ołowy problem ruchu trzech cał uzysane rodzny orbt cała leego w uładze odnesena dwóch cał cężch prezentacja torów cała leego woół trójątnych puntów równowag.

3 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 35 W artyule omówono modele matematyczne opsujące ww. problemy co umożlwło mplementację programów symulacyjnych dla ażdego z trzech przyładów. W pracy rozważono sytuacje w tórych zadane główne daje sę lub ne daje sę podzelć na podzadana o jednaowej złożonośc (przyład jednaowa złożoność podzadań przyłady 3 podzadana z różną złożonoścą). Celem artyułu jest jaoścowa (względem rodzaju mechanzmu zrównoleglena) loścowa (względem lczby uruchomonych procesów worerów MATLABa względem lczby rdzen procesora) analza wydajnośc stworzonych rozwązań zrównoleglonych.. Analza wrażlwośc ruchu cała leego w nenercjalnym uładze odnesena trzech obracających sę cał cężch na zmanę warunów początowych.. Ops modelu cągłego uładu dynamcznego oncepcja programu symulacj Perwszy przyład analzowanego uładu cał dotyczy płasego ruchu cała leego w poblżu trzech obracających sę cał cężch. Ruch analzowany jest w nenercjalnym uładze odnesena w tórym cała cęże pozostają neruchome. Celem zadana jest uzysane portretu lustrującego wpływ warunów początowych na przebeg ruchu cała leego. Cała cęże umeszczone są w nenercjalnym uładze odnesena xy w werzchołach trójąta równobocznego (rys. a). W uładze nenercjalnym sła odśrodowa dzałająca na neruchome cało cęże A równoważona jest wypadową sł grawtacj wynających z oddzaływana z całam cężm (rys.a). Względem uładu nercjalnego uład cał cężch (oznaczonych przez A B C) obraca sę woół os przechodzącej przez środe uładu xy prostopadłej do płaszczyzny rysunu. W uładze nercjalnym uład cał cężch obraca sę zgodne z ruchem wsazówe zegara tzn. wetor prędośc ątowej jest zwrócony w erunu przecwnym do obserwatora. Znoma masa cała leego D ne wpływa na ruch cał cężch. W uładze nenercjanym na cało lee dzałają następujące sły (rys. b): sły przycągana grawtacyjnego wynające z oddzaływana z całam cężm sła odśrodowa sła Corolsa prostopadła do wetora prędośc.

4 36 D. R. Augustyn y y x x Rys.. Fg.. a) b) Rozmeszczene cał cężch: a) sły dzałające na neruchome cało cęże A w nenercjalnym uładze odnesena b) sły dzałające na poruszające sę cało lee D w nenercjalnym uładze odnesena Locaton of heavy bodes: a) forces actng on the non-movng heavy body A n the non-nertal reference frame b) forces actng on the movng weghtless body D n the non-nertal reference frame Rezultatem wyonana programu symulacj będze stworzene portretu wpływu warunów początowych (położena cała leego) na dalszy przebeg toru. Rozmary ulstych cał cężch są jednaowe (zadana wartość średncy d). Zadany jest masymalny czas symulacj pojedynczego esperymentu. Pojedynczy esperyment polega na numerycznym wyznaczanu toru cała D sprawdzenu czy mało mejsce jedno z pęcu ponżej wymenonych zdarzeń: ) cało lee D zderzyło sę z całem cężm A (lub zostało umeszczone wewnątrz ulstego cała A) ) cało lee D zderzyło sę z całem cężm B 3) cało lee D zderzyło sę z całem cężm C 4) cało lee D ne zderzyło sę z żadnym z cał cężch an ne opuścło otoczena uładu cał cężch czyl ne oddalło sę an razu powyżej zadanej odległośc (R) lczonej od początu uładu xy 5) cało lee D opuścło uład cał cężch tzn. oddalło sę co najmnej raz na odległość węszą nż R lcząc od początu uładu xy. Wynem dzałana programu symulacj jest wyonane obrazu (dla zadanej rozdzelczośc ponowej ResolX pozomej ResolY) lustrującego hstorę ruchu cała dla zadanych położeń cała leego w prostoątnym obszarze zanteresowana [XMn XMax YMn YMax]. Dla ażdego wybranego puntu z obszaru zanteresowana przeprowadzany jest pojedynczy esperyment po czym następuje lasyfacja toru do jednej z pęcu wymenonych ategor. W zależnośc od wystąpena oreślonego zdarzena punt obrazu (startowe położene cała

5 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 37 D) olorowany jest następująco: zdarzene ) olor czerwony ) nebes 3) zelony 4) żółty 5) czarny. Płas ruch cała leego może być scharateryzowany czterowymarowym wetorem stanu xx = [x D y D v Dx v Dy ] gdze x D y D to zmenne stanu oreślające położene a v Dx v Dy to zmenne stanu oreślające sładowe prędośc cała leego. Dynama ruchu opsana została równanam stanu [] równanam różnczowym rzędu perwszego gdze lewą stronę ażdego równana stanow pochodna zmennej stanu. Załadając że jest wypadową słą dzałająca na cało D orzystając z II zasady dynam Newtona można znaleźć wetor przyspeszena gdze m D masa cała leego. Stąd równana stanu mają następującą postać: x y v v D D Dx Dy v v Dx Dy F m F m Dx D Dy D Szczegóły dotyczące sposobu wyznaczana sły wypadowej () (suma wetorów: 3 sł grawtacj sły odśrodowej sły Corolsa) można znaleźć w pracy [5]. Sposób wyznaczana sły jest bardzo zblżony do sposobu wyznaczana sły wypadowej w uładze dotyczącym ogranczonego zagadnena ruchu trzech cał przedstawonym szczegółowo w rozdzale 3. Numeryczne uzysane rozwązana z wyorzystanem języa MATLAB wymaga utworzena M-funcj (wyznaczającej wartośc prawych stron równań stanu wg wzoru ()) o następującej sygnaturze: functon dxx = moved (t xx) gdze dxx wetor pochodnych zmennych stanu t salar czas chwlowa wartość zmennej nezależnej moved dowolne przyjęta nazwa M-funcj dotycząca omawanego przyładu. Znalezene numerycznego rozwązana wartośc zmennych stanu w dysretnych chwlach czasu odbywa sę przez scałowane prawych stron równań stanu za pomocą funcj całującej (ang. ODE solver Ordnary Dfferental Equatons solver) [4]. Postać wywołana funcj całującej jest następująca: [t xx] = ODEsolver (M-functon-rstate [T0 Tmax] xx0 opton) Na portalu zeszytów Studa Informatca: artyuł dostępny jest z rysunam w olorze.

6 38 D. R. Augustyn gdze: t wetor wartośc dysretnych chwl czasu xx macerz wartośc zmennych stanu w dysretnych chwlach czasu; lczba olumn jest równa lczbe zmennych stanu lczba werszy odpowada rozmarow wetora t ODEsolver nazwa funcj całującej MATLABa wynająca z przyjętej metody całowana; w omawanym rozwązanu przyjęto funcję ode45 opartą na RK45 (met. Rungego-Kutty-Dormand-Prnce metoda jednoroowa o zmennym rou całowana) M-functon-rstate nazwa M-funcj wyznaczającej wartośc pochodnych zmennych stanu; w omawanym rozwązanu jest to funcja moved T0 Tmax moment rozpoczęca zaończena całowana xx0 wetor wartośc początowych zmennych stanu (w chwl T0) opton opcje całowana; w szczególnośc błąd bezwzględny całowana (AbsTol) błąd względny (RelTol). Realzacja pojedynczego esperymentu (dla wybranego puntu startowego) sprowadza sę do wywołana funcj całowana równań stanu... Ops sewencyjnego programu symulacj Program symulacj tworzy prostoątny obraz będący charaterystyą ruchu cała leego dla zboru puntów startowych. Sewencyjny program symulacj (oznaczony nazwą seq) ma następującą postać: % Mapa olorów; czerwony zelony nebes czarny zółty w onwencj RGB colormap([ 0 0; 0 0; 0 0 ; 0 0 0; 0]); % Przedzały doładnośc w erunach obu os uładu dx = (XMax XMn)/ResolX; dy = (YMax YMn)/ResolY; tc % Począte pomaru czasu for =0:ResolX for j=0:resoly % Wyznaczene warunów początowych zmennych stanu: %[x0 y0] na podstawe j; [vx0 vy0] = [y0 x0]; x0 = XMn + *dx ; y0 = YMn + j*dy; vx0 = y0 ; vx0 = y0 ; vy0 = -x0; % Wyonane esperymentu: [t xx_result] = ode45 ('moved' [0 TMax] [x0 y0 vx0 vy0] opt); % Klasyfacja ruchu cała leego do jednej z 5-cu ategor % na podstawe wartośc położeń cała xx_result(:) xx_result(:) % przypsane odpowednego odu zdarzena do zmennej end_event: % upade na cało A (end_event = ) B (end_event=) lub C (end_event=4 % opuszczene sąsedztwa cał cężch (end_event =4) % żaden z powyższych 4 przypadów (end_event = 5). % Odnotowane odu zdarzena w elemence tablcy events_table: events_table(+j+) = end_event; end end toc % Konec pomaru czasu

7 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 39 % Utworzene obrazu - charaterysty ruchu cała leego mage([xmn XMax][YMn YMax] events_table); W ramach cała podwójne zagneżdżonej pętl następuje wyznaczene wartośc początowych zmennych stanu wyonane esperymentu (wywołane ode45) lasyfacja toru ruchu. Po opuszczenu obu pętl na podstawe tablcy odów zdarzeń (events_table) następuje utworzene wynowego obrazu (omenda mage). Samo tworzene wyśwetlane obrazu ne jest objęte pomarem czasu wyonana programu (występuje poza zaresem wyznaczonym przez omendy tc toc) ne jest brane pod uwagę w testach wydajnoścowych tórych wyn przedstawono w podrozdzale.5. Podobne postąpono w przypadu pomaru czasu zrównoleglonych wersj programów symulacj poazanych w podrozdzale.4. W poazanym przyładze przyjęto że początowo cało lee D spoczywa w uładze nercjalnym czyl posada pewną prędość początową w obracającym sę uładze nenercjalnym. Stąd też początowe wartośc wetora stanu w momence rozpoczęca esperymentu są następujące prędośc ątowej obrotu uładu nenercjalnego wynos. przyjmując że wartość.3. Wyn symulacj Symulację (tj. uruchomene programu sewencyjnego albo ażdego nnego zrównoleglonego opsanego w podrozdzale.4) wyonano dla następujących wartośc parametrów: parametry modelu: d = 0 R = 3 parametry esperymentu: metoda całowana = RK45 T Max = π AbsTol = 0-7 RelTol = 0-6 parametry programu symulacj: [XMn XMax YMn YMax] = [ ] ResolX = 00 ResolY = 00. Wyn symulacj poazane zostały na rys.. Punty startowe slasyfowane jednaowo (oznaczone tym samym olorem) nazywane są basenam (obszaram) przycągana. Neregularne ształty obszarów przycągana poazują szczególną wrażlwość położena początowego na późnejszą hstorę ruchu cała leego (w netórych rejonach newela zmana położena powoduje stotną zmanę w hstor ruchu cała). Oczywśce omówene tach chaotycznych zachowań prezentowanego uładu dynamcznego wyracza poza zares nnejszej pracy.

8 40 D. R. Augustyn Rys.. Charaterystya ruchu cała leego w nenercjalnym uładze odnesena z neruchomym całam cężm Fg.. The characterstc of movement of the weghtless body n the non-nertal reference frame where heavy bodes are motonless.4. Opsy zrównoleglonych wersj programów symulacj System MATLAB pozwala na wyorzystane mechanzmów programowych umożlwających efetywną welowątową realzację zadań symulacj z wyorzystanem możlwośc omputerów z procesoram welordzenowym. W czase realzacj programu sewencyjnego ne jest wyorzystywana pełna moc oblczenowa maszyny z procesorem welordzenowym. Załadając użyce maszyny n-rdzenowej wyorzystane procesora jest mnej węcej na pozome (odpowada to wyorzystanu jednego rdzena chocaż ne zawsze tego samego z powodu przełączana zadana pomędzy rdzenam). Odpowedne użyce mechanzmów zrównoleglających może sutować osągnęcem pełnego wyorzystana mocy oblczenowej a tym samym efetywnejszą realzację całego zadana. Na rys. 3 poazano wartośc parametru wyorzystana procesora w przypadu uruchomena programu sewencyjnego oraz uruchomena programu zrównoleglonego (użyce nstrucj parfor ja w podrozdzale.4.) przy zastosowanu procesora 8-rdzenowego. Oczywśce bezpośrednm celem zrównoleglana ne jest osągnęce 00% wyorzystana procesora tylo uzysane przyspeszena merzonego srócenem czasu realzacj. Wyorzystane jest tylo jednym z mernów sposobu zrównoleglena. Zastosowane mechanzmów zrównoleglających sutuje m.n. realzacją czynnośc zwązanych z synchronzacją wątów co powoduje że przyspeszene w stosunu do wersj sewencyjnej ne będze n-rotne ale nższe (nawet przy 00% wyorzystanu procesora).

9 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 4 Rys. 3. Sumulowane wyorzystane procesora oraz wyorzystane ażdego z rdzen podczas uruchomena: a) programu sewencyjnego b) zrównoleglonego Fg. 3. Aggregated processor utlzaton and utlzaton of each processor cores durng an executon of: a) the sequental program b) the parallel one Dzę zastosowanu modułu rozszerzającego Parallel Computng Toolbox [0] zadane symulacj ne jest realzowane w ramach pojedynczego procesu (ta ja ma to mejsce w przypadu warantu sewencyjnego). W zależnośc od przyjętej onfguracj uruchamane są dodatowe procesy zwane woreram lub labam. Zadane symulacj może zostać podzelone na podzadana za pomocą jednego z opsanych nżej mechanzmów. Podzadana są rozdystrybuowywane pomędzy procesy worerów. Masymalną lczbę dostępnych worerów użytown może ustawć z pozomu menu głównego programu MATLAB (opcja: Parallel/Confguraton Manager/wybór onfguracj typu local/ załada Schedule/ pole Number of worers avalable to Schedule). Nestety prawdopodobne względy omercyjne spowodowały że lczba ta ne może przeraczać czterech dla starszego systemu MATLAB 007B MATLAB Dstrbuted Computng Engne 3. oraz ośmu dla MATLAB 009B Parallel Computng Toolbox 4.. To ostatne ogranczene (dla nowszej wersj systemu MATLAB) unemożlwa efetywne pełne zrównoleglene programów uruchamanych na loalnym omputerze wyposażonym w procesor z lczbą rdzen powyżej ośmu. Uruchomene pul worerów (powołane nw procesów) odbywa sę za pomocą omendy: matlabpool open local nw; gdze local jest nazwą onfguracj a nw jest lczbą uruchamanych worerów 3 (co najwyżej równą masymalnej zadelarowanej lczbe worerów dla onfguracj local). Zaończene pul procesów worerów odbywa se przez wyonane omendy: 3 Wyonane omendy spowoduje uruchomene nw procesów worerów nezależne od dzałającego głównego procesu MATLABa zwanego procesem lenta.

10 4 D. R. Augustyn matlabpool close;.4.. Proste zrównoleglene zewnętrznej pętl z użycem nstrucj parfor Perwsza zrównoleglona wersja programu symulacj wyna z zastosowana zrównoleglena w stosunu do zewnętrznej pętl (użyce omendy parfor). W zwązu z tym rozwązane oznaczone zostało jao par_for_outer. Kod programu ma następującą postać: %... parfor ( = : ResolX+) local_events_vect = zeros( ResolY+); for j = : ResolY+ %... [t xx_result] = ode45 ('moved' [0 TMax] [x0 y0 vx0 vy0] opt); %... % Odnotowane odu zdarzena w elemence zmennej typu slced output % o nazwe local_events_vect: local_events_vect(j) = end_event; end % Utrwalene wetora w werszu zmennej events_table events_table(:) = local_events_vect; end %... gdze elementy odu tożsame z rozwązanem sewencyjnym oznaczono zaomentowanym symbolem weloropa - %...) Dla ażdej wartośc cało pętl (w tym w całośc pętla wewnętrzna po j) wyonywane jest w nezależnym podzadanu. Podzadana rozdystrybuowane są pomędzy wszyste uruchomone wcześnej procesy worerów. Każde podzadane wyonywane jest nezależne a olejność realzacj teracj zewnętrznej pętl dla poszczególnych wartośc ne jest zdetermnowana. Koncepcja wyorzystana parfor załada wprowadzene pewnych rodzajów zmennych sutuje pewnym ogranczenam ch stosowana co szczegółowo opsane zostało w [6] w secj Classfcaton of Varables. Dostosowane sę do tych wymogów spowodowało użyce zmennej local_events_vect - zmennej typu warstwowego (ang. slced varable) podzelonej na segmenty (warstwy) tóre mogą być przetwarzane nezależne przez uruchomone worery..4.. Podzał zadana symulacj z doładnoścą do lczby worerów z wyorzystanem nstrucj pętl zrównoleglającej parfor Innym warantem zastosowana zrównoleglonej pętl parfor jest użyce tej onstrucj do podzału zadana symulacj według lczby uruchomonych worerów (zewnętrzna pętla terowana po numerze worera). W zwązu z tym rozwązane oznaczone zostało jao par_for_wores. Przy tam podejścu uzysuje sę mnejszą (w stosunu do par_for_outer) granulację podzału zadana symulacj (przy oczywstym założenu że rozdzelczość ResolX

11 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 43 jest węsza od lczby worerów). Odpowedn od programu symulacj ma następującą postać: %... % Pobrane lczby atualne uruchomonych procesów worerów totalworers = matlabpool ('sze'); parfor (nworer = : totalworers) % Wyznaczene zaresu werszy events_table dla beżącego podzadana % wynający z beżącego numeru worera. % Załada sę możlwe równy podzał tablcy dla poszczególnych worerów r = ResolX+ ; nlo = floor((r * (nworer -))/ totalworers +) ; nh = floor((r * (nworer))/ totalworers) ; % Zerowane loalnej (dla beżącego worera) tablcy odów zdarzeń events_table = zeros(resolx+ ResolY+); for = nlo:nh for j=:resoly+ %... [t xx_result] = ode45 ('moved' [0 TMax] [x0 y0 vx0 vy0] opt); %... % Odnotowane odu zdarzena w elemence (j) tablcy events_table % ale dla ndesu jedyne w zarese od nlo do nh: events_table(j) = end_event; end end % Umeszczene wynów w trójwymarowej tablcy % perwszy wymar ndesowany beżącym numerem worera worer_events_table(nworer:)= events_table; end % parfor % Scalane wynów wypracowanych przez poszczególne worery all_worers_events_table(::) = worer_events_table (::); for nworer = :totalworers temp (::) = worer_events_table (nworer ::); all_worers_events_table = all_worers_events_table + temp ; end % Tworzene obrazu mage([xmn XMax][YMn YMax] all_worers_events_table);.4.3. Wyorzystane omendy spmd z zastosowanem ponowego podzału macerzy danych pomędzy worery W systeme MATLAB 009B z rozszerzenem Parallel Computng Toolbox 4. dostępny jest mechanzm zrównoleglena oparty na oncepcj przetwarzana jeden program wele danych (ang. sngle program multple data). W celu jego użyca należy posłużyć sę struturalną omendą spmd defnującą blo cągu nstrucj tóry może być przetwarzany równolegle [7]. Suteczne wyorzystane spmd wymaga odpowednego przygotowana danych sorzystana z mechanzmu partycjonowana macerzy [9]. Użyce tego mechanzmu wyorzystane tzw. tablc rozproszonych (ang. dstrbuted table) zostane zlustrowane przez zastosowane omendy pmode [8] (ang. nteractve parallel executon mode). Uruchomene pmode otwera onsolę Parallel Command Wndow. Przez tę onsolę można wydawać polecena

12 44 D. R. Augustyn jednoczesnego wyonana jednej omendy dla welu worerów obserwować ch nezależne dzałana w oddzelnych onach. Ponżej poazano przyładową sewencję nstrucj w ramach sesj z onsolą programu MATLAB: % Przebeg sesj w głównej onsol MATLABa (program lenta) % Utworzene macerzy o rozmarze 4x7 A = [:7; :7; :7; :7] % Uruchomene nteratywnego równoległego trybu pracy z automatycznym % wystartowanem 4 worerów - labów (zgodne z onfguracją 'local') pmode start local 4 % Przesłane z przestrzen lenta do ażdego z czterech worerów % op macerzy A pmode clentlab A :4 % Przejśce do ona Parallel Command Wndow oraz sesj z onsolą Parallel Command Wndow: % Przebeg sesj w onsol w nteratywnym równoległym trybe pracy % Utworzene zmennej opsującej podzeloną (rozdystrybuowaną) macerz A. % Zastosowano domyślny sposób dystrybucj. % Podzał macerzy wg. wymaru tzn. olumn % Przydzelona możlwe jednaowa lczba olumn dla ażdego worera. AA = codstrbuted (A) % Pobrane (utworzene) loalnej partycj macerzy w ażdym worerze AL = getlocalpart (AA) % wyśwetlene numeru beżącego worera labndex % Operacja potęgowana ażdego elementu tablcy wyonana równolegle % w ażdym worerze (możlwe że jednocześne) AL = AL.^ % Uzysane zmennej opsującej podzał (dystrybucję) macerzy AA % - pobrane uchwytu dystrybutora macerzy AA d = getcodstrbutor(aa) % Wyśwetlene wymaru wg tórego nastąpł podzał macerzy d.dmenson % ans = - drug wymar macerzy (olumny) % Wyśwetlene welośc podzałów dla ażdego z worerów % (po le olumn olejno na ażdy z czterech worerów) d.partton % ans = [ ] - podzał 7 olumn macerzy A na 4 worery % Konsoldacja loalnych macerzy AL na podstawe uchwytu dystrybutora AA = codstrbuted.buld(al d) % Budowa dwuwymarowej wynowej macerzy (w przestrzen roboczej ażdego % worera) zawerającej dane z ażdej dwuwymarowej macerzy loalnej AL AResult = gather (AA) % Przesłane macerzy wynowej z przestrzen roboczej dowolnego worera % (tutaj z worera numer ) do przestrzen roboczej lenta pmode labclent AResult % Zaończene sesj PMODE ext Dzałana te prowadzą do zrównoleglonej operacj podnoszena do wadratu elementów macerzy A: macerz A zdefnowana w programe głównym (proces lenta) zostaje rozdystrybuowana pomędzy worery wyonane zostają operacje na loalnych fragmentach macerzy (macerze AL) w ramach ażdego z czterech uruchomonych worerów następuje scalene fragmentów (utworzene macerzy AResult) przesłane do lenta.

13 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 45 Rysune 4 poazuje wdo onsol Parallel Command Wndow w trace realzacj nstrucj przedstawonych na ostatnm lstngu. Rys. 4. Przyładowa sesja pmode praca w nteratywnym trybe równoległej realzacj omend Fg. 4. Example of a pmode sesson worng n the nteractve parallel executon mode Program realzujący zrównolegloną symulację ruchu w polu grawtacyjnym z użycem omendy spmd ma następującą postać: %... % globalna tablca odów zdarzeń utworzona w ramach programu głównego: full_events_table = zeros (ResolX+ ResolY+); spmd % Dystrybucja tablcy odów zdarzeń dst_events_table = codstrbuted (full_events_table); % Uzysane loalnej (dla danego worera) tablcy odów zdarzeń local_events_table = getlocalpart (dst_events_table); % Pobrane rozmarów (lczba werszy olumn) loalnej tablc odów zdarzeń sz = sze (local_events_table); rows = sz(); cols = sz(); % Uzysane uchwytu do obetu dystrybutora macerzy d = getcodstrbutor(dst_events_table); % Uzysane wetora podzału olumn tablcy full_events_table % przydzelonych do olejnych worerów Parttons = d.partton; % Wyznaczene przesunęca (offsetu) w globalnej tablcy odów zdarzeń % dla beżącego worera (labndex numer beżącego worera) f labndex == ofs =0; else ofs = sum (Parttons(:labndex-));

14 46 D. R. Augustyn end % Przetwarzane loalnej tablcy odów zdarzeń o rozmarze rows x cols for = 0:rows- for j= 0:cols- % Wyznaczene warunów początowych: % [x0 y0] na podstawe j oraz ofs dla danego worera x0 = XMn + *dx ; y0 = YMn + (j + ofs)*dy; %... [t xx_result] = ode45 ('moved' [0 TMax] [x0 y0 vx0 vy0] opt); %... % Odnotowane odu zdarzena w elemence loalnej tablcy odów zdarzeń local_events_table(+j+) = end_event; end end % Scalane wynów wypracowanych przez poszczególne worery % (z uwzględnenem obetu dystrybutora d) full_events_table = codstrbuted.buld(local_events_table d); end % spmd % Tworzene obrazu mage([xmn XMax][YMn YMax] full_events_table); Obsługa tablcy odów zdarzeń (full_events_table) rozdzelona została pomędzy worery za pomocą domyślnego sposobu dystrybucj macerzy (najprostsze użyce funcj codstrbuted [9]). W zwązu z tym omawane rozwązane oznaczono jao spmd_codstr. Ta sposób dystrybucj prowadz do ponowego (olumnowego) podzału macerzy pomędzy worery Wyorzystane omendy spmd z zastosowanem losowej dystrybucj elementów macerzy danych pomędzy worery W poprzednm podrozdzale zastosowano rozwązane problemu z użycem omendy spmd z domyślnym olumnowym podzałem pomędzy worery obszaru puntów startowych (domyślna dystrybucja tablcy odów zdarzeń). Tablca odów zdarzeń została podzelona na spójne prostoątne obszary. Podzał ta jest netrudny w realzacj ale może ne zapewnać zrównoważena obcążena worerów borąc pod uwagę że złożoność oblczeń jest różna dla ażdego puntu startowego. Złożoność procesu całowana równań stanu może być znacząco różna dla poszczególnych puntów startowych. Złożoność esperymentów merzona lczbą wywołań równań stanu w zależnośc od puntu startowego została poazana w [5] rys. 5. Można łatwo zauważyć że obsługę obszarów charateryzujących sę stotne węszą złożonoścą należałoby równomerne rozdzelć pomędzy worery. Statystyczne lepsze zrównoważene obcążena można uzysać przez zastosowane losowego przydzału poszczególnych puntów startowych do worerów. Kod źródłowy programu opartego na tam założenu oznaczonego przez spmd_monte_carlo został poazany ponżej: %... % Pobrane lczby atualne uruchomonych procesów worerów totalworers = matlabpool ('sze');

15 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 47 % Utworzene wstępnej zawartośc tablcy odów zdarzeń. % Przypsane ażdemu elementow tablcy losowo wygenerowanego numeru worera % Incjalne do ażdego elementu wpsywana są ujemna lczba oznaczająca % ujemny numer worera tóry ma przetworzyć beżący punt startowy. % Po przetworzenu w elemence będze wartość neujemna ze zboru {0...5} % oreślająca albo dodatn od zdarzena dotyczącego hstor ruchu cała % leego albo wartość 0 oznaczająca fat że element celowo ne został % przetworzony przez beżący worer. events_table = -(floor(rand (ResolX+ ResolY+) * totalworers) +); spmd for = 0:ResolX for j= 0:ResolY % Każdy z worerów posada własną opę tablcy events_table. % (events_table staje sę obetem typu slced varable) f events_table (+j+) == -labndex % Wyryce że beżący element (j) ma być przetwarzany % przez beżący worer %... [t xx_result] = ode45 ('moved' [0 TMax] [x0 y0 vx0 vy0] opt); %... % Odnotowane odu zdarzena w elemence tablcy odów zdarzeń. % Odnotowane odów zdarzeń ma mejsce tylo dla wybranych % elementów tablcy events_table % (zgodne z ncjalnym losowym rozładem). events_table(+j+) = end_event; else % Wyryce że beżący element (j) NIE ma być przetwarzany % przez beżący worer (przypsane zera) events_table(+j+) = 0; end % f end end end % spmd % Pobrane lczby warstw dla obetu events_table % (events_table tratowana jao zmenna slced varable). % Lczba warstw jest równa lczbe worerów. nslces = length (events_table); % Scalane wynów na podstawe sumy loalnych op events_table % wypracowanych przez worery. % Dostęp do loalnej op events_table poprzez odnesene do warstwy obetu % z wyorzystanem onstrucj {} ndesującej zmenne typu cell array result_events_table = zeros (ResolX+ ResolY+); for =:nslces result_events_table = result_events_table + events_table{}; end % Tworzene obrazu mage([xmn XMax][YMn YMax] result_events_table); W omawanym rozwązanu ncjalne dla ażdego elementu tablcy odów zdarzeń (events_table) została wylosowana lczba pseudolosowa (rozład dysretny równomerny) z przedzału od do masymalnej lczby uruchomonych worerów. Do elementu tablcy wpsywana jest lczba ze znaem mnus oreślająca numer worera tóry ma przetworzyć dany punt startowy. W ramach realzacj spmd ażdy z worerów przetwarzając swoją loalną opę tablcy puntów startowych czyl loalną tablcę odów zdarzeń (events_table)

16 48 D. R. Augustyn albo wyonuje esperyment ustawa od zdarzena (przetwarzane puntu) albo tylo wpsuje 0 (punt ma być przetworzony przez nny worer). Loalne ope (tablce typu slced varable) są ostateczne scalane w ramach result_events_table..5. Rezultaty esperymentów nterpretacja wynów porównane efetywnośc zastosowanych zrównoleglonych rozwązań Testy wydajnoścowe przeprowadzono dla różnych onfguracj sprzętowych tzn. z użycem omputerów z procesoram rdzenowym tórych specyfację poazano w tabel. Tabela Parametry technczne onfguracj testowych Nr 3 Procesor Intel Pentum D Intel Core Quad Q6600 Intel Xeon E540 Lczba rdzen (częstotlwość tatowana) (3.40 GHz) 4 (.40 GHz) x 4 (.50 GHz) (dwa procesory czterordzenowe) Pamęc RAM GB GB 8 GB W omówonych rozwązanach zrównoleglonych wyorzystujących omendy parfor albo spmd zastosowano różne metody podzału tablcy odów zdarzeń (podzał obszaru puntów startowych) pomędzy worery. Sposoby podzału przyładowej tablcy o rozmarze 9 9 dla onfguracj w tórej użyto worery przedstawono na rys. 5. W rozwązanu par_for_outer poneważ zrównoleglenu poddana jest zewnętrzna pętla następuje losowy przydzał worera do pojedynczego wersza tablcy odów zdarzeń. W par_for_worers następuje przydzał całej grupy werszy (program doonuje podzału ta by lczby werszy w grupe werszy były możlwe równe). W spmd_codstr następuje olumnowy podzał tablcy na możlwe równe prostoątne obszary (grupy olumn) przydzał tych obszarów do onretnych worerów. W spmd_monte_carlo następuje losowy przydzał pojedynczych elementów tablcy do worerów (najwęsza granulacja podzału). Sposób przydzału elementów tablcy odów do worerów ma stotny wpływ na wydajność danego rozwązana.

17 par_for_outer par_for_worers spmd_codstr spmd_monte_carlo Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 49 par_for_outer par_for_worers spmd_codstr spmd_monte_carlo Rys. 5. Metody przydzału elementów tablcy odów zdarzeń do worerów dla onfguracj z dwoma woreram Fg. 5. Methods of dstrbuton of events table elements between worers for a confguraton wth two worers Wyn wydajnoścowe symulacj zaprezentowane zostały w tablcy. Kolumny 4-7 przedstawają wartośc przyspeszeń (uśrednony stosune czasu wyonana symulacj w wersj sewencyjnej rozwązana (seq) do czasu wyonana wersj zrównoleglonej). Tabela Przyspeszene wersj zrównoleglonych w stosunu do sewencyjnej wersj programu symulacj w zależnośc od lczby rdzen procesora oraz lczby uruchomonych worerów Przyspeszene Lczba rdzen procesora Lczba worerów Średne wyorzystane procesora [%]

18 50 D. R. Augustyn Zapewnene efetywnośc rozwązana wymaga żeby lczba worerów była co najmnej równa lczbe rdzen. Wtedy wyorzystane procesora jest rzędu 00% (w nnych wypadach jest stotne mnejsze bo netóre rdzene procesora ne borą udzału w przetwarzanu). Zatem tylo tae najwydajnejsze onfguracje będą brane pod uwagę w dalszych rozważanach (wersze tabel zaznaczone olorem szarym). Wbrew oczewanom najefetywnejszym ne oazały sę onfguracje w tórych lczba worerów jest doładne równa lczbe rdzen. Na ogół można stwerdzć że węsza lczba worerów wpływa orzystnej na wydajność. Przy małej lczbe worerów ne następuje nadmerne przełączane wątów oraz mnejsze jest zużyce pamęc operacyjnej (przypadającej na ażdy proces worera). Mała lczba worerów dopasowana do lczby rdzen może sę sprawdzać w symulacjach w tórych przydzelane worerom podzadana mają bardzo zblżoną złożoność. Jeśl jedna ta ne jest (tzn. występuje zróżncowane złożonośc podzadań ja w omawanym przyładze) to węsza lczba worerów może pośredno doprowadzć do lepszego zrównoważena oblczeń. Dla omawanego problemu modelowna ruchu cał w węszośc rozwązań (par_for_outer par_for_worers spmd_monte_carlo) najlepsze lub blse najlepszemu wyn uzysuje sę dla masymalnej dopuszczalnej lczby worerów tzn. 8. Rozwązana z użycem pętl zrównoleglającej parfor par_for_outer par_for_worers mają porównywalną wydajność. par_for_outer jest lepej zrównoważone ale generuje dużo podzadań. par_for_worers może być ścśle dopasowane do lczby rdzen ale nelczne podzadana mogą różnć sę złożonoścą co sutuje gorszym zrównoważenem obcążena worerów. Wraz ze wzrostem lczby worerów wydajność obu rozwązań jest coraz bardzej zblżona (wzrost lczby worerów generuje węszą lczbę podzadań dla par_for_worers a tym samym upodabna to rozwązane do rozwązane par_for_outer). Poneważ różnce w wydajnośc par_for_outer par_for_worers są newele (mnejsze nż 0%) węc borąc pod uwagę prostotę par_for_outer należy uznać je za rozwązane optymalne przy uwzględnenu dwóch ryterów uzysanego przyspeszena naładu pracy zwązanego ze zrównoleglającą modyfacją odu źródłowego (lczba zman odu w stosunu do rozwązana seq). Z rozwązań opartych na omendze spmd zdecydowane efetywnejsze jest rozwązane spmd_monte_carlo oparte na przypadowej dystrybucj poszczególnych danych dla worerów. Tae podejśce sutuje statyczne najlepszym zrównoważenem obcążena worerów (asymptotyczne równe zrównoważene worerów dla bardzo dużych rozdzelczośc obrazu charaterysty ruchu). Na podstawe tabel (olumna 7 wersze 3 6 9) można stwerdzć że rozwązane spmd_monte_carlo jest najwydajnejsze z wszystch omawanych (nezależne od onfguracj).

19 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 5 Salowalność rozumana tutaj jao wartość przyspeszena w funcj lczby rdzen nawet dla najwydajnejszych rozwązań dalea jest od lnowej. Wyn dla 4 rdzen można uznać za zadowalające. Wyn dla 8 rdzen raczej ne przyspeszene zblżone jest do onfguracj dla 4 rdzen (newele węsze od 4). Taa charaterystya salowalnośc wyna ne tylo z wewnętrznych mechanzmów MATLABa ale równeż ze specyf samego programu symulacj tóry tylo w częśc daje sę dobrze zrównoleglć. Korzystając z prawa Amdahla [0 ] można wyznaczyć część szeregową część równoległą (w sense czasu przetwarzana) ta ja w pracy [5] estrapolować wartośc przyspeszena na maszyny o węszej lczbe rdzen. Jedna na raze obowązujące ogranczene do 8 worerów podważa (chwlowo) sens tach rozważań. 3. Problem N-cał ewolucja złożonych uładów cał w polu grawtacyjnym Symulacje problemu N-cał (ang. N-body problem) mają stotne znaczne w badanach nad zachowanem złożonych uładów lcznych cał lub cząste. Mają zastosowane w astrofzyce (oddzaływane grawtacyjne) fzyce cząsteczowej (sły eletrostatyczne) czy grafce omputerowej (tzw. metoda energetyczna do wyznaczena globalnego rozładu ośwetlena scen trójwymarowych ang. radosty). W ramach nnejszej pracy zbadano ruch złożonych uładów cał w polu grawtacyjnym w przestrzen trójwymarowej. Celem jest obserwacja ewolucj uładów cał tach ja galaty czy otwarte lub ulste gromady gwazd. W rozwązanu przyjęto najprostszy sposób realzacj załadając wyznaczane oddzaływana ażdego cała z ażdym nnym. Tae podejśce (zwane all-pared) ma złożoność rzędu O(N ) gdze N oznacza lczbę cał uładu (tzn. aby oreślć ruch pojedynczego cała należy wyznaczyć wypadową słę wynającą z oddzaływana z pozostałym N całam czyl w sume należy wyonać wylczene sły grawtacj razy). Istneją nne podejśca wyorzystujące przyblżone wartośc sł grawtacj ale o znaczne lepszej złożonośc rzędu O(N logn) np. rozwązane oparte na herarchcznym podzale trójwymarowej przestrzen z użycem drzew ósemowych (metoda BH-tree [ 3]). 3.. Ops modelu cągłego uładu dynamcznego oncepcja programu symulacj Ruch dowolne wybranego z uładu -tego cała o mase m można opsać za pomocą 6-cu zmennych stanu tj.: x y z sładowych położena w przestrzen trójwymarowej oraz v x v y v z sładowych wetora prędośc cała. Przyspeszene cała -tego można

20 5 D. R. Augustyn wyznaczyć na podstawe II zasady dynam Newtona tj. gdze jest wetorem sły wypadowej uwzględnającej przycągane pozostałych N cał. Załadając znajomość wartośc zmennych stanu cała -tego w chwl t można wyznaczyć ch przyblżone wartośc w następnej chwl t + następująco: dt t t () dt v v v z y x z y x z y x (3) dt F F F m v v v v v v z y x z y x z y x (4) gdze dt jest przyjętym wantem czasu (determnującym doładność symulacj) a jest słą wypadową dzałającą na cało -te w chwl t. Wzory 3 4 wynają z przyjętego sposobu przyblżonego wyznaczana przyspeszena cała jego prędośc jao odpowednch lorazów różncowych 4 : dt v v a dt r r v. (5) Słę oddzaływana pomędzy wybranym -tym całem a dowolnym nnym j-tym można wyrazć następującym wzorem (zgodne z prawem grawtacj Newtona): j j j j j z y x j z z y y x x r m m G F F F F 3 (6) ) ( ) ( ) ( j j j j z z y y x x r (7) gdze r j oznacza odległość pomędzy całam. Słę wypadową dla -tego cała można wyznaczyć przez sumę wszystch sł grawtacj: N j j F F j. (8) Załada sę że rozmary wszystch cał są zanedbywalne wszele zderzena cał mają charater zderzeń sprężystych. 4 Tae podejśce jest równoważne zastosowanu najprostszej z jednoroowych metod całowana równań stanu ze stałym roem całowana (metoda Eulera) [].

21 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB Ops sewencyjnego programu symulacj Program symulacj (oznaczony symbolem seq) wyznacza prezentuje tory ruchu poszczególnych cał wchodzących w sład uładu cał. Celem symulacj jest poazane ewolucj uładu (uładów) cał w zadanym orese czasu. Najbardzej czasochłonnym elementem wyonana programu jest wyznaczene sły wypadowej dla ażdego cała. Należy zauważyć że ten fragment programu ma jednaową złożoność nezależne od wyboru cała. Program obsługuje macerz cał bodes reprezentującą stan uładu w danej chwl. Macerz ma rozmar N 7. -ty wersz macerzy reprezentuje -te cało. Perwsza olumna reprezentuje masy cał. Następne trzy olumny to sładowe położena. Ostatne trzy olumny to sładowe prędośc. Zgodne ze wzoram -8 program wyznacza macerze (nowe wartośc w olumnach -7) w olejnych chwlach czasu różnących sę o wartość dt. Program doonuje równeż prezentacj położeń cał: początowych pośrednch (w chwlach będących małym welorotnoścam dt) ońcowych. Dla pojedynczego rou algorytmu (rou zwązanego z przesunęcem czasu o want dt) jego czasochłonność w funcj N można oreślć jao an + bn + c gdze: sładn an dotyczy częśc algorytmu wyznaczającej sły dla wszystch cał (oddzaływane ażdy z ażdym) sładn bn dotyczy główne czasochłonnośc wyśwetlana położeń N cał a b c to pewne dodatne stałe. Ta wadratowa zależność opsująca czasochłonność realzacj zostane wyorzystana w podrozdzale Wyn symulacj W ramach pracy przeprowadzono symulację ewolucj małych elptycznych galaty sładających sę z N jednaowych cał gdze N = Przyładowy ncjalny rozład położeń prędośc cał dla N = 00 został poazany na rys. 6.

22 54 D. R. Augustyn a) b) Rys. 6. Początowy rozład położena prędośc cał uładu: a) wdo trójwymarowy b) rzut na płaszczyznę xy startowych położeń prędośc cał Fg. 6. Intal locatons and veloctes of bodes: a) a 3D vew b) a xy vew of startup locatons and veloctes of bodes W wynu symulacj po upływe 0000 jednoste czasu (z przyjętym wantem czasu 0.00) uzysano obraz uładu zaprezentowany na rys. 7. Z rys. 7b można zauważyć że netóre cała opuścły umowne otoczene uładu (wylecały daleo poza obszar prostopadłoścanu o rawędzach welośc rzędu 0 ). Jedna węszość cał ontynuuje ruch w ramach uładu elptycznego rys. 7a (tzn. znajduje sę nadal w blsm sąsedztwe środa uładu galaty) a) b) Rys. 7. Wyn symulacj położena początowe cał (czerwone oła) tor (czarne rop tworzące lne) położene ońcowe (nebese gwazd): a) obraz ruchu w poblżu środa uładu b) ucecza netórych cał z sąsedztwa galaty Fg. 7. Smulaton results ntal locatons of bodes (red crcles) trajectores (blac dots creatng lnes) fnal locatons (blue asterss): a) bodes movements near the center of the system b) escapng of some bodes from the galaxy

23 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB Ops zrównoleglonej wersj programu symulacj z użycem omendy parfor Zrównoleglona wersja programu symulacj ruchu uładu N-cał (oznaczona przez par_for) oparta jest na omendze parfor. Zrównoleglenu podlega część odu wyznaczająca nowe wartośc sładowych położena prędośc (wzory -8). Wyznaczene nowych wartośc zmennych stanu (w olejnej chwl czasu) dla pojedynczego cała z -tego wersza macerzy bodes (polegające na uwzględnenu wszystch nnych werszy macerzy bodes w celu wyznaczena sładowych wypadowej sły dzałającej na cało -te) stanow pojedynczą terację zrównoleglonej pętl. Operacja wyznaczana nowych wartośc zmennych stanu łatwo poddaje sę zrównoleglenu poneważ słę wypadową dla ażdego z cał można wyznaczać nezależene (przez różne worery). Zrównoleglona została część algorytmu symulacj tórej złożoność jest rzędu O(N ). Po ażdym (zrównoleglonym) wyznaczanu nowego stanu całego uładu w olejnej chwl czasu (nowe wartośc położeń prędośc wszystch cał) może nastąpć wyśwetlene (nezrównoleglone) atualnych położeń. Złożoność tej nezrównoleglonej częśc programu jest rzędu O(N) Rezultaty esperymentów nterpretacja wynów ocena efetywnośc rozwązana zrównoleglonego Wyn przyspeszena zrównoleglonego programu symulacj ruchu uładu N-cał w stosunu do sewencyjnego w zależnośc od lczby worerów (lczby worerów rdzen są równe) przedstawono w tabel 3. Borąc pod uwagę że podzadana mają jednaową złożoność (wyznaczene sły wypadowej dla ażdego cała) zastosowano onfgurację w tórej lczba rdzen była równa lczbe worerów zgodne z oczewanam uruchamane dodatowych worerów przy podzadanach o bardzo zblżonej złożonośc ne poprawało stotne efetywnośc rozwązana. Tabela 3 Przyspeszene zrównoleglonej wersj programu symulacj problemu N-cał w stosunu do sewencyjnej Lczba rodzen Lczba cał lczba worerów Przyspeszene par_for względem seq Wraz ze wzrostem N najbardzej czasochłonna staje sę realzacja fragmentu programu o złożonośc rzędu O(N ) zwązanego z wyznaczanem sł wypadowych dla wszystch cał (fragment podlegający zrównoleglenu). Inne fragmenty programu o nższym rzędze złożo-

24 56 D. R. Augustyn nośc przestają być stotne stąd następuje nasycene charaterysty współczynna przyspeszena dla dużych wartośc N. Tae asymptotyczne nasycene można łatwo uzasadnć. Przyjmując czasochłonność częśc mogącej podlegać zrównoleglenu jao: a p N b N c (9) p p czasochłonność częśc zawsze sewencyjnej jao: a N s b N c (0) s s gdze a p b p c p a s b s c s są pewnym dodatnm stałym można oreślć współczynn przyspeszena wersj zrównoleglonej względem sewencyjnej dla n worerów jao: () czyl: a N b N c a N b N c p p p s s s ( N n). () a pn bpn cp asn bs N cs n Wartośc stałych oraz nterpretacja znaczena stałych ne będą ważne z puntu wdzena dalszych rozważań ale oczywśce w śwetle wcześnejszego opsu algorytmu (w poprzednm aapce) stotne są a p (dotyczy wyznaczana sł wypadowych) b s (dotyczy wyśwetlana położeń cał). Korzystając ze wzoru dla bardzo dużych N można znaleźć asymptotyczne ogranczene (n) jao: a p s ( n) lm ( N n) (3) N a p as n tórego wartość jest stała dla danego n. a Poneważ dalszy wzrost wartośc współczynna przyspeszena ze wzrostem N jest newel (tzn. dla różnca przyspeszeń wynos ponżej 0) ne podano wynów symulacj dla N powyżej 0000 przyjęto że wartośc uzysane w ostatnej olumne tabel 3 są wystarczająco blse wartośc nasycena (patrz wzór 3). Wyn esperymentów poazują (ostatne olumna w tabel 3) że podobne ja w przypadu zagadnena opsywanego w rozdzale wyorzystane programu zrównoleglonego na omputerze z czterema rdzenam jest orzystne (przyspeszene powyżej 3) ale dla ośmu rdzen jest mało zadowalające (chocaż neco orzystnejsze nż w przyładze opsywanym w rozdzale ).

25 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB Ogranczone ołowe zagadnene ruchu trzech cał uzysane torów ruchu cała leego Klasycznym zagadnenem znanym z astronom dotyczącym dynam ruchu cał jest tzw. ogranczony ołowy problem trzech cał (ang. CRTB problem crcular restrcted three-body problem) [3 4]. W ramach tego problemu rozpatrywany jest płas ruch cała leego (neważego) w neruchomym nenercjalnym uładze dwóch różnych cał cężch poazany na rys. 8a. Względem dowolnego uładu nercjalnego nenercjalny uład odnesena obraca sę przecwne do erunu wsazówe zegara a oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzny rysunu przechodz przez środe masy uładu cał o masach M M (stały wetor prędośc ątowej jest serowany do obserwatora). Załada sę że M > M. y L 4 y F G m r M M CM x v F cor F od F G M M L 3 CM L L x L 5 a) b) Rys. 8. Położena dwóch cał cężch w neruchomym nenercjalnym uładze odnesena: a) lustracja wetorów sł wetora prędośc lnowej cała leego b) położena puntów równowag L ~L 5 w uładze nenercjalnym Fg. 8. Locatons of two heavy bodes n a motonless non-nertal referental frame: a) llustraton of forces vectors and velocty vector of a weghtless body b) locatons of lbraton ponts L ~L 5 n the non-nertal referental frame W uładze nenercjalnym na cało lee o mase m dzałają następujące sły (rys. 8a): dwe sły grawtacj (zwązane z oddzaływanem z ażdym z dwóch cał cężch): F G Mm Mm G r G 3 r (( x x ) ( y y ) ) 3 [ x x y y ] (4) gdze = M masa -tego cała cężego [x y ] położene -tego cała cężego [x y] położene cała leego wetor odległośc -tego cała cężego od cała leego G stała grawtacj sła odśrodowa:

26 58 D. R. Augustyn gdze F od m r m [ x y] (5) wartość prędośc ątowej obrotu nenercjalnego uładu odnesena sła Corolsa: F cor m( v) m( v ) (6) gdze v = [v x v y ] prędość cała leego w nenercjalnym uładze odnesena wetor prędośc ątowej uładu odnesena prostopadły do płaszczyzny ruchu (w szczególnośc zawsze prostopadły do wetora ); uwzględnając (6) ortogonalne położene wetora F m[ v cor x vy względem słę Corolsa można wyrazć następująco: ]. (7) Suma czterech wymenonych sł pozwala na wyznaczane sły wypadowej dzałającej na cało lee. Wyrażena na sładowe x y sły wypadowej pozwalają na zbudowane równań stanu uładu dynamcznego oreślających pochodne czterech zmennych stanu opsujących płas ruch cała leego. Załadając że odległość pomędzy całam cężm wynos R środe masy uładu M x M x sr (8) M x M znajduje sę w środu uładu współrzędnych współrzędne x x położeń cał cężch można znaleźć z następującego uładu równań: M x M x M M 0 x x R. (0) Przyjmując: M M M () na podstawe wzorów 9 0 można otrzymać następujące wartośc współrzędnych: x R () x ( )R. (3) W dalszych rozważanach przyjmuje sę że R = G = ω = M + M = co ne zmnejsza ogólnośc rozważań. Zatem uwzględnając wzory ~3 położena cał cężch wynoszą odpowedno a masy. Analza matematyczna uładu prowadz do znalezena puntów równowag tzn. puntów w tórych wypadowa trzech sł dwóch grawtacyjnych odśrodowej (czyl tylo tych uzależnonych od położena cała leego w nenercjalnym uładze odnesena) wynos zero. Punty te oznaczone na rys. 8b jao L ~L 5 nazywane są puntam lbracj lub (9)

27 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 59 puntam Lagrange [4]. Współrzędne x dla trzech współlnowych puntów równowag L L L 3 można oblczyć rozwązując w sposób przyblżony równana welomanowe pątego stopna. Przyładowo równane (po wyelmnowanu masy cała leego m) pozwalające na oblczene współrzędnej x dla puntu lbracj L ma następującą postać: x 0 ( x ) ( x ) (4) gdze trzy sładn lewej strony równana to wartośc: sły odśrodowej sły przycągana cała lżejszego o mase μ przecwne serowanej do obu sły przycągana cała cęższego o mase μ. Podobne równana łatwo można sonstruować dla puntów L L 3. Rozwązane równana 3 tzn. szuana przyblżona wartość sładowej x położena puntu L wynos: 3 3 x L... (5) Kolejne sładn w wyrażenu na są pomjalne małe (zależą od małego μ co najmnej w perwszej potędze). Przyblżone położena puntów L L L 3 [] mogą być wyrażone następująco: L : 0 L : 0 L3 : 0. (6) 3 3 Punty L 4 L 5 nazywane trójątnym puntam lbracj położone są w werzchołach dwóch trójątów równobocznych tórych dwa werzchoł umeszczone są w pozycjach cał cężch (rys. 8b). Bardzo prosty dowód że wypadowa sł obu grawtacyjnych sły odśrodowej wynos zero w puntach L 4 L 5 ne zostane przedstawona. Doładne współrzędne położeń L 4 L 5 są następujące: 3 3 L 4 : L5 :. (7) Punty równowag uładu dynamcznego można znaleźć nną metodą przyrównując do zera prawe strony równań stanu (tzn. przyjmując że pochodne zmennych stanu są równe 0) []. Odpowedne równana można otrzymać orzystając z odu programu zameszczonego w podrozdzale 4. (cało M-funcj CTRB_rstate mplementującej równana stanu uładu dynamcznego) przyjmując za zero wartośc zmennych: dx3 dy3 dvx3 dvy3. Teoretyczna analza własnośc wymenonych puntów równowag prowadz do wnosów że punty współlnowe L ~L 3 są nestablne natomast punty trójątne L 4 L 5 są stablne. Neformalne można temu nadać następującą nterpretację cało umeszczone w punce L 4 lub L 5 leo wytrącone z położena w tym punce ne opuśc otoczena tego puntu.

28 60 D. R. Augustyn Na potrzeby uzasadnena wspomnanych wnosów dotyczących stablnośc puntów lbracj wprowadzone zostane pojęce potencjału efetywnego (zwanego równeż pseudopotencjałem) oznaczonego jao Ω. Sładowa potencjału wynająca z dzałana pola grawtacyjnego tórego źródłem jest M wynos: V G ( x y) M r G (8) r gdze. Sładowa potencjału wynająca z dzałana pola grawtacyjnego tórego źródłem jest M wynos: M V G ( x y) G (9) r r gdze. Przyjmując oznaczene V od jao potencjał charateryzujący dzałane sły odśrodowej orzystając z zależnośc że sła w polu potencjalnym jest lczona jao masa razy mnus gradent potencjału 5 można uzysać: dvod m r m. (30) dr Zatem potencjał V od można znaleźć jao: gdze V od r r rdr r (3) 0 Potencjał efetywny Ω = V G + V G + V od uwzględnając wzory można zapsać jao: Ω( x y) x y x y ( x y ). (3) Na potrzeby nnejszej pracy stworzono pomocncze programy w MATLABe lustrujące funcję potencjału efetywnego. Uzysaną postać Ω(x y) zwaną powerzchną Jacobego [3] poazano na rys. 9. Poazany fragment powerzchn dotyczy oolc puntów L L L 4 L 5. Rysun 9 0 poazują pozomo przycętą funcję pseudopotencjału poneważ w mejscach obu loalzacj cał cężch potencjał efetywny Ω zadany wzorem 3 przyjmuje wartość 5 We wzorze (30) pochodna V od po r odpowada gradentow potencjału V od.

29 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 6 L 5 L 5 L L 4 L L L L 4 a) b) Rys. 9. Wyresy funcj potencjału efetywnego Ω (powerzchna Jacobego) w sąsedztwe puntów równowag L L L 4 L 5 Fg. 9. Graphs of an effectve potental functon Ω (a Jacob surface) near lbraton ponts L L L 4 L 5 Punty równowag znajdują sę w mejscach zerowana pochodnych cząstowych:. Rysune 0 przedstawa lne ewpotencjalne Ω w sąsedztwe puntów równowag. Upraszczając sracając dalsze rozważana na podstawe twerdzeń teor stablnośc uładów dynamcznych można stwerdzć że punty L 4 L 5 są stablne gdyż występują w mejscach loalnego masmum pseudopotencjału. Współlnowe punty równowag (na rysunach poazano tylo L L ) są nestablne gdyż są zloalzowane w mejscach występowana puntów sodłowych powerzchn pseudopotencjału.

30 6 D. R. Augustyn L 4 L 4 L L L L 5 L L 5 a) b) Rys. 0. Ilustracje ln ewpotencjalnych powerzchn Jacobego w poblżu puntów lbracj: masma funcj potencjału efetywnego w stablnych trójątnych puntach równowag L 4 L 5 ; punty sodłowe w nestablnych współlnowych puntach równowag L L Fg. 0. Illustratons of equpotental lnes of the Jacob surface near lbraton ponts: maxmums of the effectve potental functon at stable trangle lbraton ponts L 4 and L 5 ; saddle ponts at unstable collnear lbraton ponts L and L Dalsze rozważana dotyczyć będą stablnych trójątnych puntów lbracj. Sła Corolsa dzałająca na poruszające sę cało lee powoduje że cało to może pozostawać w oolcach puntu L 4 (lub L 5 ). Występowane sły Corolsa powoduje że wypadową słę dzałającą na cało można potratować w przyblżenu jao słę dośrodową dzałającą w mnej węcej erunu puntu L 4. W wynu tego cało orąża punt L 4 (tzw. ruch woół nczego punt L 4 pozorne przycąga cało lee). W ramach nnejszej pracy zamplementowano programy w MATLABe lustrujące ruch woół trójątnego puntu lbracj. Rysun a b poazują wetory: v prędośc cała leego (olor zelony) F cor sły Corolsa (olor foletowy) F resultant sły wypadowej (suma sł: F cor F G F G F od ; olor nebes) oraz lna rzywa - tor cała (olor czerwony) dla wybranych chwl czasu warunów początowych. Lterą S oznaczono punt startowy (dla chwl t = 0). Celem symulacj jest uzysane rodzny orbt cała leego poruszającego sę woół puntu L 4. Kształty orbt będą uzależnone od przyjętych wartośc warunów początowych w tórych założono że położena początowe leego cała (punty S) należą do ln łączącej punt L 4 środe uładu współrzędnych leżą w poblżu L 4 a wetory prędośc początowych (wetory v 0 ) są prostopadłe do ww. ln co lustruje rys. a.

31 Wydajność mechanzmów modułu Parallel Computng Toolbox systemu MATLAB 63 a) b) Rys.. Ruch cała leego woół puntu równowag L 4 ; lustracja toru wetorów sły Corolsa sły wypadowej prędośc w dysretnych chwlach czasu: a) rót czas symulacj b) dług czas symulacj Fg.. Movement of the weghtless body around the lbraton pont L 4 ; presentaton of a trajectory and Corols force vectors resultant force ones and velocty ones at some dscrete moments of tme: a) a short tme of smulaton b) a long tme of smulaton y CM S =[x 0 y 0 ] S v 0 L 4 v 0 =[v x0 v y0 ] M M x x 0 y 0 v x0 v y a) b) Rys.. Warun początowe dla ruchu cała leego początowe położene S początowa prędość v 0 : a) lustracja b) przyjęty zbór wartośc S v 0 (dla μ=000) Fg.. Intal condtons for the movement of the weghtless body an ntal poston S and an ntal velocty v 0 : a) llustraton b) the assumed set of values of S and v 0 (for μ=000) Przyładowe pojedyncze orbty cała leego dla μ = 000 uzysane w MATLABe w wynu przeprowadzena symulacj przedstawono na rys. 3a~3d. Dla newelch odchyleń od punu L 4 małej prędośc (wersz nr w tabel na rys. b) orbta ształtem zblżona jest do elpsy/owalu (rys. 3a). Dla węszych odchyleń położena od L 4 węszej prędośc początowej (wersz nr 4) orbta przyjmuje ształt tzw. zarzywonej jan (rys. 3b). Następne wydłuża sę (war. początowe ja w werszu nr 6) osągając oś x (rys. 3c). Po czym (war. początowe ja werszu nr 7) cało lee zaczyna orążać zarówno punt L 4