Identyfikacja oporu wiskotycznego z uwzględnieniem wpływu tarcia suchego

Transkrypt

1 Ćwczene 7 Identyfacja oporu wsotycznego z uwzględnenem wpływu tarca suchego Cel ćwczena: Estymacja współczynna tłumena wsotycznego z uwzględnenem wpływu tarca suchego (Coulomba) na podstawe przebegów czasowych drgań swobodnych tłumonych z wyorzystanem zmodyfowanej oncepcj derementu tłumena.. Wprowadzene Tłumene drgań jest jednym z przejawów rozproszena energ mechancznej neodłączne zwązanym z ruchem uładów mechancznych. Od dawna nteresowano sę procesam tłumena. Rozwój badana drgań wpływa taże na badane procesów ch tłumena. Badane tłumena jest jedna opóźnone w stosunu do nnych aspetów badana ruchu drgającego. Ta sę słada, że sły tłumące są małe w stosunu do nnych sł, a jednocześne ch matematyczny ops jest bardzej złożony, dlatego w perwszym przyblżenu z reguły tłumene pomjano. Następnym roem jest wprowadzene tłumena lnowego wsotycznego, co ułatwa analzę. W rzeczywstośc procesy powodujące tłumene drgań są bardzo złożone wedza o nch jest nepełna. Z drugej strony, rola tłumena jest duża, choć ne zawsze docenana. Stosowane specjalnych tłumów powoduje zwęszene osztu wytwarzana esploatacj maszyny, a tłum stają sę dodatowym źródłem łopotów. Należałoby dążyć do uwzględnena w masymalnym stopnu naturalnych sposobów tłumena, a elmnowana specjalnych tłumów tam, gdze ne jest to oneczne. Wymaga to dobrej znajomośc tłumena drgań podstawowych mechanzmów rozpraszana energ wpływających na drgana. Generalne w uładach mechancznych można wyróżnć trzy podstawowe rodzaje tłumena: ) tłumene wsotyczne, ) tarce suche, 3) tarce wewnętrzne. Z puntu wdzena dynam ruchu drgającego luczowe znaczene mają dwe perwsze z wymenonych sł oporu, tóre są szczegółowo opsane ponżej.. Tłumene drgań lnowym oporem wsotycznym Weźmy pod uwagę uład o jednym stopnu swobody, o lnowej charaterystyce sprężystej lnowym tłumenu. Charaterystya tłumena jest lnową funcją prędośc R ( x& ) = cx&. (.) Tłumene tego rodzaju występuje przy ruchu cał w płyne lepm przy nedużych prędoścach. Ten ops tłumena może być z węszym lub mnejszym przyblżenem

2 stosowany do opsu tłumena welu uładów. Ze względu na łatwość analzy jest szeroo stosowany, jao sposób zastępczy dla przyblżonego opsu tłumena przy bardzej złożonych zjawsach tłumena. Równane ruchu tłumonego wsotyczne uładu o jednym stopnu swobody) ma postać: mx && + cx& + x =, (.) gdze: m jest masą, c współczynnem oporu lepego, współczynnem sły sprężystośc (sztywność). Równane to sprowadza sę do postac c gdze h =, ω =. m m && x + hx& + ω x =, (.3) Rozwązana szczególne równana (.3) można poszuwać w postac funcj wyładnczej: rt rt rt x = e, x& = re, & x = r e. (.4) Po podstawenu równań (.4) do równana ruchu (.3) otrzymujemy: r + h + α =. (.5) Równane (.5) jest rozwązanem charaterystycznym posada dwa perwast: r = h ± h. (.6), α Cała ogólna równana (.3) jest ombnacją lnową rozwązań szczególnych x = C e + C e, (.7) r t gdze C C to dowolne stałe całowana. Przebeg ruchu przedstawony jest na Rys... Wdać, że ruch ma cechy gasnącego ruchu drgającego. Charater rozwązana równana zależy od stosunu parametrów h oraz ω. r t r t ) jeżel h> ω, to x ( t) = ce + ce, jest to przypade tłumena nadrytycznego (dwa perwast rzeczywste ujemne r r ); ht ht ) jeżel h= ω, to x( t) = ce + ce, jest to przypade tłumena rytycznego (jeden podwójny perwaste r = r = h ); 3) jeżel h< ω, to jest to przypade tłumena nezbyt ntensywnego, za to ma on zasadncze znaczene w drganach (stneją wówczas perwast zespolone równana (.5) r, r = h ± ω ), gdze: d r t α h = ω (.8) d.

3 Symbol ω d oznacza częstość ołową drgań swobodnych tłumonych. Rys... Ruch uładu tłumonego wsotyczne W przypadu trzecm (h< ω) stotne znaczene odgrywa welość zwana logarytmcznym derementem tłumena. Ma ona pratyczne zastosowane w wyznaczanu współczynna tłumena h. Logarytmczny derement tłumena wyznaczany jest ze wzoru x t D = ( ) ln = e ht = ht x( t + T ) ln. (.9) Jest to stosune dwóch olejnych ampltud w czase gdy uład wyona pełen cyl. Logarytmczny derement tłumena oreśla szybość zanana drgań. Z powyższych rozważań wyna, że pojęce oresu drgań swobodnych tłumonych wyraża sę wzorem π π T = = λ α h. (.) 3. Tłumene drgań tarcem suchym Przy analze drgań uładów mechancznych, tłumonych tarcem suchym, przyjmuje sę zwyle, że sła tarca ma wartość stałą. Jest to słuszne w przypadu, gdy nacs mędzy powerzchnam cernym jest w czase ruchu stały.

4 Sła tarca F t jest opsana wzorem F t = F sgn(x), & (3.) gdze F = Nµ = const, µ współczynn tarca, N sła nacsu. Tae najprostsze zdefnowane sły tarce jao stałej funcj prędośc względnej jest zgodne z lasycznym modelem Coulomba. Jeżel uład ta, wychylony z położena równowag, wyonuje ruch pod dzałanem sły sprężystej f (x), to słę P, przecwną do czynnych sł dzałających na masę m oreślć można wzorem P = mx && = f ( x) + F sgn( x& ). (3.) Borąc pod uwagę swobodny ruch uładu z tarcem suchym ogranczając sę do lnowej sły sprężystej oraz pomjając tarce wsotyczne otrzymamy różnczowe równane ruchu w postac Przyjmjmy warun początowe mx && + x + F sgn( x& ) =. (3.3) x ( ) = x & = x&. (3.4), x() Aby ruch mógł sę rozpocząć, sła sprężysta mus być węsza od oporu tarca. Mus być wtedy spełnony warune x > µn, (3.5) czyl N x > µ = x (3.6) Jeżel warune (3.6) ne jest spełnony, cało pozostane w spoczynu. Załóżmy, że warune ten został spełnony. Cało rozpoczyna wtedy ruch w lewo. Poneważ przy tym ruchu prędość jest ujemna, równane ruchu ma postać µ N m& x = x + µ N = x = ( x x ). (3.7) Dzeląc stronam przez m oznaczając sprowadza sę równane do postac ω = (3.8) m + & x ω ( x x ) =. (3.9)

5 Podstawając otrzymuje sę równane x x = ξ (3.) && + ω ξ =, (3.) ξ czyl równane drgań harmoncznych prostych. Na podstawe teor równań różnczowych zwyczajnych możemy napsać rozwązane ogólne równana w następującej postac ξ = C cosωt + C sn ωt. (3.) W zwązu z tym x = x + C cosω t + C sn ωt. (3.3) Uwzględnając warun początowe dla olejnych cyl ruchu na tej podstawe wyznaczając stałe C C otrzymujemy nastepujące są następujące rozwązane (patrz pozycja lteraturowa []) opsujace ruch rozpatrywanego oscylatora cernego: x ( x (4n ) x ) cos t x t= nt = ω, (3.4) gdze n to lczba cyl ruchu, a T to ores drgań, tóry jest równy oresow drgań swobodnych bez tarca przy tej samej mase stałej sprężyny T π m = = π. (3.5) ω Rys... Ruch uładu tłumonego tarcem suchym

6 Przebeg drgań tłumonych tarcem suchym przedstawony jest na Rys... Jeżel ruch rozpoczął sę od położena x, następne wychylene w połowe -go cylu (wartość A na Rys..) równe jest x x, a olejne po -szym cylu (wartość A na Rys..) wynos x 4x. Ja wdać przy ruchu tłumonym za pomocą tarca suchego ampltuda maleje z ażdym wahnęcem (połową cylu) o tę samą odległość x. Wyna z tego, że po pewnej sończonej lczbe wahnęć olejna ampltuda stane sę mnejsza od x ruch ustane, gdyż przy małym wychylenu sła sprężyny jest mnejsza od sły tarca. 4. Estymacja współczynna tłumena wsotycznego z uwzględnenem tarca suchego Zaprezentowaną metodę separacj tarca coulombowsego od wsotycznego można tratować jao udosonaloną wersję metody lasycznego logarytmcznego derementu tłumena drgań [,3,4]. Równeż bazuje ona na zapse drgań swobodnych, tłumonych uładu o jednym stopnu swobody. Oblczane derementu ampltudy drgań w olejnych cylach daje możlwość ocenena efetu tarca suchego. Metoda ta z założena jest przeznaczona do stosowana w uładach, w tórych domnuje tarce wsotyczne coulombowse, a przypade tego esperymentu tej sytuacj odpowada. Rozważamy uład modelowany jao lnowy uład o jednym stopnu swobody, opsany równanem: mx && + cx& + x + f x& = (4.) ( ), gdze x jest współrzędną opsującą przemeszczene, m, c są odpowedno masą, współczynnem tłumena wsotycznego sztywnoścą sprężyny, a f ( x& ) jest przyjętym modelem tarca Coulomba. Równowaga uładu jest osągnęta w chwl, edy && x = x& =. Położena równowag są oreślone zależnoścą: x x x, x = f /. st st st st Równane (4.) jest możlwe do rozwązana przedzałam ma formę: oraz && x + ξωx& + ω x = ω x x& > (4.),, && x + ξωx& + ω x = + ω x x& < (4.3),, c f gdze ω =, ξω=, oraz x =. m m m Przy warunu początowym x( t ) xst prędoścą ujemną. Rozwązanem równana (3) jest ξω ( t t ) = > oraz ( ) ( ω ( ) β ω ( )) x& t = ruch rozpoczyna sę z d d x t = x e cos t t + sn t t + x. (4.4)

7 Tutaj ω = ω ξ jest częstoścą własna drgań tłumonych, a wartość β oreśla wzór: d β = ξ ξ. (4.5) Rozwązane (4.4) jest ważne do chwl, edy prędość wróc do wartośc zerowej, następuje to w czase oreślonym przez t=t =t +π/ω d, przy wartośc przemeszczena: = x t = e + e + x. (4.6) Przy < x st następuje odwrócene erunu ruchu poślzg trwa z dodatną wartoścą prędośc równane (4.3). Rozwązane ma wtedy formę: ( ) ξω( t t ) ωd β ωd x t = + x e cos t t + sn t t x. (4.7) Jego ważność trwa do momentu, edy prędość spadne znowu do zera, co nastąp w czase t=t =t +π/ω d, a wartość przemeszczena będze wynosć: βπ = x t = e e + x. (4.8) Jeśl >x st, to ruch będze trwał dalej. Ta ops można ontynuować do x st n x st, edy ruch zatrzymuje sę. Iteracje tae prowadzą do równana odwzorowującego olejne wartośc masmów mnmów w rozwązanu: = e + e + x, =,,..., n. (4.9) Na podstawe analzy tach sewencj mnmów masmów można doonać zolacj efetu tłumena wsotycznego oraz tarca Coulombowsego. Suma olejnych wartośc estremów asuje efet tarca suchego, borąc pod uwagę relację dwu olejnych sum dostaje sę: + + = e. (4.) + Derement logarytmczny daje wartość tłumena wsotycznego: log =. (4.) Po wyznaczenu wartośc β można oreślć współczynn tłumena wsotycznego ξ oraz parametr tarca suchego x z równana (4.9). Problemem w esperymence w uładze rzeczywstym może być trudność oreślena położena, w tórym sprężyna ne jest napęta. Pomary mogą posadać wtedy przesunęce ze względu na sformułowane

8 zagadnena. Można tae przesunęce usunąć, analzując ne wartośc estremów, ale różnce pomędzy nm: Y : ( ) βπ Y + Y = e Y Y + e + x, =,,..., n. (4.) Drogą sumowana można wyelmnować udzał tarca suchego. Alternatywne równane derementu jest wtedy: Y + Y = e. (4.3) Y Y lub: Y + log =. (4.4) Y + Y Rys. 4.. Przyładowy przebeg drgań swobodnych tłumonego oscylatora Na rysunu poazano przyładowy przebeg zarejestrowanych drgań swobodnych tłumonego oscylatora. Poddano go następne analze w sposób opsany powyżej. Sygnałem merzonym było przemeszczene. Ja wdać, uład wyonał sześć pełnych cyl drgań tłumonych do momentu zatrzymana w położenu u =.475 m. Stosując wzór (4.3) dla następujących po sobe ampltud masymalnych przemeszczeń, wyrażene opsujące derement logarytmczny reduuje sę do postac: Y Y + Y + Y = e βπ, (4.5) gdze Y (=,,,,) są rzeczywstym przemeszczenam oscylatora względem położena ustalonego u, czyl Y = - u. Zatem w tym przebegu można odczytać, że

9 Y =.33, Y =-.3, Y =.7, Y =-.5, stąd wartośc parametrów charateryzujących tłumene wsotyczne wynoszą β=.733 (wzór (4.5)), ξ=.73 (wzór (4.5)). Oszacowany rzeczywsty współczynn tłumena c=mωξ=8.97 g/s. Po uśrednenu danych z lunastu zebranych przebegów tach drgań otrzymano ostateczne wartość współczynna tłumena wsotycznego wynoszącą c=6.85 g/s. 5. Przebeg ćwczena Obetem dentyfacj jest dośwadczalny oscylator jednym stopnu. Przebeg ćwczena polegającego na dentyfacj rzeczywstego współczynna tłumena wsotycznego na tym stanowsu wygląda ja następuje.. Rejestracja przy pomocy analzatora drgań DAP (Data Acquston Procesor) frmy MICROSTAR lu, co najmnej trzech przebegów czasowych zarejestrowanych podczas prób drgań swobodnych.. Przygotowane w aruszu alulacyjnym ECEL szablonu do analzy wynów na podstawe zameszczonego w nstrucj przyładu oraz zgodne z nstrucjam prowadzącego ćwczene. 3. Wprowadzene danych odczytanych z zarejestrowanych przebegów do przygotowanego szablonu. 4. Oblczene bezwymarowych wartośc współczynna tłumena wsotycznego β, ξ oraz rzeczywstej wartośc c, a następne uśrednene tych wartośc dla wszystch zarejestrowanych prób. Lteratura [] Zbgnew Osńs: Tłumene drgań mechancznych, PWN, Warszawa 979. [] Lang JW, Feeny BF: Identfyng Coulomb and vscous frcton from free vbraton decrements, Nonlnear Dynamcs, 6, , 998. [3] Feeny BF, Lang JW: A decrement method for the smultaneuous estmaton of Coulomb and vscous frcton, Journal of Sound & Vbraton, 95(), 49-54, 996. [4] Jerzy Wojewoda: Efety hsterezowe w tarcu suchym, Zeszyty Nauowe PŁ Nr 5, Wydawnctwo PŁ, Łódź 8.