Algorytm mrówkowy w optymalizacji dyskretnych problemów nieliniowych

Transkrypt

1 KRENICH Stansław 1 mrówowy w optymalzacj dysretnych problemów nelnowych WSTĘP Proces optymalzacj dysretnych nelnowych problemów jedno ja weloryteralnych jest w dalszym cągu jednym z trudnejszych zagadneń [6, 1, 13]. W przypadu złożonych problemów optymalzacj onstrucj [8, 14] szczególne znaczene ma potrzeba wystarczająco doładnego przeszuwana przestrzen rozwązań w czase możlwym do zaaceptowana. Przeszuane wszystch ombnacj możlwych potencjalnych rozwązań w welu przypadach prowadz do ggantycznych czasów oblczeń sęgających sete lat. W lteraturze pratyce nżynersej do rozwązywana tego typu problemów znane są przyłady zastosowana metod losowych, tórych doładność jest z reguły wysoce newystarczająca [13]. W ostatnch deadach podejmowane są próby zastosowana algorytmów nsprowanych bologcznym procesam naturalnym np. algorytmów genetycznych ewolucyjnych [5, 6, 11, 1, 13]. Do grupy tej można równeż zalczyć algorytmy rojowe, tóre symulują stadne zachowana zwerząt, ptaów czy owadów podczas poszuwana pożywena czy przemeszczana [1,, 3, 4]. y te stosowane są główne do problemów opsanych za pomocą grafów sec m.n. w probleme transportowym, zagadnenu przydzału, szeregowanu zadań, probleme omwojażera [6, 9, 10]. Z puntu wdzena dzałana algorytmu możlwe jest jego wyorzystane taże dla zadań optymalzacyjnych, tóre w ne są opsane jao zagadnena secowe. W nnejszej pracy przedstawono modyfację lasycznego algorytmu mrówowego jego mplementację do rozwązywana zadań optymalzacj jednoryteralnej wybranych onstrucj o nelnowym dysretnym charaterze modelu optymalzacyjnego. 1 SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Ogólne zagadnena programowana nelnowego, w tym dysretnego można sformułować następująco: mn f(x) (1) n xr przy spełnenu ogranczeń nerównoścowych: g (x) 0 dla =1,,, K () ogranczeń równoścowych: h m (x)= 0 dla m=1,,, M (3) gdze: x = [x 1, x,, x N ] T jest wetorem zmennych decyzyjnych, f(x) jest ryterum optymalzacj. W przypadu problemu dysretnego ażda zmenna decyzyjna może przyjmować wartośc ze sończonego zboru wartośc o różnej lczebnośc dla ażdej zmennej decyzyjnej: x =[ x 1, x,... x m ] (4) W węszośc algorytmów problem optymalzacj z ogranczenam jest transformowany do problemu optymalzacj bez ogranczeń poprzez użyce funcj ary mającej najczęścej postać: 1 Instytut Technolog Maszyn Automatyzacj Producj, Wydzał Mechanczny, Poltechna Kraowsa, Al. Jana Pawła II 37, Kraów. Tel , fax , rench@mech.p.edu.pl 603

2 gdze: M K x, r f x r h x r G g x (5) m1 G - jest operatorem Heavesde a tam, że: G = 0 dla g (x) 0, G = 1 dla g (x)<0, r - jest dodatnm współczynnem ary. m 1 Podejśce tae zostało równeż wyorzystane w przedstawanym ponżej algorytme mrówowym. ALGORYTM MRÓWKOWY W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ mrówowy (ang. Ant Colony System) symuluje zachowane rzeczywstej olon mrówe, tóre wyszuują najrótszą drogę do pożywena [1,, 3, 4]. Osobn w poszuwanu pożywena wyorzystują dwa czynn: własne dośwadczene najlepsze mejsce znalezone przez populację, dzę czemu nawet słabsze ndywdualne osobn, lepej radzą sobe z zadanem w grupe. Mrów orentują sę w poszuwanu pożywena przy pomocy substancj chemcznej zwanej feromonem, tórą wydzelają z gruczołu podczas poruszana. Podążające za nm olejne mrów doonują wyboru erunu drog na podstawe ntensywnośc pozostawonego feromonu. Substancja ta pełn rolę wspólnego mózgu olon, zapsując wybór dróg. Obserwacje natury poazują, że mrów wyznaczają swoje drog bezpośredno pomędzy swom gnazdem a źródłem poarmu na początu losowo przeszuując przestrzeń, a następne erując sę pozostawonym śladem feromonu. Dzę temu rośne prawdopodobeństwo, że dana mrówa zaczne ść w erunu pożywena odnalezonego przez nne mrów. Ślad pozostawony przez mrówę ulega stopnowemu odparowywanu. Aby śceża do pożywena pozostała dla nnych mrówe wdoczna mus być cągle atualzowana przez nne mrów. Im węcej mrówe wybera daną śceżce tym ślad feromonowy jest bardzej ntensywny. Jeśl droga do pożywena jest długa bądź występują na nej przeszody, stopeń odparowana substancj będze węszy. Fat, że znalezona przez mrów droga jest najczęścej najrótsza wyna z tego, że na śceżach częścej uczęszczanych znajduje sę węsza lość feromonu jest on dłużej zachowywany. Obserwacje natury posłużyły do opracowana algorytmu optymalzacyjnego, w tórym droga pojedynczej mrów (zwanej taże czasem w lteraturze agentem) reprezentuje potencjalne rozwązane. Podejśce tae dealne nadaje sę do rozwązywana problemów opsanych metodam secowym, w tórych występują węzły połączone rawędzam..1 Podstawowy algorytm mrówowy W lasycznym algorytme mrówowym [4] wybór śceż odbywa sę w sposób losowy z oreślonym prawdopodobeństwem, tórego wartość zależy od lośc feromonu zgromadzonego dotychczas na danej rawędz oraz od atracyjnośc danego przejśca zależnej od odległośc mędzy węzłam wzdłuż tej rawędz tej. Jedną z częścej stosowanych zależnośc na prawdopodobeństwo wyboru danej rawędz w śceżce przejśca dla -tego węzła jest następująca funcja: gdze: α β τ η j α τ η p (6) β n1 p - prawdopodobeństwo wyboru rawędz węźle - macerz feromonów Q - heurystyczna mara odległośc (7) a 6033

3 a - element macerzy odległośc - współczynn wpływu feromonów - współczynn wpływu odległośc Q - współczynn mary odległośc (salowana), zazwyczaj równy 1 Następne po przejścu mrów następuje atualzacja feromonu na rawędzach, co w lasycznym algorytme mrówowym odbywa sę najczęścej z wyorzystanem następującej zależnośc: 1 (8) gdze: q, jeżelmrówa wybrala rawędź 0 w przecwnymprzypadu - przyrost feromonu na rawędz ρ współczynn odparowana feromonu q wartość stała, lość pozostawanego przez ażdą mrówę feromonu na rawędz. Opracowany zmodyfowany algorytm dla zadań optymalzacj dysretnej onstrucj W zwązu z tym, że ne ażdy problem można bezpośredno opsać jao zadane secowe lub jest to ucążlwe, przystosowano algorytm mrówowy do rozwązana problemu optymalzacj onstrucj o dysretnych zmennych decyzyjnych, przy czym algorytm może być zastosowany do problemów ombnatorycznych nelnowych ja lnowych. Podstawową deę dzałana algorytmu mrówowego przedstawono na Rys. 1, gdze lna cągła oznacza wybraną rawędź, a lna przerywana potencjalną rawędź. x 1 x x N x 11 x 1 x N1 x 1 1 x x N 1 1 1j N mn x 1m1 x m x NmN Rys. 1. Idea zmodyfowanego algorytmu mrówowego. Zmodyfowany algorytm słada sę z następujących podstawowych etapów (roów): Etap 1. Każda ze sztucznych mrówe tworzy swoje rozwązane poprzez tworzene śceż przejśca przez zbór wartośc dysretnych (tzw. węzeł), czyl ścślej przez wybór wartośc dysretnych dla ażdej zmennej decyzyjnej ze sończonego zboru. Wybór ten odbywa sę w sposób losowy z oreślonym prawdopodobeństwem, tórego wartość zależy od lośc feromonu zgromadzonego dotychczas na danej rawędz, co bezpośredno zależy od lczby przejść od atracyjnośc tego przejśca zależnej od wartośc ryterum optymalzacyjnego. Zaproponowano następującą zależność na prawdopodobeństwo wyboru danej rawędz w śceżce przejśca dla -ego węzła: 6034

4 gdze: p (9) m j1 p - prawdopodobeństwo wyboru rawędz w -tym węźle (dla -tej zmennej decyzyjnej) - macerz feromonów Etap. Po wyborze wszystch rawędz przejśca (pełnej śceż) następuje atualzacja macerzy feromonów na wszystch rawędzach. Atualzacja polega na dodanu pewnej wartośc zwązanej z jaoścą znalezonej drog (rozwązana), czyl wartoścą ryterum optymalzacyjnego oraz dodatowo następuje ta ja w naturze odparowane feromonu, co zabezpecza algorytm przed zbeżnoścą do loalnego optmum. Zaproponowano następującą zależność: gdze: 1, mn, dla max, dla mn max dla mn max (10) * mn x, r, jeżelmrówa wybrala rawędź x, r (11) 0, w przecwnymprzypadu j - wartość przyrostu feromonu na rawędz do -tego węzła max- masymalna lość feromonu na ażdej rawędz mn - mnmalna lość feromonu na ażdej rawędz - współczynn odparowana feromonu - współczynn wpływu wartośc ryterum optymalzacyjnego - współczynn masymalnego pozomu feromonu max (1) x *,r - najlepsze znalezone dotychczas rozwązane wg zależnośc (5) mn x, r - atualne potencjalne rozwązane wg zależnośc (5), po pełnym przejścu pojedynczej mrów Etap 3. Po wyonanu oreślonej lczby teracj etapu 1, czyl przejśca założonej na wstępe lczby mrówe następuje zaończene dzałana algorytmu z wynem w postac najlepszej znalezonej trasy przejśca przez zbory wartośc dysretnych zmennych decyzyjnych. Należy podreślć, ż przedstawony algorytm jest metodą heurystyczną ne daje gwarancj znalezena rozwązana optymalnego, lecz jedne zwęsza szanse na przeszuwane najlepszych obszarów przestrzen rozwązań w porównanu do metod losowych. Jego efetywne dzałane slne zależy od przyjętych parametrów,,, mn, maxwyorzystywanych w zależnoścach na oraz p, co potwerdzły przeprowadzone esperymenty. Sposób ustalana właścwych wartośc tych parametrów, borąc pod uwagę efetywne dzałane algorytmu, ne został jeszcze nauowo zbadany, lecz wyna główne z dośwadczena oraz zależy od rozwązywanego problemu. 6035

5 Ponadto przeprowadzone na wstępe esperymenty oblczenowe z wyorzystanem lasycznego algorytmu mrówowego wyazały, że dla netórych zadań optymalzacyjnych dochodzło do zdomnowana przejść tylo przez jedną śceżę z powodu zbyt dużego nałożena sę feromonu, co w onsewencj prowadzło do loalnej zbeżnośc algorytmu. Dodatowo dochodzło do generowana ujemnych wartośc feromonu na netórych rawędzach, co elmnowało je defntywne z dalszych przeszuwań przestrzen rozwązań. W zwązu z tym wprowadzono ogranczena na masymalną mnmalną lość feromonu na potencjalnych przejścach w śceżce. Mnmalną wartość feromonu przyjęto arbtralne, natomast masymalną wyznaczono wg zależnośc (1), ta aby żadna rawędź ne mała prawdopodobeństwa wyboru węszego nż procent sumy wartośc feromonów na wszystch możlwych do wyboru rawędzach w danym węźle. 3 EKSPERYMENTY OBLICZENIOWE W celu zbadana efetywnośc algorytmu mrówowego w programowanu dysretnym przeprowadzono oblczena dla dwóch przyładów nelnowych dysretnych problemów optymalzacj onstrucj: uładu dwóch oncentrycznych sprężyn hamulca welopłytowego. W celu porównana efetywnośc prezentowanego algorytmu wyonano dodatowo oblczena algorytmem losowym ewolucyjnym porównano wyn. 3.1 Modele optymalzacyjne Celem perwszego zadana jest zaprojetowane optymalnej onfguracj uładu dwóch sprężyn śrubowych pod ątem mnmalnej objętośc przy masymalne zblżonych współczynnów bezpeczeństwa wytrzymałośc zmęczenowej obu sprężyn. Schemat rozpatrywanego uładu sprężyn przedstawono na Rys. a model optymalzacyjny opsano w [11, 13]. x 1 x 5 x x 4 Rys.. Schemat uładu dwóch oncentrycznych sprężyn. Przyjęte dane materałowe oraz warun obcążena: Uład sprężyn obcążony jest słą ścsającą jednostronne zmenną P = [N] przyłożoną na erunu os symetr. Ugęce sprężyny w momence dzałana sły o masymalnej wartośc 1500 [N] pownno wynosć 10 [mm]. Przyjęte z tabel wartośc danych materałowych dla stal sprężynowej 50HG-ulepszanej ceplne: G= [N/mm ], R r =1300 [N/mm ]. Dodatowo założono, że drut z tórego wyonano sprężynę był szlfowany. Problem jest sformułowany następująco: Wetor zmennych decyzyjnych x=[ x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ]: x 1 - średnca drutu zewnętrznej sprężyny [mm] x - średnca nawnęca sprężyny zewnętrznej [mm] x 3 - lczba zwojów sprężyny zewnętrznej [] x 4 - średnca drutu wewnętrznej sprężyny [mm] x 5 - średnca nawnęca sprężyny wewnętrznej [mm] x 6 - lczba zwojów sprężyny wewnętrznej [] x 7 - wysoość uładu sprężyn [mm] x

6 Funcj celu - objętość obu sprężyn: f1( x ) x1 x x3 x7 x1 x4 x5 x6 x7 x4 x1 x x4 x5 4 Model optymalzacyjny posada 17 ogranczeń wytrzymałoścowych geometrycznych. (13) Problem został rozpatrzony jao dysretny o następujących możlwych wartoścach zmennych decyzyjnych: x 1 = {1.0, 1.5,.0,...,5.0}, x = {35.0, 40.0, 45.0,..., 105.0}, x 3 = {5.0, 5.5, 6.0,...,15.0}, x 4 = {1.0, 1.5,.0,...,0.0}, x 5 = {10.0, 15.0, 0.0,...,80.0}, x 6 = {5.0, 5.5, 6.0,...,15.0}, x 7 = {50.0, 60.0, 70.0,..., 00}. Lczba możlwych ombnacj wynos Drugm rozpatrywanym problemem była optymalzacj hamulca welopłytowego pod ątem mnmalzacj masy. Schemat hamulca przedstawono na Rys. 3, a doładny model opsano w [5, 13]. Rys. 3. Schemat hamulca welopłytowego. Problem optymalzacyjny jest sformułowany następująco: Wetor zmennych decyzyjnych ma postać: x R T, Ro, A, F, Z, gdze: R = promeń wewnętrzny [mm], R o = promeń zewnętrzny [mm], A = grubość płyt [mm], F = sła włączająca [N], Z = lość płyte. Funcj ryteralna masa sprzęgła: f x R R AZ 1 o Model zawera ponadto 16 ogranczeń wytrzymałoścowych, temperaturowych geometrycznych. Dysretne wartośc dla poszczególnych zmennych decyzyjnych są następujące: R = {50.0, 51.0, 5,0, }, 6037

7 R o = {80.0, 81.0, 8.0,..., 110.0}, A = {1.0, 1.5,.0,.5, 3.0}, F = {500.0, ,..., }, Z = {.0, 3.0, 4.0,..., 10.0}. Lczba możlwych ombnacj zmennych decyzyjnych wynos Wygenerowane wyn Przeprowadzono wele esperymentów oblczenowych z wyorzystanem opracowanego algorytmu mrówowego dla różnych wartośc parametrów mających stotne znaczene dla dzałana algorytmu tj. współczynna odparowana feromonu, współczynna stotnośc ryterum z ogranczenam, współczynna masymalnego pozomu feromonu, wartośc mnmalnego pozomu feromonu mn, lczby mrówe oraz lczby teracj. Ponadto w celu porównana efetywnośc dzałana algorytmu mrówowego przeprowadzono oblczena algorytmem ewolucyjnym losowym o przyjętych parametrach pozwalających na taą samą lczbę wywołań funcj ryteralnych. Najlepsze uzysane wyn przedstawono w Tab. 1 Tab.. Tab. 1. Najlepsze wygenerowane rozwązana dla uładu sprężyn spełnające ogranczena Wetor zmennych decyzyjnych Kryterum Metoda. x * f 1 (x * ) [mm 3 ] mrówowy mrówowy mrówowy ewolucyjny losowy [18.5, 85.0, 5.0, 15.5, 50.0, 5.0, 130.0] [18.0, 85.0, 5.0, 15.5, 50.0, 5.0, 110.0] [18.0, 85.0, 5.0, 16.0, 50.0, 5.0, 10.0] [18.0, 85.0, 5.0, 15.5, 50.0, 6.0, 160.0] [19.5, 95.0, 6.0, 15.5, 50.0, 7.0, 00.0] Parametry algorytmów Lczba mrówe=1000, lczba teracj=00, =0.5, =1, τmn=0.9, ρ=0.0 Lczba mrówe: 1000, lczba teracj=00, =0.3, =1.5, τmn=0.9, ρ=0.0 Lczba mrówe: 00, lczba teracj=1000, =0.5, =1 τmn=0.9, ρ=0.05 Lczba generacj = 500, populacja= 400, prawdopodobeństwo rzyżowana= 0.6, prawdopodobeństwo mutacj=0.08 Dla wylosowanych puntów Tab.. Najlepsze wygenerowane rozwązana dla hamulca welopłytowego spełnające ogranczena. Wetor zmennych decyzyjnych Kryterum Metoda. x * f (x * Parametry algorytmów ) [g] mrówowy ewolucyjny losowy [70.0, 90.0, 1.5, , 3.0] [73.0, 93.0, 1.5, , 5.0] 0.73 [80.0, , , 9.0].095 Lczba mrówe: 1000, Lczba teracj=100, =0.3, = τmn=0.9, ρ=0.0 Lczba generacj = 50, populacja= 400, prawdopodobeństwo rzyżowana= 0.6, prawdopodobeństwo mutacj=0.08 Dla wylosowanych puntów 6038

8 WNIOSKI Przeprowadzone badana wsazują, ż zastosowane algorytmu mrówowego dla problemów dysretnych daje z puntu wdzena efetywnośc dzałana obecujące wyn w porównanu do stosowanych obecne dosyć często algorytmów ewolucyjnych dużo lepsze od wygenerowanych tradycyjną metodą losową. Dla analzowanych przyładów najlepsze wyn wygenerowano algorytmem mrówowym, przy czym bardzo dużą trudność sprawało odpowedne zestrojene parametrów tego algorytmu, co udało sę zrealzować po lcznych próbach. Ustawone parametry pozwalające uzysać najlepsze rozwązana różną sę dla obydwu przyładów. Można zaobserwować mędzy nnym, ż ogranczane slnego promowana pojedynczych rawędz przez zmnejszane wartośc współczynna do pozomu ooło 0,3 przynos lepsze rezultaty, ponadto zwęszane do pozomu 1,5- współczynna wpływu ryterum przynos taże poprawę wynów. Ponadto zwęszane lczby mrówe taże przyczyna sę do poprawy wynów, przy czym następuje znaczne wydłużene czasu przebegu algorytmu często przy neznacznej poprawe lub brau poprawy wynu. Dla współczynna odparowana feromonu ne udało sę zaobserwować wyraźnych tendencj wpływu na wyn, poza srajnym lub nelogcznym wartoścam. Zachowane algorytmu wsazuje, ż stneje orelacja parametrów algorytmu, tóra ma znaczny wpływ na wyn. Uogólnene wpływ parametrów algorytmu mrówowego na generowany wyn wymaga jedna dalszych badań. Podsumowując, zastosowane algorytmu mrówowego dla dysretnych problemów optymalzacj onstrucj jest efetywnym narzędzem z puntu wdzena doładnośc oblczeń, jest jedna wymagające, co do pamęc oblczenowej oraz ustawana właścwych parametrów algorytmu. Streszczene Artyuł prezentuje zastosowane algorytmu mrówowego w optymalzacj problemów o dysretnym nelnowym charaterze. mrówowy zalczany jest do grupy algorytmów rojowych, tóre są nsprowane zachowanem stad lub rojów zwerząt, ptaów czy owadów podczas poszuwana pożywena czy przemeszczana sę. y te stosowane są główne do rozwązywana problemów opsanych za pomocą grafów sec. W nnejszej pracy przedstawono modyfację lasycznego algorytmu mrówowego jego przystosowane do rozwązywana zadań optymalzacj jednoryteralnej onstrucj z ogranczenam, tóre ne są modelowane jao grafy z wyraźne zaznaczonym węzłam rawędzam przejść o oreślonym ścśle oszce lub wartośc drog. Wprowadzono modyfację w wyznaczanu prawdopodobeństwa wyboru tzw. rawędz przejśca oraz w oblczanu wartośc feromonu na tych rawędzach. Wartośc te zależą ne tylo od lczby przejść sztucznych mrówe, ale taże dodatowo od dynamczne ustalanej wartośc pozostawanego przez mrów feromonu. Esperymenty przeprowadzono na dwóch przyładach dysretnej optymalzacj sprzęgła welopłytowego oraz uładu oncentrycznych sprężyn poddanych zmennemu obcążenu z wyorzystanem zmodyfowanego algorytmu mrówowego oraz dodatowo w celu porównana z wyorzystanem algorytmu ewolucyjnego losowego. Wyn wsazują, ż algorytm mrówowy może być efetywnym narzędzem w programowanu dysretnym. Ant colony based algorthm for dscrete and nonlnear optmzaton Abstract The paper presents an approach to desgn optmzaton for dscrete and nonlnear problems usng ant colony based algorthm. Ths algorthm belongs to the group of swarm algorthms nspred by behavor of brds, anmals and bugs durng ther lfe or movement. Generally t s used for solvng tass whch are modeled as grd or networ problems. In the wor a modfcaton of the classcal ant colony algorthm and ts adaptaton for problems that are not modeled as a networ tas wth mared nodes and edges s descrbed. New dependences for dynamc calculatng of pheromone on the edges and for probablty of ther choosng are ntroduced. Experments were carred out for two examples of dscrete optmzaton. The frst one deals wth the couplng system and the second one solves the set of concentrc sprngs. Addtonally, n order to compare generated optmal solutons, an evolutonary algorthm and a random search method are used. The obtaned results ndcate that the ant colony based algorthm can be an effectve tool for dscrete programmng. 6039

9 BIBLIOGRAFIA 1. Bonabeau E., Dorgo M. et Theraulaz G., Swarm Intellgence: From Natural to Artfcal Systems, Oxford Unversty Press. ISBN , Dorgo M., D Caro G., Gambardella L. M., Ant Algorthms for Dscrete Optmzaton. Artfcal Lfe, 5 (): , Dorgo M., Stützle T., Ant Colony Optmzaton, MIT Press. ISBN , Dorgo, M., Optmzaton, Learnng and Natural Algorthms, Rozprawa dotorsa (PhD thess), Poltecnco d Mlano, Włochy, Krench S. and Osycza A.: Optmal Desgn of Multple Clutch Braes Usng a Multstage Evolutonary Method. IUTAM Symposum on Evolutonary Methods n Mechancs, Kluwer Academc Publshers, Dordrecht/Boston/London, 004, pp Krench S.: Optymalna aloacja obetów z wyorzystanem algorytmów ewolucyjnych. Logstya 3/011, s Krench S. Równoległe algorytmy ewolucyjne w optymalzacj onstrucj. Logstya 3/014, str Malec M. Moraws M. Wpływ parametrów sterowana na słę cągu podwodnego robota moblnego z napędem falowym dla różnych warantów płetwy ogonowej. Eletrona, onstrucje technologe, zastosowana, Nr 1/013, s , 9. Małopols W., Optymalzacja wyorzystana automatyczne sterowanego robota moblnego w systeme transportowym za pomocą symulacj omputerowej, Logstya, 014, Nr 3, Małopols W., Cost Optmzaton n Manufacturng System wth Undrectonal AGVs, Appled Mechancs and Materals Vol. 555 (014) pp Osycza A., Krench S., Krzyste J. (00): Sprng Desgn Automaton Usng Evolutonary Algorthms. Zeszyty Nauowe Poltechn Koszalnsej, Koszaln, Nr 31, str Osycza A., Krench S.: Evolutonary Algorthms for Global Optmzaton, Chapter n: J. Pnter (Ed.) Global Optmzaton - Selected Case Studes, Kluwer Academc Publshers, Osycza A.: Evolutonary Algorthms for Sngle and Multcrtera Desgn Optmzaton. Sprnger- Verlag Physca, Berln Helderberg Szyma P., Malec M., Moraws M., Concepton of Research on Bonc Underwater Vehcle wth Undulatng Propulson, Sold State Phenomena,Vol. 180, Trans Tech Publcatons Inc., 01, str