Analiza Matematyczna /15

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn 4/5 dr hb. Jn Iwniszewski MMF-/3 Przedmiot dl studentów I roku kierunków: Fizyk, Fizyk Techniczn, Astronomi, Automtyk i Robotyk, Informtyk tosown. Wprowdz on podstwowe pojęci, opercje i metody nlizy mtemtycznej stosowne w fizyce i technice. Główny ncisk położony jest n intuicyjne zrozumienie istoty poszczególnych pojęć i opercji, przede wszystkim n zdobycie biegłości rchunkowej. Przedmiot obejmuje wykłd i ćwiczeni rchunkowe. Zliczenie przedmiotu nstępuje po zliczeniu ćwiczeń i zdniu egzminu końcowego. Treść wykłdu. Liczby, podstwowe dziłni.. Funkcj: podstwowe pojęci, funkcje elementrne, grnic i ciągłość funkcji. 3. Różniczkownie funkcji: pochodn i różniczk funkcji jednej zmiennej, pochodn cząstkow, różniczk zupełn, pochodne wyższych rzędów, szereg Tylor. 4. łkownie funkcji: cłk nieoznczon i oznczon funkcji jednej zmiennej, podstwowe metody cłkowni, 5. Równni różniczkowe zwyczjne: równni I rzędu o rozdzielonych zmiennych, równni liniowe I i II rzędu. 6. Algebr wektorów: dodwnie i mnożenie przez sklr, rozkłd n skłdowe, zleżność liniow, iloczyn sklrny i wektorowy. 7. Metody przybliżone. Zlecn litertur. F. W. Byron, R. W. Fuller, Mtemtyk w fizyce klsycznej i kwntowej, T. I (PWN, Wrszw, 973). G. M. Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, T. -3I (PWN, Wrszw, 7) 3. B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zdń z rchunku wektorowego i geometrii nlitycznej (Oficyn Wydwnicz Politechniki Wrszwskiej, 6) 4. E. Krśkiewicz, Zrys teorii wektorów i tensorów (PWN, Wrszw, 97). 5. W. Krysicki, L. Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich, T. I-II (PWN, Wrszw, ) 6. W. Korczk, M. Trjdos, Wektory, pochodne, cłki ((PWN, Wrszw, 9) 7. W. Leksiński, I. Nbiłek, W. Żkowski, Mtemtyk dl studiów eksperymentlnych (WNT, Wrszw, 977) 8. K. złjko, Mtemtyk T. (PWN, Wrszw, 984) 9.. Romnowski, W. Wron, Mtemtyk wyźsz dl studiów technicznych (PWN, Wrszw, 96) Pordniki, tblice,.... G. A. Korn, T. M. Korn, Mtemtyk dl prcowników nukowych i technicznych, cz. i (PWN, Wrszw, 983). red. I Dziubiński, T. Świątkowski, Pordnik Mtemtyczny, cz. i (PWN, Wrszw, 985). I. N. Bronsztejn, K. A. iemiendijew, Mtemtyk, pordnik encyklopedyczny (PWN, Wrszw, 968) 3. B. Piłt, M. J. Wsilewski, Tblice cłek (WNT, Wrszw, 983)

2 MMF-/3 Liczby reguły zokrągleń: metod liczby, których część odrzucn w wyniku zokrąglni m postć: 4 - zokrąglenie w dół, np , 5 i 5 - zokrąglenie w górę, np , metod liczby, których część odrzucn w wyniku zokrąglni m postć: 4 - zokrąglenie w dół, np , 5 - zokrąglenie w górę, np , 5 - zokrąglenie do przystej, np..75.8,.85.8, (po wybrniu metody nleży w dnym oprcowniu systemtycznie stosowć tylko tę metodę) Przedrostki liczbowe wielokrotności powielokrotności 3 kilo k 3 mili m 6 meg M 6 mikro µ 9 gig G 9 nno n ter T piko p 5 pet P 5 femto f 8 eks E 8 tto dek d decy d hekto h centy c Zdni II zcownie rzędu wielkości. Oszcowć wrtość liczbową π ( ) (.4 3 ) 8. Ile wentyltorów o wydjności m 3 /godz nleży zmontowć w sli 6, by powietrze było cłkowicie wymienine rzy n godzinę? 3. Promień Wszechświt szcuje się n 6 m, liczbę nukleonów we Wszechświecie n 8. Oszcowć msę Wszechświt, średnią gęstość mterii i średnią ilość nukleonów w m (Feynmn T I cz. s. 365) Dwno temu, w erze pleozoicznej kropl popołudniowej ulewy updł n błotnistą równinę, pozostwijąc trwły śld. ld ten w postci skmieliny odkopł pewnego uplnego dni w wiele lt później student geologii. Wysączywszy do dn wodę ze swojej mnierki student ten bezskutecznie się zstnwił, ile cząsteczek wody z tej strożytnej kropli mogło znjdowć się w mnierce, którą przed chwilą opróżnił. próbuj Ty ocenić tę liczbę. 5. Oszcowć jki rezultt osiągnąłby skoczek wzwyż n Księżycu, jeżeli przyspieszenie grwitcyjne jest tm 6-krotnie mniejsze niż n Ziemi. 6. iekły hel m gęstość ρ =.3 g/cm 3. Oszcowć wrtość promieni tomu He zkłdjąc, że tomy są upkowne w njgęstszej możliwej konfigurcji, któr wypełni 74% przestrzeni. 7. Jki wpływ n wyniki konkurencji biegowych miło ustwienie strzeljącego z pistoletu strter n murwie stdionu? Dlczego obecnie zwodnicy mją głośniki wmontowne w bloki strtowe? Jk to pogodzić z fktem, że n mecie fotokomórk ustwion jest w dlszym ciągu z boku bieżni? 8. egł wży kilogrm i pół cegły. Ile elektronów zwier jedn cegł? (Głównym skłdnikiem glinek cermicznych jest kolinit Al i O 9 H 4.)

3 Funkcje elementrne MMF-/3 3,, log (), sin(), cos(), tn(), cot(), rcsin(), rccos(), rctn(), rccot() Zdni II Funkcje i wyrżeni lgebriczne. Określić dziedzinę i przeciwdziedzinę wszystkich funkcji elementrnych (w przypdku funkcji wykłdniczej i logrytmicznej uwzględnić wszystkie możliwe wrtości prmetru ).. Nrysowć n jednym wykresie przebieg nstępujących funkcji: () y = w dl różnych wrtości rzeczywistego wykłdnik w (uwzględnić wszystkie możliwe typy krzywych), określić wzjemne relcje miedzy nimi, (b) i log () dl różnych wrtości podstwy, w tym dl = i = e, (c) funkcje trygonometryczne i funkcje do nich odwrotne (cyklometrycznych), 3. Korzystjąc z wzorów n sin( + b), cos( + b) i jedynki trygonometrycznej: () znleźć wzór n tg( + b) i ctg( + b), (b) przedstwić sin() ± sin(b) orz cos() ± cos(b) w postci iloczynu funkcji sin i cos, (c) przedstwić kżdą funkcję trygonometryczną przez kżdą inną funkcję (wziąć pod uwgę wrtości w różnych ćwirtkch ukłdu współrzędnych) (d) przedstwić wszystkie funkcje trygonometryczne od rgumentu połówkowego / (np. sin(/)) przy pomocy funkcji od rgumentu i odwrotnie. 4. Uprościć wyrżeni () (b) ( b ) [ ( + b) b ] b 3 3 (e) (f) (g) (h) (i) sin ± sin y cos ± cos y sin + sin y sin sin y cos cos y cos + cos y tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b (j) cos(4 rccos()) (k) sin( rctn()) b( + b) b b + b b (c) ( e ) + ( + e ) 4 e e ( (d) log b +y ) ( log b y ) ( log b y ) ( log b y+ ) ( ) tn() (l) rcsin + tn() [ ( (m) rccos cos() + cos( π ) ] ) ( ) (n) rctn tn + cot y cot + tn y [ ] sin() (o) rccot sin() [ ( )) ] (p) rcsin cos + rcsin ( cos (q) ln [ (cos (rctn )) cos ( π 3 ) ]

4 Grnice funkcji Jeżeli lim f() = i lim g() = b, to: MMF-/3 4 Grnic iloczynu przez sklr lim [c f()] = c (c-dowoln stł) Grnic sumy Grnic iloczynu Grnic ilorzu Grnic funkcji złożonej lim [f() + g()] = + b lim [f() g()] = b lim [ ] f() = g() b (dl b ) Jeżeli lim f() = i lim g() = b, to lim g(f()) = b Pewne grnice ( lim + sin() = e lim ) = Zdni III Wyznczyć nstępujące grnice (znk ± ozncz, że nleży policzyć dwie różne grnice dl tej smej funkcji): +. lim ± 3 +. lim ± 3. lim ± lim, ±, ±, ± 5. lim tn 6. lim tn 7. lim rctn cos 8. lim sin 4 ( 9. lim π/ tn + + 4, dl > ) π/ Pokzć, że: + 3. lim + 5. lim 3. lim ( + ) = 5 3 ( + ) = e 4. lim ln( + ) = e = 5. lim log ( + ) e 6. lim = 7. lim = ln() sin() 8. lim = = ln() 9. lim cos() =

5 Różniczkownie Definicj pochodnej Pochodn sumy Pochodn iloczynu Pochodn funkcji złożonej Pochodn funkcji odwrotnej y = dy = df() d df() [f() + g()] = d = lim f( + ) f() + dg() df() [f()g()] = g() + f()dg() d df(y) f [g()] = y=g() dg() dy d f () = [ df(y) dy ] y=f () f( ) f() = lim MMF-/3 5 Różniczki - różniczk zmiennej - nieskończenie mły (infinitezymlny) przyrost wrtości zmiennej dy = df = df() = f () - różniczk funkcji y = f() - liniow część przyrostu y wrtości funkcji przy infinitezymlnej zminie wrtości rgumentu Zdni IV. Wyprowdzić wzór n pochodną ilorzu dwóch funkcji: () bdjąc grnicę ilorzu różnicowego, (b) korzystjąc ze wzorów n pochodną iloczynu, funkcji złożonej i funkcji potęgowej,. Wyznczyć różniczkę sumy, iloczynu i ilorzu dwóch funkcji, orz funkcji złożonej i odwrotnej. 3. Korzystjąc z definicji (grnic ilorzu różnicowego) znleźć pochodne nstępujących funkcji: /, ( + )/( ), /(3 ),, 3, e, cos()/. 4. Obliczyć pochodne wszystkich funkcji elementrnych korzystjąc tylko z definicji (grnic ilorzu różnicowego), z wzorów n pochodną sumy, iloczynu, funkcji złożonej i funkcji odwrotnej, z obliczonych już pochodnych innych funkcji elementrnych, orz ze znnych relcji między funkcjmi. 5. Korzystjąc ze znjomości pochodnych funkcji elementrnych orz ze wzorów n pochodną sumy, iloczynu, itd., obliczyć pochodne nstępujących funkcji (rezultt podć w możliwie njprostszej postci):. y = ,. y = ( + 3 ) 5, 4 3. y = 3 3, 3 ( ) y =, y = log sin, + sin 6. cot(3) cot() + y = cot() cot(3), 7. y = ln ( sin(3)), 8. y = rctn ( + ), 9. y = ( ) ( +.5) ( ) 3 ( + ) 5 (3 3),. y =,. y = ln ( e e ),. y = log b (), 3. y = log (3 ), 3 4. y = e w [A sin() + B cos(b)], 5. y = sin (tn()), 6. y = rctn() ln ( + ), 7. y = cos rcsin. +

6 łk nieoznczon MMF-/3 6 Funkcj pierwotn Związek z pochodną Liniowość d f() = df (), f() = f(), [f() + bg()] = f() = F () + const df() f() + b = f() + const g() łkownie przez podstwienie (zminę zmiennych) f() = dyf (g(y)) g (y), gdzie = g(y) łkownie przez części f ()g() = f()g() f()g () Zdni VI. Obliczyć cłki nieoznczone wszystkich funkcji elementrnych.. Obliczyć nstępujące cłki:

7 MMF-/ cos cos 3 cos 4 sin sin cos sin cos sin sin cos sin( 3) ( 3) sin cos + 4 sin cos + 4 sin sin() 4 cos + cos + cos sin + cos e + 3e e + e + e e e e ln ln( 3) ln ln( ) (sin ) (cos ) [ (cos( )] 3 rccos rccos rctn() + 4 cot() cos() cot cot + rctn() cos rccos(sin ) cos rccos(sin ) sin rccos(sin 3) ( + 5) b [5 + 6 cos()] sin 4 cos ( 3) e 6 ( 6) e 3 tn() ln(cos ) ( ) sin() cos(b) sin cos e 3 rcsin ( ) + rccot( 3 ) e [b sin(w) + c cos(w)] (e + e ) rctn(e )

8 MMF-/3 8 Funkcje elementrne UWAGA: zwrócić uwgę n dziedziny wszystkich funkcji!!! d f() f() f() (bez stłej cłkowni) e e e (ln ) (ln ) ( + ) + ( ) ln ( = ) ln ln log (ln ) log (ln ) sin cos cos cos sin sin tn (cos ) ln cos cot (sin ) ln sin rcsin ( ) rcsin + ( ) rccos ( ) rccos ( ) rctn ( + ) rctn ln ( + ) rccot ( + ) rccot + ln ( + )

9 łk oznczon MMF-/3 9 Podstwowe włsności f() =, b f() = f(), b b f() = c f() + b c f() f() dl (, b) f() g() dl (, b) Twierdzenie o wrtości średniej Jeśli f() jest cigł i ogrniczon n (, b), to: b Podstwowy wzór rchunku cłkowego b b b f() f() b g() f() = f( )(b ), dl pewnego [, b] d dy f(y) = f() f() = F (b) F (), gdzie f() = F () + łkownie przez podstwienie (zminę zmiennych) Jeśli = g(y) jest funkcją wzjemnie jednoznczną, to: b łki niewłściwe f() = lim b f() = b f(); v u dyf (g(y)) g (y), gdzie u = g (), v = g (b) b jeśli lim f() = ±, to + b f() = lim f(); ɛ + +ɛ i.t.d

10 Zdni VII MMF-/3 Obliczyć nstępujące cłki oznczone (dl cłek niewłściwych podć czy są one zbieżne czy rozbieżne): ln 3 + ( 3 + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ln e e e + e e e e, > e, > e, > e, > ln e ln e e e e π π π π π π π π 4 5π 6 π 6 π 4 π 6 π π ln(π) (ln ) + (ln ) cos 3 () sin 3 () cos 3 () sin 5 () cos() sin(3) cos() sin cos () sin(4) ( π 6 ) /3 cos + sin sin( 4) cos(3π) ( ) e cos ( ) rccos 3 3 / π 3 π ( + )rccot rtn() (4 3)rcos() rctn ( + 4 ) [ sin + sin ( π )] ( ) ln π

11 zereg Tylor MMF-/3 f() = n k= k! f (k) ( ) ( ) k + R n (; ) Dl = szereg Tylor nzyw się szeregiem Mclurin. Zdni IX. Rozwinąć w szereg Tylor uwzględnijąc wyrzy rzędu ( ) 5 : () w punkcie = wszystkie funkcje elementrne, które są w tym punkcie określone, (b) w punkcie = funkcje p (dl p < ), ln, log, cot, (c) w punkcie = π/4 wszystkie funkcje trygonometryczne, w = π/ te z nich, które są tm określone. Których funkcji elementrnych nie możn rozwinąć w szereg Tylor ni w =, ni w =?. Wyznczyć trzy początkowe różne od zer wyrzy szeregu Tylor nstępujących funkcji: () f() = + +, w punkcie =, (b) f() = rccos ( 3 ) π, w punkcie = 3, (c) f() = rctn ( 3 ) w punkcie = 3, 3. Wyznczyć trzy początkowe różne od zer wyrzy szeregu Mclurin nstępujących funkcji: () f() = 4 +, (b) f() = 3 (g) f() = e, 3, (h) f() = ln +, (c) f() = +, (i) f() = ln [ ] +. (d) f() = 3( 6+5 ), (e) f() = + ( + ) /, (f) f() = ( e ), (j) f() = ln(++ ) +, (k) f() = ln(cos()), (l) f() = [ sin ( π ) π ], 4. Ile wyrzów rozwinięci w szereg Mclurin funkcji e nleży wykorzystć by otrzymć dokłdność rzędu. dl =,.5,.,.5,.? Dl uzyskni wrtości dokłdnych możn posłużyć się tblicmi lub obliczenimi n klkultorze. 5. Wykorzystując rozwinięcie w szereg Tylor funkcji rctn() (w jkim punkcie?) wyznczyć liczbę π z dokłdnością do dwóch cyfr po przecinku. 6. Korzystjąc z rozwinięci w szereg Tylor i znnych wrtości funkcji podć przybliżoną wrtość liczbową (z dokłdnością do.) nstępujących wyrżeń: 3.95, cos(36 ), cos( ), tn ( 9 4 π), (.)., ln(.8) (wrtości liczb e i π obliczyć tkże korzystjąc z szeregu Tylor).

12 Równni różniczkowe MMF-/3 Równnie różniczkowe zwyczjne pierwszego rzędu F (y, y, ) = rozwiąznie ogólne (o) y o = y o (; ) - rodzin funkcji zmiennej sprmetryzown przez (stłą cłkowni) rozwiąznie szczególne (s) y s = y s () - jedn z funkcji z rodziny y o (; ) o konkretnej wrtości prmetru Równnie o rozdzielonych zmiennych F (y, y, ) f(y)y g() = f(y)y = g() f(y)y = dyf(y) = g() Równnie liniowe F (y, y, ) y + f()y g() = równnie liniowe jednorodne (j) y + f()y = równnie liniowe niejednorodne (n) y + f()y = g() y on (; ) = y oj (; ) + y sn (). y + f()y = metod rozdzieleni zmiennych y oj (; ) = ep ( f()). y + f()y = g() metod uzmiennini stłej y sn () = D() ep ( f()) D () = g() ep ( f()) Równnie różniczkowe zwyczjne liniowe drugiego rzędu o stłych współczynnikch F (y, y, y, ) y + y + by g() = y on (;, ) = y oj (;, ) + y sn (). y + y + by = postulown postć rozwiązni y oj (;, ) = e λ + e λ, gdzie λ = λ, to rozwiązni równni λ + λ + by =. y + y + by = g() g() = A = const postulowne rozwiąznie: y sn () = B = const, wyznczny jest współczynnik B. g() = W n () postulowne rozwiąznie: y sn () = V n (), wyznczne są współczynniki wielominu V n () g() = Ae B postulowne rozwiąznie: y sn () = De B, wyznczny jest współczynnik D g() = A sin(d) + B cos(d) postulowne rozwiąznie: y sn () = P sin(d) + R cos(d), wyznczne są współczynniki P i R Ukłd równnie różniczkowych zwyczjnych liniowych pierwszego rzędu o stłych współczynnikch y = y + b z + f () z = y + b z + f () np. dl b z = b y b y b f () z = b y b y b f () y ( + b )y ( b b )y = b f () b f () równnie liniowe drugiego rzędu

13 Zdni X MMF-/3 3 Rozwiązć równni różniczkowe. Tm gdzie zdne są dodtkowe wrunki podć cłkę ogólną i szczególną. y = y 3. y = 3yy 3. y = y y 3, > 4. y(y + y) = 5. ln ( ) y = y 4 6. ln ( ) y = y 4 7. ep ( y tn() ) = y y 8. y + 3 cos() = 3 cos()y. 9. y e +y =,. y = tg(y),. ( + ) y = e y,. sin() y = cos() y, 3. yy e y 4 =, 4. y e 3 y = 3 5. y = (e y y ) 6. y sin(y) = 7. y = ( + y y ) e. 8. (3 )y + (y ) =, 9. y + by = c, (wszystkie przypdki, b, c). cos( + y ) sin( y) =. sin() y = cos() y, jeżeli y(π/) = /π.. y + y y =, jeżeli y() = i y () = y = (3y y), jeżeli y() =, y () = y + 5y 3y + 3 = 5. y + 4y + 3 = 5e 3, jeżeli y() =, y () =. 6. y y + 5 =, jeżeli y() =, y () = y y = 4, jeżeli y() =, y () = y = y, jeżeli y() =, y(ln()) = y + 3y y + 6 sin( /) = 3. y + 6y + 5y = 3. y + 4y + 3y = 4 sin(/) 8 cos(/), jeżeli y() =, y () =, 3. y + 4y 3y = 8 sin() 4 cos(), jeżeli y(π) =, y () = 4, 33. 4y + 4y + 9y = 8 sin() 4 cos(), jeżeli y(π) =, y () = 4, 34. 4y + 4y + y = 5/4 cos(/4), jeżeli y(π) =, y() = 3, 35. Rozwiązć równnie ruchu oscyltor hrmonicznego tłumionego o msie m, stłej sprężystości k i stłej tłumieniγ. Podć wzory ogólne dl stłych cłkowni wyrżonych poprzez () = i v() = v, orz dl dwu specjlnych wrunków początkowych: () = i v() =, orz () = i v() =. Przenlizowć wszystkie przypdki wynikjące z relcji pomiędzy prmetrmi ukłdu.

14 łki podwójne b y () d (y) d f(, y) = dy f(, y) = dy f(, y) y () c (y) dy f(, y) = du dv J(u, v) f ((u, v), y(u, v)) (u, v) (u, v) D(, y) J(u, v) = D(u, v) = u v y(u, v) y(u, v) jkobin u v np. przy zminie współrzędnych krtezjńskich n biegunowe ( = r cos ϕ, y = sin ϕ) J = r. łki potrójne b y () z (, y) dv f(, y, z) = dy dz f(, y, z) V y () z (, y) dy dz f(, y, z) = du dv dw J(u, v, w) f ((u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) V V (u, v, w) (u, v, w) (u, v, w) u v w D(, y, z) J(u, v, w) = D(u, v, w) = y(u, v, w) y(u, v, w) y(u, v, w) u v w z(u, v, w) z(u, v, w) z(u, v, w) u v w np. jkobin przyjmuje nstępującą postć przy zminie współrzędnych: jkobin krtezjńskie cylindryczne ( = r cos ϕ, y = sin ϕ, z = z) J = r krtezjńskie sferyczne ( = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ) J = r sin θ MMF-/3 4 Zdni VIII Obliczyć cłki podwójne:. obszr: kwdrt (, π), y (, π); f(, y) = sin( + by), dl dowolnych stłych i b. obszr: trójkąt (, π), y (, ); f(, y) = sin( + by), dl dowolnych stłych i b 3. obszr: trójkąt o wierzchołkch (, ), (3, ), (, 3); f(, y) = / 5 y, 4. obszr: trójkąt o wierzchołkch (, ), (4, ), (, 4); f(, y) = /( + + y), 5. obszr: trójkąt o wierzchołkch ( 3, ), (, ), (, ); f(, y) = /( + y ), 6. obszr pomiędzy odcinkiem [, π] n osi OX orz krzywą y = sin ; f(, y) = sin y sin, 7. obszr:, y, + y R ; f(, y) = rctn (y/), 8. obszr pomiędzy krzywymi y = sin i y = b sin n odcinku [, π] dl dowolnych stłych i b; f(, y) = +y sin, 9. obszr pomiędzy prostymi: y =, y =, y =, y = ; f(, y) = /( y),

15 MMF-/3 5. obszr dl > zwrty pomiędzy prbolmi: y =, y = 4, y =, y = 3 ; f(, y) = 3 y. Obliczyć cłki potrójne:. obszr: prostopdłościn o wierzchołkch (,, ), (,, ), (,, ), (,, 3); f(, y, z) = /( + + y + z),. obszr: ostrosłup o wierzchołkch (,, ), (,, ), (,, ), (,, 3); f(, y, z) = /( + + y + z), 3. obszr: grnistosłup o podstwie o wierzchołkch (,, ), (,, ), (3,, ) i wysokości h = 4; f(, y, z) = y/ + z, 4. obszr: równoległościn o wierzchołkch (,, ), (,, ), (,, ) i (,, ); f(, y, z) = y + z, 5. obszr: wlec o środku w punkcie (,, ), wysokości h równoległej do osi OZ i o promieniu R; f(, y, z) = + y + z, 6. obszr: kul o środku w punkcie (,, ), i promieniu R; f(, y, z) = + yz, 7. obszr: część wspóln kuli o promieniu R i wlc o promieniu R/, obie bryły mją środek w punkcie (,, ), oś wlc leży wzdłuż osi OY ; f(, y, z) = ( + z)y/( + z ). 8. Wyprowdzić wzory n objętość: wlc, stożk, elipsoidy (półosie, b i c). 9. Obliczyć objętość części wspólnej kuli o promieniu R i stożk o promieniu ϱ i wysokości h: () gdy jego wierzchołek leży w środku kuli, (b) gdy jego wierzchołek leży n powierzchni kuli oś symetrii przechodzi przez środek kuli. Rozwżyć wszystkie przypdki. Jk jest objętość wycink kuli (w ksztłcie stożk) o kącie bryłowym równym sterdinowi? (o to jest sterdin?). Środek kuli o promieniu R umieszczony jest n powierzchni kuli o promieniu R. Obliczyć objętość części wspólnej obu kul (rozwżyć wszystkie przypdki).. Obliczyć objętość obszru ogrniczonego płszczyzną OXY, powierzchnią boczną wlc o równniu + y = 4 orz powierzchnią prboloidy obrotowej z = z + ( + y ).. Moment bezwłdności brył sztywnych względem dnej osi obrotu wyrż się cłką po objętości bryły: I = dv r ϱ(, y, z), V gdzie r jest odległością dnego punktu od osi obrotu. Wyprowdzić wzory n momenty bezwłdności względem wszystkich osi symetrii nstępujących brył o jednorodnie rozłożonej msie cłkowitej M (przyjąć dodtkowe prmetry określjące ksztłt brył): () sześcin, (b) prostopdłościn, (c) wlec, (d) stożek, (e) elipsoid obrotow, (f) torus, (g) sześciormienn gwizdk z choinki.

16 MMF-/3 6 łk krzywoliniow nieskierown (I rodzju) łk po krzywej łączącej punkty A i B, nie zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest nieskierown. Ten sm rezultt otrzymuje się dl cłki po krzywej i po krzywej : AB BA dl f(, y) = dl f(, y) = dl f(, y), gdzie dl element długości krzywej AB BA Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w tki sposób, że poruszjąc się od A do B prmetr rośnie od s A do s B, to: s B ) ( ) ( (s) dy(s) dl f(, y) = ds + f ((s), y(s)) ds ds s A Dl przestrzeni 3-wymirowej: s B ) ( ) ( ) ( (s) dy(s) dz(s) dl f(, y, z) = ds + + f ((s), y(s), z(s)) ds ds ds s A łk krzywoliniow skierown (II rodzju) łk po krzywej łączącej punkty A i B, zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest skierown. Dl cłki po krzywej otrzymuje się przeciwny znk niż dl cłki po krzywej : BA AB f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy = dl F (, y), AB dl F (, y) = (f(, y), g(, y)) i dl = (, dy). Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w kierunku wędrówki po krzywej AB BA s B [ f(, y) + g(, y)dy = ds f((s), y(s)) (s) ds s A AB tk, że s A s s B, to: + g((s), y(s)) dy(s) ] ds łk skierown nie zleży od drogi cłkowni jeżeli wyrżenie podcłkowe jest różniczką zupełną pewnej funkcji Φ(, y): dφ(, y) = f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy = dφ(, y) = Φ( B, y B ) Φ( A, y A ) AB łk po krzywej zmkniętej z różniczki zupełnej jest równ zeru. Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: f(, y) g(, y) = y Dl przestrzeni 3-wymirowej: f(, y, z) + g(, y, z)dy + h(, y, z)dz = dl F (, y, z) = AB s B [ = ds f((s), y(s), z(s)) (s) ds s A + g((s), y(s), z(s)) dy(s) ds AB + h((s), y(s), z(s)) dz(s) ] ds

17 MMF-/3 7 dl F (, y, z) = (f(, y, z), g(, y, z), h(, y, z)) i dl = (, dy, dz). Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: f(, y) y = g(, y), g(, y) z = h(, y) y, h(, y) = f(, y) z

18 Zdni XII MMF-/3 8. Obliczyć cłki krzywoliniowe I rodzju: dl (y 6) to krzyw łącząc punkty A(, ) i B(4, 8): () łmn ADB dl D(4, ), (b) prbol y = /, (c) prost AB, (d) łmn AF B dl F ( 4, 4).. dl ( + ) + y y + y to łmn AB dl A(, ), B(, ) i (, ). 3. dl sin( + y) cos(y) to prost AB dl A(, ) i B(, ). 7. elipsy o długościch półosi i b, 4. dl y y to frgment sinusoidy y = sin n odcinku [π/4, 4π/3]. 5. dl + y 3 + y 3 to wycinek okręgu o promieniu R = i środku w punkcie (, ) leżący w IV ćwirtce ukłdu krtezjńskiego 6. Obliczyć długość nstępujących krzywych: y dl + y to frgment spirli logrytmicznej r = e ϕ/π od punktu A(, ) do punktu B(, e 3/ ) (r i ϕ to współrzędne biegunowe). 9. dowolnego wycink prboli, 8. jednego zwoju spirli logrytmicznej r = r e ϕ,. dowolnego odcink funkcji eksponencjlnej f() = ep().. Obliczyć cłki krzywoliniowe II rodzju: y + dy to krzyw łącząc punkty A(, ) i B(, 4): () prost AB, (b) łmn ADB dl D(, ), (c) łmn AEB dl E(, 5), (d) prbol y = + 6,. (y + y) + ( + y) dy Krzyw identyczn jk w zdniu poprzednim. 3. ( y ) sin() sin 3 () + y cos () + sin y cos() dy () + y to frgment funkcji y = cos / dl nleżących do odcink [ π/3, π/3]. 4. y + y + + y + y + dy Krzyw to półokrąg o środku w punkcie (, ) i promieniu R = leżący w IV i I ćwirtce ukłdu krtezjńskiego. prwdzić, czy poniższe wyrżeni są różniczkmi zupełnymi:

19 5. ( + y) + ( + 3y )dy 6. ( y) + (y y )dy 7. ( 3 5yz) + (y 3 5z)dy + (z 3 5y)dz [ 3 + sin y z 3 + λyz ( ) + y y cos dy + γzy dz ( )] 3 y y cos r + (z y) + r y + y(z ) dy + z r z( + py) dz, dl r = + y + z r 3 r 3 r 3 MMF-/3 9 ( ) dy y

20 MMF-/3 łk powierzchniow niezorientown (I rodzju) łk po płcie powierzchni zdefiniownej funkcją z = ϕ(, y) określoną n dziedzinie D, czyli = {(, y, z); (, y) D; z = ϕ(, y)} ( ) ( ) ϕ(, y) ϕ(, y) d f(, y, z) = dy + + f(, y, ϕ(, y)), y D łk powierzchniow zorientown (II rodzju) łk po płcie zorientownym powierzchni (vide pojęcie elementu zorientownego przy dyskusji iloczynu wektorrowego) zdefiniownej funkcją z = ϕ(, y) określoną n dziedzinie D, czyli = {(, y, z); (, y) D; z = ϕ(, y)} d f(, y, z)dy dz + g(, y, z)dz + h(, y, z) dy = F (, y, z), gdzie F (, y, z) = (f(, y, z), g(, y, z), h(, y, z)), d = ( dy dz, dz, dy) jest dopełnieniem infinitezymlnego elementu powierzchni d. Jeśli z = ϕ(, y), to: d F (, y, z) = D [ ϕ(, y) f(, y, ϕ(, y)) ϕ(, y) g(, y, ϕ(, y)) y + h(, y, ϕ(, y)) łk d F (, y, z) to strumień pol wektorowego F (, y, z) przez powierzchnię zorientowną. ] dy, Wzory łączące cłki krzywoliniowe, powierzchniowe i objętościowe ( ) g(, y) f(, y) wzór Green: f(, y) + g(, y)dy = dy, y gdzie jest krzywą zmkniętą n płszczyźnie OXY ogrniczjącą powierzchnię. wzór tokes: ( h f(, y, z)+g(, y, z)dy+h(, y, z)dz = y g ) ( f dydz+ z z h ) ( g dz+ f ) dy, y gdzie jest krzywą zmkniętą w przestrzeni trójwymirowej, dowolną powierzchnią rozpiętą n tej krzywej. wzór Guss-Ostrogrdskiego: ( f f(, y, z)dy dz+ g(, y, z)dz + h(, y, z) dy = + g y + h ) dv, z V gdzie jest powierzchnią zmkniętą w przestrzeni trójwymirowej, V zwrtą wewnątrz niej objętością.

21 Anliz wektorow MMF-/3 Różniczk zupełn funkcji 3 zmiennych Φ(, y, z) (pol sklrnego) ( Φ(, y, z) Φ(, y, z) Φ(, y, z) Φ(, y, z) dφ = dφ(, y, z) = + dy+ dz =, y z = (, y, ) Φ(, y, z) (, dy, dz) = Φ(, y, z) dr, dl z - opertor różniczkowy nbl, m włsności wektor Φ(, y, z), y dr = (, dy, dz) ) Φ(, y, z) (, dy, d z w szczególności iloczyn sklrny tego opertor przez siebie: = + y + z lplsjn dφ = Φ(, y, z) dr = Φ(, y, z) powierzchni ekwisklrn (Φ(, y, z) = const) Φ(, y, z) grdφ(, y, z) grdient pol sklrnego Φ(, y, z) A (, y, z) A (, y, z) + A y(, y, z) + A z(, y, z) div A (, y, z) dywergencj pol wektorowgo A ( y z ê ê y ê z A (, y, z) rot A (, y, z) rotcj pol wektorowgo A (, y, z) y z A A y A z Jeżeli div A (, y, z) =, to pole A (, y, z) jest bezźródłówe. Jeżeli rot A (, y, z), to pole A (, y, z) jest bezwirowe. twierdzenie tokes: dl A (, y, z)) = d rot A (, y, z), twierdzenie Guss-Ostrogrdskiego: d A (, y, z)) = dv div A (, y, z), V

22 Zdni XIII MMF-/3 Obliczyć cłki powierzchniowe: I rodzju II rodzju. dyz. d ( 5y 3) dy dz + (z + y + ) dz + (yz + y) dy powierzchni trójkąt wycięt z płszczyzny 6y 3z = 6 przez płszczyzny =, y = i z = skierown w stronę pocztku ukłdu współrzednych 3. d(6z y) 4. d y dy dz dz + z dy powierzchni prboloidy obrotowej z = + y dl z 4 skierown n zewnątrz 5. d + z 6. d yz dy dz + ( + y) dz + y dy powierzchni wlc prbolicznego z = y dl 4 i y skierown n zewnątrz 7. d 6z cos( + y) 8. d cos( + y) dy dz 3 cos( + y) dz + (z ) dy skierown w górę powierzchni dn równniem z = sin( + y) dl (, y) P, gdzie P jest prostokątem o wierzchołkch w punktch (π/, ), (, π/), ( π/ 8, π/ 8), (π/ 8, π/ 8) 9. f(, y, z) = + y + z. f(, y, z) = yz z. f(, y, z) = + y Obliczyć grdient nstępujących funkcji:. f(, y, z) = + y + z + y + z 3. f(, y, z) = + y e αz z 4. f(, y, z) = + y Obliczyć dywergencję i rotcję pól wektorowych. Jki jest chrkter tych pól? 5. A (, y, z) = (, y, z). G(, y, z) = ( (r) sin(ϕ), (r) cos(ϕ), ), gdzie 6. (r, ϕ) B (, y, z) = (y, yz, z) 7. to współrzędne biegunowe n płszczyźnie OXY (, y, z) = (yz, yz, yz) 8.. ( H (, y, z) = D(, y, z) = ( cos(y z), sin(y z), sin(y z)) r, y r, z ), gdzie r = + y + z r 9. E (, y, z) = ( e y, z e y, ( z)e y) 3. ( yz J (, y, z) =. r, z r, y ), gdzie r = + y + z r F (, y, z) = ( ln y, y ln(y ), z + z ln y) 4. ( ) sin(ϑ) cos(ϑ) cos(ϕ) cos(ϑ) sin(ϕ) K(, y, z) =,,, r r r gdzie (r, ϕ, ϑ) to współrzędne sferyczne Przedstwić w njprostszej postci nstępujące wyrżeni: (f f(, y, z), A A (, y, z), itp.)

23 MMF-/ div grdf = 6. rot grdf = 7. grd div A = 8. div rot A = 9. rot rot A = Korzystjąc z tw. tokes lub Guss-Ostrogrdskiego i wykorzystują włsności symetrii problemu wyznczyć wektor F = F (, y, z) w dowolnym punkcie przestrzeni, jeśli: 3. div F (, y, z) = f(r), gdzie r = + y + z 3. div F (, y, z) = f(r), gdzie r = + y 3. div F (, y, z) = f(z), 33. rot F (, y, z) = f(r)ê z, gdzie r = + y