Analiza Matematyczna /16

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn 5/6 dr hb. Jn Iwniszewski AM-5/6 Wykłd (dl studentów I roku kierunków: Fizyk, Fizyk Techniczn, Astronomi, Automtyk i Robotyk, Informtyk tosown) wprowdz potwowe pojęci, opercje i metody nlizy mtemtycznej stosowne w fizyce i technice. Główny ncisk położony jest n intuicyjne zrozumienie istoty poszczególnych opercji, przede wszystkim n zdobycie biegłości rchunkowej. Do wykłdu prowdzone są ćwiczeni rchunkowe. Zliczenie przedmiotu nstępuje po zliczeniu ćwiczeń i zdniu egzminu końcowego. Treść wykłdu. liczby, zbiory liczb, relcje, funkcje - bdne obiekty. ciągi, szeregi, grnice, zbieżność 3. rchunek różniczkowy - pochodn, różniczk, szereg Tylor 4. rchunek cłkowy - cłk nieoznczon i oznczon, wielokrotn, krzywoliniow, powierzchniow, 5. równni różniczkowe 6. pol sklrne i wektorowe, nliz wektorow, 7. metody przybliżone 8. prktyczne wykorzystnie nrzędzi nlizy mtemtycznej Zlecn litertur. G. M. Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, T. -3I (PWN, Wrszw, 7). W. Krysicki, L. Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich, T. I-II (PWN, Wrszw, ) 3. W. Korczk, M. Trjdos, Wektory, pochodne, cłki ((PWN, Wrszw, 9) 4. W. Leksiński, I. Nbiłek, W. Żkowski, Mtemtyk dl studiów eksperymentlnych (WNT, Wrszw, 977) 5. K. złjko, Mtemtyk T. (PWN, Wrszw, 984) 6.. Romnowski, W. Wron, Mtemtyk wyźsz dl studiów technicznych (PWN, Wrszw, 96) Pordniki, tblice, G. A. Korn, T. M. Korn, Mtemtyk dl prcowników nukowych i technicznych, cz. i (PWN, Wrszw, 983) 8. red. I Dziubiński, T. Świątkowski, Pordnik Mtemtyczny, cz. i (PWN, Wrszw, 985) 9. I. N. Bronsztejn, K. A. iemiendijew, Mtemtyk, pordnik encyklopedyczny (PWN, Wrszw, 968). B. Piłt, M. J. Wsilewski, Tblice cłek (WNT, Wrszw, 983) Zsdy zliczeni Ćwiczeni krtkówki, zdni domowe ok. zdń, 3 kolokwi ocen końcow: krt. (%) + zd. dom. (%) + kol. (7%) = sum (%) Wykłd egzmin ocen końcow: kolokwi (3%) + zd. egzmin. (7%) = sum (%) uzyskne punkty (w %), ocen końcow: [ 5) nt [5 59) dost [68 77) dob [59 68) dost+ [77 86) dob+ [86 ] bdb

2 Zbiory i liczby AM-5/6 Zbiory liczbowe zbiory A, B,..., elementy zbioru (liczby), b, c,...,,, k np. A := {, b, c,...}, B := {b : wrunek}, X := { k : k = k } k= = {k } k= liczby nturlne N = {,, 3,...} liczby cłkowite Z = {m : m N lub m = lub m N} liczby wymierne Q = {q : q = m } n, m Z i n N liczby rzeczywiste R = Q Q (Q liczby niewymierne) Dl zbiorów A i B definiujemy opercje n zbiorch: A B := {c : c A lub c B} sum A B := {c : c A i c B} iloczyn, przekrój A \ B := {c : c A i c B} różnic A B := {c : c A c B} zwiernie się, inkluzj, A jest podzbiorem B A B = {(, b) : A, b B} iloczyn krtezjński R R R, R R R R 3 N Z Q R liczby zespolone = { c = + i b : R i b R i i = } Kwntyfiktory: kwntyfiktor ogólny: lub dl kżdego, kżdy element zbioru spełni wrunek, np., A < kwntyfiktor szczegółowy: lub istnieje, przynjmniej jeden element zbioru spełni wrunek, np. Zbiór ogrniczony A R ogrniczenie od góry: jeżeli M, to zbiór A jest ogrniczony z góry, M R A M - krniec górny zbioru, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z góry, to M =, njmniejszy krniec górny to kres górny M = inf M (infimum) ogrniczenie od dołu: m A ogrniczony z dołu, m R A m - krniec dolny zbioru, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z dołu, to m =, njwiększy krniec dolny to kres dolny m = sup m (supremum) zbiór ogrniczony z góry i z dołu zbiór ogrniczony Reguły zokrągleń: metod liczby, których część odrzucn w wyniku zokrąglni m postć: 4 - zokrąglenie w dół, np , 5 i 5 - zokrąglenie w górę, np , metod liczby, których część odrzucn w wyniku zokrąglni m postć: 4 - zokrąglenie w dół, np , 5 - zokrąglenie w górę, np , 5 - zokrąglenie do przystej, np..75.8,.85.8, (po wybrniu metody nleży w dnym oprcowniu systemtycznie stosowć tylko tę metodę) zcownie nieznnej wielkości:. wyrżenie poszukiwnej wielkości możliwie prostym wzorem,. oszcownie wrtości wielkości występujących we wzorze, 3. oszcownie wyrżeni liczbowego, A >

3 Przedrostki liczbowe wielokrotności podwielokrotności AM-5/6 3 3 kilo k 3 mili m 6 meg M 6 mikro µ 9 gig G 9 nno n ter T piko p 5 pet P 5 femto f 8 eks E 8 tto dek d decy d hekto h centy c Zdni zcownie rzędu wielkości. Oszcowć wrtość liczbową π ( ) (.4 3 ) 8. Ile wentyltorów o wydjności m 3 /godz nleży zmontowć w sli 6, by powietrze było cłkowicie wymienine rzy n godzinę? 3. Promień Wszechświt szcuje się n 6 m, liczbę nukleonów we Wszechświecie n 8. Oszcowć msę Wszechświt, średnią gęstość mterii i średnią ilość nukleonów w m (Feynmn T I cz. s. 365) Dwno temu, w erze pleozoicznej kropl popołudniowej ulewy updł n błotnistą równinę, pozostwijąc trwły śld. Śld ten w postci skmieliny odkopł pewnego uplnego dni w wiele lt później student geologii. Wysączywszy do dn wodę ze swojej mnierki student ten bezskutecznie się zstnwił, ile cząsteczek wody z tej strożytnej kropli mogło znjdowć się w mnierce, którą przed chwilą opróżnił. próbuj Ty ocenić tę liczbę. 5. Oszcowć jki rezultt osiągnąłby skoczek wzwyż n Księżycu, jeżeli przyspieszenie grwitcyjne jest tm 6-krotnie mniejsze niż n Ziemi. 6. iekły hel m gęstość ρ =.3 g/cm 3. Oszcowć wrtość promieni tomu He zkłdjąc, że tomy są upkowne w njgęstszej możliwej konfigurcji, któr wypełni 74% przestrzeni. 7. Jki wpływ n wyniki konkurencji biegowych miło ustwienie strzeljącego z pistoletu strter n murwie stdionu? Dlczego obecnie zwodnicy mją głośniki wmontowne w bloki strtowe? Jk to pogodzić z fktem, że n mecie fotokomórk ustwion jest w dlszym ciągu z boku bieżni? 8. egł wży kilogrm i pół cegły. Ile elektronów zwier jedn cegł? (Głównym skłdnikiem glinek cermicznych jest kolinit Al i O 9 H 4.)

4 iągi liczbowe AM-5/6 4 Definicje: ciąg liczb nturlnych,, 3, 4,..., n,,... ciąg liczbowy,, 3, 4,..., n,... = { n } n=, { n} N R Klsy ciągów: ciągi monotoniczne: rosnący n < n+ mlejący n > n+ n N n N ciągi ogrniczone: z dołu n m z góry n M m R n N M R n N iąg ogrniczony z dołu i z góry to ciąg ogrniczony. Zbieżność i grnice ciągów Jeżeli n < ε, to jest grnicą ciągu. Zpisujemy: lim n =, ε> N n>n n szczególny przypdek = : lim n =, n n n Jeżeli n i <, to ( n ). n n iąg, który m grnicę, to ciąg zbieżny. iąg, który nie jest zbieżny, jest rozbieżny. n n. Jeżeli E < n, to ciąg m grnicę nieskończoną. Zpisujemy: lim n =, E> N n>n n Podobnie: lim n =, n. n n W tych przypdkch ciąg { n } jest rozbieżny do ± n n +. Twierdzeni o grnicch ciągów kryterium zbieżności Bolzno: iąg { n } m grnicę skończoną n m < ε. ε> N n,m>n dziłni n ciągch: Jeżeli lim n =, lim y n = b i c = const, to: n n grnic iloczynu przez liczbę lim [c n] = c n grnic sumy lim [ n + y n ] = + b n grnic iloczynu lim [ n y n ] = b n [ ] n grnic ilorzu lim = (dl b ) n b Jeżeli lim n n = i {y n } jest ciągiem ogrniczonym, to Jeżeli n n y n z n, orz lim n n = lim n z n =, to y n lim [ n y n ] =. n lim y n =. n Twierdzenie: Jeżeli ciąg monotonicznnie rosnący { n } jest ogrniczony z góry M n n M to m on grnicę skończoną. Jeśli nie jest ogrniczony to grnicą jest +. Anlogicznie dl ciągu monotonicznie mlejącego. ( liczb Euler e n = + n) n e.788 n

5 3 Funkcje AM-5/6 5 Liczb zmienn liczb ozncz konkretny element zbioru (liczbowego), konkretną wrtość dnej wielkości (fizycznej), zmienn ozncz dowolny element zbioru (liczbowego), pewną wielkość (fizyczną) bez precyzowni jej konkretnej wrtości zmienn zdn jest przez zbiór swoich wrtości X, czyli X, zbiór X to obszr zmienności zmiennej gdy X Z to jest zmienną dyskretną, gdy X R to jest zmienną ciągłą funkcj opisuje relcję zchodząc między różnymi zmiennymi, różnymi wielkościmi (fizycznymi) Odwzorownie i funkcj odwzorownie: wzjemne przyporządkownie sobie elementów (liczb) dwóch zbiorów: X y Y Jeżeli odwzorownie jest jednoznczne (jednej wrtości odpowid tylko jedn wrtość y), to odwzorownie nzyw się funkcją: X y = f() Y, X - dziedzin, zbiór rgumentów, Y - przeciwdziedzin, zbiór wrtości Jeżeli jednej wrtości y odpowid tylko jedn wrtość, to funkcj jest wzjemnie jednoznczn. oznczeni funkcji np.: y = f(), y = g(), = h(b),..., le też np. y = y() Rodzje funkcji funkcje złożone funkcje odwrotne y = f(g()) y = f (), czyli = f(y) Klsy funkcji przyst f( ) = f(), ogrniczon z dołu nieprzyst f( ) = f(), ogrniczon z góry okresow f( + ) = f(), ogrniczon monotoniczne rosnąc < f( ) < f( ), monotoniczne mlejąc < f( ) > f( ), Funkcje elementrne i do nich odwrotne potęgowe y = p m R M R m,m R f() m, f() M, m f() M, wykłdnicze y = ( > ), e ep, logrytmiczne y = log ( > ), log e ln, log lg

6 trygonometryczne y = sin, cos, y = tn (= tg), cot (= ctg) AM-5/6 6 cyklometryczne y = rcsin, rccos, y = rctn (= rctg), rccot (= rcctg) Zdni. Określić dziedzinę i przeciwdziedzinę wszystkich funkcji elementrnych (w przypdku funkcji wykłdniczej i logrytmicznej uwzględnić wszystkie możliwe wrtości prmetru ).. Korzystjąc z wzorów n sin( + b), cos( + b) i jedynki trygonometrycznej: () znleźć wzór n tg( + b) i ctg( + b), (b) przetwić sin() ± sin(b) orz cos() ± cos(b) w postci iloczynu funkcji sin i cos, (c) przetwić kżdą funkcję trygonometryczną przez kżdą inną funkcję (wziąć pod uwgę wrtości w różnych ćwirtkch ukłdu współrzędnych) (d) przetwić wszystkie funkcje trygonometryczne od rgumentu połówkowego / (np. sin(/)) przy pomocy funkcji od rgumentu i odwrotnie. 3. Uprościć wyrżeni: () (b) (c) (d) (e) sin ± sin y cos ± cos y sin + sin y sin sin y cos cos y cos + cos y tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b (f) cos(4 rccos()) (g) sin( rctn()) ( ) tn() (h) rcsin + tn() [ ( (i) rccos cos() + cos( π ) ] ) ( ) (j) rctn tn + cot y cot + tn y [ ] sin() (k) rccot sin() [ ( )) ] (l) rcsin cos + rcsin ( cos (m) ln [ (cos (rctn )) cos ( π 3 ) ]

7 Grnice funkcji Jeżeli lim f() = i lim g() = b, to: AM-5/6 7 grnic iloczynu przez sklr grnic sumy grnic iloczynu grnic ilorzu grnic funkcji złożonej lim [c f()] = c lim [f() + g()] = + b (c-dowoln stł) lim [f() g()] = b [ ] f() lim = (dl b ) g() b Jeżeli lim f() = i lim g() = b, to lim g(f()) = b Jeżeli dl kżdego w pewnym otoczeniu punktu zchodzi f() g() h() orz lim f() = lim h() =, to lim g() =. ( pewne grnice: lim + sin() ln( + ) = e lim = lim = ) iągłość funkcji Jeżeli w punkcie = istnieje grnic funkcji lim f() = orz = f( ), to funkcj f() jest ciągł w tym punkcie. Jeżeli funkcj f() jest ciągł w kżdym punkcie zbioru X, to jest ciągł n tym zbiorze. Włsności ciągłości: Jeżeli f() i g() są ciągłe w =, to iloczyn przez liczbę, sum, iloczyn, ilorz, złożenie tych funkcji są ciągłe. Zdni Wyznczyć nstępujące grnice (znk ± ozncz, że nleży policzyć dwie różne grnice dl tej smej funkcji): +. lim ± 3 +. lim ± 3. lim ± lim, ±, ±, ± lim, dl > 6. lim tn tn 7. lim rctn cos 8. lim sin 4 ( tn + 9. lim π/ ) π/ Pokzć, że: + 3. lim + 5. lim = 5 3 ( + ) = e. lim ( + ) = e ln( + ) 3. lim = log ( + ) 4. lim = ln() e 5. lim = 6. lim = ln() sin() 7. lim = 8. lim cos() =

8 4 Różniczkownie AM-5/6 8 Definicj pochodnej grnic ilorzu różnicowego y = dy = df() = lim f( + ) f() f( ) f() = lim Interpretcj: pochodn funkcji w dnym punkcie równ jest wrtości współczynnik nchyleni (współczynnik kierunkowego) stycznej do krzywej dnej przez wykres funkcji w tym punkcie. Włsności: Pochodn sumy Pochodn iloczynu Pochodn funkcji złożonej Pochodn funkcji odwrotnej d df() [f() + g()] = d + dg() df() [f()g()] = g() + f()dg() d df(y) f [g()] = y=g() dg() dy [ ] d df(y) f () = dy y=f () Różniczk: - różniczk zmiennej - nieskończenie mły (infinitezymlny) przyrost wrtości zmiennej dy = df = df() = f () - różniczk funkcji y = f() - liniow część przyrostu y wrtości funkcji przy infinitezymlnej zminie wrtości rgumentu Pochodne wyższego rzędu: drug pochodn pochodn n-tego rzedu Zdni y y = lim = d y = d y (n) = f() (n) = dn f() n { } ( ) d d y = y = d y = d y = y() = d f() = f () (). Wyprowdzić wzór n pochodną ilorzu dwóch funkcji: () bdjąc grnicę ilorzu różnicowego, (b) korzystjąc ze wzorów n pochodną iloczynu, funkcji złożonej i funkcji potęgowej,. Wyznczyć różniczkę sumy, iloczynu i ilorzu dwóch funkcji, orz funkcji złożonej i odwrotnej. 3. Korzystjąc z definicji (grnic ilorzu różnicowego) znleźć pochodne nstępujących funkcji: /, ( + )/( ), /(3 ),, 3, e, cos()/. 4. Obliczyć pochodne wszystkich funkcji elementrnych korzystjąc tylko z definicji (grnic ilorzu różnicowego), z wzorów n pochodną sumy, iloczynu, funkcji złożonej i funkcji odwrotnej, z obliczonych już pochodnych innych funkcji elementrnych, orz ze znnych relcji między funkcjmi. 5. Korzystjąc ze znjomości pochodnych funkcji elementrnych orz ze wzorów n pochodną sumy, iloczynu, itd., obliczyć pochodne nstępujących funkcji (rezultt podć w możliwie njprostszej postci):. y = ,. y = ( + 3 ) 5, 3. 4 y = 3 3, 3 4. ( ) y = 3 +, 5. y = log ( sin + sin ) cot(3) cot() + 6. y = cot() cot(3), 7. y = ln ( sin(3)), ( ) 8. y = rctn +,, 9. y = ( ) ( +.5) ( ) 3. y =,. y = ln ( e e ), ( + ) 5 (3 3),. y = log b (), 3. y = log ( 3 ), 3 4. y = e w [A sin() + B cos(b)], 5. y = sin (tn()), 6. y = rctn() ln ( + ), [ ( )] 7. y = cos rcsin +.

9 5 zereg Tylor AM-5/6 9 f() = n k= Dl = szereg Tylor nzyw się szeregiem Mclurin: Zdni k! f (k) ( ) ( ) k + R n (; ) f() = n j= j! f (j) () j + R n (). Rozwinąć w szereg Tylor uwzględnijąc wyrzy rzędu ( ) 5 : () w punkcie = wszystkie funkcje elementrne, które są w tym punkcie określone, (b) w punkcie = funkcje p (dl p < ), ln, log, cot, (c) w punkcie = π/4 wszystkie funkcje trygonometryczne, w = π/ te z nich, które są tm określone. Których funkcji elementrnych nie możn rozwinąć w szereg Tylor ni w =, ni w =?. Wyznczyć trzy początkowe różne od zer wyrzy szeregu Tylor nstępujących funkcji: () f() = + +, w punkcie =, 3 ) (b) f() = rccos( π, w punkcie = 3, (c) f() = rctn ( 3 ) w punkcie = 3, 3. Wyznczyć trzy początkowe różne od zer wyrzy szeregu Mclurin nstępujących funkcji: () f() = 4 +, (b) f() = 3 (g) f() = e, 3, (h) f() = ln + (c) f() =,, + (d) f() = 3 ( 6+5 ), (e) f() = + ( + ) /, (f) f() = ( e ), (i) f() = ln [ + ]. (j) f() = ln(++ ) +, (k) f() = ln(cos()), (l) f() = [ sin ( π ) π ], 4. Ile wyrzów rozwinięci w szereg Mclurin funkcji e nleży wykorzystć by otrzymć dokłdność rzędu. dl =,.5,.,.5,.? Dl uzyskni wrtości dokłdnych możn posłużyć się tblicmi lub obliczenimi n klkultorze. 5. Wykorzystując rozwinięcie w szereg Tylor funkcji rctn() (w jkim punkcie?) wyznczyć liczbę π z dokłdnością do dwóch cyfr po przecinku. 6. Korzystjąc z rozwinięci w szereg Tylor i znnych wrtości funkcji podć przybliżoną wrtość liczbową (z dokłdnością do.) nstępujących wyrżeń: 3.95, cos(36 ), cos( ), tn ( 9 4 π), (.)., ln(.8) (wrtości liczb e i π obliczyć tkże korzystjąc z szeregu Tylor).

10 6 łk nieoznczon AM-5/6 Funkcj pierwotn Związek z pochodną Liniowość d f() = df (), f() = f(), [f() + bg()] = f() = F () + const df() f() + b = f() + const g() łkownie przez potwienie (zminę zmiennych) f() = dyf (g(y)) g (y), gdzie = g(y) łkownie przez części f ()g() = f()g() f()g () Zdni. Obliczyć cłki nieoznczone wszystkich funkcji elementrnych.. Obliczyć poniższe cłki. Jeżeli w którejś pojwi sie prmetr, b, itd, to cłkując rozwżyć wszystkie możliwe wrtości prmetru(trów) sin( 3) ( 3) sin cos + 4 sin cos + 4 sin sin() 4 cos + cos + cos sin + cos e + 3e e + e + e e e cot cot + rctn() cos rccos(sin ) cos rccos(sin ) sin rccos(sin 3) ( + 5) 6 +

11 cos cos 3 cos 4 sin sin cos sin cos sin sin cos e ln ln( 3) ln ln( ) (sin ) (cos ) [ (cos( )] 3 rccos rccos rctn() + 4 cot() cos() ( + 5) b [5 + 6 cos()] sin 4 cos ( 3) e 6 ( 6) e 3 tn() ln(cos ) ) ( rccot( 3 ) sin() cos(b) sin cos e 3 ( ) rcsin e [b sin(w) + c cos(w)] (e + e ) rctn(e ) AM-5/6 Pochodne i cłki funkcji elementrnych UWAGA: zwrócić uwgę n dziedziny wszystkich funkcji!!! f() d f() f() (bez stłej cłkowni) { ( + ) + ( ) ln ( = ) e e e (ln ) (ln ) ln ln log (ln ) log (ln ) sin cos cos cos sin sin tn (cos ) ln cos cot (sin ) ln sin rcsin ( ) rcsin + ( ) rccos ( ) rccos ( ) rctn ( + ) rctn ln ( + ) rccot ( + ) rccot + ln ( + )

12 7 łk oznczon AM-5/6 Problem - pole trpezu krzywoliniowego: Jkie jest pole powierzchni zwrtej pomiędzy krzywą y = f(), osią OX, orz prostymi równoległymi do osi OY przechodzącymi przez punkty = i = b? P n k= k f( k ), k = k k, k [ k, k ] um i cłk Riemnn n P = lim k f( k ) = n k=. lim n m { k} = b f(). grnic nie zleży od sposobu podziłu odcink (, b) 3. grnic nie zleży od punktów, w których liczone są wrtości f() (cłk oznczon, i b - doln i górn grnic cłkowni) Potwowe włsności f() =, b f() = b f(), b f() = c f() + b c f() f() dl (, b) f() g() dl (, b) Twierdzenie o wrtości średniej Jeśli f() jest cigł i ogrniczon n (, b), to: b Potwowy wzór rchunku cłkowego b b b f() f() b g() f() = f( )(b ), dl pewnego [, b] d dy f(y) = f() f() = F (b) F (), gdzie łkownie przez potwienie (zminę zmiennych) Jeśli = g(y) jest funkcją wzjemnie jednoznczną, to: f() = F () + łki niewłściwe b f() = v u dyf (g(y)) g (y), gdzie u = g (), v = g (b) Jeśli obszr cłkowni jest nieogrniczony [, ], [, b],[, ], to: f() = lim b b f(); b f() = b lim f(); f() = lim lim b b f(). Jeśli w przedzile cłkowni [, b] funkcj jest nieogrniczon, tzn. b f() = lim c c c c [,b] b f() + lim f() c c c lim f() ±, to: c Jeśli c =, to b b f() = lim f(); ɛ + +ɛ jeśli c = b, to b f() = lim ɛ + b ɛ f().

13 Zdni Obliczyć nstępujące cłki oznczone (dl cłek niewłściwych podć czy są one zbieżne czy rozbieżne): AM-5/ ln 3 + ( 3 + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ln e e e e e + e e, > e, > e, > e, > ln e ln e e e ln(π) e π π π π π π π π 4 5π 6 π 6 π 4 π 6 π π (ln ) + (ln ) cos 3 () sin 3 () cos 3 () sin 5 () cos() sin(3) cos() sin cos () sin(4) cos + sin ( π 6 ) sin( 4) /3 3 3 / π 3 π cos(3π) ( ) e cos rccos ( ) ( + )rccot rtn() (4 3)rcos() rctn ( ) + 4 [ ( sin + sin π )] ( ) ln π

14 8 Równni różniczkowe AM-5/6 4 Równnie różniczkowe zwyczjne pierwszego rzędu F (y, y, ) = rozwiąznie ogólne (o) y o = y o (; ) - rodzin funkcji zmiennej sprmetryzown przez (stłą cłkowni) rozwiąznie szczególne (s) y s = y s () - jedn z funkcji z rodziny y o (; ) o konkretnej wrtości prmetru Równnie o rozdzielonych zmiennych F (y, y, ) f(y)y g() = f(y)y = g() f(y)y = dyf(y) = g() Równnie liniowe F (y, y, ) y + f()y g() = równnie liniowe jednorodne (j) y + f()y = równnie liniowe niejednorodne (n) y + f()y = g() y on (; ) = y oj (; ) + y sn (). y + f()y = metod rozdzieleni zmiennych y oj (; ) = ep ( f() ). y + f()y = g() metod uzmiennini stłej y sn () = D() ep ( f() ) D () = g() ep ( f() ) Równnie różniczkowe zwyczjne liniowe drugiego rzędu o stłych współczynnikch F (y, y, y, ) y + y + by g() = y on (;, ) = y oj (;, ) + y sn (). y + y + by = postulown postć rozwiązni y oj (;, ) = e λ + e λ, gdzie λ = λ, to rozwiązni równni λ + λ + by =. y + y + by = g() g() = A = const postulowne rozwiąznie: y sn () = B = const, wyznczny jest współczynnik B. g() = W n () postulowne rozwiąznie: y sn () = V n (), wyznczne są współczynniki wielominu V n () g() = Ae B postulowne rozwiąznie: y sn () = De B, wyznczny jest współczynnik D g() = A sin(d) + B cos(d) postulowne rozwiąznie: y sn () = P sin(d) + R cos(d), wyznczne są współczynniki P i R Ukłd równnie różniczkowych zwyczjnych liniowych pierwszego rzędu o stłych współczynnikch y = y + b z + f () z = y + b z + f () np. dl b z = b y b y b f () z = b y b y b f () Zdni Rozwiązć równni różniczkowe. Tm gdzie zdne są dodtkowe wrunki podć cłkę ogólną i szczególną. y = y 3. y = 3yy 3. y = y y 3, > 4. y(y + y) = ( ) 5. ln y = y 4 ( ) 6. ln y = y 4 7. ep ( y tn() ) = y y 8. y + 3 cos() = 3 cos()y. 9. y e +y =,. y = tg(y),. ( + ) y = e y,. sin() y = cos() y, 3. yy e y 4 =, 4. y e 3 y = 3 5. y = (e y y ) 6. y sin(y) = 7. y = ( + y y ) e. 8. (3 )y + (y ) =, 9. y + by = c, (wszystkie przypdki, b, c). cos( + y ) sin( y) =. sin() y = cos() y, jeżeli y(π/) = /π.

15 . y + y y =, jeżeli y() = i y () = 3. AM-5/ y = (3y y), jeżeli y() =, y () = y + 5y 3y + 3 = 5. y + 4y + 3 = 5e 3, jeżeli y() =, y () =. 6. y y + 5 =, jeżeli y() =, y () = y y = 4, jeżeli y() =, y () = y = y, jeżeli y() =, y(ln()) = y + 3y y + 6 sin( /) = 3. y + 6y + 5y = 3. y + 4y + 3y = 4 sin(/) 8 cos(/), jeżeli y() =, y () =, 3. y + 4y 3y = 8 sin() 4 cos(), jeżeli y(π) =, y () = 4, 33. 4y + 4y + 9y = 8 sin() 4 cos(), jeżeli y(π) =, y () = 4, 34. 4y + 4y + y = 5/4 cos(/4), jeżeli y(π) =, y() = 3, 35. Rozwiązć równnie ruchu oscyltor hrmonicznego tłumionego o msie m, stłej sprężystości k i stłej tłumieni γ. Podć wzory ogólne dl stłych cłkowni wyrżonych poprzez () = i v() = v, orz dl dwu specjlnych wrunków początkowych: () = i v() =, orz () = i v() =. Przenlizowć wszystkie przypdki wynikjące z relcji pomiędzy prmetrmi ukłdu.

16 9 łki wielokrotne AM-5/6 6 łki podwójne b y () d (y) d f(, y) = dy f(, y) = dy f(, y) y () c (y) dy f(, y) = du dv J(u, v) f ((u, v), y(u, v)) D(, y) (u, v) (u, v) J(u, v) = D(u, v) = u v (u, v) (u, v) jkobin u v np. przy zminie współrzędnych krtezjńskich n biegunowe ( = r cos ϕ, y = sin ϕ): J = r. łki potrójne b y () z (, y) dv f(, y, z) = dy dz f(, y, z) V y () z (, y) dy dz f(, y, z) = du dv dw J(u, v, w) f ((u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) V V (u, v, w) (u, v, w) (u, v, w) D(, y, z) J(u, v, w) = D(u, v, w) = u v w (u, v, w) (u, v, w) (u, v, w) u v w z(u, v, w) z(u, v, w) z(u, v, w) u v w np. jkobin przyjmuje nstępującą postć przy zminie współrzędnych: jkobin krtezjńskie cylindryczne ( = r cos ϕ, y = sin ϕ, z = z) J = r krtezjńskie sferyczne ( = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ) J = r sin θ Zdni Obliczyć cłki podwójne:. obszr: kwdrt (, π), y (, π); f(, y) = sin( + by), dl dowolnych stłych i b. obszr: trójkąt (, π), y (, ); f(, y) = sin( + by), dl dowolnych stłych i b 3. obszr: trójkąt o wierzchołkch (, ), (3, ), (, 3); f(, y) = / 5 y, 4. obszr: trójkąt o wierzchołkch (, ), (4, ), (, 4); f(, y) = /( + + y), 5. obszr: trójkąt o wierzchołkch ( 3, ), (, ), (, ); f(, y) = /( + y ), 6. obszr pomiędzy odcinkiem [, π] n osi OX orz krzywą y = sin ; f(, y) = sin y sin, 7. obszr:, y, + y R ; f(, y) = rctn (y/), 8. obszr pomiędzy krzywymi y = sin i y = b sin n odcinku [, π] dl dowolnych stłych i b; f(, y) = +y sin, 9. obszr pomiędzy prostymi: y =, y =, y =, y = ; f(, y) = /( y),. obszr dl > zwrty pomiędzy prbolmi: y =, y = 4, y =, y = 3 ; f(, y) = 3 y.

17 Obliczyć cłki potrójne: AM-5/6 7. obszr: prostopdłościn o wierzchołkch (,, ), (,, ), (,, ), (,, 3); f(, y, z) = /( + + y + z),. obszr: ostrosłup o wierzchołkch (,, ), (,, ), (,, ), (,, 3); f(, y, z) = /( + + y + z), 3. obszr: grnistosłup o potwie o wierzchołkch (,, ), (,, ), (3,, ) i wysokości h = 4; f(, y, z) = y/ + z, 4. obszr: równoległościn o wierzchołkch (,, ), (,, ), (,, ) i (,, ); f(, y, z) = y + z, 5. obszr: wlec o środku w punkcie (,, ), wysokości h równoległej do osi OZ i o promieniu R; f(, y, z) = + y + z, 6. obszr: kul o środku w punkcie (,, ), i promieniu R; f(, y, z) = + yz, 7. obszr: część wspóln kuli o promieniu R i wlc o promieniu R/, obie bryły mją środek w punkcie (,, ), oś wlc leży wzdłuż osi OY ; f(, y, z) = ( + z)y/( + z ). Inne zdni: 8. Wyprowdzić wzory n objętość: wlc, stożk, elipsoidy (półosie, b i c). 9. Obliczyć objętość części wspólnej kuli o promieniu R i stożk o promieniu ϱ i wysokości h: () gdy jego wierzchołek leży w środku kuli, (b) gdy jego wierzchołek leży n powierzchni kuli oś symetrii przechodzi przez środek kuli. Rozwżyć wszystkie przypdki. Jk jest objętość wycink kuli (w ksztłcie stożk) o kącie bryłowym równym sterdinowi? (o to jest sterdin?). Środek kuli o promieniu R umieszczony jest n powierzchni kuli o promieniu R. Obliczyć objętość części wspólnej obu kul (rozwżyć wszystkie przypdki).. Obliczyć objętość obszru ogrniczonego płszczyzną OXY, powierzchnią boczną wlc o równniu +y = 4 orz powierzchnią prboloidy obrotowej z = z + ( + y ).. Moment bezwłdności brył sztywnych względem dnej osi obrotu wyrż się cłką po objętości bryły: I = dv r ϱ(, y, z), V gdzie r jest odległością dnego punktu od osi obrotu. Wyprowdzić wzory n momenty bezwłdności względem wszystkich osi symetrii nstępujących brył o jednorodnie rozłożonej msie cłkowitej M (przyjąć dodtkowe prmetry określjące ksztłt brył): () sześcin, (b) prostopdłościn, (c) wlec, (d) stożek, (e) elipsoid obrotow, (f) torus, (g) sześciormienn gwizdk z choinki.

18 Anliz wektorow AM-5/6 8 Różniczk zupełn funkcji 3 zmiennych Φ(, y, z) (pol sklrnego) ( Φ(, y, z) Φ(, y, z) Φ(, y, z) Φ(, y, z) dφ = dφ(, y, z) = + dy + dz =, z = (,, ) Φ(, y, z) (, dy, dz) = Φ(, y, z) dr, dl z - opertor różniczkowy nbl, m włsności wektor Φ(, y, z), dr = (, dy, dz) w szczególności iloczyn sklrny tego opertor przez siebie: = + + z lplsjn dφ = Φ(, y, z) dr = Φ(, y, z) powierzchni ekwisklrn (Φ(, y, z) = const) Φ(, y, z) grdφ(, y, z) grdient pol sklrnego Φ(, y, z) ) Φ(, y, z) (, dy, dz) = z grdient pol sklrnego wyzncz kierunek njwiększej zminy (wrtości) pol, kierunek njszybszego spdku A (, y, z) A (, y, z) A (, y, z) + A y(, y, z) + A z(, y, z) z div A(, y, z) dywergencj pol wektorowgo A (, y, z) ê ê y ê z rot A (, y, z) rotcj pol wektorowgo A(, y, z) z A A y A z Jeżeli div A(, y, z) =, to pole A(, y, z) jest bezźródłówe. Jeżeli rot A(, y, z) =, to pole A(, y, z) jest bezwirowe. Zdni Obliczyć grdient nstępujących funkcji:. f(, y, z) = + y + z. f(, y, z) = yz z 3. f(, y, z) = + y 4. f(, y, z) = + y + z + y + z 5. f(, y, z) = + y e αz z 6. f(, y, z) = + y Obliczyć dywergencję i rotcję pól wektorowych. Jki jest chrkter tych pól? 7. A (, y, z) = (, y, z) 8. B (, y, z) = (y, yz, z) 9. (, y, z) = (yz, yz, yz). D(, y, z) = ( cos(y z), sin(y z), sin(y z)). E (, y, z) = ( e y, z e y, ( z)e y). F (, y, z) = ( ln y, y ln(y ), z + z ln y ) 3. G(, y, z) = ( (r) sin(ϕ), (r) cos(ϕ), ), gdzie (r, ϕ) to współrzędne biegunowe n płszczyźnie OXY 4. ( H (, y, z) = r, y r, z ), gdzie r = + y + z r 5. ( yz J (, y, z) = r, z r, y ), gdzie r = + y + z r 6. ( ) sin(ϑ) cos(ϑ) cos(ϕ) cos(ϑ) sin(ϕ) K(, y, z) =,,, r r r gdzie (r, ϕ, ϑ) to współrzędne sferyczne Przetwić w njprostszej postci nstępujące wyrżeni: 7. div grdf = 8. rot grdf = 9. grd div A =. div rot A =. rot rot A = dl f f(, y, z), A A(, y, z).

19 łki krzywoliniowe i powierzchniowe AM-5/6 9 łk krzywoliniow nieskierown (I rodzju) łk po krzywej łączącej punkty A i B, nie zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest nieskierown. Ten sm rezultt otrzymuje się dl cłki po krzywej i po krzywej BA : dl f(, y) = dl f(, y) = dl f(, y), gdzie dl element długości krzywej BA Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w tki sposób, że poruszjąc się od A do B prmetr rośnie od s A do s B, to: s B ((s) ) ( ) dy(s) dl f(, y) = + f ((s), y(s)) s A Dl przestrzeni 3-wymirowej: s B ((s) ) ( ) ( ) dy(s) dz(s) dl f(, y, z) = + + f ((s), y(s), z(s)) s A łk krzywoliniow skierown (II rodzju) Dl przestrzeni -wymirowej: łk po krzywej łączącej punkty A i B, zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest skierown. Dl cłki po krzywej BA otrzymuje się przeciwny znk niż dl cłki po krzywej : f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy = dl F (, y), dl F (, y) = (f(, y), g(, y)) i dl = (, dy). Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w kierunku wędrówki po krzywej BA tk, że s A s s B, to: s B [ f(, y) + g(, y)dy = f((s), y(s)) (s) + g((s), y(s)) dy(s) ] s A łk skierown nie zleży od drogi cłkowni, jeżeli wyrżenie podcłkowe jest różniczką zupełną pewnej funkcji Φ(, y): dφ(, y) = f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy = dφ(, y) = Φ( B, y B ) Φ( A, y A ) łk po krzywej zmkniętej z różniczki zupełnej jest równ zeru. Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: f(, y) = g(, y) Dl przestrzeni 3-wymirowej: f(, y, z) + g(, y, z)dy + h(, y, z)dz = dl F (, y, z) = s B [ = f((s), y(s), z(s)) (s) + g((s), y(s), z(s)) dy(s) + h((s), y(s), z(s)) dz(s) ] s A dl F (, y, z) = (f(, y, z), g(, y, z), h(, y, z)) i dl = (, dy, dz). Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: f(, y) = g(, y), g(, y) z = h(, y), h(, y) = f(, y) z

20 Zdni Obliczyć cłki krzywoliniowe I rodzju:. dl (y 6) to krzyw łącząc punkty A(, ) i B(4, 8): () łmn ADB dl D(4, ), (b) prbol y = /, (c) prost, (d) łmn AF B dl F ( 4, 4).. dl ( + ) + y y + y to łmn dl A(, ), B(, ) i (, ). 3. dl sin( + y) cos(y) to prost dl A(, ) i B(, ). 4. y dl y AM-5/6 to frgment sinusoidy y = sin n odcinku [π/4, 4π/3]. 5. dl + y 3 + y 3 to wycinek okręgu o promieniu R = i środku w punkcie (, ) leżący w IV ćwirtce ukłdu krtezjńskiego 6. y dl + y to frgment spirli logrytmicznej r = e ϕ/π od punktu A(, ) do punktu B(, e 3/ ) (r i ϕ to współrzędne biegunowe). Obliczyć długość nstępujących krzywych: 7. elipsy o długościch półosi i b, 8. jednego zwoju spirli logrytmicznej r = r e ϕ, 9. dowolnego wycink prboli,. dowolnego odcink funkcji eksponencjlnej f() = ep(). Obliczyć cłki krzywoliniowe II rodzju:. y + dy to krzyw łącząc punkty A(, ) i B(, 4): 3. ( y ) sin() sin 3 () y cos() + dy + y cos () sin () + y () prost, (b) łmn ADB dl D(, ), (c) łmn AEB dl E(, 5), (d) prbol y = + 6,. (y + y) + ( + y) dy Krzyw identyczn jk w zdniu poprzednim. to frgment funkcji y = cos / dl nleżących do odcink [ π/3, π/3]. 4. y + y + + y + y + dy Krzyw to półokrąg o środku w punkcie (, ) i promieniu R = leżący w IV i I ćwirtce ukłdu krtezjńskiego. prwdzić, czy poniższe wyrżeni są różniczkmi zupełnymi: 5. ( + y) + ( + 3y )dy 6. ( y) + (y y )dy 7. ( 3 5yz) + (y 3 5z)dy + (z 3 5y)dz y z 3 + λyz γzy dy + dz [ ( ) ( 3 + sin + y y cos y )] 3 y cos ( ) dy y. r + (z y) r 3 + r y + y(z ) r 3 dy + z r z( + py) r 3 dz, dl r = + y + z

21 łk powierzchniow niezorientown (I rodzju) łk po płcie powierzchni zdefiniownej funkcją z = ϕ(, y) określoną n dziedzinie D, czyli = {(, y, z); (, y) D; z = ϕ(, y)} ( ) ( ) ϕ(, y) ϕ(, y) d f(, y, z) = dy + + f(, y, ϕ(, y)), D AM-5/6 łk powierzchniow zorientown (II rodzju) łk po płcie zorientownym powierzchni (vide pojęcie elementu zorientownego przy dyskusji iloczynu wektorrowego) zdefiniownej funkcją z = ϕ(, y) określoną n dziedzinie D, czyli = {(, y, z); (, y) D; z = ϕ(, y)} d f(, y, z)dy dz + g(, y, z)dz + h(, y, z) dy = F (, y, z), gdzie F (, y, z) = (f(, y, z), g(, y, z), h(, y, z)), d = ( dy dz, dz, dy) jest dopełnieniem infinitezymlnego elementu powierzchni d. Jeśli z = ϕ(, y), to: d F (, y, z) = D [ ϕ(, y) f(, y, ϕ(, y)) ϕ(, y) g(, y, ϕ(, y)) łk d F (, y, z) to strumień pol wektorowego F (, y, z) przez powierzchnię zorientowną. ] + h(, y, ϕ(, y)) dy, Wzory łączące cłki krzywoliniowe, powierzchniowe i objętościowe wzór Green: ( g(, y) f(, y) + g(, y)dy = gdzie jest krzywą zmkniętą n płszczyźnie XY ogrniczjącą powierzchnię. wzór tokes: f(, y, z) + g(, y, z)dy + h(, y, z)dz = ) f(, y) dy, ( h g ) ( f dydz + z z h ) ( g dz + f ) dy, gdzie jest krzywą zmkniętą w przestrzeni trójwymirowej, dowolną powierzchnią rozpiętą n tej krzywej. wzór Guss-Ostrogrkiego: ( f f(, y, z)dy dz + g(, y, z)dz + h(, y, z) dy = + g + h ) dv, z V gdzie jest powierzchnią zmkniętą w przestrzeni trójwymirowej, V zwrtą wewnątrz niej objętością.

22 Zdni Obliczyć cłki powierzchniowe: AM-5/6 I rodzju II rodzju. dyz. d ( 5y 3) dy dz + (z + y + ) dz + (yz + y) dy powierzchni trójkąt wycięt z płszczyzny 6y 3z = 6 przez płszczyzny =, y = i z = skierown w stronę pocztku ukłdu współrzednych 3. d(6z y) 4. d y dy dz dz + z dy powierzchni prboloidy obrotowej z = + y dl z 4 skierown n zewnątrz 5. d + z 6. d yz dy dz+ (+y) dz + y dy powierzchni wlc prbolicznego z = y dl 4 i y skierown n zewnątrz 7. d 6z cos( + y) 8. d cos( + y) dy dz 3 cos(+y) dz + (z ) dy skierown w górę powierzchni dn równniem z = sin( + y) dl (, y) P, gdzie P jest prostokątem o wierzchołkch w punktch (π/, ), (, π/), ( π/ 8, π/ 8), (π/ 8, π/ 8) Korzystjąc z tw. tokes lub Guss-Ostrogrkiego i wykorzystują włsności symetrii problemu wyznczyć wektor F = F (, y, z) w dowolnym punkcie przestrzeni, jeśli: 9. div F (, y, z) = f(r), gdzie r = + y + z. div F (, y, z) = f(r), gdzie r = + y. div F (, y, z) = f(z),. rot F (, y, z) = f(r)ê z, gdzie r = + y

23 4. łk krzywoliniow nieskierown (. rodz.) - 4. łki krzywoliniowe i powierzchniowe n f( i, ỹ i ) l i i= lim n n i= f( i, ỹ i ) l i = dl f(, y) łk po krzywej łcz cej punkty A i B, nie zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest nieskierown. Ten sm rezultt otrzymuje się dl cłki po krzywej i po krzywej BA : dl f(, y) = dl f(, y) = dl f(, y), dl element dªugo±ci krzywej BA 4. łk krzywoliniow nieskierown (. rodz.) - = dy s, y = [ s ( l = + y = ) + Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w tki sposób, że poruszjc się od A do B prmetr rośnie od s A do s B, to: s B ((s) ) ( ) dy(s) dl f(, y) = + f ((s), y(s)) s A Dl przestrzeni 3-wymirowej: s B ((s) ) ( dy(s) dl f(, y, z) = + s A ) + ( dz(s) ( ) ] dy s ) f ((s), y(s), z(s)) 4.3 łk krzywoliniow skierown (. rodz.) - łk po krzywej łcz cej punkty A i B, zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest skierown. Dl cłki po krzywej otrzymuje się przeciwny znk niż dl cłki po krzywej : f(, y) + g(, y)dy = f(, y) + g(, y)dy BA f(, y) + g(, y)dy = dl F (, y), F (, y) = (f(, y), g(, y)) pole wektorowe dl = (, dy) BA Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w kierunku wędrówki po krzywej tk, że s A s s B, to: s B f(, y)+g(, y)dy = s A [ f((s), y(s)) (s) + g((s), y(s)) dy(s) ] 4.4 łk krzywoliniow skierown (. rodz.) łk krzywoliniow skierown (. rodz.) - 3 łk skierown nie zleży od drogi cłkowni, jeżeli wyrżenie podcłkowe jest różniczk zupełn pewnej funkcji Φ(, y): dφ(, y) = f(, y) + g(, y)dy f(, y) + g(, y)dy = dφ(, y) = Φ( B, y B ) Φ( A, y A ) f(, y) + g(, y)dy = dφ(, y) = łk po krzywej zmkniętej z różniczki zupełnej jest równ zeru. Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: f(, y) = g(, y) s B Dl przestrzeni 3-wymirowej: f(, y, z) + g(, y, z)dy + h(, y, z)dz = dl F (, y, z) = [ = f((s), y(s), z(s)) (s) ] +g((s), y(s), z(s))dy(s) +h((s), y(s), z(s))dz(s) s A dl F (, y, z) = (f(, y, z), g(, y, z), h(, y, z)) i dl = (, dy, dz). Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego: f(, y) = g(, y), g(, y) z = h(, y), h(, y) = f(, y) z

24 4.6 łk powierzchniow niezorientown (. rodz.) łk funkcji z = f(, y) po płcie powierzchni opisnej funkcj z = ϕ(, y) określon n dziedzinie D, czyli = {(, y, z); (, y) D; z = ϕ(, y)} n f( i, ỹ i, z i ) i lim i= n i= ϕ(, y) z = ϕ,, z y ϕ, y y = (,, z ), AD = (, y, z y ) AD = ( z y, z y, y) = + (ϕ, ) + (ϕ, y ) y n f( i, ỹ i, z i ) i = d f(, y, z) ( ) ( ) ϕ(, y) ϕ(, y) d f(, y, z) = dy + + f(, y, ϕ(, y)) D 4.7 łk powierzchniow zorientown (. rodz.) - pole wektorowe F (, y, z) = (f(, y, z), g(, y, z), h(, y, z)) płt powierzchni zorientownej opisnej funkcj z = ϕ(, y) określon n dziedzinie D, czyli = {(, y, z); (, y) D; z = ϕ(, y)} dopełnienie elementu powierzchni = (, y, z )= ( y z, z, y) d = (d, d y, d z ) = (dydz, dz, dy) n (f( i, ỹ i, z i ) i + g( i, ỹ i, z i ) y i + h( i, ỹ i, z i ) i z ) i= f(, y, z)dy dz + g(, y, z)dz + h(, y, z) dy = d F (, y, z) np. jeśli F (, y, z) styczny do płtu, to cłk znik 4.8 łk powierzchniow zorientown (. rodz.) - = Jeśli z = ϕ(, y), to np. D(y, z) f(, y, z)dy dz = f(, y, ϕ(, y))j(, y) dy, J = D(, y) = ϕ d F (, y, z)= D [ ϕ(, y) f(, y, ϕ(, y)) ] ϕ(, y) g(, y, ϕ(, y)) + h(, y, ϕ(, y)) dy, zmin cłki powierzchniowej zorientownej n zwykł cłkę podwójn łk d F (, y, z) to strumień pol wektorowego F (, y, z) przez powierzchnię zorientown. 4.9 Wzory różniczkowo-cłkowe wzór Green ( ) g(, y) f(, y) f(, y) + g(, y)dy = dy jest krzyw zmknięt n płszczyźnie XY ogrniczjc powierzchnię twierdzenie tokes dl A (, y, z)) = d rot A(, y, z) jest krzyw zmknięt w przestrzeni trójwymirowej, dowoln powierzchni rozpięt n tej krzywej twierdzenie Guss-Ostrogrkiego d A(, y, z)) = dv div A(, y, z) V jest powierzchni zmknięt w przestrzeni trójwymirowej, V zwrt wewntrz niej objętości