PODATNOŚCIOWE I SZTYWNOŚCIOWE RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI ŻYWIC

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODATNOŚCIOWE I SZTYWNOŚCIOWE RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI ŻYWIC"

Transkrypt

1 KOMPOZYTY (OMPOITE) ()7 Marian Klazorny Poliechnika Warzawka, Inyu Mechaniki i Konrukci, ul. Narua 85, -54 Warzawa PODATNOŚIOWE I ZTYWNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWI Opracowano zmodyfikowany model reologiczny HWKK żywic z uwzględnieniem analiz wyników adań ekperymenalnych. Model en pozwala na ymulacę proceów lepkoprężyych króko-, średnio- i długorwałych w żywicy epokydowe lu polierowe, przy założeniu proceów odwracalnych, pierwzego rzędu, wyępuących w polimerowych kompozyach włókniych. formułowano podanościowe równania konyuywne liniowe lepkoprężyości żywic, w weri poaciowo- -oęościowe (). Zaoowano rzy liniowo niezależne funkce hiorii naprężenia (), do ymulaci odkzałceń poaciowych. Odkzałcenia oęościowe ą ymulowane ako idealnie prężye. Model reologiczny HWKK żywic zoał pozyywnie zweryfikowany dla wyranych programów naprężenia. Zmodyfikowany model HWKK e opiany przez dwie ałe prężyości oraz 6 ałych lepkoprężyości ( wpółczynniki pełzania długorwałego i czay reardaci). Opracowano algorym idenyfikaci (4, 5) ałych lepkoprężyości i wyznaczono e ałe dla żywicy epokydowe Epidian 5 oraz polierowe Polimal 9 (a. ). Wyniki ekperymenalne oraz opymalnie ymulowane pełzanie dla wyrane żywicy pokazano na ryunku. Opracowano analiyczną meodę odwracania podanościowych równań konyuywnych lepkoprężyości żywic. W przedawione meodzie wykorzyue ię przyliżone zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości modelu HWKK (9), kóre ymuluą przeiegi naprężeń dewiaorycznych za pomocą rzech liniowo niezależnych funkci hiorii odkzałcenia. W równaniach zywnościowych wyępuą dwie ałe prężyości (e ame co w równaniach podanościowych) oraz 6 ałych lepkoprężyości, o przerzye inerpreaci fizyczne ( wpółczynniki relakaci długorwałe oraz czay relakaci). Naprężenia akaoryczne ą ymulowane ako idealnie prężye. ałe lepkoprężyości wyępuące w równaniach zywnościowych wyznacza ię analiycznie ()-(5) z warunku zgodności ściłe i przyliżone zywności zepolone poaciowe. Rezulay odwracania podanościowych równań konyuywnych pokazano na ryunku, przedawiaącym w kali półlogarymiczne ściłą i przyliżoną zywność zepoloną poaciową wyrane żywicy. łowa kluczowe: żywice, równania konyuywne podanościowe i zywnościowe, ałe maeriałowe, idenyfikaca ONTITUTIVE OMPLIANE/TINE EQUATION O VIOELATIITY OR REIN A modified rheological model HWKK for rein ha een developed, aking ino conideraion he reul of analyi of he experimenal inveigaion. Thi model make poile o imulae hor-, medium- and long-laing vicoelaic procee in epoxy or polyeer rein, provided ha he procee are reverile and of he fir-rank ype. Thee aumpion are aified for firou polymeric compoie. oniuive compliance equaion of linear vicoelaiciy have een formulaed, in he hear-ulk verion (). The hear (diorional) deformaion are imulaed wih hree linearly independen re-hiory funcion (),. The ulk (voluminal) deformaion are imulaed a ideally elaic. The HWKK rheological model for rein ha een poiively validaed for eleced re programme. The modified HWKK model i decried wih wo conan of elaiciy and 6 conan of vicoelaiciy, i.e. long-laing creep coefficien and reardaion ime. An algorihm for idenificaion of conan of vicoelaiciy ha een developed (4, 5) and hee conan have een eimaed for Epidian 5 epoxy a well a Polimal 9 polyeer rein (Tale ). The experimenal reul and he opimally imulaed creep procee are illuraed in igure for eleced rein. An analyic mehod for reveral of he coniuive compliance equaion of vicoelaiciy ha een developed. The mehod ue he approximae coniuive iffne equaion of vicoelaiciy of he HWKK model (9), which imulae ime hiorie of he deviaoric ree wih hree linearly independen rain-hiory funcion. In he iffne equaion here occur conan of elaiciy (he ame a in he compliance equaion) a well a 6 conan of vicoelaiciy of clear phyical inerpreaion ( long-laing relaxaion coefficien and relaxaion ime). The axiaoric ree are imulaed a ideally elaic. The conan of vicoelaiciy, decriing he iffne equaion, are derived from he condiion of coincidence of he exac and approximae hear complex iffnee ()-(5). The reul of reveral of he coniuive compliance equaion are illuraed in igure, preening he exac and approximae hear complex iffnee for eleced rein. Key word: rein, coniuive compliance/iffne equaion, maerial conan, idenificaion WTĘP Żywica epokydowa i polierowa należą do powzechnie oowanych maryc polimerowych kompozyów włókniych. W prakyce poziomy naprężeń w żywicach nie przekraczaą wówcza % ich wyrzymałości doraźne na rozciąganie. Procey reologiczne w żywicach, m.in. pełzania i relakaci, ą wówcza odwracalne, pierwzego rzędu, ale, ak pokazuą ekpe- prof. dr ha. inż.

2 44 M. Klazorny rymeny, nie daą ię ymulować za pomocą poedyncze funkci worzące w klaie funkci wykładniczych. Modelowaniu żywic w zakreie liniowo lepkoprężyym w weri podanościowe poświęcone ą m.in. prace [-8]. Raonow [] zaoował wyraną funkcę wykładniczą ułamkową ako funkcę hiorii naprężenia normalnego. Tę amą funkcę zaoował Wilczyńki [], wprowadzaąc całkowe przedawienie e funkci oraz niezależną ymulacę lepkoprężyych odkzałceń poaciowych i oęościowych. Je o zw. model HW. Model HW zoał prakycznie zaoowany w pracy [], gdzie do modelowania lepkoprężyego żywicy epokydowe wykorzyano przeiegi pełzania poaciowego i oęościowego worzywa zucznego, podane w monografii [4]. Lepze dopaowanie do wyników ekperymenalnych w zakreie pełzania żywic uzykano dla modelu HWKN [5], opiuącego pełzanie pierwzorzędowe i drugorzędowe żywic. Model mechaniczny HWKN kłada ię z elemenów Hooke a, Wilczyńkiego, Kelvina i Newona; e opiany przez ałe prężyości oraz ałych lepkoprężyości ( wpółczynniki pełzania długorwałego, 4 ułamki, 6 czaów reardaci). Algorym idenyfikaci ałych lepkoprężyości e częściowo nieednoznaczny, zn. można wyznaczyć wiele zeawów warości ałych przy założonym łędzie aprokymaci. Ekperymenalna walidaca modelu HWKN dla wyranych programów naprężenia dała wyniki negaywne. Opracowano zaem koleny model reologiczny HWKK [6], uzykuąc dorą zgodność proceów ymulowanych i ekperymenalnych w próach walidacynych, zarówno dla żywicy epokydowe, ak i polierowe. Model HWKK w weri formułowane w [6] e opiany przez ałe prężyości oraz 7 ałych lepkoprężyości (4 wpółczynniki pełzania długorwałego, czay reardaci). Model uzależnia od ieie dwa wpółczynniki pełzania długorwałego oraz nie wykorzyue ekperymenalnie wierdzonego faku, że odkzałcenia oęościowe maą charaker prężyy [7]. W ninieze pracy opracowano zmodyfikowany model reologiczny HWKK żywic, z uwzględnieniem doychczaowych analiz wyników adań ekperymenalnych. formułowano podanościowe równania konyuywne liniowe lepkoprężyości ego modelu, w weri poaciowo-oęościowe, opiuące izoermiczne procey lepkoprężye króko-, średnio- i długorwałe, odwracalne, pierwzego rzędu. Odkzałcenia poaciowe ą ymulowane przez rzy liniowo niezależne funkce hiorii naprężenia. Odkzałcenia oęościowe ą ymulowane ako idealnie prężye. Odwzorowanie mechaniczne ego modelu kłada ię z elemenów Hooke a, Wilczyńkiego oraz dwóch elemenów Kelvina, połączonych zeregowo. Prolem odwracania podanościowych równań konyuywnych lepkoprężyości żywic ył analizowany m.in. w pracach [, 9, ]. W monografii [] formułowano podanościowe i zywnościowe równania konyuywne odpowiadaące modelom HK, HW, przy założeniu lepkoprężyych odkzałceń poaciowych i oę- - ościowych. W pracy [9] rozważono modele ardzie złożone, HKN, HKK, HWK, z kórych oani (HWK) e przydany do modelowania proceów odwracalnych króko- i średniorwałych w żywicach. W przypadku modeli HKN, HKK podanościowe równania konyuywne odwrócono analiycznie, wykorzyuąc ylko ranformay Laplace a. Odnośnie do modelu HWK wpomniano o możliwości numerycznego odwrócenia równań podanościowych za pomocą odwrone ranformaci Laplace a. Próę numerycznego odwrócenia podanościowego równania konyuywnego poaciowego, opiuącego model HWKN podęo w pracy []. Zaproponowano wyznaczanie ałych lepkoprężyości z warunku dopaowania ranforma Laplace a, odpowiadaących równaniu podanościowemu oraz przyęemu równaniu zywnościowemu. Zaoowano meodę yemaycznego przezukiwania, co w przypadku relaywnie duże liczy zmiennych decyzynych (6) i ardzo rozległych przedziałów przezukiwania prowadzi do algorymu nieefekywnego numerycznie. Ponado, ranformay Laplace a dopaowywano, przymuąc rzeczywie, a nie zepolone, warości parameru ranforma. W ninieze pracy opracowano analiyczną meodę odwracania podanościowych równań konyuywnych lepkoprężyości żywic, opiuących zmodyfikowany model reologiczny HWKK. PODATNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE PRĘŻYTOŚI ŻYWI W modelowaniu żywic, ako maryc polimerowych kompozyów włókniych, powzechnie zakłada ię izoropowość oraz liniowość związków konyuywnych. Podanościowe równania konyuywne prężyości, w formułowaniu kierunkowym, w noaci macierzowe maą znaną poać (m.in. [5]) =, xx yy zz = yz xz xy ym. =, E ν =, E = xx yy zz yz xz xy () gdzie: xyz - karezańki układ wpółrzędnych, - wekor odkzałceń kierunkowych, - wekor naprężeń

3 Podanościowe i zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic 45 kierunkowych, - macierz podaności prężyych, E - moduł Younga, ν - ała Poiona. Podanościowe równania konyuywne prężyości, w weri poaciowo-oęościowe, w noaci macierzowe maą formę [5]: = = I = diag = ( I A), = ( I ) E B =, (,,,,, ), ( ν ) = =, G A = ym. A, = + = A, = A E =, G = B ( + ν ) () gdzie:,,, - dewiaor odkzałceń, dewiaor naprężeń, akaor odkzałceń i akaor naprężeń (w zapiie macierzowym), - podaność prężya poaciowa, - podaność prężya oęościowa, G - moduł Kirchhoffa, B - moduł Helmholza, przy czym = I A + A ( ). PODATNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWI W WERJI POTAIOWO-OBJĘTOŚIOWEJ Analiza wyników adań ekperymenalnych w zakreie odkzałceń próek rozciąganych ednokierunkowo według wyranych programów naprężenia [5-7] prowadzi do wnioku, że podanościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic, w weri poaciowo-oęościowe, można przyąć w poaci () = () (), () = () () = + ω ( ϑ) ( ) = α ξ α e ξλ( ξ ) dξ, Λ( ξ ) τ ( + ξ ) α α () = α e, () = α e, α =, =,, = dϑ = π ξ () We wzorach () wprowadzono naępuące nazew- nicwo: - zmienna czaowa, - operaor plou, ( ) - podaność czaowa poaciowa, () - funkca wykładnicza ułamkowa Raonowa-Wilczyńkiego z ułamkiem μ =,5, (), () - funkce wykładnicze zwykłe, ω, =,,, - wpółczynniki pełzania długorwałego, τ, =,,, - czay reardaci (różnych rzędów). Inerpreaca wzorów () e naępuąca: Podaność czaowa poaciowa e zdefiniowana przez rzy liniowo niezależne funkce hiorii naprężenia. unkca () wpływa na odkzałcenia króko-, średnio- i długorwałe. unkca () ma wpływ na odkzałcenia średnioi długorwałe. Oania funkca () ma wpływ ylko na odkzałcenia długorwałe. Dewiaor odkzałceń e lepkoprężyy; odpowiada mu model mechaniczny HWKK (układ elemenów Hooke a, Wilczyńkiego, Kelvina, Kelvina, połączonych zeregowo [6]), opiany przez dwie ałe prężyości ( E,ν lu G, B) oraz 6 ałych lepkoprężyości ( ω, τ, =,, ). Akaor odkzałceń e prężyy. Równania () opiuą procey lepkoprężye w żywicach w warunkach izoermicznych (w emperaurze pokoowe), pierwzego rzędu, odwracalne. Podanościowe równania konyuywne lepkoprężyości, opiuące zmodyfikowany model HWKK, można również formułować w weri kierunkowe, ez wprowadzania nowych ałych maeriałowych. IDENTYIKAJA TAŁYH LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWIY EPOKYDOWEJ I POLIETROWEJ Rozparue ię pełzanie klayczne próek walcowych wykonanych z dane żywicy, rozciąganych ednokierunkowo. Program naprężenia ma poać xx () = = xx H(), xx =,R m, gdzie: x - oś próki, H() - funkca Heaviide a, R m - wyrzymałość naychmiaowa na rozciąganie. Równania opiuące pełzanie dla > maą poać: ϕ ( ) = ( ) + () = (), () = α ξ ω ϕ ϕ e Λ( ξ ) α () = e, =,, = = dξ (4) Z równań macierzowych (4) wynikaą naępuące zależności między pierwzymi kładowymi dewiaorów i akaorów naprężeń i odkzałceń: () = ( ), =, przy czym:

4 46 M. Klazorny [ ] () = () () xx yy [ xx yy ], = xx () = () + (), = xx (5) Przeiegi odkzałceń kierunkowych ( ), ( ) mogą yć ławo zmierzone ekperymenalnie. Badania pełzania próek z żywicy epokydowe (Epidian 5) i polierowe (Polimal 9) przeprowadzono w laach - w Laoraorium Wyrzymałości Maeriałów IMMT WM WAT i zczegółowo opiano w [6]. W ninieze pracy ałe lepkoprężyości wyępuące w równaniach () wyznaczono w rzech eapach. W eapie wyznacza ię ałe ω, τ na podawie pełzania krókorwałego, opianego formułą przyliżoną () [ + ωϕ () ], (, T ). Punky kolokaci wyiera ię quai-równomiernie, w kali logarymiczne, w wymienionym przedziale czau. Z eów wępnych wynika, że dla żywic T = h. Minimalizue ię łąd względny δ między pełzaniem ymulowanym a pełzaniem ekperymenalnym, w punkach kolokaci. Minimalna licza punków kolokaci wynoi n =. W nieliniowym zadaniu opymalizacynym przyęo n = 5, eymuąc ałe ω,τ meodą yemaycznego przezukiwania, w pęli ieracyne. Ieraca polegała na opniowym zawężaniu dwóch przedziałów przezukiwania, z ednoczenym zwiękzaniem dokładności eymaci do warości Δω =,, Δτ =, h. W eapie wyznacza ię ałe ω,τ na podawie pełzania króko- i średniorwałego, opianego formułą przyliżoną () [ + ωϕ () + ωϕ ( ) ], (, T ). Z eów wępnych wynika, że dla adanych żywic T = 5 h. Przyęo n =. ałe ω,τ eymowano analogicznie ak w eapie, przy czym Δω =,, Δτ, h. = xx yy TABELA. Warości ałych maeriałowych prężyości i lepko- prężyości adanych żywic (równania podanościowe) TABLE. Value of maerial conan of elaiciy and vicoelaiciy of he examined rein (compliance equaion) ała maeriałowa Epidian 5 Polimal 9 E, GPa,4 4,8 ν,48,6 ω,9,5 ω,6,4 ω,4,8 τ, h,,69 τ, h 55, 69,8 τ, h W eapie wyznacza ię ałe ω, τ na podawie pełzania króko-, średnio- i długorwałego w przedziale (, T ). Z eów wępnych wynika, że T = 5 h. Przyęo n =. ałe ω, τ eymowano analogicznie ak w eapach i, przy czym Δω =,, Δτ = h. Wyżza dokładność eymaci ałych lepkoprężyości w pozczególnych eapach e nieuzaadniona ze względu na ograniczoną dokładność pomiarów odkzałceń. Wyniki idenyfikaci ałych prężyości i lepkoprężyości adanych żywic zeawiono w aeli. Błędy względne δ odchylenia ymulowane krzywe pełzania poaciowego od warości ekperymenalnych wynioły <,6% dla Epidianu 5 oraz <,8% dla Polimalu 9. Dokładność modelowania lepkoprężyego żywic pokazano na ryunku przykładowo dla żywicy epokydowe. Odkzałcenia wyępuące na ryunku zdefiniowano we wzorach (5). Ry.. Pełzanie klayczne próki z Epidianu 5. ymulowane pełzanie poaciowe i oęościowe na le warości ekperymenalnych. Naprężenie rozciągaące xx = 5,6 MPa ig.. laical creep of he ample made of Epidian 5 epoxy. The imulaed hear and ulk creep ackgrounded wih he experimenal value. Tenioning re xx = 5,6 MPa ZTYWNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE PRĘŻYTOŚI I LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWI zywnościowe równania konyuywne liniowe prężyości maeriału izoropowego, w weri poaciowo-oęościowe, orzymue ię ławo z równań () : =, = (6) gdzie: = G, = B ą odpowiednio zywnością prężyą poaciową i oęościową. umuąc równania (6), z uwzględnieniem zależności (), orzymue ię zywnościowe równania konyuywne prężyości, w weri kierunkowe:

5 Podanościowe i zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic 47 = = ( ) + = (7) I A A ym. przy czym kierunkowe zywności prężye wyrażaą ię wzorami: = ( B + 4G), = ( B G) (8) Przyliżone zywnościowe równania konyuywne liniowe lepkoprężyości żywic, w weri poaciowo- -oęościowe, opiuące zmodyfikowany model HWKK, przewidue ię w poaci: () = () (), () = () () = κ K ( ϑ) =,,, K = dϑ, β = τ βξ () = β e ξλ( ξ ) dξ, K() r = β β e β K () = β e (9) We wzorach (9) wprowadzono naępuące oznaczenia: () - zywność czaowa poaciowa, K () - funkca wykładnicza ułamkowa Raonowa-Wilczyńkiego z ułamkiem μ =,5; K (), K () - funkce wykładnicze zwykłe, κ, =,,, - wpółczynniki relakaci długorwałe, τ r, =,,, - czay relakaci (różnych rzędów). Inerpreaca wzorów (9) e naępuąca: zywność czaowa poaciowa e zdefiniowana przez rzy liniowo niezależne funkce hiorii odkzałcenia. unkca K () ma wpływ na naprężenia dewiaoryczne króko-, średnio- i długorwałe. unkca K () ma wpływ na naprężenia średnio- i długorwałe. Oania funkca K () ma wpływ ylko na naprężenia długorwałe. Dewiaor enora naprężeń e lepkoprężyy, naomia akaor - prężyy. zywnościowe równania konyuywne ą opiane przez dwie ałe prężyości (G, B) oraz 6 ałych lepkoprężyości κ,, ( τ r =,, ). Przyliżone zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic można również formułować w weri kierunkowe, ez wprowadzania dodakowych ałych maeriałowych. WYZNAZENIE ŚIŁEJ I PRZYBLIŻONEJ ZTYWNOŚI ZEPOLONEJ POTAIOWEJ W celu uzykania przerzyych rozważań w niniezym punkcie pomiamy indek ( ). Do wyznaczenia ściłe podaności zepolone poaciowe oraz przyliżone zywności zepolone poaciowe zaoowano meodykę zliżoną do meodyki opiane w monografii []. Poedyncze równanie w równaniu macierzowym () przepiuemy w poaci G () = () (), () = + ω ( ϑ) = dϑ () Tranformaca Laplace a na równaniu () dae w wyniku równanie algeraiczne ( q) ( q) ( q), ( q) = + ( q) = ω () G = gdzie q e zepolonym paramerem ranformay, naomia: = = () q q q α α α ( q), ( q) =, ( q) ą ranformaami Laplace a funkci hiorii naprężenia. Przechodząc w równaniu () do ualonych proceów harmonicznych z częością p [h ], zn. przymuąc ip ip ( ) = e, ( ) = e, i =,, mamy: () ( ) p (), = + ( ip) = ω () G = przy czym []: ( ip) = + i =, + + p α p p + α α = kładowe,, =,, + p α p p + α α (4) odpowiadaące zwyk- łym funkcom wykładniczym, można znaleźć w []. Po podawieniu wzorów (4) do wzoru () orzymue ię formułę końcową na ściłą podaność zepoloną poaciową:

6 48 M. Klazorny ( ) = ( ) + ( ) ( ) = p p i p, p ω G = ω = + G = (5) Odwrócenie równania () prowadzi do związku () = (), w kórym e ściłą zywnością zepoloną poaciową, określoną przez wzory = = i, = + [ ] + [ ] ( ) p = [ ] + [ ] = (6) Poedyncze równanie w równaniu macierzowym (9) przepiuemy w poaci () = () (), () = G κ K ( ϑ) = dϑ (7) Tranformaca Laplace a na równaniu (7) dae w wyniku równanie algeraiczne ( q) ( q) ( q), ( q) = G κ K ( q) = (8) = gdzie ranformay Laplace a K ( q) wyrażaą ię wzorami analogicznymi ak dla ( q), =,,, przy czym zamia α należy podawić β, =,,. Przechodząc w równaniu (7) do ualonych proceów harmonicznych, orzymue ię: K () (), = G κ K ( ip) = ( ip) = K + ik = zęści rzeczywie i uroone K K (9), wyrażaą ię wzorami analogicznymi ak dla,, =,,, przy czym zamia α należy podawić β, =,,. Końcowe wzory na przyliżoną zywność zepoloną poaciową przymuą formę: ( ) = ( ) ( ) ( ) = p p i p, p G κ K + = G κ K = = WYZNAZENIE TAŁYH MATERIAŁOWYH κ, τ r, =,,, () Dla p > α (procey krókorwałe) wpływ funkci worzących o numerach =, e pomialny; orzymuemy wówcza zredukowany model HW, kóremu odpowiadaą naępuące formuły ściłe na części rzeczywie podaności i zywności zepolone [] [ ω ], = G[ κ K ] = + () G przy czym dla funkci wykładnicze Raonowa-Wilczyńkiego z ułamkiem μ =, 5 mamy ω κ =, + () β = + ω ( ω ) α Dla p = α (procey króko- i średniorwałe) ylko wpływ funkci worzące o numerze = e pomialny; orzymuemy zredukowany model HWK. We wzorach (5) należy pominąć kładniki odpowiadaące = =, naomia wzory () redukuą ię do poaci [ ] G[ κ K α + κ K α ] = G κ K κ K = ( ) ( ) () Jeśli po lewe ronie formuł () wawimy warości ściłe, określone wzorami (6), o orzymamy układ dwóch równań algeraicznych z dwiema niewiadomymi, kórego rozwiązanie ma poać: B A κ = A +, β = α, A = κ K A B B = κ K + G G (4) Dla p = α (procey króko-, średnio- i długorwałe) uwzględniamy pełny model HWKK. Z warunku równości części rzeczywiych ściłe i przyliżone zywności zepolone oraz równości odpowiednich części uroonych orzymue ię układ równań algeraicznych, kórego rozwiązanie ma poać:

7 Podanościowe i zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic 49 B κ = A +, A A = κ K B = κ K κ K + κ K A β = α B G + G (5) Powyżzą procedurę powarzamy w pęli ieracyne, uwzględniaąc pełny model HWKK również przy wyznaczaniu paramerów κ, β. W k-e ieraci należy przyąć warości κ, β z ieraci (k-). Miarą dopaowania ą względne odchylenia przyliżone zywności zepolone poaciowe () od zywności ściłe (6), oliczane klaycznie, oddzielnie dla części rzeczywiych (δ ) i uroonych (δ ). Przedział zmienności częości p oemue α, α, α, kóre dla analizowanego modelu ą różnych rzędów. Wyniki oliczeń dla żywicy epokydowe (Epidian 5) i polierowe (Polimal 9) zeawiono w aeli. za oliczeń na P nie przekraczał dla dane żywicy. Proce ieracyny e zieżny; warości ałych lepkoprężyości ualaą ię po 6-7 ieracach, z dokładnością do 5 cyfr znaczących. Warości ałych maeriałowych: E, ν, ω, ω, ω, τ, τ, τ, anowiące ziór danych weściowych, podano w aeli. TABELA. Warości ałych maeriałowych prężyości i lepkoprężyości adanych żywic (równania zywnościowe) TABLE. Value of maerial conan of elaiciy and vicoelaiciy of he examined rein (iffne equaion) ała maeriałowa Epidian 5 Polimal 9 G, GPa,,57 B, GPa 6,4 5, κ,6,4 κ,6,45 κ,5, τ r, h,,7 τ r, h 44,7 48, τ r, h 8 5 Ry.. Ściła i przyliżona zywność zepolona poaciowa żywicy epokydowe Epidian 5 ig.. The exac and approximae hear complex iffnee for Epidian 5 epoxy Dopaowanie zywności zepolonych pokazano na ryunku, przykładowo dla żywicy epokydowe, w kali półlogarymiczne. Odchylenia wynozą: δ = =,6%, δ =,5% dla Epidianu 5 oraz δ =,6%, δ =,% dla Polimalu 9. WNIOKI Zmodyfikowany model HWKK pozwala na ymulacę izoermicznych proceów lepkoprężyych króko-, średnio- i długorwałych w żywicach, ako marycach polimerowych kompozyów włókniych. Model en e opiany przez relaywnie małą liczę ałych maeriałowych. Idenyfikaca ałych lepkoprężyych e ednoznaczna. Meoda odwracania podanościowych równań konyuywnych modelu HWKK e analiyczna, ednoznaczna i o wyokie dokładności. LITERATURA [] Raonow J.N., Elemen of vicoelaic mechanic of olid (in Ruian), Nauka Pre, Mocow 977. [] Wilczyńki A.P., Mechanika polimerów w prakyce konrukcyne, WNT, Warzawa 984. [] Wilczyńki A.P., Klazorny M., Deerminaion of complex compliance of firou polymeric compoie, J. ompoie Maerial, 4,, -6. [4] Wilczyńki A.P., Wyrane prolemy adania właności mechanicznych liniowo prężyych ciał ałych, OWPW, Warzawa 968. [5] Klazorny M., Wilczyńki A.P., Wiemerg-Perzyk D., A rheological model of polymeric maerial and idenificaion of i parameer, J. Theoreical & Applied Mechanic, 9,, -. [6] Klazorny M., Gielea R., The HWKK rheological model for rein, J. Theoreical & Applied Mechanic, 4, 4, [7] Klazorny M., Wilczyńki A.P., oniuive modeling of polymeric rein aed on hear and ulk creep, nd European onf. on ompuaional Mechanic EM-, racow, D onf. Proceed., Paper No, -4. [8] Klazorny M., Wilczyńki A.P., Vicoelaic modelling of fire-reinforced rein marix compoie, In. onf. on High Performance rucure & ompoie, eville, -4. [9] Wilczyńki A.P., Tworzenie i oowanie związków konyuywnych lepkoprężyych kompozyów polimerowych, Ma.. zkoły Kompozyów n. Modelowanie i analiza ma-

8 5 M. Klazorny eriałów i elemenów kompozyowych, Wiła, [] Kaniewki J., O możliwościach odwracania pewnych zależności konyuywnych maeriałów lepkoprężyych, Rapor adawczy nr IMiK/ZM//, Inyu Mechaniki i Konrukci PW, Warzawa. Recenzen aniław Mazurkiewicz

Przekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów

Przekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów Przekzałcenie Laplace a Deinicja i właności, ranormay podawowych ygnałów Tranormaą Laplace a unkcji je unkcja S zmiennej zepolonej, kórą oznacza ię naępująco: L[ ] unkcja S nazywana bywa również unkcją

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie rozkładu GED do modelowania rozkładu stóp zwrotu spółek sektora transportowego

Wykorzystanie rozkładu GED do modelowania rozkładu stóp zwrotu spółek sektora transportowego PUCZYŃSKI Jan CZYŻYCKI afał Wykorzyanie rozkładu GED do modelowania rozkładu óp zwrou półek ekora ranporowego WSTĘP Jednym z najczęściej prowadzonych badań doyczących rynku kapiałowego ą badania doyczące

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Transformata Laplace a

Wykład 4: Transformata Laplace a Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLIMEROWYCH KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH W ZAKRESIE LEPKOSPRĘŻYSTYM

MODELOWANIE POLIMEROWYCH KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH W ZAKRESIE LEPKOSPRĘŻYSTYM KOMPOZYTY (COMPOIT (3 Andrzej P. ilczyńki Marian Klazorny Poliechnika arzawka Inyu Mechaniki i Konrukcji ul. Narua 85-54 arzawa MODLOANI POLIMROYCH KOMPOZYTÓ ŁÓKNITYCH ZAKRI LPKOPRĘŻYTYM Opracowano analiyczną

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁAD 1. RozłóŜ na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Rozwiązanie. Przy pomocy rozkładu na ułamki proste otrzymujemy: Czyli + +

PRZYKŁAD 1. RozłóŜ na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Rozwiązanie. Przy pomocy rozkładu na ułamki proste otrzymujemy: Czyli + + Powrd by xo lalik.krzyzo@wp.pl PRZYŁAD RozłóŜ na ułamki pro naępuącą unkcę opraorową: Rozwiązani Przy pomocy rozkładu na ułamki pro orzymumy: Czyli Po przmnoŝniu przz mianownik lw części równania orzymano:

Bardziej szczegółowo

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO PROBLEY NIEONWENCJONALNYCH ŁADÓW ŁOŻYSOWYCH Łódź, 4 maja 999 r. Jadwiga Janowska, Waldemar Oleksiuk Insyu ikromechaniki i Fooniki, Poliechnika Warszawska ETROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTE BADAWCZEGO SŁOWA LCZOWE:

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

1 Przekształcenie Laplace a

1 Przekształcenie Laplace a Przekztałcenie Laplace a. Definicja i podtawowe właności przekztałcenia Laplace a Definicja Niech dana będzie funkcja f określona na przedziale [,. Przekztałcenie (tranformatę Laplace a funkcji f definiujemy

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Skup. Podstawy automatyki i sterowania

Zbigniew Skup. Podstawy automatyki i sterowania Zbigniew Skup Podawy auomayki i erowania Warzawa Poliechnika Warzawka Wydział Samochodów i Mazyn Roboczych Kierunek "Edukacja echniczno informayczna" -54 Warzawa, ul. Narbua 84, el () 849 4 7, () 4 8 48

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk PROJEKT nr 1 Projek spawanego węzła kraownicy Sporządził: Andrzej Wölk Projek pojedynczego węzła spawnego kraownicy Siły: 1 = 10 3 = -10 Kąy: α = 5 o β = 75 o γ = 75 o Schema węzła kraownicy Dane: Grubość

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

licencjat Pytania teoretyczne:

licencjat Pytania teoretyczne: Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 1 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 9.1. ZLEŻOŚCI PODSTWOWE Przyjmiemy, że materiał pręta jet jednorodny i izotropowy. Jeśli ponadto założymy, że pręt jet pryzmatyczny, to łuzne ą wzory

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podtawowy) Rozwiązania zadań Zadanie 1. (1 pkt) III.1.5. Uczeń oblicza wartości niekomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody ytemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lita zadań nr 1 Prote zatoowania równań różniczkowych Zad. 1 Liczba potencjalnych użytkowników portalu połecznościowego wynoi 4 miliony oób. Tempo, w

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne Zajmiemy się teraz problemem numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci: z warunkeim początkowym. Zauważmy że przykładowe równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Skręcanie prętów napręŝenia styczne, kąty obrotu, projektowanie 3

Skręcanie prętów napręŝenia styczne, kąty obrotu, projektowanie 3 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie W przypadku kręcania pręa jego obciąŝenie anowią momeny kręcające i. Na ry..1a przedawiono przykład pręa zywno zamocowanego na ewym końcu (punk

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał

Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.pl Literatura: [1] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków,

Bardziej szczegółowo

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE LEPKOSPRĘŻYSTYCH ŻYWIC JAKO OSNÓW POLIMEROWYCH KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH

MODELOWANIE LEPKOSPRĘŻYSTYCH ŻYWIC JAKO OSNÓW POLIMEROWYCH KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH KOMPOZYTY (COMPOIT) ()3 Marian Klaszorn Poliechnika Warszawska Insu Mechaniki i Konsrukcji ul. Narbua 85-54 Warszawa Roman Gielea Wojskowa Akademia Techniczna Insu Maeriałoznawswa i Mechaniki Technicznej

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM

ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Budownicwo Mariusz Poński ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Wprowadzenie Coraz większe ograniczenia czasowe podczas wykonywania projeków

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 6 OZNACZANIE WSKAŹNIKA STABILNOŚCI I TERMOSTABILNOŚCI WODY

ĆWICZENIE NR 6 OZNACZANIE WSKAŹNIKA STABILNOŚCI I TERMOSTABILNOŚCI WODY ĆWCENE NR 6 ONACANE WSKAŹNKA STABLNOŚC TERMOSTABLNOŚC WODY 1. WPROWADENE 1.1. STABLNOŚĆ, KOROYJNOŚĆ AGRESYWNOŚĆ WODY. Sabilność, korozyjność i agreywność wody o wkaźniki ważne przy ocenie przydaności wody

Bardziej szczegółowo

Ekonometryczne modele nieliniowe

Ekonometryczne modele nieliniowe Ekonomeryczne modele nelnowe Wykład 5 Progowe modele regrej Leraura Hanen B. E. 997 Inference n TAR Model, Sude n Nonlnear Dynamc and Economerc,. Tek na rone nerneowej wykładu Dodakowa leraura Hanen B.

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

dr hab. inż. Józef Haponiuk Katedra Technologii Polimerów Wydział Chemiczny PG

dr hab. inż. Józef Haponiuk Katedra Technologii Polimerów Wydział Chemiczny PG 7.WŁAŚCIWOŚCI LEPKOSPRĘŻYSTE POLIMERÓW dr hab. inż. Józef Haponiuk Katedra Technologii Polimerów Wydział Chemiczny PG Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

Koncepcja zastosowania metody CBR oraz algorytmów genetycznych w systemie obsługującym windykację ubezpieczeniową

Koncepcja zastosowania metody CBR oraz algorytmów genetycznych w systemie obsługującym windykację ubezpieczeniową Rozdział monografii: 'Bazy Danych: truktury, Algorytmy, Metody', Kozielki., Małyiak B., Kaprowki P., Mrozek D. (red.), WKŁ 2006 Rozdział 40 Koncepca zatoowania metody CBR oraz algorytmów genetycznych w

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

EDOMETRYCZNE MODUŁY ŚCISLIWOŚCI GRUNTU

EDOMETRYCZNE MODUŁY ŚCISLIWOŚCI GRUNTU Dr inż. Grzegorz Straż Intrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych pt: EDOMETRYCZNE MODUŁY ŚCISLIWOŚCI GRUNTU Wprowadzenie. Zalecenia dotyczące badań gruntów w edometrze: Zalecane topnie wywoływanego naprężenia:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie temperatury i wysokości podstawy chmur

Wyznaczanie temperatury i wysokości podstawy chmur Wyznaczanie emperaury i wysokości podsawy chmur Czas rwania: 10 minu Czas obserwacji: dowolny Wymagane warunki meeorologiczne: pochmurnie lub umiarkowane zachmurzenie Częsoliwość wykonania: 1 raz w ciągu

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),

Bardziej szczegółowo

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

WŁAŚCIWOŚCI TRAKCYJNE UNIWERSALNEGO CIĄGNIKA ROLNICZEGO W TRANSPORCIE DROGOWYM

WŁAŚCIWOŚCI TRAKCYJNE UNIWERSALNEGO CIĄGNIKA ROLNICZEGO W TRANSPORCIE DROGOWYM УДК 631 1 р. ŁAŚCIOŚCI TRAKCYJE UIERSALEGO CIĄGIKA ROLICZEGO TRASPORCIE DROGOYM Ziniew Kiernici Paweł Żelazo Poliechnia Luela, Pola Soe racion araeer o ar racor ued or ranor wor on olid urace have een

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 1 12 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a ( u d o s t p n i e n i e ) a g r e g a t u p r» d o t w

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statytyka. v.0.9 egz mgr inf nietacj Statytyczna analiza danych Statytyka opiowa Szereg zczegółowy proty monotoniczny ciąg danych i ) n uzykanych np. w trakcie pomiaru lub za pomocą ankiety. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Kinematyka opisanie ruchu

Kinematyka opisanie ruchu Kinemayka opianie ruchu. Co o je ruch? Ruch je zjawikiem powzechnym. Poruzają ię gwiazdy i planey, poruza ię woda i powierze, zwierzęa i rośliny. Poruzaz ię Ty. Poruzają ię najmniejze cząki maerii. Słowem

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5) 1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI

MODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI Dr inż. Danuta MIEDZIŃSKA, email: dmiedzinska@wat.edu.pl Dr inż. Robert PANOWICZ, email: Panowicz@wat.edu.pl Wojskowa Akademia Techniczna, Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej MODELOWANIE WARSTWY

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

KO OF Szczecin:

KO OF Szczecin: 55OF D KO OF Szczecin: www.of.zc.pl L OLMPADA FZYZNA (005/006). Stopień, zadanie doświadczalne D Źródło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej A. Wymołek; Fizyka w Szkole nr 3, 006. Autor: Nazwa zadania:

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 02 02 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f Z a b e z p i e c z e n i e m a s o w e j i m p r e z y s p o r t

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar. EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

G d y n i a W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j- n o r e n o w a c y j n y c h n a o b i e k t a c h s p o r t o w y c h G C S o r a z d o s t a w a n a s i o n t r a w, n a w o z u i w i r u

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie danych o różnej częstotliwości w prognozowaniu makroekonomicznym

Zastosowanie danych o różnej częstotliwości w prognozowaniu makroekonomicznym Lech Kujawki * Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu makroekonomicznym Węp Doępność online do obzernych baz danych makroekonomicznych rodzi nauralną chęć wykorzyania zawarych w niej danych.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r

Bardziej szczegółowo

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: = ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:

Bardziej szczegółowo

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY KATEDRA TECHNOLOGII POLIMERÓW INŻYNIERIA MATERIAŁOWA INŻYNIERIA POLIMERÓW Właściwości tworzyw polimerowych przy rozciąganiu. Streszczenie: Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S i R D Z P I 2 7 1 0 3 62 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A Z a p e w n i e n i e z a s i l a n i ea n e r g e t y c z ne g o

Bardziej szczegółowo

IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO ROBOTA INSPEKCYJNEGO

IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO ROBOTA INSPEKCYJNEGO MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 896-77X 36,. 87-9, liwice 008 IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEO ROBOTA INSPEKCYJNEO JÓZEF IERIEL, KRZYSZTOF KURC Katedra Mechaniki Stoowanej i Robotyki, Politechnika Rzezowka

Bardziej szczegółowo

SPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74

SPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74 Pracownia Dydaktyki Fizyki i Atronoii, Uniwerytet Szczecińki SPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74 Sprężyna jet przeznaczona do badania ruchu drgającego protego (haronicznego) na lekcji fizyki w liceu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Techniki. Materiały pomocnicze do projektowania z przedmiotu: Ćwiczenie nr 2 Przykład obliczenia

Wprowadzenie do Techniki. Materiały pomocnicze do projektowania z przedmiotu: Ćwiczenie nr 2 Przykład obliczenia Materiały pomocnicze do projektowania z przedmiotu: Wprowadzenie do Techniki Ćwiczenie nr 2 Przykład obliczenia Opracował: dr inż. Andrzej J. Zmysłowski Katedra Podstaw Systemów Technicznych Wydział Organizacji

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo