PODATNOŚCIOWE I SZTYWNOŚCIOWE RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI ŻYWIC

Transkrypt

1 KOMPOZYTY (OMPOITE) ()7 Marian Klazorny Poliechnika Warzawka, Inyu Mechaniki i Konrukci, ul. Narua 85, -54 Warzawa PODATNOŚIOWE I ZTYWNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWI Opracowano zmodyfikowany model reologiczny HWKK żywic z uwzględnieniem analiz wyników adań ekperymenalnych. Model en pozwala na ymulacę proceów lepkoprężyych króko-, średnio- i długorwałych w żywicy epokydowe lu polierowe, przy założeniu proceów odwracalnych, pierwzego rzędu, wyępuących w polimerowych kompozyach włókniych. formułowano podanościowe równania konyuywne liniowe lepkoprężyości żywic, w weri poaciowo- -oęościowe (). Zaoowano rzy liniowo niezależne funkce hiorii naprężenia (), do ymulaci odkzałceń poaciowych. Odkzałcenia oęościowe ą ymulowane ako idealnie prężye. Model reologiczny HWKK żywic zoał pozyywnie zweryfikowany dla wyranych programów naprężenia. Zmodyfikowany model HWKK e opiany przez dwie ałe prężyości oraz 6 ałych lepkoprężyości ( wpółczynniki pełzania długorwałego i czay reardaci). Opracowano algorym idenyfikaci (4, 5) ałych lepkoprężyości i wyznaczono e ałe dla żywicy epokydowe Epidian 5 oraz polierowe Polimal 9 (a. ). Wyniki ekperymenalne oraz opymalnie ymulowane pełzanie dla wyrane żywicy pokazano na ryunku. Opracowano analiyczną meodę odwracania podanościowych równań konyuywnych lepkoprężyości żywic. W przedawione meodzie wykorzyue ię przyliżone zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości modelu HWKK (9), kóre ymuluą przeiegi naprężeń dewiaorycznych za pomocą rzech liniowo niezależnych funkci hiorii odkzałcenia. W równaniach zywnościowych wyępuą dwie ałe prężyości (e ame co w równaniach podanościowych) oraz 6 ałych lepkoprężyości, o przerzye inerpreaci fizyczne ( wpółczynniki relakaci długorwałe oraz czay relakaci). Naprężenia akaoryczne ą ymulowane ako idealnie prężye. ałe lepkoprężyości wyępuące w równaniach zywnościowych wyznacza ię analiycznie ()-(5) z warunku zgodności ściłe i przyliżone zywności zepolone poaciowe. Rezulay odwracania podanościowych równań konyuywnych pokazano na ryunku, przedawiaącym w kali półlogarymiczne ściłą i przyliżoną zywność zepoloną poaciową wyrane żywicy. łowa kluczowe: żywice, równania konyuywne podanościowe i zywnościowe, ałe maeriałowe, idenyfikaca ONTITUTIVE OMPLIANE/TINE EQUATION O VIOELATIITY OR REIN A modified rheological model HWKK for rein ha een developed, aking ino conideraion he reul of analyi of he experimenal inveigaion. Thi model make poile o imulae hor-, medium- and long-laing vicoelaic procee in epoxy or polyeer rein, provided ha he procee are reverile and of he fir-rank ype. Thee aumpion are aified for firou polymeric compoie. oniuive compliance equaion of linear vicoelaiciy have een formulaed, in he hear-ulk verion (). The hear (diorional) deformaion are imulaed wih hree linearly independen re-hiory funcion (),. The ulk (voluminal) deformaion are imulaed a ideally elaic. The HWKK rheological model for rein ha een poiively validaed for eleced re programme. The modified HWKK model i decried wih wo conan of elaiciy and 6 conan of vicoelaiciy, i.e. long-laing creep coefficien and reardaion ime. An algorihm for idenificaion of conan of vicoelaiciy ha een developed (4, 5) and hee conan have een eimaed for Epidian 5 epoxy a well a Polimal 9 polyeer rein (Tale ). The experimenal reul and he opimally imulaed creep procee are illuraed in igure for eleced rein. An analyic mehod for reveral of he coniuive compliance equaion of vicoelaiciy ha een developed. The mehod ue he approximae coniuive iffne equaion of vicoelaiciy of he HWKK model (9), which imulae ime hiorie of he deviaoric ree wih hree linearly independen rain-hiory funcion. In he iffne equaion here occur conan of elaiciy (he ame a in he compliance equaion) a well a 6 conan of vicoelaiciy of clear phyical inerpreaion ( long-laing relaxaion coefficien and relaxaion ime). The axiaoric ree are imulaed a ideally elaic. The conan of vicoelaiciy, decriing he iffne equaion, are derived from he condiion of coincidence of he exac and approximae hear complex iffnee ()-(5). The reul of reveral of he coniuive compliance equaion are illuraed in igure, preening he exac and approximae hear complex iffnee for eleced rein. Key word: rein, coniuive compliance/iffne equaion, maerial conan, idenificaion WTĘP Żywica epokydowa i polierowa należą do powzechnie oowanych maryc polimerowych kompozyów włókniych. W prakyce poziomy naprężeń w żywicach nie przekraczaą wówcza % ich wyrzymałości doraźne na rozciąganie. Procey reologiczne w żywicach, m.in. pełzania i relakaci, ą wówcza odwracalne, pierwzego rzędu, ale, ak pokazuą ekpe- prof. dr ha. inż.

2 44 M. Klazorny rymeny, nie daą ię ymulować za pomocą poedyncze funkci worzące w klaie funkci wykładniczych. Modelowaniu żywic w zakreie liniowo lepkoprężyym w weri podanościowe poświęcone ą m.in. prace [-8]. Raonow [] zaoował wyraną funkcę wykładniczą ułamkową ako funkcę hiorii naprężenia normalnego. Tę amą funkcę zaoował Wilczyńki [], wprowadzaąc całkowe przedawienie e funkci oraz niezależną ymulacę lepkoprężyych odkzałceń poaciowych i oęościowych. Je o zw. model HW. Model HW zoał prakycznie zaoowany w pracy [], gdzie do modelowania lepkoprężyego żywicy epokydowe wykorzyano przeiegi pełzania poaciowego i oęościowego worzywa zucznego, podane w monografii [4]. Lepze dopaowanie do wyników ekperymenalnych w zakreie pełzania żywic uzykano dla modelu HWKN [5], opiuącego pełzanie pierwzorzędowe i drugorzędowe żywic. Model mechaniczny HWKN kłada ię z elemenów Hooke a, Wilczyńkiego, Kelvina i Newona; e opiany przez ałe prężyości oraz ałych lepkoprężyości ( wpółczynniki pełzania długorwałego, 4 ułamki, 6 czaów reardaci). Algorym idenyfikaci ałych lepkoprężyości e częściowo nieednoznaczny, zn. można wyznaczyć wiele zeawów warości ałych przy założonym łędzie aprokymaci. Ekperymenalna walidaca modelu HWKN dla wyranych programów naprężenia dała wyniki negaywne. Opracowano zaem koleny model reologiczny HWKK [6], uzykuąc dorą zgodność proceów ymulowanych i ekperymenalnych w próach walidacynych, zarówno dla żywicy epokydowe, ak i polierowe. Model HWKK w weri formułowane w [6] e opiany przez ałe prężyości oraz 7 ałych lepkoprężyości (4 wpółczynniki pełzania długorwałego, czay reardaci). Model uzależnia od ieie dwa wpółczynniki pełzania długorwałego oraz nie wykorzyue ekperymenalnie wierdzonego faku, że odkzałcenia oęościowe maą charaker prężyy [7]. W ninieze pracy opracowano zmodyfikowany model reologiczny HWKK żywic, z uwzględnieniem doychczaowych analiz wyników adań ekperymenalnych. formułowano podanościowe równania konyuywne liniowe lepkoprężyości ego modelu, w weri poaciowo-oęościowe, opiuące izoermiczne procey lepkoprężye króko-, średnio- i długorwałe, odwracalne, pierwzego rzędu. Odkzałcenia poaciowe ą ymulowane przez rzy liniowo niezależne funkce hiorii naprężenia. Odkzałcenia oęościowe ą ymulowane ako idealnie prężye. Odwzorowanie mechaniczne ego modelu kłada ię z elemenów Hooke a, Wilczyńkiego oraz dwóch elemenów Kelvina, połączonych zeregowo. Prolem odwracania podanościowych równań konyuywnych lepkoprężyości żywic ył analizowany m.in. w pracach [, 9, ]. W monografii [] formułowano podanościowe i zywnościowe równania konyuywne odpowiadaące modelom HK, HW, przy założeniu lepkoprężyych odkzałceń poaciowych i oę- - ościowych. W pracy [9] rozważono modele ardzie złożone, HKN, HKK, HWK, z kórych oani (HWK) e przydany do modelowania proceów odwracalnych króko- i średniorwałych w żywicach. W przypadku modeli HKN, HKK podanościowe równania konyuywne odwrócono analiycznie, wykorzyuąc ylko ranformay Laplace a. Odnośnie do modelu HWK wpomniano o możliwości numerycznego odwrócenia równań podanościowych za pomocą odwrone ranformaci Laplace a. Próę numerycznego odwrócenia podanościowego równania konyuywnego poaciowego, opiuącego model HWKN podęo w pracy []. Zaproponowano wyznaczanie ałych lepkoprężyości z warunku dopaowania ranforma Laplace a, odpowiadaących równaniu podanościowemu oraz przyęemu równaniu zywnościowemu. Zaoowano meodę yemaycznego przezukiwania, co w przypadku relaywnie duże liczy zmiennych decyzynych (6) i ardzo rozległych przedziałów przezukiwania prowadzi do algorymu nieefekywnego numerycznie. Ponado, ranformay Laplace a dopaowywano, przymuąc rzeczywie, a nie zepolone, warości parameru ranforma. W ninieze pracy opracowano analiyczną meodę odwracania podanościowych równań konyuywnych lepkoprężyości żywic, opiuących zmodyfikowany model reologiczny HWKK. PODATNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE PRĘŻYTOŚI ŻYWI W modelowaniu żywic, ako maryc polimerowych kompozyów włókniych, powzechnie zakłada ię izoropowość oraz liniowość związków konyuywnych. Podanościowe równania konyuywne prężyości, w formułowaniu kierunkowym, w noaci macierzowe maą znaną poać (m.in. [5]) =, xx yy zz = yz xz xy ym. =, E ν =, E = xx yy zz yz xz xy () gdzie: xyz - karezańki układ wpółrzędnych, - wekor odkzałceń kierunkowych, - wekor naprężeń

3 Podanościowe i zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic 45 kierunkowych, - macierz podaności prężyych, E - moduł Younga, ν - ała Poiona. Podanościowe równania konyuywne prężyości, w weri poaciowo-oęościowe, w noaci macierzowe maą formę [5]: = = I = diag = ( I A), = ( I ) E B =, (,,,,, ), ( ν ) = =, G A = ym. A, = + = A, = A E =, G = B ( + ν ) () gdzie:,,, - dewiaor odkzałceń, dewiaor naprężeń, akaor odkzałceń i akaor naprężeń (w zapiie macierzowym), - podaność prężya poaciowa, - podaność prężya oęościowa, G - moduł Kirchhoffa, B - moduł Helmholza, przy czym = I A + A ( ). PODATNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWI W WERJI POTAIOWO-OBJĘTOŚIOWEJ Analiza wyników adań ekperymenalnych w zakreie odkzałceń próek rozciąganych ednokierunkowo według wyranych programów naprężenia [5-7] prowadzi do wnioku, że podanościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic, w weri poaciowo-oęościowe, można przyąć w poaci () = () (), () = () () = + ω ( ϑ) ( ) = α ξ α e ξλ( ξ ) dξ, Λ( ξ ) τ ( + ξ ) α α () = α e, () = α e, α =, =,, = dϑ = π ξ () We wzorach () wprowadzono naępuące nazew- nicwo: - zmienna czaowa, - operaor plou, ( ) - podaność czaowa poaciowa, () - funkca wykładnicza ułamkowa Raonowa-Wilczyńkiego z ułamkiem μ =,5, (), () - funkce wykładnicze zwykłe, ω, =,,, - wpółczynniki pełzania długorwałego, τ, =,,, - czay reardaci (różnych rzędów). Inerpreaca wzorów () e naępuąca: Podaność czaowa poaciowa e zdefiniowana przez rzy liniowo niezależne funkce hiorii naprężenia. unkca () wpływa na odkzałcenia króko-, średnio- i długorwałe. unkca () ma wpływ na odkzałcenia średnioi długorwałe. Oania funkca () ma wpływ ylko na odkzałcenia długorwałe. Dewiaor odkzałceń e lepkoprężyy; odpowiada mu model mechaniczny HWKK (układ elemenów Hooke a, Wilczyńkiego, Kelvina, Kelvina, połączonych zeregowo [6]), opiany przez dwie ałe prężyości ( E,ν lu G, B) oraz 6 ałych lepkoprężyości ( ω, τ, =,, ). Akaor odkzałceń e prężyy. Równania () opiuą procey lepkoprężye w żywicach w warunkach izoermicznych (w emperaurze pokoowe), pierwzego rzędu, odwracalne. Podanościowe równania konyuywne lepkoprężyości, opiuące zmodyfikowany model HWKK, można również formułować w weri kierunkowe, ez wprowadzania nowych ałych maeriałowych. IDENTYIKAJA TAŁYH LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWIY EPOKYDOWEJ I POLIETROWEJ Rozparue ię pełzanie klayczne próek walcowych wykonanych z dane żywicy, rozciąganych ednokierunkowo. Program naprężenia ma poać xx () = = xx H(), xx =,R m, gdzie: x - oś próki, H() - funkca Heaviide a, R m - wyrzymałość naychmiaowa na rozciąganie. Równania opiuące pełzanie dla > maą poać: ϕ ( ) = ( ) + () = (), () = α ξ ω ϕ ϕ e Λ( ξ ) α () = e, =,, = = dξ (4) Z równań macierzowych (4) wynikaą naępuące zależności między pierwzymi kładowymi dewiaorów i akaorów naprężeń i odkzałceń: () = ( ), =, przy czym:

4 46 M. Klazorny [ ] () = () () xx yy [ xx yy ], = xx () = () + (), = xx (5) Przeiegi odkzałceń kierunkowych ( ), ( ) mogą yć ławo zmierzone ekperymenalnie. Badania pełzania próek z żywicy epokydowe (Epidian 5) i polierowe (Polimal 9) przeprowadzono w laach - w Laoraorium Wyrzymałości Maeriałów IMMT WM WAT i zczegółowo opiano w [6]. W ninieze pracy ałe lepkoprężyości wyępuące w równaniach () wyznaczono w rzech eapach. W eapie wyznacza ię ałe ω, τ na podawie pełzania krókorwałego, opianego formułą przyliżoną () [ + ωϕ () ], (, T ). Punky kolokaci wyiera ię quai-równomiernie, w kali logarymiczne, w wymienionym przedziale czau. Z eów wępnych wynika, że dla żywic T = h. Minimalizue ię łąd względny δ między pełzaniem ymulowanym a pełzaniem ekperymenalnym, w punkach kolokaci. Minimalna licza punków kolokaci wynoi n =. W nieliniowym zadaniu opymalizacynym przyęo n = 5, eymuąc ałe ω,τ meodą yemaycznego przezukiwania, w pęli ieracyne. Ieraca polegała na opniowym zawężaniu dwóch przedziałów przezukiwania, z ednoczenym zwiękzaniem dokładności eymaci do warości Δω =,, Δτ =, h. W eapie wyznacza ię ałe ω,τ na podawie pełzania króko- i średniorwałego, opianego formułą przyliżoną () [ + ωϕ () + ωϕ ( ) ], (, T ). Z eów wępnych wynika, że dla adanych żywic T = 5 h. Przyęo n =. ałe ω,τ eymowano analogicznie ak w eapie, przy czym Δω =,, Δτ, h. = xx yy TABELA. Warości ałych maeriałowych prężyości i lepko- prężyości adanych żywic (równania podanościowe) TABLE. Value of maerial conan of elaiciy and vicoelaiciy of he examined rein (compliance equaion) ała maeriałowa Epidian 5 Polimal 9 E, GPa,4 4,8 ν,48,6 ω,9,5 ω,6,4 ω,4,8 τ, h,,69 τ, h 55, 69,8 τ, h W eapie wyznacza ię ałe ω, τ na podawie pełzania króko-, średnio- i długorwałego w przedziale (, T ). Z eów wępnych wynika, że T = 5 h. Przyęo n =. ałe ω, τ eymowano analogicznie ak w eapach i, przy czym Δω =,, Δτ = h. Wyżza dokładność eymaci ałych lepkoprężyości w pozczególnych eapach e nieuzaadniona ze względu na ograniczoną dokładność pomiarów odkzałceń. Wyniki idenyfikaci ałych prężyości i lepkoprężyości adanych żywic zeawiono w aeli. Błędy względne δ odchylenia ymulowane krzywe pełzania poaciowego od warości ekperymenalnych wynioły <,6% dla Epidianu 5 oraz <,8% dla Polimalu 9. Dokładność modelowania lepkoprężyego żywic pokazano na ryunku przykładowo dla żywicy epokydowe. Odkzałcenia wyępuące na ryunku zdefiniowano we wzorach (5). Ry.. Pełzanie klayczne próki z Epidianu 5. ymulowane pełzanie poaciowe i oęościowe na le warości ekperymenalnych. Naprężenie rozciągaące xx = 5,6 MPa ig.. laical creep of he ample made of Epidian 5 epoxy. The imulaed hear and ulk creep ackgrounded wih he experimenal value. Tenioning re xx = 5,6 MPa ZTYWNOŚIOWE RÓWNANIA KONTYTUTYWNE PRĘŻYTOŚI I LEPKOPRĘŻYTOŚI ŻYWI zywnościowe równania konyuywne liniowe prężyości maeriału izoropowego, w weri poaciowo-oęościowe, orzymue ię ławo z równań () : =, = (6) gdzie: = G, = B ą odpowiednio zywnością prężyą poaciową i oęościową. umuąc równania (6), z uwzględnieniem zależności (), orzymue ię zywnościowe równania konyuywne prężyości, w weri kierunkowe:

5 Podanościowe i zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic 47 = = ( ) + = (7) I A A ym. przy czym kierunkowe zywności prężye wyrażaą ię wzorami: = ( B + 4G), = ( B G) (8) Przyliżone zywnościowe równania konyuywne liniowe lepkoprężyości żywic, w weri poaciowo- -oęościowe, opiuące zmodyfikowany model HWKK, przewidue ię w poaci: () = () (), () = () () = κ K ( ϑ) =,,, K = dϑ, β = τ βξ () = β e ξλ( ξ ) dξ, K() r = β β e β K () = β e (9) We wzorach (9) wprowadzono naępuące oznaczenia: () - zywność czaowa poaciowa, K () - funkca wykładnicza ułamkowa Raonowa-Wilczyńkiego z ułamkiem μ =,5; K (), K () - funkce wykładnicze zwykłe, κ, =,,, - wpółczynniki relakaci długorwałe, τ r, =,,, - czay relakaci (różnych rzędów). Inerpreaca wzorów (9) e naępuąca: zywność czaowa poaciowa e zdefiniowana przez rzy liniowo niezależne funkce hiorii odkzałcenia. unkca K () ma wpływ na naprężenia dewiaoryczne króko-, średnio- i długorwałe. unkca K () ma wpływ na naprężenia średnio- i długorwałe. Oania funkca K () ma wpływ ylko na naprężenia długorwałe. Dewiaor enora naprężeń e lepkoprężyy, naomia akaor - prężyy. zywnościowe równania konyuywne ą opiane przez dwie ałe prężyości (G, B) oraz 6 ałych lepkoprężyości κ,, ( τ r =,, ). Przyliżone zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic można również formułować w weri kierunkowe, ez wprowadzania dodakowych ałych maeriałowych. WYZNAZENIE ŚIŁEJ I PRZYBLIŻONEJ ZTYWNOŚI ZEPOLONEJ POTAIOWEJ W celu uzykania przerzyych rozważań w niniezym punkcie pomiamy indek ( ). Do wyznaczenia ściłe podaności zepolone poaciowe oraz przyliżone zywności zepolone poaciowe zaoowano meodykę zliżoną do meodyki opiane w monografii []. Poedyncze równanie w równaniu macierzowym () przepiuemy w poaci G () = () (), () = + ω ( ϑ) = dϑ () Tranformaca Laplace a na równaniu () dae w wyniku równanie algeraiczne ( q) ( q) ( q), ( q) = + ( q) = ω () G = gdzie q e zepolonym paramerem ranformay, naomia: = = () q q q α α α ( q), ( q) =, ( q) ą ranformaami Laplace a funkci hiorii naprężenia. Przechodząc w równaniu () do ualonych proceów harmonicznych z częością p [h ], zn. przymuąc ip ip ( ) = e, ( ) = e, i =,, mamy: () ( ) p (), = + ( ip) = ω () G = przy czym []: ( ip) = + i =, + + p α p p + α α = kładowe,, =,, + p α p p + α α (4) odpowiadaące zwyk- łym funkcom wykładniczym, można znaleźć w []. Po podawieniu wzorów (4) do wzoru () orzymue ię formułę końcową na ściłą podaność zepoloną poaciową:

6 48 M. Klazorny ( ) = ( ) + ( ) ( ) = p p i p, p ω G = ω = + G = (5) Odwrócenie równania () prowadzi do związku () = (), w kórym e ściłą zywnością zepoloną poaciową, określoną przez wzory = = i, = + [ ] + [ ] ( ) p = [ ] + [ ] = (6) Poedyncze równanie w równaniu macierzowym (9) przepiuemy w poaci () = () (), () = G κ K ( ϑ) = dϑ (7) Tranformaca Laplace a na równaniu (7) dae w wyniku równanie algeraiczne ( q) ( q) ( q), ( q) = G κ K ( q) = (8) = gdzie ranformay Laplace a K ( q) wyrażaą ię wzorami analogicznymi ak dla ( q), =,,, przy czym zamia α należy podawić β, =,,. Przechodząc w równaniu (7) do ualonych proceów harmonicznych, orzymue ię: K () (), = G κ K ( ip) = ( ip) = K + ik = zęści rzeczywie i uroone K K (9), wyrażaą ię wzorami analogicznymi ak dla,, =,,, przy czym zamia α należy podawić β, =,,. Końcowe wzory na przyliżoną zywność zepoloną poaciową przymuą formę: ( ) = ( ) ( ) ( ) = p p i p, p G κ K + = G κ K = = WYZNAZENIE TAŁYH MATERIAŁOWYH κ, τ r, =,,, () Dla p > α (procey krókorwałe) wpływ funkci worzących o numerach =, e pomialny; orzymuemy wówcza zredukowany model HW, kóremu odpowiadaą naępuące formuły ściłe na części rzeczywie podaności i zywności zepolone [] [ ω ], = G[ κ K ] = + () G przy czym dla funkci wykładnicze Raonowa-Wilczyńkiego z ułamkiem μ =, 5 mamy ω κ =, + () β = + ω ( ω ) α Dla p = α (procey króko- i średniorwałe) ylko wpływ funkci worzące o numerze = e pomialny; orzymuemy zredukowany model HWK. We wzorach (5) należy pominąć kładniki odpowiadaące = =, naomia wzory () redukuą ię do poaci [ ] G[ κ K α + κ K α ] = G κ K κ K = ( ) ( ) () Jeśli po lewe ronie formuł () wawimy warości ściłe, określone wzorami (6), o orzymamy układ dwóch równań algeraicznych z dwiema niewiadomymi, kórego rozwiązanie ma poać: B A κ = A +, β = α, A = κ K A B B = κ K + G G (4) Dla p = α (procey króko-, średnio- i długorwałe) uwzględniamy pełny model HWKK. Z warunku równości części rzeczywiych ściłe i przyliżone zywności zepolone oraz równości odpowiednich części uroonych orzymue ię układ równań algeraicznych, kórego rozwiązanie ma poać:

7 Podanościowe i zywnościowe równania konyuywne lepkoprężyości żywic 49 B κ = A +, A A = κ K B = κ K κ K + κ K A β = α B G + G (5) Powyżzą procedurę powarzamy w pęli ieracyne, uwzględniaąc pełny model HWKK również przy wyznaczaniu paramerów κ, β. W k-e ieraci należy przyąć warości κ, β z ieraci (k-). Miarą dopaowania ą względne odchylenia przyliżone zywności zepolone poaciowe () od zywności ściłe (6), oliczane klaycznie, oddzielnie dla części rzeczywiych (δ ) i uroonych (δ ). Przedział zmienności częości p oemue α, α, α, kóre dla analizowanego modelu ą różnych rzędów. Wyniki oliczeń dla żywicy epokydowe (Epidian 5) i polierowe (Polimal 9) zeawiono w aeli. za oliczeń na P nie przekraczał dla dane żywicy. Proce ieracyny e zieżny; warości ałych lepkoprężyości ualaą ię po 6-7 ieracach, z dokładnością do 5 cyfr znaczących. Warości ałych maeriałowych: E, ν, ω, ω, ω, τ, τ, τ, anowiące ziór danych weściowych, podano w aeli. TABELA. Warości ałych maeriałowych prężyości i lepkoprężyości adanych żywic (równania zywnościowe) TABLE. Value of maerial conan of elaiciy and vicoelaiciy of he examined rein (iffne equaion) ała maeriałowa Epidian 5 Polimal 9 G, GPa,,57 B, GPa 6,4 5, κ,6,4 κ,6,45 κ,5, τ r, h,,7 τ r, h 44,7 48, τ r, h 8 5 Ry.. Ściła i przyliżona zywność zepolona poaciowa żywicy epokydowe Epidian 5 ig.. The exac and approximae hear complex iffnee for Epidian 5 epoxy Dopaowanie zywności zepolonych pokazano na ryunku, przykładowo dla żywicy epokydowe, w kali półlogarymiczne. Odchylenia wynozą: δ = =,6%, δ =,5% dla Epidianu 5 oraz δ =,6%, δ =,% dla Polimalu 9. WNIOKI Zmodyfikowany model HWKK pozwala na ymulacę izoermicznych proceów lepkoprężyych króko-, średnio- i długorwałych w żywicach, ako marycach polimerowych kompozyów włókniych. Model en e opiany przez relaywnie małą liczę ałych maeriałowych. Idenyfikaca ałych lepkoprężyych e ednoznaczna. Meoda odwracania podanościowych równań konyuywnych modelu HWKK e analiyczna, ednoznaczna i o wyokie dokładności. LITERATURA [] Raonow J.N., Elemen of vicoelaic mechanic of olid (in Ruian), Nauka Pre, Mocow 977. [] Wilczyńki A.P., Mechanika polimerów w prakyce konrukcyne, WNT, Warzawa 984. [] Wilczyńki A.P., Klazorny M., Deerminaion of complex compliance of firou polymeric compoie, J. ompoie Maerial, 4,, -6. [4] Wilczyńki A.P., Wyrane prolemy adania właności mechanicznych liniowo prężyych ciał ałych, OWPW, Warzawa 968. [5] Klazorny M., Wilczyńki A.P., Wiemerg-Perzyk D., A rheological model of polymeric maerial and idenificaion of i parameer, J. Theoreical & Applied Mechanic, 9,, -. [6] Klazorny M., Gielea R., The HWKK rheological model for rein, J. Theoreical & Applied Mechanic, 4, 4, [7] Klazorny M., Wilczyńki A.P., oniuive modeling of polymeric rein aed on hear and ulk creep, nd European onf. on ompuaional Mechanic EM-, racow, D onf. Proceed., Paper No, -4. [8] Klazorny M., Wilczyńki A.P., Vicoelaic modelling of fire-reinforced rein marix compoie, In. onf. on High Performance rucure & ompoie, eville, -4. [9] Wilczyńki A.P., Tworzenie i oowanie związków konyuywnych lepkoprężyych kompozyów polimerowych, Ma.. zkoły Kompozyów n. Modelowanie i analiza ma-

8 5 M. Klazorny eriałów i elemenów kompozyowych, Wiła, [] Kaniewki J., O możliwościach odwracania pewnych zależności konyuywnych maeriałów lepkoprężyych, Rapor adawczy nr IMiK/ZM//, Inyu Mechaniki i Konrukci PW, Warzawa. Recenzen aniław Mazurkiewicz