Skręcanie prętów napręŝenia styczne, kąty obrotu, projektowanie 3

Transkrypt

1 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie W przypadku kręcania pręa jego obciąŝenie anowią momeny kręcające i. Na ry..1a przedawiono przykład pręa zywno zamocowanego na ewym końcu (punk ), obciąŝonego momenami kręcającymi 1, i. Schema obiczeniowy po uwonieniu z więzów iuruje ry..1b. Ry..1 Do wyznaczenia warości momenu podporowego wykorzyujemy równanie równowagi aycznej uma momenów zewnęrznych wzgędem oi x je równa zeru: Σ ix (.1) 1 1 W dowonym przekroju poprzecznym pręa momen kręcający je równy umie momenów zewnęrznych działających po jednej ronie przekroju wzgędem oi pręa (ry..). Ry.. Da przekroju przedawionego na ry.., orzymamy zaem: rozwiązując od prawej rony (ry..a) ( p) Σ ix (.a)

2 . Wyrzymałość maeriałów rozwiązując od ewej rony (ry..b) ( ) Σ ix ( 1) 1 (.b) Do obiczenia napręŝeń ycznych τ wywołanych momenem kręcającym w przekroju kołowym (ry..), w dowonym punkcie oddaonym od oi pręa o wiekość ρ (promień), oujemy naępującą zaeŝność: gdzie: momen kręcający, I ρ τ( ρ) ρ (.) I biegunowy momen bezwładności przekroju poprzecznego, odegłość punku od oi pręa (promień). Ry.. NapręŜenia yczne mają warości proporcjonane do wiekości promienia ρ i ą do niego proopadłe. Sąd wnioek, Ŝe makymane napręŝenia yczne τ max da przekroju kołowego, wyąpią na obwodzie ( ρ d/ ), a ich warość moŝemy okreśić na podawie zaeŝności: gdzie: τ max (.) W momen kręcający, W wkaźnik wyrzymałości na kręcanie, okreśony naępująco: W I ρ (.5) max Da przekroju kołowego o średnicy d, warości I oraz W ą równe: π d I (.6) π d W (.7) 16 Ką kręcenia odcinka pręa wyznaczamy w oparciu o zaeŝność: (.8)

3 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie. gdzie: momen kręcający, długość rozparywanego odcinka pręa, G I moduł Kirchhoffa (moduł pręŝyości poprzecznej), biegunowy momen bezwładności przekroju poprzecznego. Ioczyn nazywamy zywnością pręa na kręcanie. Zadania projekowe prowadzają ię do okreśenia wymiarów przekroju poprzecznego pręa na podawie warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. W przypadku pręów kręcanych warunek nośności moŝemy zapiać w poaci: gdzie: τ max k (.9) τ max makymana warość napręŝeń ycznych w rozparywanym eemencie, k napręŝenia uzczane na kręcanie da przyjęego maeriału. Naomia warunek uŝykowania ma poać: gdzie: max (.1) max makymany ką kręcenia rozparywanego eemenu, uzczany ką kręcenia. Przekrój kołowy akymane napręŝenia yczne da przekroju kołowego o średnicy d wyąpią na jego obwodzie (ry..a), a ich warość okreśamy na podawie zaeŝności: gdzie: τ max (.11) W momen kręcający, W wkaźnik wyrzymałości na kręcanie, okreśony naępująco: π d W (.1) 16 Ry.. Ką kręcenia odcinka pręa wyznaczamy w oparciu o zaeŝność: (.1)

4 . Wyrzymałość maeriałów gdzie: momen kręcający, długość rozparywanego odcinka pręa, G I moduł Kirchhoffa (moduł pręŝyości poprzecznej), biegunowy momen bezwładności przekroju poprzecznego, Ioczyn okreśony naępująco: nazywamy zywnością pręa na kręcanie. Przekrój pierścieniowy π d I (.1) akymane napręŝenia yczne da przekroju pierścieniowego (ry..b) wyąpią, podobnie jak w przypadku przekroju kołowego, na jego obwodzie. Ich warość okreśamy na podawie zaeŝności (.11), przy czym wkaźnik wyrzymałości na kręcanie, okreśamy w naępujący poób: gdzie: d z średnica zewnęrzna, d w średnica wewnęrzna. W π ( dz dw ) (.15) 16dz Ką kręcenia wyznaczamy anaogicznie, jak da pręa o przekroju kołowym, przyjmując biegunowy momen bezwładności równy: I w ) (.16) π ( dz d Przekrój pierścieniowy cienkościenny Za przekrój pierścieniowy cienkościenny (ry..c) uwaŝać będziemy przekrój pierścieniowy, w kórym grubość ścianki δ je duŝo mniejza od średnicy d, definiowanej jako warość średnia: gdzie: d z średnica zewnęrzna, d w średnica wewnęrzna. d d z d w (.17) Do wyznaczenia makymanych napręŝeń ycznych oraz kąów kręcenia wykorzyujemy zaeŝności (.11 i (.1), podawiając naępujące warości wkaźnika wyrzymałości na kręcanie W oraz wkaźnika zywności przekroju na kręcanie I : π d W π r δ δ (.18) π d I π r δ δ (.19)

5 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.5 Przekrój cienkościenny o profiu owarym Przykłady przekrojów cienkościennych o profiu owarym przedawiono na ry..5. NapręŜenia yczne ą rozłoŝone iniowo na grubości ścianek, a ich zwro je zgodny ze zwroem momenu kręcającego. akymane napręŝenie yczne wyępuje w najgrubzej ściance profiu owarego. Przekroje cienkościenne przedawione na ry..5 moŝna zaąpić wąkimi prookąami o długości b i i zerokości δ i. Ry..5 Do wyznaczenia makymanych napręŝeń ycznych oraz kąów kręcenia wykorzyujemy zaeŝności (.11) i (.1), podawiając naępujące warości wkaźnika wyrzymałości na kręcanie W oraz wkaźnika zywności przekroju na kręcanie I : W I δ (.) max gdzie: δ max makymana grubość ścianki, b i δ i długość i-ego odcinka, grubość i-ego odcinka. I 1 n i 1 b i δ i (.1) Przekrój cienkościenny o profiu zamknięym Przykład przekroju cienkościennego o profiu zamknięym przedawiono na ry..6. NapręŜenia yczne ą ałe na grubości ścianek, a ich makymana warość wyępuje w najcieńzej ściance profiu. Przekrój cienkościenny zamknięy moŝna, podobnie jak poprzednio, zaąpić wąkimi prookąami o długości b i i zerokości δ i. Wprowadza ię równieŝ poe powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone inią średnią (ry..6). Ry..6 Do wyznaczenia makymanych napręŝeń ycznych oraz kąów kręcenia wykorzyujemy zaeŝności (.) i (.5), podawiając naępujące warości wkaźnika wyrzy-

6 .6 Wyrzymałość maeriałów małości na kręcanie W oraz wkaźnika zywności przekroju na kręcanie I : W δ (.) min gdzie: poe powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone inią średnią, δ min minimana grubość ścianki, b i δ i długość i-ego odcinka, grubość i-ego odcinka. I n i 1 bi δ i (.)

7 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.7 Zadanie.1. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..7. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..8). Ry..7 omen podporowy Ry..8 wyznaczamy z równania równowagi aycznej: Σ ix W koejnym kroku wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiąŝemy zarówno od prawej (ry..9), jak i ewej (ry..1) rony. Ry..9 Ry..1 Rozwiązując zadanie od prawej rony (ry..9) orzymujemy, w oparciu o zaeŝność (.a):, CD Σ ix, BC Σix, B Σix

8 .8 Wyrzymałość maeriałów Z koei, rozwiązując zadanie od ewej rony (ry..1) orzymamy, zgodnie ze wzorem (.b): gdzie, B Σix ( ), BC Σix ( ), CD Σ ix ( ) NapręŜenia yczne τ w pozczegónych odcinkach pręa ą równe (.):,B τ B W W,BC τbc W W,CD τcd W W W je wkaźnikiem wyrzymałości na kręcanie, równym: π d W 16 Kąy obrou przekrojów B, C i D wyznaczamy na podawie kąów kręcenia pozczegónych odcinków pręa odpowiednio B, BC i CD. Na podawie zaeŝności (.8) orzymujemy: ką kręcenia odcinka B,B B ką kręcenia odcinka BC ką kręcenia odcinka CD,BC BC,CD CD gdzie I je biegunowym momenem bezwładności przekroju poprzecznego, równym π d I Oaecznie orzymujemy: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B ką obrou przekroju C C B BC 5

9 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.9 ką obrou przekroju D D B BC CD 6 Na ry..11 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..11

10 .1 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..1. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..1). Ry..1 omen podporowy Ry..1 wyznaczamy z równania równowagi aycznej: Σ ix 5 Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..1):, B Σix ( ), BC Σ ix ( 5 ) 5, CD Σ ix ( 5 ) 5, DE Σ ix ( 5 ) 5 Ry..1 NapręŜenia yczne τ w pozczegónych odcinkach pręa ą równe (.):,B τ B W W,BC τbc W W

11 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.11 gdzie W je równe:,cd τcd W W τ,de DE W π d W 16 Kąy obrou przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podawie kąów kręcenia pozczegónych odcinków pręa odpowiednio B, BC, CD i DE. Na podawie zaeŝności (.8) orzymujemy: ką kręcenia odcinka B,B B ką kręcenia odcinka BC ką kręcenia odcinka CD ką kręcenia odcinka DE gdzie I je równy: Oaecznie orzymujemy: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B,BC BC,CD CD,DE DE π d I B B ką obrou przekroju C ką obrou przekroju D ką obrou przekroju E C B BC D B BC CD D B BC CD DE

12 .1 Wyrzymałość maeriałów Na ry..15 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..15

13 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.1 Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..16. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..17). Ry..16 omen podporowy Ry..17 wyznaczamy z równania równowagi aycznej: Σ ix Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..18):, B Σix ( ), BC Σix ( ), CD Σ ix ( ), DE Σ ix ( ) Ry..18 Z uwagi na róŝne średnice pręa w pozczegónych odcinkach, wprowadzamy wiekości odnieienia da wkaźnika wyrzymałości na kręcanie bezwładności I, równe: W π d 16 I π d W oraz momenu

14 .1 Wyrzymałość maeriałów Wkaźniki wyrzymałości oraz momeny bezwładności da odcinków B i BC, da kórych średnica pręa je inna niŝ d, okreśimy w funkcji wprowadzonych wiekości odnieienia. Orzymamy zaem: da odcinka B 7 π d W 5 7, B W W π d I 5 7 1, B I I 5 65 da odcinka BC 6 π d W , BC W W π d I , BC I I 5 65 Da odcinków CD i DE orzymujemy naomia: W W, CD W, DE I I, CD I, DE NapręŜenia yczne τ w pozczegónych odcinkach pręa ą równe (.):,B 75 τ B 1, 9 W,B W W W 15,BC 15 τbc 1, 157 W 16,BC W 18 W W 15 τ CD,CD W,CD W τ,de DE W,DE Kąy obrou przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podawie kąów kręcenia pozczegónych odcinków pręa odpowiednio B, BC, CD i DE. Na podawie zaeŝności (.8) orzymujemy: ką kręcenia odcinka B,B 1875 B, 789 1,B 1 65

15 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.15 ką kręcenia odcinka BC,BC 65 BC, ,BC ką kręcenia odcinka CD CD,CD,CD ką kręcenia odcinka DE,DE DE,DE Oaecznie orzymujemy: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B, 789 ką obrou przekroju C C B BC 1,75 ką obrou przekroju D D B BC,75 CD ką obrou przekroju E E B BC,75 CD DE Ry..19 Na ry..19 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou.

16 .16 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..17. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..1). Ry.. Ry..1 Równanie równowagi aycznej ma poać: Σ ix D D Układ je jednokronie aycznie niewyznaczany dwie niewiadome, D i jedno równanie równowagi. Dodakowe równanie wynika z warunku geomerycznego ką obrou przekroju D, je równy zeru, co zapizemy naępująco: D B BC CD Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..):, B Σix ( ), BC Σ ix ( ), CD Σ ix ( ) Ry.. Kąy kręcenia pozczegónych odcinków pręa ą równe:,b B

17 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.17,bc BC ( ),CD CD ( ) Podawiając wyznaczone kąy kręcenia do dodakowego warunku geomerycznego moŝemy okreśić warość momenu podporowego wyznaczamy momeny kręcające : : ( ) ( ) omen podporowy D je równy: 5 D gdzie Podawiając warość momenu podporowego w pozczegónych odcinkach pręa:,b 1,BC,CD 5 NapręŜenia yczne w pozczegónych odcinkach pręa wynozą: W je równe:,b τ B W W 1,BC τbc W W,CD τcd W W π d W 16 5 Kąy obrou pozczegónych przekrojów pręa wynozą: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B G I

18 .18 Wyrzymałość maeriałów ką obrou przekroju C I G BC B C 5 1 ) ( ką obrou przekroju D 1 ) ( ) ( CD BC B D gdzie I je równe: π d I Na ry.. przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..

19 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.19 Zadanie.5. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry... Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..5). Ry.. Ry..5 Równanie równowagi aycznej ma poać: Σ ix D D Układ je jednokronie aycznie niewyznaczany dwie niewiadome, D i jedno równanie równowagi. Dodakowe równanie wynika z warunku geomerycznego ką obrou przekroju D, je równy zeru, co zapizemy naępująco: D B BC CD Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..6):, B Σix ( ), BC Σix ( ), CD Σ ix ( ) Ry..6 Kąy kręcenia pozczegónych odcinków pręa ą równe: B,B

20 . Wyrzymałość maeriałów ),BC BC ( ),CD CD ( Podawiając wyznaczone kąy kręcenia do dodakowego warunku geomerycznego moŝemy okreśić warość momenu podporowego wyznaczamy momeny kręcające : : ( ) ( ) 5 5 omen podporowy D je równy: 5 1 D gdzie Podawiając warość momenu podporowego w pozczegónych odcinkach pręa:,b 5 5,BC 5 1,CD NapręŜenia yczne w pozczegónych odcinkach pręa wynozą: W je równe:,b τ B W W 5,BC τbc W W 1,CD τcd W W π d W 16 Kąy obrou pozczegónych przekrojów pręa wynozą: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B 5 G I

21 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.1 ką obrou przekroju C I G BC B C ) ( ką obrou przekroju D ) ( ) ( CD BC B D gdzie I je równe: π d I Na ry..7 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..7

22 . Wyrzymałość maeriałów Zadanie.6. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..8. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..9). Ry..8 Ry..9 Równanie równowagi aycznej ma poać: Σ ix E Układ je jednokronie aycznie niewyznaczany dwie niewiadome, E i jedno równanie równowagi. Dodakowe równanie wynika z warunku geomerycznego ką obrou przekroju E, je równy zeru, co zapizemy naępująco: E B BC CD DE Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..7):, B Σix ( ), BC Σix ( ) E, CD,BC, DE Σ ix ( ) Ry..

23 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie. Z uwagi na róŝne średnice pręa w pozczegónych odcinkach, wprowadzamy wiekości odnieienia da wkaźnika wyrzymałości na kręcanie bezwładności I, równe: W π d 16 I π d W oraz momenu Wkaźnik wyrzymałości oraz momen bezwładności da odcinków B i BC, okreśimy w funkcji wprowadzonych wiekości odnieienia: 6 π d W W , B,BC W W π d I I , B,BC I I 5 65 Da odcinków CD i DE orzymujemy naomia: W W, CD W, DE I I I, CD, DE Kąy kręcenia pozczegónych odcinków pręa ą równe: 65,B B,B 196 BC,BC 65 ( ) 196,BC CD,CD ( ),CD DE,DE ( ),DE Podawiając wyznaczone kąy kręcenia do dodakowego warunku geomerycznego moŝemy okreśić warość momenu podporowego ( 196 ) ( ) : ( , 7 omen podporowy E je równy: E 1,7, 7 ) :

24 . Wyrzymałość maeriałów Przyjęy zwro momenu podporowego E był błędny. Z uwagi na fak, iŝ zadanie rozwiązywano od rony ewej nigdzie nie wyępuje momen E wyprowadzone zaeŝności na momeny kręcające oraz kąy kręcenia ą poprawne. wyznaczamy momeny kręcające Podawiając warość momenu podporowego w pozczegónych odcinkach pręa: 1, B, 7, BC, 667, CD,BC, 667, DE, 7 NapręŜenia yczne w pozczegónych odcinkach pręa wynozą:,b 1,7 τ B, 779 W 16,B W W 15,BC,667 τbc, 85 W 16,BC W W 15 τcd 667,CD, W,CD W τde 7,DE, W,DE W Po podawieniu warości momenu podporowego pozczegónych odcinków pręa: B, 69 BC, 195 CD, 667 DE, 7 Kąy obrou pozczegónych przekrojów pręa wynozą zaem: ką obrou przekroju wyznaczamy kąy kręcenia ką obrou przekroju B B B, 69 ką obrou przekroju C C B BC (,69,195), 5 G I

25 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.5 ką obrou przekroju D D B BC CD (,69,195,667), 7 G ką obrou przekroju E I E B BC CD DE (,69,195,667,7) Na ry..1 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Na ryunku przyjęo poprawny zwro momenu podporowego E. Ry..1

26 .6 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.7. Zaprojekować prę o przekroju kołowym z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość,5 m i je obciąŝony momenem kręcającym 9 N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy niŝ 1. Dane: G 8 Pa. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.1): π d W 16 Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W 16 π d k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d d 16 π k 16 π k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: d 16 9 π 1 5,79 mm Biegunowy momen bezwładności je równy (.6): π d I Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max G π d Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d G π d G π Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): d π,175,5 mm Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy średnicę pręa równą mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe:

27 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.7 a całkowiy ką kręcenia wynoi: τ max 57,65 Pa < k W π d π 9 5 max,167 rad, G π d 8 π 96 <

28 .8 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.8. Zaprojekować prę o przekroju pierścieniowym z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość m i je obciąŝony momenem kręcającym N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy niŝ 1. Dane: G 8 Pa, d z / d w 1,5. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.15): z w π ( d d ) π [(1,5 dw ) d ] W,518d 16d 16 1,5 d z w w w Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,518d w k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d w d w,518k,518k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: d w, ,8 mm Biegunowy momen bezwładności je równy (.8): z w π ( d d ) π [(1,5 dw) d ] I,988d w w Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max,988g d w Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d d w w,988g,988g Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): d w,988 8,175, mm

29 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.9 Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy średnicę wewnęrzną równą mm, a zewnęrzną 9 mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane naprę- Ŝenia yczne ą równe: 16 d 16 9 τ max 16,5 Pa < k W π ( d d ) π (9 ) z a całkowiy ką kręcenia wynoi: z w max,167 rad, π ( d d ) G π (9 ) 8 96 < z w

30 . Wyrzymałość maeriałów Zadanie.9. Zaprojekować prę o przekroju pierścieniowym cienkościennym ( δ, 1d ) z warunku nośności. Prę je obciąŝony momenem kręcającym 1 kn m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.18): π d π d W δ,1d,5π d Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,5π d k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę pręa: d d,5π k,5π k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy średnicę pręa: d 6 1 1,5 π 1 185, mm oraz grubość ścianki: δ,1d,1 185, 1,85 mm Przyjmujemy średnicę pręa d 186 mm oraz grubość ścianki δ mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe: 1 1 τ max 9,1Pa < k W π d δ π 186 6

31 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.1 Zadanie.1. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu zamknięym (ry..) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym 16 kn m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, b. 1m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry.. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.): δmin b,b, W b Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,k,k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b , 1 158,7 mm Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie wyznaczamy z zaeŝności (.): I ( b ) b δ b,b b b i i 1, b δ δ Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: i max,g b Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,g,g

32 . Wyrzymałość maeriałów Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b , 8,175 15,61 mm Decydujący je warunek nośności. Przyjmujemy zerokość przekroju oraz grubość ścianki Ŝenia yczne ą równe: b 159 mm δ, mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane naprę τ max 98,89 Pa < k W, a całkowiy ką kręcenia wynoi: 6 δ min max ,155 rad, ( b ) G b δ 8 159, 89 G b δ <

33 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie. Zadanie.11. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu owarym (ry..) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, b. 1m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry.. Rozwiązanie Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.1): I 5 1 bi δ i 1 1 b (,b) 1 b δ b 1 bδ 6 bδ b 975 bδ b δ bδ a wkaźnik wyrzymałości na kręcanie (.): W I b b δmax 975δ 975,b b 1875 Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W 1875 b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : b 1875 k 1875 b k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b ,6 mm Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max 975 G b Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : 975 b G

34 . Wyrzymałość maeriałów b 975 G Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b ,175,19 mm Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy warość parameru b 1mm oraz grubość ścianki δ 6,9 mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe: a całkowiy ką kręcenia wynoi: τ max 9, Pa < k W bδ 1 6,9 1 max,167 rad, 96 G bδ 8 1 6,9 <

35 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.5 Zadanie.1. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu zamknięym (ry..) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym 5 kn m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, 1b. m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry.. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.): W b δmin (b b),1b, Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,k,k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b 6 5 1, 1 18, mm Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie wyznaczamy z zaeŝności (.): I (b b) b δ b,1b b b b 5 5 i i 1, b δ δ δ i Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max,g b Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,g,g

36 .6 Wyrzymałość maeriałów Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b 6 5 1, 8,175 18,78 mm Decydujący je warunek nośności. Przyjmujemy zerokość przekroju oraz grubość ścianki równą: δ,1b, ,85 mm b 185 mm Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe: 5 1 τ max 98,71Pa < k W δ (7 185) 1,85 min a całkowiy ką kręcenia wynoi: 6 max 5 16 (b ) G b δ G b 5 δ,167 rad,96 < ,85

37 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.7 Zadanie.1. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu owarym (ry..5) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym 1 N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, b.,8 m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry..5 Rozwiązanie Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.1): I 1 bi δ i b (,b) 1 [ b(δ ) 8b 1 bδ 6 56 b(δ ) ] bδ 7b 6875 a wkaźnik wyrzymałości na kręcanie (.): W I 7b 7b δmax 6875 δ 6875,b 1b 565 Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W 565 1b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : b b 565 1k 565 1k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b ,55 mm Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max G b

38 .8 Wyrzymałość maeriałów Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : b b G G Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b ,175 15, 1 mm Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy warość parameru b 15 mm oraz grubość ścianki: δ,b, 15,6 mm Zaokrągamy grubość ścianki w górę (z dokładnością do,1 mm) i przyjmujemy δ 1, równe: mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą τ max 15, Pa < k W 56 bδ 56bδ (,1) δ a całkowiy ką kręcenia wynoi: 1 8 max,165 rad, G bδ , <

39 Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.9 Zadanie.1. Prę o długości 1m obciąŝono momenem kręcającym 1 N m. Przekrój pręa przedawiono na ry..6. Wyznaczyć makymane napręŝenia yczne τ max wywołane momenem kręcającym oraz całkowiy ką kręcenia pręa max. RozwaŜyć dwa wariany przekroju zamknięy i owary. Dane: b mm, h 6 mm, δ mm, G 8 Pa. Rozwiązanie Warian I przekrój zamknięy Ry..6 Poe powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone inią średnią je równe: a minimana grubość ścianki: bh 6 mm δ min δ mm Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je zaem równy (.): W min 96 mm δ akymane napręŝenia yczne obiczamy korzyając ze wzoru (.11): τ 1 96 max W 1,5 Pa Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.): I i 1 8 δ 8 56 mm b b h b h b h 6 i δ δ δ δ δ i Całkowiy ką kręcenia pręa obiczamy korzyając z zaeŝności (.1): max 1 1 5,86 1 rad, 8 56 Warian II przekrój owary Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.1): I 1 bi δ i 1 i 1 [ b(δ ) 1 (9 6) h δ bδ 18 mm h δ 1 ] (9b h ) δ

40 . Wyrzymałość maeriałów a wkaźnik wyrzymałości na kręcanie (.): W δ I max 18 mm akymane napręŝenia yczne obiczamy korzyając ze wzoru (.11): τ 1 max W 75 Pa naomia ką kręcenia pręa w oparciu o zaeŝność (.1): max 1 1 1,17 rad 67,