Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA

Transkrypt

1 Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet Rzeszowski w partnerstwie z Uniwerstetem Jagiellońskim oraz Państwową Wższą zkołą Zawodową w Chełmie Centralne Biuro Projektu Uniwerstet Rzeszowski ul. Rejtana 16a Rzeszów tel faks

2 EKPERYMENT1 Obliczm objętość walca powstałego przez obrót prostokąta o wmiarach 6 1 cm wokół prostej w której zawiera się odcinek długości tego prostokąta rs. 1. Rs. 1 Rs. Rs. Znając wmiar prostokąta Łatwo ją wznaczć: V walca 6 1 Ale przedstawm wnik w trochę innej postaci: V 61 Pole walca walca Pole prostok Okazuje się że objętość tego walca to iloczn pola prostokąta któr obracaliśm wokół jego dłuższego boku przez obwód koła które zakreśli w przestrzeni środek ciężkości tego prostokąta rs. i. W ten sposób odkrliśm na konkretnm przkładzie zasadę którą odkrł na początku XVII wieku szwajcarski matematk i astronom Paul Guldin (właśc. Habakkuk Guldin) ( ) rs. V Obwód prostok koło o proms Jego zasada zwana pierwszą regułą Guldina brzmi następująco: Rs. 1 REGUŁĄ GULDINA Objętość brł powstającej przez obrót figur płaskiej dookoła nie przecinającej jej osi jest równa ilocznowi pola tej figur przez długość okręgu jaki vzakreśla prz tm obrocie jej środek ciężkości. EKPERYMENT Obliczm pole walca powstałego przez obrót prostokąta o wmiarach 6 cm 1 cm wokół prostej w której zawiera się odcinek długości tego prostokąta. I znowu łatwo wznaczć pole całkowite walca: walca 6 61

3 Ale po małch przekształcenia przjmie ono inną postać: walca Obwód koło o proms Obwód prostok która przedstawia drugą powierzchniową regułę Guldena: REGUŁĄ GULDINA Pole powierzchni powstałej przez obrót płaskiej linii dokoła osi leżącej w płaszczźnie tej linii i nie przecinającej jej jest równe długości tej linii pomnożonej przez długość okręgu jaki prz obrocie zakreśla środek ciężkości danej linii Do czego mogą się przdać te reguł? Otóż jak widać fizk może dzięki niej określić dokładnie środek ciężkości płaskiego obszaru jeśli potrafi znaleźć pole lub objętość brł powstałej z obrotu tego obszaru wokół osi nie przecinającej go w żadnm punkcie. Matematk zaś może wznaczć pole lub objętość brł obrotowej pod warunkiem że zna środek ciężkości płaskiej figur która po obrocie dała kształt tej brł. POLE I OBJĘTOŚĆ TORUA Wkorzstajm te reguł w wznaczeniu pola i objętości torusa rs. 5. Wdaje się to łatwe z uwagi na fakt że torus powstaje z obrotu koła a jego środek ciężkości jest jego środkiem. Wszstko zależ więc od wielkości tego koła i odległości jego środka od osi obrotu. Przjmijm: r = promień koła tworzącego torus s =odległość środka ciężkości od osi obrotu (rs. 6 Oto wznaczone wartości: P torusa Rs. 5 Rs. 6 r s r s V torusa r s r s WYZNACZANIE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI Chcem wznaczć środek ciężkości figur w kształcie liter T której wmiar ilustruje rsunek 7:

4 Rs. 7 Rs. Rs. 9 Gdbśm obrócili tę figurę wokół prostej prostopadłej do osi smetrii figur przechodzącej przez punkt O wówczas otrzmalibśm brłę w kształcie walca z wciętmi w niej dwoma walcami rs. i 9. Objętość tej brł łatwo wznaczć: V V 1 Vwalca 119 T walca Według reguł Guldena ta sama objętość wnosi: V t Porównując obie wartości otrzmam równanie: kąd: 5 s 5 s 19 s 19 cm Cz taki sam wnik otrzmam stosując regułę Guldina? P T P walca1 P 1 1 boczne_ walca ( To samo pole wznaczone regułą Guldina wnosi: P T Porównując obie wartości otrzmam 1 s s cm 1 ) ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA

5 posób wznaczania środka ciężkości trójkąta jest na ogół znan. Znajdujem go jako punkt przecięcia się jego środkowch. Dla czworokąta sprawa się nieco komplikuje. Środek ten wznaczam według opisu poniższej konstrukcji: Rs. 1 Rs. 11 Rs 1 prowadzim w czworokącie ABCD jedną z jego przekątnch podzieliła ona czworokąt na dwa trójkąt ABC i ACD wznaczam środek ciężkości każdego nich łączm odcinkiem wznaczone środki ciężkości prowadzim w czworokącie ABCD drugą z jego przekątnch podzieliła ona czworokąt na dwa trójkąt ABD i BCD wznaczam środek ciężkości każdego nich łączm odcinkiem wznaczone środki ciężkości punkt przecięcia obu odcinków jest środkiem ciężkości całego czworokąta ABCD. Reguła Guldina pozwala wznaczć środek ciężkości dowolnego czworokąta. Wznaczm go w konkretnm przpadku: Niech czworokąt ma wierzchołki A() B() C(6) i D(). Współrzędne środka ciężkości trójkąta można wznaczć szbko jako średnie artmetczne jego odpowiednich współrzędnch wierzchołków. 6 1( ACD)

6 1 6 ) ( ABC 1 ) ( ABD 16 6 ) ( BCD Prosta 1 ma równanie: 6 1 Prosta ma równanie: Rozwiązując układ tch równań otrzmam = = 9 Po obrocie trapezu uzskam brłę obrotową złożoną z walca i dwóch przstającch stożków. Objętość brł obliczona tradcjnie wnosi: 6 1 V

7 Ta sama objętość obliczona na zasadzie reguł Guldina wnosi: V ( ) s s Porównując obie wartości możem wznaczć odległość s środka ciężkości od dłuższej podstaw trapezu: Co w porównaniu z geometrcznm środkiem smetrii trapezu równoramiennego daje dokładn rezultat: CZY ZAWZE TOUJEMY REGUŁĘ GULDINA? Rozważm w tm celu pewien problem optmalizacjn. Jest dan arkusz kartki którą zwijam na dwa sposob tak b uzskać za każdm razem powierzchnię walca. W jednm przpadku będzie to szeroki walec o małej wsokości a w drugim wąski o dużej wsokości. Któr z nich ma większą objętość? Na pierwsz rzut oka wdaje się że ten szersz jest większ ale gd kartka z której zwijam walce zbliżona jest swm kształtem do kwadratu wówczas trudno rozstrzgnąć któr z walców ma większa objętość. Niech kartka prostokątna ma wmiar długość = a szerokość = b Wówczas szersz walec ma objętość: Zaś węższ ma objętość: 6 V V walca 1 V walca a V s s 9 a b ab b a Dla obu rozwiązań pojawia się ten sam współcznnik: b b a ab a b ab

8 Zatem: ten walec ma większą objętość którego wartość obwodu (a lub b) jest większa. Ponieważ w naszm przpadku a>b więc walec o obwodzie a ma większą objętość. Wartość objętości każdego z tch walców obliczona metodą Guldina nie wrazi się poprzez długość ani szerokość kartki papieru którą zwijam w walec. Ta reguła niestet nie nadaje się do rozwiązania tego problemu.