PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

Transkrypt

1 O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą, niż na wnioskach wciąganch obserwacji. AYSTOTELES poał praktcne argument mające potwierić kulistość Ziemi. 1) miana horontu pocas poróż w różnch kierunkach ) okrągł cień Ziemi obserwowan pocas aćmień księżca 3) wiocność statku pocas bliżania się lub oalania o portu EATOSTENES jako pierws oblicł promień Ziemi pr ałożeniu, że Ziemia jest kulą. Doświacenie Eratostenesa Eratostenes auważł, że w niu presilenia letniego w Sene (obecnie Assuan w Egipcie) Słońce nie ruca cienia w połunie, cli najuje się w enicie i jest wiiane nawet najgłębsch stuni. W tm samm niu w Aleksanrii, leżącej w prbliżeniu na tm samm połuniku co Sene, najuje się w oległości enitalnej równej 7 o,, atem różnica serokości geograficnch obu tch miejscowości wnosi 7 o,. Eratostenes oblicł, że oległość mię Sene i Aleksanrią wnosi 5000 staionów. Mając już wsstkie ane oblicł, że promień Ziemi jest równ ok staionów. Niepewn jest prelicnik staionów na metr (może się wahać o 174 o 10m), prjmując 1 staion = m to promień oblicon pre Eratostenesa wnosi około 6300km.

2 Aleksanria s Sene Promienie słonecne Krok alej Ziemia jest bariej elipsoią niż kulą Po pracach Eratostenesa nastał okres wglęnego spokoju poa cęsto prwołwanmi w literature poobnmi pomiarami: Posionius (I w. p. n. e.) łuk połunika oos - Aleksanria, kalif al Mamun (IX w.) Irak, opiero XVII wiek prniósł nowe osiągnięcia w tm kierunku. ok 1666, w żciu Iaaka Newtona określan mianem oku cuów (Annus Mirabilis), okonał wówcas swoich najwięksch okrć. ok ten jest również rokiem powołania o żcia Acaemie es Sciences (Francuska Akaemia Nauk), która to miała olbrmi wpłw na rowój geoeji w XVII i XVIII wieku. Wkonwano wówcas wiele pomiarów łuków połuników w różnch cęściach Europ (prace Picara, Snelliusa, Cassiniego i wielu innch). Ważna jest własca praca Cassiniego, ponieważ ostał on sprecne Newtonem wniki co o kstałtu Ziemi. To co otrmał Newton poniżej: Newton 1687 Philosophiae naturalis principia mathematica otrmał elipsoię obrotową jako figurę równowagi la jenoronej, płnnej, obracającej się Ziemi, roważania oparł na prawiwości prawa grawitacji. Spłascenie 1/30. Newton postulował także więksanie się prspiesenia iemskiego iąc o równika w kierunku biegunów proporcjonalne o sin.

3 eakcją na sprecne wniki obu Panów, bło wsłanie pre Francuską Akaemię Nauk wóch wpraw mającch potwierić jeną wóch opcji. Pierwsa nich ostała wsłana o Peru (obecnie teren Ekwaoru) po prewonictwem Goin a, La Conamine ora Bougera. Druga wprawa ostała wsłana o Laponii po kierownictwem Maupertiusa ora Clairaut. Wniki pomiarów tch wóch ekspecji owioł, że to Newton miał rację, cli, że jenostopniow łuk połunika jest łużs w okolicach biegunów niż w okolic równika. Zatem kula stała się elipsoią. Poźniejse baania, bariej nam współcesne owoą, iż matematcn kstałt Ziemi mógłb bć repreentowan pre elipsoię trójosiową (lub inne) ale to kolei utruniłob wiele rachunków. Elipsoia Newtona (tutaj ocwiście prekrój) Elipsoia Cassiniego (też prekrój) Nieformalnie o geometrii sfercnej Poniżs fragment pochoi książki ABC teorii wglęności autorstwa B. ussella, i ciekawe jest to, że na alewie 3 stronach można naleźć tak wiele informacji na temat geometrii sfercnej. Jakie są różnice mię geometrią kuli a geometrią płascn? Jeśli na Ziemi wtcs trójkąt, którego boki są cęściami okręgów wielkich kół (1), okrjes, że suma kątów tego trójkąta nie równa się wu kątom prostm: awse bęie więksa. Wartość, o jaką suma tch kątów prekraca wa kąt proste, jest proporcjonalna o wielkości trójkąta (). W prpaku małego trójkąta, choćb takiego, jaki mógłbś wtcć na trawniku a pomocą snurków, a nawet takiego, jaki tworą tr statki, które jesce wajemnie się wią, suma ta wniesie tak niewiele pona sumę wóch kątów prostch (3), że nie bęies w stanie wkrć różnic. Jeśli jenak weźmies trójkąt

4 utworon pre równik, połunik Greenwich i połunik 90 o, to suma jego kątów bęie równa trem kątom prostm [...]. Oległości na kuli nie spełniają także twierenia Pitagorasa. Z punktu wienia poróżnika skaanego na porusanie się po Ziemi oległość mię woma miejscami jest oległością po łuku koła wielkiego, to nac najkrótsą trasą, po której można preostać się jenego o rugiego be opuscania powierchni Ziemi. Prpuśćm tera, że bieres tr łuki wielkich kół tworące trójkąt i niech wa nich bęą o siebie prostopałe żeb ać prkła konkretn, niech jeen nich bęie kawałkiem równika, a rugi kawałkiem połunika Greenwich na północ o równika. Prpuśćm, że prebwas 3 tsiące mil włuż równika, a następnie 4 tsiące mil prosto na północ; jak aleko bęies o punktu wjścia, jeśli oceniać oległość włuż okręgu wielkiego koła? Gbś najował się na płascźnie, oległość ta, jak wiieliśm wżej, wnosiłab 5 tsięc mil. W recwistości oległość po łuku wielkiego koła bęie nacnie mniejsa. W trójkącie prostokątnm na kuli kwarat boku na wprost kąta prostego jest mniejs niż suma kwaratów wu poostałch boków. Te różnice mię geometrią na kuli a geometrią na płascźnie są różnicami wewnętrnmi, to nac ięki nim można stwierić, c powierchnia, na której żjes, jest płaska c kulista, be uwglęniania cegokolwiek na ewnątr tej powierchni. Tego roaju spostreżenia sprawił, że okonano następnego ważnego posunięcia w omawianej tu sprawie. Krok ten bł iełem Gaussa (4) [...]. Gauss baał teorię powierchni i pokaał, jak rowijać tę teorię ięki pomiarom na samej powierchni, be wchoenia poa nią. Ustalenie położenia punktu w prestreni wmaga trech pomiarów; ustalenie położenia punktu na powierchni wmaga tlko wóch na prkła położenie punktu na powierchni Ziemi jest ustalone, g nam jego ługość i serokość geograficną (5). Otóż Gauss okrł, że be wglęu na prjęt sstem pomiaru ora naturę powierchni awse istnieje sposób oblicenia oległości mię woma niebt oległmi punktami powierchni, jeśli nane są wielkości ustalające ich położenie. Wór na oległość jest uogólnieniem twierenia Pitagorasa; poaje kwarat oległości w ależności o kwaratów różnic wielkości ustalającch położenie tch punktów ora ilocnu tch wu wielkości (6). Znając ten wór, można okrć wsstkie własności wewnętrne powierchni, to jest wsstkie te własności, które nie ależą o jej stosunku o punktów najującch się poa nią [...]. Kie mówim o trójkącie, musim wjaśnić, co mam na mśli, gż więksość powierchni nie ma linii prostch. Na kuli linie proste astąpim okręgami kół wielkich, które są tu najlepsm prbliżeniem linii prostch. Ogólnie rec biorąc, amiast linii prostch bęiem ropatrwać linie, które wtcają najkrótsą rogę na powierchni o jenego miejsca o rugiego. Tego tpu linie wane są geoejnmi. Na Ziemi (pr ałożeniu kulistości) geoejne są okręgami kół wielkich. W ogólności są to najkrótse rogi mię punktami anej powierchni la kogoś, kto nie może

5 porusać się poa nią. W wewnętrnej geometrii powierchni geoejne ajmują miejsce linii prostch [...]. ŹÓDŁO: Bertran ussell ABC teorii wglęności, Funacja Aletheia, Warsawa 000 oiał Interwał w casoprestreni, stron Ttuł orginału: ABC of elativit Trochę bariej formalnie Komentar o powżsego tekstu (1) Koło wielkie każe koło powstałe precięcia kuli płascną prechoącą pre jej śroek. Zatem połuniki ora równik są prkłaami kół wielkich. Łuk koła wielkiego jest opowienikiem linii prostej na płascźnie, jest linią geoejną na powierchni kuli, cli lokalnie najkrótsą oległością. Każe koło wielkie ma wa biegun. Biegunami koła wielkiego nawam punkt wspólne sfer ora prostej prechoącej pre śroek kuli i prostopałej o płascn anego koła wielkiego. Wsstkie poostałe koła (okręgi!) wpisane w kulę nosą miano kół małch. Pre każe wa punkt na sfere, którch oległość sfercna równa się, można poprowaić nieskońcenie wiele kół wielkich. Pre wa owolne punkt na sfere, którch oległość sfercna nie równa się, można poprowaić okłanie jeno koło wielkie. Oległością sfercną punktów A i B leżącch na sfere nawam kąt śrokow wrażan najcęściej w miere łukowej (w raianach), opart na łuku koła wielkiego AB prechoącego pre te punkt. Oległość sfercna (rsunek poniżej) jest równa stosunkowi ługości łuku na sfere łącącego punkt A i B o ługości promienia kuli. O A B

6 () Choi tutaj o namiar sfercn, suma kątów w trójkącie sfercnm jest awse więksa o 180 o. Jeśli kąt w trójkącie sfercnm onacm pre A, B, C, wówcas namiar sfercn możem apisać jako: = (A+B+C 180 o ). A o tm wore pise ussell: Wprowaenie można naleźć w więksości książek traktującch o geoeji geometrcnej lub trgonometrii sfercnej. Dla tch, któr sami chcą to robić popowieź treba skorstać P pojęcia wukąta sfercnego ora trochę pokombinować. Trójkąt eulerowski 180 o < A + B + C <540 o (A, B, C) < 180 o (a, b, c) < 180 o (3) Małe trójkąt sfercne (ługości boków ręu kilkuiesięciu kilometrów, małe w stosunku to promienia iemskiego). W latach kie komputer nie stał na prawie każm biurku stworono uproscone meto rowiąwania takich trójkątów, be stosowania worów trgonometrii sfercnej metoa Legenre a ora metoa Solnera. Obecnie meto te, mają racej walor historcno aktcne i ajmiem się nimi później. (4) KAOL FYDEYK GAUSS PINCEPS MATHEMATICOUM - Książe Matematków (ur m. 1855) - matematk wsechcasów, jego prace miał wpłw na wiele iein nauki, w tm, co nas najbariej interesuje, na geoeję. W geoeji najbariej nan jest chba tak powsechnie użwanej meto wrównwania obserwacji jaką jest - MNK. Brał uiał u pomiarach geoejnch w królestwie Hanower mającch na celu wnacenie ługości łuku połunika. Znan nam również oworowania Gaussa - Krugera. Jest autorem pionierskich prac otcącch mechaniki nieba - oblicł orbitę planetoi Ceres. (5) Dla prkłau: Określenie,, na powierchni kuli:

7 sin sin cos cos cos Użwając współręnch geograficnch wstarc poać tlko,. (6) Pierwsa forma kwaratowa powierchni,, (1), s () pr cm: ; ; wstawiając powżse wielkości o () otrmam: G F E s Konspekt prgotowan na postawie: app., Geometric geoes part I, 1991, ostępna w internecie Torge W., Geoes, e Gruter, 1991, Warchałowski E., Geoeja wżsa cęść matematcna, PWN, 195 ussell B., ABC teorii wglęności, Funacja Aletheia, 000 bka E. Astronomia ogólna, PWN, 1983