Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Transkrypt

1 CMYK ISBN Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

2 Lech Kacmarek Analia matematcna elementami algebr Pomoce do ćiceń predmiotu Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu Ponań 8

3 Autor: Lech Kacmarek Projekt okładki: Jan Ślusarski Kopioanie i poielanie jakiejkoliek formie maga pisemnej god Wdac Copright b Wżsa Skoła Komunikacji i Zarądania Ponaniu, 8 ISBN Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a, tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl M-Druk (spółdaca) ISBN

4 Spis treści Wproadenie Ćicenie pierse Temat ćicenia: ) roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch, ) licanie potęgi licb espolonch Roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch Cęść teoretcna: roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch Postać algebraicna licb espolonej Roiąanie rónania kadratoego Cęść praktcna: roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch Wlicanie potęgi licb espolonch Cęść teoretcna: licanie podanej potęgi licb espolonch Postać trgonometrcna licb espolonej Cęść praktcna: licanie podanej potęgi licb espolonch Zadania do roiąania na ćiceniach Ćicenie drugie 9 Temat ćicenia: ) licanie macier odrotnej metodą prekstałceń elementarnch ) roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa 9 Wlicanie macier odrotnej metodą prekstałceń elementarnch 9 Cęść teoretcna: licanie macier odrotnej metodą prekstałceń elementarnch 9 Cęść praktcna: licanie macier odrotnej metodą prekstałceń elementarnch 9 Roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Cęść teoretcna: roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Cęść praktcna: roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Zadania do roiąania na ćiceniach 8

5 Spis treści Ćicenie trecie Temat ćicenia: licanie nacnikó Cęść teoretcna: licanie nacnikó Cęść praktcna: licanie nacnikó Zadania do licenia na ćiceniach Ćicenie carte Temat ćicenia: licanie pochodnej funkcji jednej miennej Cęść teoretcna: licanie pochodnej funkcji jednej miennej Cęść praktcna: licanie pochodnej funkcji jednej miennej Zadania do licenia na ćiceniach Ćicenie piąte Temat ćicenia: ) badanie monotonicności funkcji, ) licanie artości ekstremalnej funkcji Badanie monotonicności funkcji Cęść teoretcna: badanie monotonicności funkcji Cęść praktcna: badanie monotonicności funkcji Wlicanie artości ekstremalnej funkcji Cęść teoretcna: licanie artości ekstremalnej funkcji Cęść praktcna: licanie artości ekstremalnej funkcji Zadania do licenia na ćiceniach 8 Literatura uupełniająca 8

6 Wproadenie Niniejse opracoanie jest skieroane prede sstkim do Studentó piersego semestru kierunku Technologie Informatcne Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania jako literatura oboiąkoa do ćiceń predmiotu Analia matematcna elementami algebr Opracoanie to jest ściśle dopasoane do oboiąującego programu naucania realioanego na Ćiceniach podanego predmiotu Predstaiona praca Pomoce do ćiceń predmiotu Analia matematcna elementami algebr poinna bć rónież korstana pre studentó kierunku Zarądanie i Inżnieria Produkcji Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Program naucania predmiotu Matematka stosoana obejmuje międ innmi materiał aart tej prac, a nie preiduje ćiceń Korstanie predstaionej prac ułati apene sposób decdoan opanoanie materiału, któr najduje się programie mienionego predmiotu Matematka stosoana jest predmiotem stępującm piersm semestre tego kierunku studió Zachęcam Sanonch Studentó (ki) do korstania predstaionej prac, gdż będie ona dużą pomocą opanoaniu ied akresu materiału chodącego skład programu naucania mienionch żej predmiotach Żcę oocnej prac ora potnch ocen sstkich egaminó preidianch programem studió Lech Kacmarek W tm miejscu chciałbm podiękoać Kolede Jackoi Grusce a pene sugestie uupełnienia pierotnie planoanego opracoania i dużo cierpliości preproadeniu korekt tej prac Lech Kacmarek

7

8 Ćicenie pierse Temat ćicenia: ) roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch ) licanie potęg licb espolonch Roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch Cęść teoretcna: roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch Postać algebraicna licb espolonej Definicja Licbę postaci gd: a ib, () a, b R ora i naam licbą espoloną apisaną postaci algebraicnej, gdie: a naam cęścią recistą licb espolonej, b naam cęścią urojoną licb espolonej, i naam jednostką urojoną licb espolonej Prkład licb espolonch: i i i 9 Cęści: recistą ora urojoną licb espolonej następująco: cęść recista a Re(), cęść urojona b Im() a ib apisujem Dla licb espolonch: i Re() Im (), i Re() Im (), Re() Im()

9 8 Analia matematcna elementami algebr Zbiór sstkich licb espolonch będiem onacali godnie ogólnie prjętm onaceniem pre C Uaga Jednostkę urojoną licb espolonej amiast i apisuje się rónież literą j, użają jej prede sstkim elektrc, ab nie mlić jednostki urojonej natężeniem prądu Definicja Licbę espoloną a ib naam licbą espoloną sprężoną do licb espolonej a ib Interpretacja geometrcna licb espolonej i licb espolonej do niej sprężonej podanej postaci algebraicnej () na płascźnie espolonej naanej rónież płascną Eulera lub płascną Gaussa Im( b a i a Re( b a i Uaga Zgodnie interpretacją geometrcną idim, że die licb espolone: a ib ora p iq podane postaci algebraicnej naam rónmi, gd posiadają one róne cęści reciste i róne cęści urojone, cli: Re( ) a p Re( ), Im( ) b q Im( ), gdż interpretacją geometrcną każdej licb espolonej na płascźnie espolonej jest ase dokładnie jeden punkt, a die licb espolone róne interpretacji geometrcnej to ten sam punkt Diałania na licbach espolonch podanch postaci algebraicnej: (i) dodaanie a a ) i( b ) ( b ( a a b b ) i( a b a b (ii) mnożenie ) () (iii) dielenie

10 gdie: a ib a ib, ora prpadku dielenia i Ćicenie pierse 9 Uaga a) Odejmoanie licb espolonch traktujem jako dodanie do licb, licb precinej do drugiej, cli ięc ( ) b) Dodaanie i mnożenie licb espolonch można traktoać jak dodaanie, c mnożenie ielomianó uględnieniem definicji jednostki urojonej ( i ), ora kłą redukcją raó podobnch Własności dotcące sprężenia licb espolonch: ( ), ) (, n ( ) n ( ) Prkład konania diałań [określonch orami ()] na licbach espolonch Prkład a) dla i i i licć b) dla i i i oblicć ora Roiąania: a) Dla i i i licć ( i ) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) po astosoaniu oru (ii) (), otrmam i i ( 8) ( )i i i następnie po dodaniu naiasach ora licniku i mianoniku ułamka i astosoaniu oru na dielenie, (iii) (), licm

11 Analia matematcna elementami algebr i i ( 9) ( ) i i i i i 9 9i 9 9 i i i i Wnikiem podanch adaniu diałań jest ięc licba espolona: 9 i b) Dla i i i oblicć ora Postępując analogicnie jak adaniu poprednim licm artości nasch dóch rażeń Najpier licm artość piersego rażenia stosując or () podobnie jak adaniu poprednim i 9i i i ( i) i i i a następnie sposób analogicn artość drugiego rażenia i ( ) i Otrmujem ięc odpoiedi i i i i i i, ora i i i, Prkład do samodielnego licenia Zadanie a) Dla danch licb espolonch: i i i i, licć,, b) Dla danch licb espolonch: i i i i

12 Ćicenie pierse licć artości następującch rażeń:,, Odpoiedi: a) i, i, i, b) i, i, i Uaga Ze ględu na interpretację geometrcną licb espolonej jako punktu na płascźnie licbę espoloną można definioać jako parę licb uporądkoanch apisanch (a, b); gdie: a Re( ), b Im( ) Definicja Par licb recistch uporądkoanch (a, b) naam licbami espolonmi, jeżeli spełniają one następujące arunki: (i) a, b ) ( a, b ) ( a a, b ), ( b (ii) a, b ) ( a, b ) ( a a b b, a b a ) ( b Sposób odejmoania i dielenia licb espolonch roumianch jako par uporądkoane otrmujem następując sposób: odejmoanie a, b ) ( a, b) ( a, b ) ( a, b) ( a, b ) ( a, ) ( b starc dodać leą stronę piersej róności, prrónać do stron praej uględniając, że die par uporądkoane naam rónmi, gd mają róne odpoiednie element Otrmam układ rónań, którego licam a, ora b jako licb określające parę uporądkoaną stanoiącą nik odejmoania (iii) a, b ) ( a, b ) ( a a, b ) ; ( b dielenie a, b ) ( a, b) ( a, b ) ( a, b) ( a, b ):( a, ) ( b tera starc mnożć leą stronę piersej róności prrónać do praej stron, otrmam układ rónań, którego starc licć a ora b, ab otrmać parę uporądkoaną jako nik dielenia (iiii) a a bb ba ab ( a, b ):( a, b ), a b a b M nie będiem posługiali się licbami espolonmi jako parami licb

13 Analia matematcna elementami algebr Określim tera da rodaje pieriastkó licb espolonch Definicja a) Pieriastkiem stopnia n każdej licb espolonej naam biór sstkich licb espolonch, którch n-ta potęga (ilocn n-krotn licb espolonej pre siebie) daje niku daną licbę espoloną b) Pieriastkiem artmetcnm stopnia n każdej licb recistej dodatniej (która jest rónież licbą espoloną) naam taką dodatnią licbę recistą, której n-ta potęga jest róna danej licbie dodatniej W tm rodiale pieriastki stopnia n, ora pieriastki artmetcne stopnia n dla lepsego roumienia diałań na nich, będiem roróżniali rónież apisie, mianoicie: pieriastek stopnia n będiem apisali n a b, jeśli b n a, pieriastek artmetcn stopnia n n a b, jeśli b n a ora a > b > Z określenia obdu pieriastkó łato auażć, że pieriastkó stopnia n licb espolonej (rónież licb recistej dodatniej, która jest rónież licbą espoloną) jest acaj ięcej niż jeden [ dalsej cęści tego rodiału doiem się, że każda licba espolona różna od era (rónież licba recista) posiada dokładnie n różnch nikó pieriastka stopnia n np ma co łato spradić korstając definicji pieriastka stopnia n następujące niki:,, i, i], natomiast pieriastek artmetcn stopnia n każdej licb recistej dodatniej jest ase jeden Np, a Uaga Prpominam, że godnie definicją licb espolonej licb reciste, ięc rónież licb reciste dodatnie są licbami espolonmi Omóim tera licanie pieriastka stopnia drugiego licb espolonch Sposób licania predstaiam na prkładie Wlicć pieriastek stopnia drugiego licb espolonej i cli: i

14 Ćicenie pierse Ab roiąać postaione adanie akładam a priori, że pieriastkiem tm jest licba espolona, którą apisem jako p iq Jeśli tak, to możem apisać, że: i p iq (I) Natomiast definicji pieriastka stopnia drugiego iem, że ab bło nikiem pieriastkoania i, musi achodić róność: ( p iq) p pqi q ( p q ) ( pq) i i, ostatecnie ( p q ) ( pq) i i, p iq a ponieaż die licb espolone są sobie róne (o cm pisano ceśniej), gd mają róne cęści reciste i róne cęści urojone, otrmam układ rónań: p q, gdie p, q R pq Znajdiem tera sstkie możlie roiąania reciste tego układu rónań [otrmanmi roiąaniami nieiadomch p, q musą bć godnie definicją licb espolonej ( nasm prpadku chodi o licbę espoloną p iq ); licb reciste, cli p, q R (patr definicja )] Wlicam najpier drugiego rónania p i otrman nik podstaiam do rónania piersego, cli: p, q q q Otrmane rónanie pomnożm pre q t > (bo q R i q ), to po uporądkoaniu prbiere ono postać: t t Rónanie apisane pożej roiąujem, posługując się orcem stosoanm pr roiąaniu rónań kadratoch, cli dla rónania: mam: gdie: a b c, b b () a a b ac

15 Analia matematcna elementami algebr Zatem: 9 ( ) t t Roiąaniami tego rónania są ięc licb: t t, pierse roiąanie nie spełnia arunku t > napisanego żej, ięc poostaje nam roiąanie drugie, cli: q, sstkimi roiąaniami recistmi tego rónania są: q, q, a dalej p, p, bo p q cli po podstaieniu do (I) nas pieriastek jest rón: i i i Prkład Wlicć pieriastki następującch licb espolonch a) i, b) 8i c) Roiąania: Pr licaniu pieriastkó postępujem tak, jak pr prkładie roiąanm pożej a) i p iq, cli ( p iq) i, co daje nam (nan już) układ rónań p q, pq roiąujem metodą stosoaną poprednim adaniu, cli najpier piersego rónania licam p p, q następnie otrman nik podstaiam do rónania drugiego q q,

16 Ćicenie pierse mnożm pre q t > porądkujem, i otrmujem rónanie t t, po cm je roiąujem: 9 t nik ujemn odpada t 9 >, ięc po podstaieniu miejsce t liconej ielkości apisem q t 9 q q p p q q p, bo p co efekcie poala nam apisać nik pieriastkoania i i i p, cli q b) 8 i p iq, cli definicji pieriastka ( p iq) 8i, (bo 8i 8i) co daje układ rónań: p q, pq 8 a po roiąaniu metodą predstaioną adaniach poprednich otrmam: p p q q, ięc roiąaniem (cli pieriastkiem) jest: 8i i i c) W tm adaniu licanie pieriastka można bardo uprościć, gdż definicji licb espolonej i patr definicja, a Mam ięc: ( ) i (i) i, i

17 Analia matematcna elementami algebr bo ase s s s Uaga Pieriastki stopni żsch niż drugi licb espolonch można licć analogicnie jak pieriastki stopnia drugiego, jednakże e ględu na kłopot iąane roiąaniem rónań stopni żsch niż drugi, a rónania takie ase stąpią, metoda ta dla licania pieriastkó stopnia żsego niż drugi acaj nie jest stosoana, m jej tm skrpcie stosoać nie będiem Prkład do samodielnego licenia Zadanie Wlicć pieriastki: a) 8 i, b) 8 i, c) 9 i, d) 9, e) i, f) i Odpoiedi: a) i ; i b) i ; i c) i; i d) i ; i e) i ; i, f) i ; i Roiąanie rónań stopnia drugiego Niech będie dane rónanie stopnia drugiego, którego spółcnniki a, b, c są licbami espolonmi: a b c, gdie a () Pożse rónanie dielim stronami pre licbę espoloną a, otrmam ięc: b c, a a a po prekstałceniu: b b b c a a a a Stosujem tera ór skróconego mnożenia a ab b ( a b) ora sproadam do spólnego mianonika da ostatnie rażenia najdujące się leej stron rónania W konsekencji otrmam: b b ac, a a

18 Ćicenie pierse aś po astosoaniu nanego onacenia: b ac rónanie kadratoe ostatecnie prbiera postać: b a a Otrmane na końcu rónanie mói nam, że rażenie naiasie najdujące się leej stron rónania jest pieriastkiem stron praej, cli: b a a a po liceniu nieiadomej ostatecnie otrmujem ór:, b, () a gdie jest kłm (nie artmetcnm) pieriastkiem licb espolonej, któr jak auażam adaniach żej licanch posiada da różne niki dla różnika delta różnego od era Wlicone niki pieriastka podstaiam do oru (), ab uskać da różne (dla b ac ) niki i [prosim Sanonego Ctelnika o porónanie oró: () i (), ab auażć różnicę międ nimi] Faktcnie, obda or dotcą precież roiąania rónań kadratoch Łato auażć, że ór () aiera kł pieriastek licb espolonej, któr posiada da różne niki [ licb espolonej, która nie jest licbą recistą dodatnią innego pieriastka licć precież nie możem (patr: definicja a, b)] Jest ięc on apisan jedną formułą dającą da roiąania W prpadku oru () musi bć nieujemna (bo inacej rónanie nie posiada roiąań recistch, a o innch roiąaniach ten ór nie mói) Można ięc licć pieriastek artmetcn (jeden nik), a tego nika, że roiąania musą opisać die formuł, ab otrmać da różne pieriastki rónania Prkład Roiąać następujące rónania kadratoe a) ( i) ( i), b) ( i) i, c) i ( i) ( i), d) ( i ) ( i)

19 8 Analia matematcna elementami algebr Roiąania: a) ( i) ( i) Ab do podanego rónania astosoać ór () musim najpier licć: [ ( i)] ( i) 9 i i 8 i, ( i ) pr licaniu delt astosujem ór skróconego mnożenia: ( a b) a ab b, ora ( s ) s, następnie oblicam pieriastek delt edług schematu pokaanego ceśniej pr oblicaniu pieriastka stopnia drugiego licb espolonej Niech jednm licanch nikó jest licba espolona p iq, ięc: p i q Wlicam tera p ora q postępując tak jak podcas liania adań prkładie : p q 8, pq a po roiąaniu: cli: p p q q, i, bo p i q i oru () mam ięc: i ( i) i ( i) i, ora i Odpoiedź: b) ( i) i) i i W tm adaniu poproadim oblicenia podobnie, jak adaniu poprednim cli: 9 i i i p q p p q q pq i i

20 Ćicenie pierse 9 ( i) ( i) ( i) ( i) i Odpoiedź: i c) i ( i) ( i) Postąpim analogicnie jak poprednich adaniach: i 8i 8 8 i i i i i i i i i i i i i i i i i Odpoiedź: i d) ( i ) ( i) ( i)( i) ( i) ( i) i i, ( i) i ięc: i i i i i i ( i) i ( i) i Odpoiedź: i i Zadania do samodielnego roiąania Zadanie Roiąać rónanie: a) ( i) i, b) ( i) c) ( i) ( i), d) ( i) e) i ( i), f) ( i ) ( i) ( i) Odpoiedi: a) ; i, b) i ; i, c) ; i, d) i ; i, e) ; i, f) i ; i

21 Analia matematcna elementami algebr Cęść praktcna: roiąanie rónań kadratoch o spółcnnikach espolonch Prkład roiąania adań Roiąać następujące rónania kadratoe: ) ( i) ( i) ) Sposób roiąania: ) ( i) ( i) b ac [ ( i)] ( i) 9 i i i i 8 i Zastosoano podstaoą łasność potęgoania ( b ) b, ora ór skróconego mnożenia żej definicja ) Niech: p qi Wlicam tera p ora q p q 8 pq ( a b) a ab b i definioane i (patr podana q p q q 8 q t > 9 t 8t t 8t 9 ( 8) ( 9) q b 8 t < odpada a t q 9 q q p p b 8 t 9 > a Wlicone par p i q podstaiam do napisanego żej oru i i p qi

22 Ćicenie pierse Wlicone pieriastki delt podstaiam kolejno do oru ():, b, a ab otrmać roiąania danego rónania: [ ( i)] ( i) i i, [ ( i)] ( i) i i ) b ac (i) Pieriastek delt jest ięc rón: i, i podstaiam tera licone niki do oru () i otrmam: i i i, i Wlicanie potęg licb espolonch Cęść teoretcna: licanie potęgi licb espolonch Postać trgonometrcna licb espolonej Niech będie dana licba espolona a ib, której obraem na płascźnie espolonej jest punkt, patr rsunek niżej: Im() b a i b α a Re()

23 Analia matematcna elementami algebr na rsunku anacono dodatkoo kąt α, ora odległość interpretoanego punktu od pocątku układu spółrędnch r Kąt α będiem naali argumentem licb espolonej, a r jej modułem Tera będiem chcieli apisać daną licbę espoloną a ib pr pomoc noo proadonch pojęć, tn pr pomoc ielkości α i r Z definicji funkcji trgonometrcnch (patr: J Gruska, L Kacmarek, Element matematki żsej, strona 98) i żej narsoanej interpretacji geometrcnej licb espolonej na płascźnie espolonej otrmam: a cos α ora r b sin α, r a po prekstałceniu apisanch rónań: a r cosα i b rsinα, co poala nam apisać licbę espoloną następując sposób: a ib r cosα ir sinα r(cosα i sinα ), gdie r jako odległość musi bć ielkością dodatnią, dlatego jest licona edług oru: a b r Otrmujem ięc noą postać licb espolonej: r(cosα i sinα ) () Definicja Licbę espoloną apisaną postaci r(cosα i sinα ), ór () naam postacią trgonometrcną licb espolonej Nas ór i rsunek pokaują, że każdą licbę espoloną różną od era można predstaić postaci trgonometrcnej Znam ięc tera die postaci licb espolonej, jedną nich, to postać algebraicna, a druga, to postać trgonometrcna Omóim sposób prekstałcenia postaci algebraicnej licb espolonej postać trgonometrcną tej licb Ab to konać musim piersej kolejności licć moduł edług oru: a b, () r następnie licć kąt α tak dobran, ab spełniał napisane niżej rónania: a cosα b r, (8) sinα r

24 Ćicenie pierse licone r i α podstaiam do oru (), ab predstaić licbę espoloną (apisaną postaci algebraicnej) postaci trgonometrcnej Wlicanie postaci algebraicnej postaci trgonometrcnej licb espolonej jest prostse, starc licć artości funkcji trgonometrcnch dla podanego argumentu α a następnie mnożć pre r Prkład Predstaić postaci trgonometrcnej następujące licb espolone podane postaci artmetcnej a) i, b) i, c) i, d) i, e), f) i Roiąania: a) i Z oru () licam moduł r: r a b, następnie edług oru (8) licam taki argument α, któr spełnia obda rónania: a cosα r b sinα r otrmam ięc, że: π i ( cos i sin π π α, jest postacią trgonometrcną danej licb espolonej b) i ), Podobnie jak adaniu poprednim licam moduł i argument: r

25 Analia matematcna elementami algebr cosα sinα π α π π, ięc: ( cos π i sin π ) jest postacią trgonometrcną danej licb espolonej c) i Analogicnie: r sinα 8 cosα π α π π, ięc: ( cos π i sin π ) jest postacią trgonometrcną danej licb espolonej d) i e) r cosα π α π π, sinα ięc: cos π i sin π jest postacią trgonometrcną danej licb espolonej r

26 f) i cosα sinα ięc: α π, Ćicenie pierse (cosπ i sin π ) jest postacią trgonometrcną danej licb espolonej r cosα sinα ięc: π α, π π (cos i sin ) jest postacią trgonometrcną danej licb espolonej Zadania do samodielnego roiąania Zadanie Predstaić postaci trgonometrcnej następujące licb espolone: a) i, b) i, c) i, d) i, e) Odpoiedi: a) (cos π i sin π ) b) (cos π i sin π ) π π c) (cos π i sin π ), d) (cos i sin ), e) (cosπ i sin π ) Uaga a) Każda licba espolona różna od era posiada dokładnie jeden moduł, ora nieskońcenie iele argumentó różniącch się międ sobą o całkoitą krotność π (nika to okresoości funkcji trgonometrcnch cos α i sin α ) Z określenia argumentu licb espolonej i łasności mienionch żej funkcji trgonometrcnch nika, że każda licba espolona różna od era posiada dokładnie jeden argument, któr spełnia arunek α <, π ) Argument ten naam argumentem głónm licb espolonej b) Die licb espolone podane postaci trgonometrcnej są sobie róne, ted i tlko ted, gd mają róne moduł, a ich argument różnią się o całkoitą krotność π ( jest rónież licbą całkoitą, ięc scególnm prpadku argument mogą bć róne)

27 Analia matematcna elementami algebr Argument licb espolonej acaj apisuje się jako arg( ), aś argument głón Arg () Moduł licb espolonej apisuje się tak jak już ceśniej pisaliśm cli jako r lub Róność dóch licb espolonch po uględnieniu podanch ceśniej onaceń możem apisać następująco: arg( ) arg( ) k Z gdie Z onaca biór licb całkoitch kπ, Diałania na licbach espolonch podanch postaci trgonometrcnej: (i) mnożenie r r [ α α ) isin( α )] cos( α, (ii) dielenie [ α α ) isin( α α )] n n r r cos( (iii) potęgoanie r [ cos( nα ) isin ( nα )], (9) (iiii) pieriastkoanie n gdie k,,,, ( n ), n α kπ α kπ r cos i sin, n n e oru (iiii) ora łasności funkcji trgonometrcnch cos i sin nika, że pieriastek stopnia n każdej licb espolonej różnej od era posiada n różnch nikó otrmanch gd a k podstaim n różnch kolejnch licb całkoitch np ropocnając od, a końcąc na (n ) jak podano apisanm żej ore Prkład Wlicć artości następującch rażeń korstając postaci trgonometrcnej stępującch nich licb espolonch, a) ( i)( i), b) ( i)( i) ( i ), c) ) d) ( i ), ( i ( i) e) ( i ) Roiąania: a) ( i)( i) ( i)( i)

28 Ćicenie pierse Najpier licb espolone stępujące naiasach predstaiam postaci trgonometrcnej licąc tak jak Prkładie : i (cos π i sin π ) i (cos π i sin π ), i (cos π isin π ) i (cos π i sin π ), następnie otrmane niki podstaiam do ułamka, którego artość apisaną jako licbę espoloną mam licć: ( i)( i) (cos sin ) (cos sin ) ( ) π i π π i π i ( i)( i) (cos π isin π ) (cos π isin π ) do licnika i mianonika ułamka stosujem ór na mnożenie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej [ór (i) (9)]: [ cos( π π ) isin( π π )] [ ( ) ( )] cos π π isin π π po dodaniu odpoiednich kątó podanch naiasach otrmam: ( cos π isin π ) ( cos π isin π ) ( ii) astosujem tera ór (ii) (9) na dielenie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej: cos π π i sin π π po konaniu apisanch diałań otrmam: cos π i sin π cos π i sin π e ględu na to, że funkcje sinus i cosinus mają okres rón π ora faktu róności dóch licb espolonch apisanch postaci trgonometrcnej iem, że można do argumentu otrmanej licb espolonej dodać tak dobraną całkoitą krotność okresu ( π ), ab otrmać argument głón ( nasm prpadku dodajem π ), π cos π i sin π cos π π i sin π ab otrman nik bł licbą espoloną apisaną postaci algebraicnej musim (jak to apisano żej gd omóiono amianę postaci trgonometrcnej na

29 8 Analia matematcna elementami algebr algebraicną) nacć artości funkcji trgonometrcnch dla liconego argumentu W tm celu stosujem or redukcjne nane e skoł średniej Uskam ostatecn nik: i Zapisan nik jest odpoiedą nasego adania b) ( i ) Najpier licbę espoloną i predstaim postaci trgonometrcnej: i cos π i sin π, następnie astosujem ór na potęgoanie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej [ór (iii) (9)]: ( iii) ( i ) cos π isin π cos π isin π e ględu na okresoość funkcji sinus i cosinus ora łasności argumentu rónch licb espolonch apisanch postaci trgonometrcnej (jak poprednim adaniu), do otrmanego argumentu możem dodać 8 π, ab otrmać argument głón, a następnie nacam artości funkcji trgonometrcnch dla liconego kąta: cos π isin π ( i) i Wnikiem końcom tm adaniu jest ięc c) ( i) i Najpier (jak adaniu poprednim) predstaim postaci trgonometrcnej licbę espoloną apisaną naiasie: i (cos π i sin π ), następnie astosujem ór na potęgoanie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej [ór (iii) (9)]: ( i) ( iii) cos π i sin π cos π i sin π

30 Ćicenie pierse 9 jak adaniu poprednim, doproadam do postaci argumentem głónm, tm raem do liconego argumentu dodam π, ócas otrmam: π π cos i sin i Onaca to, że końcom nikiem jest licba espolona i d) ( ) i Najpier predstaiam postaci trgonometrcnej licbę espoloną apisaną naiasie: i (cos π isin π ), następnie jak poprednim prkładie astosujem ór na potęgoanie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej [ór (iii) (9)], ócas otrmam: ( iii) ) cos π isin π ( i cos π π i sin π π π cos π π i sin π i ( i ) Onaca to, że końcom nikiem jest licba espolona ( i ) e) ( ( i) i ) Najpier predstaim postaci trgonometrcnej licb espolone stępujące naiasach: i cos π i sin π i cos π isin π następnie po podstaieniu tch reultató do nasego rażenia potęgujem edług oru (iii) (9), a potem dielim edług oru (ii) (9), ab otrmać: ( ( i) i ) [ cos( 9π ) i sin( 9 ] π )

31 Analia matematcna elementami algebr do argumentu otrmanej pod pieriastkiem licb espolonej dodajem π i otrmam: ) sin (cos π π i tera astosujem ór na pieriastkoanie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej (iiii) (9), co poala nam otrmane rażenie apisać jako: sin cos π π π π k i k gdie,, k dla k otrmam sin cos i i π π dla k otrmam ( ) ( ) sin cos π π i dla k otrmam sin cos i i π π Odpoiedią są ięc następujące licb espolone: i,, i Zadania do samodielnego roiąania Zadanie Wlicć artości następującch rażeń, po doproadeniu najpier licb espolonch stępującch naiasach do postaci trgonometrcnej: a) ) )( ( ) )( ( i i i i, b) 8 ) ( i, c) ) ( i, d) ) ( i e) 8 i, f) ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i, g) ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i, h) ) ( ) ( i i, i) ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i

32 Ćicenie pierse Odpoiedi: a) i ; b) 8 8 i ; c) i ; d) i ; e) ; f) g) ; h), i,, i; i), i, i i ; Cęść praktcna: licanie potęg podanch licb espolonch Wlicć podaną potęgę licb espolonej: ) ( i ), ) ( i ), ) ( i ), ) ( i ) 8 Sposób roiąania: Wlicanie skaanch potęg podanch licb espolonch prebiega edług następującego schematu: I) Wlicam postać trgonometrcną stosując opisane już ceśniej metod tn najpier licam moduł r, ora argument α edług ceśniej podanch oró: r a b a cosα b r sinα r Podam tera pene ułatienia, które astosujem pr nacaniu kąta α Wlicam najpier kąt ϕ jednego dóch oró: a b cos ϕ lub sin ϕ r r posługując się tabelką: ϕ sin ϕ cos ϕ π π π π

33 Analia matematcna elementami algebr nanosim tera licbę espoloną stępującą naiasie jako punkt na płascnę espoloną; gd odpoiedni punkt najduje się piersej ćiartce, to α ϕ ; gd odpoiedni punkt najduje się drugiej ćiartce, to α π ϕ gd odpoiedni punkt najduje się treciej ćiartce, to α π ϕ ; gd odpoiedni punkt najduje się cartej ćiartce, to α π ϕ II) Stosujem ór na potęgoanie licb espolonej podanej postaci trgonometrcnej ór (9) (iii): n n r (cosn α i sin n α ) III) Wlicam postać algebraicną otrmanej po potęgoaniu licb espolonej apisanej postaci trgonometrcnej Podam tera dla ułatienia schemat, edług którego będiem tę postać algebraicną oblicać: β n α prekstałcam argument β otrman po potęgoaniu ( ) łącając otrmanego ułamka cęść całkoitą; otrmanej cęści całkoitej odejmujem parstą krotność π nika to okresoości odpoiednich funkcji trgonometrcnch, mod π onaca to, że apisujem β δ [napisane rónanie roumiem następując sposób, mianoicie β k π δ mod π δ, gdie k jest tak dobraną licbą naturalną, ab poostał kąt δ należał do prediału δ <,π ) ]; otrman kąt δ apisujem pr pomoc jednego mienionch sposobó: δ γ, δ π γ, δ π γ, δ π γ, gdie kąt γ jest kątem, dla którego artości funkcji cos γ i sin γ możem odctać podanej żej tabelki; gd pisan kąt apisano postaci δ γ, to onaca, że punkt na płascźnie espolone interpretując otrmaną po potęgoaniu licbę espoloną najduje się piersej ćiartce, ięc posiada cęść recistą i urojoną dodatnią, cli niki funkcji cos γ i sin γ otrmane tabelki apisujem e nakami ; gd otrman kąt jest postaci δ π γ, to odpoiedni punkt na płascźnie espolonej najduje się drugiej ćiartce, ięc cęść recista liconej licb espolonej jest ujemna, a cęść urojona dodatnia, stąd nik cos γ apisujem e nakiem minus, a nik sin γ e nakiem plus;

34 Ćicenie pierse gd otrman kąt jest postaci δ π γ, to odpoiedni punkt na płascźnie espolonej najduje się treciej ćiartce, ięc cęść recista i urojona liconej licb espolonej jest ujemna, stąd nik cos γ i nik sin γ apisujem e nakiem minus; gd otrman kąt jest postaci δ π γ, to odpoiedni punkt na płascźnie espolonej najduje się cartej ćiartce, ięc cęść recista liconej licb espolonej jest dodatnia, a cęść urojona ujemna, stąd nik cos γ apisujm e nakiem plus, a nik sin γ e nakiem minus i ) ( ) I) Wlicam postać trgonometrcną: r a b cosα sinα a cos ϕ r π ϕ Punkt odpoiadając licbie espolonej najdującej się naiasie naniesion na płascnę espoloną najduje się drugiej ćiartce, ięc: π α π π, a omaiana licba espolona posiada następującą postać trgonometrcną: i r(cosα i sinα ) cos π i sin π II) Do liconej postaci trgonometrcnej stosujem tera ór na potęgoanie licb espolonch podanch postaci trgonometrcnej: n cli: n r (cosn α i sin n α ), ( i ) cos π sin π i III) Wlicam postać algebraicną otrmanego żej niku, któr jest predstaion postaci trgonometrcnej (ab to osiągnąć starc licć artości funkcji trgonometrcnch stępującch naiasie) Po podniesieniu licb do podanej potęgi otrmam kąt (argument)

35 Analia matematcna elementami algebr mod π π π β π π δ π π γ, gdie π γ kąt δ jest π kątem treciej ćiartki, π cli licba espolona podana postaci algebraicnej posiada cęść recistą i cęść urojoną ujemną, ięc niki funkcji trgonometrcnch cos γ i sin γ odctujem tabelki i pr nikach apisujem nak, po podstaieniu tch reultató otrmam i i i ( i) Ostatecnm nikiem podanej adaniu potęgi jest licba espolona ( i) ) ( i ) I) Wlicam postać trgonometrcną podanej naiasie licb espolonej: r b sinϕ r π ϕ, licba espolona podana naiasie interpretacji geometrcnej na płascźnie espolonej najduje się cartej ćiartce (jej cęść recista jest dodatnia, a cęść urojona ujemna), ięc godnie podanm żej schematem π α π ϕ π π, cli: i cos π i sin π II) Wlicam podaną potęgę edług oru (9) (iii): ( i ) cos π i sin π III) Preproadam redukcję otrmanego kąta, ora poostał kąt odpoiednio apisujem: π π β mod π π π δ π π π π π γ, kąt δ jest kątem cartej ćiartki, ięc licone π γ cos γ i sin γ apisem odpoiednio e nakiem i, otrmam ięc nik potęgoania:

36 Ćicenie pierse i i i Ostatecnm nikiem potęgoania jest licba espolona ) ( i ) i I) Wlicam postać trgonometrcną licb espolonej podanej naiasie i, a r cosϕ r π ϕ, interpretacji geometrcnej na płascźnie espolonej podana licba espolona jest punktem najdującm się treciej ćiartce, ięc: α π ϕ π, a licba espolona podana naiasie ma następującą postać trgonometrcną: i cos π i sin π II) Wlicam podaną potęgę edług oru (9) (iii): ( i ) cos π sin π i III) Oblicam tera postać algebraicną liconej potęgi, tm celu preproadam redukcję otrmanego argumentu: π π π β mod π π δ π π γ π gdie γ, licam tabelki artości funkcji tch nikach nak, patr uaga podana ceśniej, ( i) i cos γ i sin γ, ora staiam pr Wnikiem ostatecnm licanej potęgi jest ięc i

37 Analia matematcna elementami algebr 8 ) ( i ) I) Wlicam postać trgonometrcną licb espolonej i, r a b cos ϕ π ϕ 9 cosα sinα Podana licba espolona narsoana na płascźnie espolonej najduje się cartej ćiartce, ięc α π ϕ π, a jej postać trgonometrcna jest następująca: i cos π i sin π II) Stosujem ór (9) (iii): 8 ) 8 8 cos8 π i sin π ( i III) Wlicam postać algebraicną otrmanego niku, ab to konać najpier redukujem kąt o parstą krotność π : mod π β π δ γ 8 9 [ cos i sin ] odctam tabelki odpoiednie artości dla apisanch żej funkcji, otrmam ócas: ( i ) Ostatecnm nikiem nasego adania jest 9 8 9

38 Zadania do licenia na ćiceniach Ćicenie pierse Roiąać następujące rónania: ) ( i) ( i), ) ( i) ( i), ) ( i) ( i), ) ( i) ( i), ) ( i) 8i, ) ( i) i, ) ( i) ( i), 8) ( i) ( i), 9) ( i) (i ), ) ( i) ( i) Odpoiedi: ) i, i ) i, ) i, i ) i, i ), i ), i ), i 8) i, i 9) i, i ), i Wlicć podane potęgi dla podanch licb espolonch: ) ( i ) ) i ) i ) ( ) 9 ) i ) i ) i 8) ( i) 9) ( i) Odpoiedi: ) i 9 i ) 8 ( i), ) i, ) ( i ), ) 8 ( i), 9 ) ( i), ), ) ( i), 8) i, 9) ( i), ) ( i) 8 9

39 8 Analia matematcna elementami algebr

40 Ćicenie drugie Temat ćicenia: ) licanie macier odrotnch do danej macier metodą prekstałceń elementarnch ) roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Wlicanie macier odrotnch do danej macier metodą prekstałceń elementarnch Cęść teoretcna: licanie macier odrotnch do danej macier metodą prekstałceń elementarnch Podręcnik: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, stron - Cęść praktcna: licanie macier odrotnch do danej macier metodą prekstałceń elementarnch Wlicć macier odrotną do danej macier metodą prekstałceń elementarnch: ) ) ) ) Roiąania: Prpomnim tera schemat edług którego będiem maciere odrotne podaną metodą licali: I) Najpier apisujem macier podójną łożoną dóch macier: leej stron macier, której odrotność oblicm, a praej macier jednostkoa II) Mnożm tera obdie maciere pre te same maciere tak długo, aż macier apisana leej stron stanie się macierą jednostkoą, ócas

41 Analia matematcna elementami algebr macier otrmana praej stron jest sukaną macierą odrotną Mnożenie pre odpoiednie maciere astąpim pre odpoiednie prekstałcenia elementarne na iersach podójnej macier III) Wmienim tera te odpoiednie prekstałcenia elementarne na iersach: prestaienie iers miejscami, pomnożenie iersa pre licbę różną od era, pomnożenie sstkich elementó branego iersa pre ustaloną licbę i dodanie do nich odpoiednich elementó innego iersa pomnożonego pre peną licbę IV) Podcas konania apisanch pożej opisanch operacji elementarne kierujem się asadą najpier doproadam macier najdującą się po leej stronie do postaci macier diagonalnej, której element na głónej prekątne będą różne od era, następnie mnożm poscególne ierse pre odpoiednio dobrane licb, tak ab macier najdującą się po leej stronie prekstałcić do postaci macier jednostkoej, podcas diałania na iersach kierujem się asadą dobierania operacji ten sposób, ab mieniać element kolejnch kolumn pocnając od piersej tak, ab torł macier diagonalną, o elementach na głónej prekątnej różnch od era Podam tera prkład algortmu prekstałcenia na iersach, gd apisem element np drugiej kolumn podane postaci ogólnej (element b jest różn od era), której element prekstałcam element macier diagonalnej: a b c b a b c Uaga Jeżeli licb np a i b mają spóln dielnik, to ab dalsch obliceniach konać diałania na mniejsch licbach, pr licaniu b a dielim leą stronę rónania pre ten dielnik, tn ( b a ), gdie α jest spólnm dielnikiem licb a i b α )

42 Ćicenie drugie pr licaniu korstano podaną uagę i mnożono praą stronę rónania pre pr licaniu rónież korstano uagę podaną ceśniej i mnożona praą stronę rónania pre Macierą odrotną do danej macier jest ięc macier )

43 Analia matematcna elementami algebr pr licaniu algortmie licania poscególnch iers praej stron piersej napisanch żej macier pomnożono praą stronę rónania, pre, a pr licaniu praą stronę rónania pomnożono pre Macierą odrotną jest ięc macier 8 ) 8 8

44 Ćicenie drugie 9 pr licaniu praą stronę rónania pomnożono pre Macierą odrotną jest ięc 8 8 ) algortmie najdującm się praej stron praej macier podcas licania praą stronę rónania pomnożono pre, a podcas licania praą stronę rónania pomnożono pre,

45 Analia matematcna elementami algebr podana macier nie posiada odrotnej, gdż macier apisana leej stron macier podójnej popre prekstałcenia elementarne nie daje się doproadić do macier jednostkoej (jej ostatni iers posiada sstkie element eroe) Macier, dla której licano odrotną jest ięc macierą osoblią [patr: J Gruska, L Kacmarek, Element matematki żsej, prkład p adanie d) licone na stronie Roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Cęść teoretcna: roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Podręcnik: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, stron -9 Cęść praktcna: roiąanie układó rónań linioch metodą eliminacji Gaussa Roiąać podane układ rónań linioch metodą eliminacji Gaussa: ) ) ) ) Roiąania: Ab naleźć roiąania podanch układó rónań mienioną metodą, należ najpier apisać ten układ rónań postaci macier a następnie diałając na iersach analogicn sposób jak pr licaniu macier odrotnej doproadam apisaną macier do postaci, której element ii a będą licbami różnmi od era, a poniżej ich bł era

46 Ćicenie drugie ) pr licaniu algortmie licania najdującm się praej stron macier analogicnie jak pr licaniu macier odrotnej praą stronę rónania pomnożono pre Tera po konanch prekstałceniach poracam do apisania układu rónań, któr po prekstałceniach otrmam Jednakże całego układu rónań nie pisem jednoceśnie Zapisanie acnam od ostatniego rónania Zapisujem tera rónanie drugie, do którego miejsce nieiadomej podstaiam liconą artość, nasm prpadku Zapisujem tera pierse rónanie, do którego podstaiam miejsce i licone artości, ab ostatecności licć ostatnią nieiadomą Otrmano jedno roiąanie, które jest trójką licb:,, Taki układ rónań, któr posiada dokładnie jedno roiąanie naam układem rónań nieależnch W następnch adaniach nie będiem już podaali informacji dotcącch dielenia prach stron rónań algortmie licana kolejnch macier

47 Analia matematcna elementami algebr ) Wkonujem analogicnie operacje: W ostatnim iersu apisanej macier otrmano sstkie element eroe, ięc iers ten kreślam (onaca to, że kreślono ostatnie rónanie), a apisujem ier drugi, cli drugie rónanie: Wiadomo, że jednego rónania nie można licć dóch nieiadomch, ięc proadam parametr, któr jest jednoceśnie roiąaniem np t (patr: J Gruska, L Kacmarek, Element matematki żsej, strona -) i podstaiam do napisanego rónania: t t Zapisujem tera rónanie pierse, do którego miejsce i miejsce podstaiam odpoiednio t i t, otrmam ócas: t t t Roiąanie aiera nieskońcenie iele trójek licb, stanoiącch roiąanie (starc podstaić tlko miejsce t doolną licbę, ab je uskać), a możem je apisać: t, t, t Roiąan układ rónań, któr posiada nieskońcenie iele roiąań naam układem rónań ależnch Wstępują tu następujące rodaje układó roiąań:

48 Ćicenie drugie Ogóln układ roiąań: t t t Fundamentaln układ roiąań (parametr ): Scególn układ roiąań (doolna artość parametru): t np ) 9 9 Zapisujem tera ostatni iers otrmanej macier co jak iadomo jest sprecne, ięc dan układ rónań jest sprecn (nie posiada roiąań) Inn sposób apisania układu rónań, pominięciem nieiadomch, np apisem ostatni układ rónań: ) Podcas roiąania tego prkładu rónań użjem jesce innego apisu, mianoicie:

49 Analia matematcna elementami algebr Ostatni iers aiera same era, ięc jest rónoażn rónaniu, co ociście jest pradą, ale żadnej nieiadomej nie poala licć, ięc iers ten kreślam Zapisujem tera drugi iers od końca:, pisem następn iers licąc od końca:, pisem tera następn iers licąc od dołu, tn że piers iers, otrmam ócas: Roiąaniem podanego rónania jest trójka licb: Zadania do licenia na ćiceniach Oblicć metodą elementarnch prekstałceń macier odrotną do podanch maciere: ) ) ) ) ) ) ) 8) 9) ) )

50 Ćicenie drugie 9 Odpoiedi: ) ) 9 ) 9 ) ) 9 ) 9 ) 8) 9 9) 9 ) 9 ) macier jest osoblia Roiąać metodą eliminacji Gaussa podane układ rónań: ) 9 ) ) ) ) ) 9 ) 8) 9) ) )

51 Analia matematcna elementami algebr Odpoiedi: 9 ) ) ) t t t 8 8 ) ) układ sprecn ) ) układ sprecn 8) t t t 9) ) )

52 Ćicenie trecie Temat ćicenia: licanie nacnikó Cęść teoretcna: licanie nacnikó Podręcnik: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, stron - Cęść praktcna: licanie nacnikó Wlicć następujące nacniki: ) ) ) ) Pr licaniu podanch nacnikó korstam podręcnik J Gruski i L Kacmarka, Element matematki żsej: I) Tierdenie t (Laplace a) podane na stronie, a prkład astosoania tego tierdenia na stronie, II) łasności nacnika (podane na stronie mienionego podręcnika) scególnie łasność Wmieniona łasność poala torć era iersu, lub kolumnie ględem, którego (której) nacnik roijam, np pisem kolumnę, której edług następującego algortmu iersami torm era

53 Ćicenie trecie jaśnienie podsta apisanego obok mienionej kolumn algortmu: trecim iersu podanej kolumnie najduje się, ięc iers ten poostaiam be mian poostałch iersach torm era, ięc je mieniam godnie regułą opisaną e łasności nacnikó podanej pod numerem, cli ogólnie j i i α, gdie i onaca numer mienianego iersa, a j jest numerem iersa aierającego acaj jednkę, lub minus jednkę, natomiast α jest tak dobrane, ab branej kolumnie, której torm era i-tm iersu otrmać po prekstałceniu ero ) W apisanm nacniku sukujem element aierając, np element najdując się trecim iersu i piersej kolumnie Tą braną jednką torm era piersej kolumnie Według apisanego żej schematu treci iers poostanie be mian, poostałe mieniam edług podanego niżej algortmu stosujem tera Tierdenie t podane na stronie spominanego żej podręcnika dla piersej kolumn ) ( ) ( ) ( ) ( najpier astosoano łasność apisaną pod numerem mienionego podręcnika na stronie (do kolumn drugiej, a następnie tą samą łasność do kolumn drugiej i treciej) nacniku otrmanm po roinięciu Utorm tera era kolumnie piersej otrmanego nacnika jednką, która najduje się trecim iersu

54 Analia matematcna elementami algebr 8 ostatni otrmanch nacnikó roijam ględem piersej kolumn ) ( 8 ) ( Wnacnik jest rón ) Wbieram najpier element nacnika rón np element najdując się cartm iersu i drugiej kolumnie, następnie torm drugiej kolumnie era, onaca to, że prekstałcam ierse edług apisanego obok nacnika algortmu roijam apisan praej stron nacnik ględem drugiej kolumn ) ( ) ( ) ( ) ( do piersego od leej stron nacnika astosoano tera łasność (apisaną jako Elementach matematki żsej na stronie ) do kolumn piersej, drugiej i treciej

55 Ćicenie trecie roiniem tera apisan żej nacnik ględem treciego iersa ) (9 ) ( Wnacnik jest rón ) Wbieram element rón np element najdując się piersm iersu i cartej kolumnie, ięc era tej kolumnie torm edług algortmu podanego praej stronie nacnika 8 roijam tera apisan żej nacnik ględem cartej kolumn 8 ) ( 8 ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( Wnacnik jest rón ) Ab licć podan nacnik, dla ułatienia najpier oparciu o dopuscalne prekstałcenie elementarne, które nie mieni nacnika utorm prnajmniej jeden element rón jeden

56 Analia matematcna elementami algebr licam tera otrman nacnik tak jak poprednich adaniach 8 9 roijam otrman nacnik ględem drugiej kolumn ) ( Wnik ero nika piątej łasności nacnika, która mói, że jeśli macier da ierse lub die kolumn są identcne ( nasm prpadku iers drugi i iers treci otrmanego po prekstałceniu nacnika macier), lub są proporcjonalne, to jej nacnik jest rón eru [patr: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, strona ] Podan nacnik jest ięc rón eru Własności nacnika nikają jego definicji, ale można je rónież jaśnić pre korstanie penego tierdenia dotcącego nacnikó, mianoicie: Tierdenie Jeżeli maciere: A, B, C, są macierami kadratomi tego samego miaru, ora B A C, to B A C det det det, gdie Q det onaca nacnik macier Q Tea apisanego tierdenia mói, że nacnik ilocnu macier jest rón ilocnoi nacnikó liconch poscególnch macier, które mnożm Uaga Z apisanego żej tierdenia nika rónież, że jeśli macier, której licam nacnik, pomnożm pre macier, której nacnik jest rón jeden, to nacnik tak otrmanej macier nie mieni się

57 Ćicenie trecie Z uagi nika, że prekstałcenia elementarne stosoane na iersach pr oblicaniu macier odrotnej nie mogą bć acaj tutaj stosoane, gdż są generoane popre mnożenie pre macier, której nacnik jest acaj różn od jeden Uaga Własność druga nacnika (patr: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, strona ), która mói, że nacnik macier kadratoej jest rón nacnikoi macier do niej transponoanej poala nioskoać, że diałania na iersach, które preproadano, ab torć era dla poscególnch elementó kolumn można astąpić analogicnmi diałaniami na kolumnach, ab torć element eroe dla poscególnch elementó najdującch się iersach Zadania do licenia na ćiceniach Wlicć następujące nacniki: ) ) ) ) ) ) ) 8) 8 9) ) ) ) Odpoiedi: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) 8; ) ; 8) ; 9) ; ) ; ) ; )

58 Ćicenie carte Temat ćicenia: licanie pochodnej funkcji jednej miennej Cęść teoretcna: licanie pochodnej funkcji jednej miennej Podręcnik: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, stron 9- Cęść praktcna: licanie pochodnej funkcji jednej miennej Dla łatiejsego opisania sposobu licania pochodnch funkcji predstaiono tabelkę pochodnch branch funkcji elementarnch: ) ( k ) k to doolna stała (licba) ) ( ) ) α α ( ) α α to doolna licba ) ( ) ) ) (sin α) α cosα ) (cosα) α sinα 8) ( e ) e f ) f ( ) 9) [ e ] e [ f ( ) ] ( () e sstkich adaniach prim a naiasem (c a literą ), onacać będie pochodną funkcji najdującej się tm naiasie

59 8 Analia matematcna elementami algebr Wlicć pochodne następującch funkcji: ) ) 9 ) e ) ) ) ) ( ) 9 8) 9) ( ) e Roiąania: ) ( ) e Pr licaniu pochodnej podanej funkcji stosujem da or dotcące licania pochodnch (patr: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, strona podstaoe or dotcące pochodnch), mianoicie: ór, któr mói o łącaniu stałej pred nak pochodnej (piers podanch tam oró); ór dotcąc pochodnej sum lub różnic funkcji (drugi podanch tam oró) Dla prejrstości stosoanch oró ora tabelki (), sposób licania pochodnej ostanie scegółoo opisan: ( ) najpier stosujem ór dotcąc licenia pochodnej sum i różnic funkcji ( ) ( ) () () potem stosujem ór o łącaniu stałej pred nak pochodnej ( ) ( ) ( ) () tera niki poscególnch pochodnch odctujem oró (): Pochodną funkcji jest ięc ) 9 W tm adaniu astosujem ór na oblicanie pochodnej funkcji łożonej (patr: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, stron 8, 9 i ) Wlicanie pochodnej funkcji łożonej polega na: licaniu najpier pochodnej tak anej funkcji enętrnej nasm prpadku pieriastka stopnia drugiego apisanej tam funkcji anej funkcją

60 Ćicenie carte 9 enętrną, prepisując niku pod nakiem pieriastka funkcję enętrną, otrman nik mnożm pre pochodną funkcji enętrnej ( 9 ) 9 9 Pochodną funkcji 9 licam tak jak piersm adaniu pr liceniu pochodnej ielomianu, onaca to, że najpier stosujem ór na oblicanie pochodnej sum dóch rażeń, a następnie drugiego rażenia sum łącam stałą pred nak pochodnej: ( ) Sukaną pochodną jest ięc funkcja ) e 9 Ab licć pochodną adanej funkcji astosujem ór apisan pod numerem 9) (): e e ( ) e ( ) e ( ) Wliconą pochodną jest funkcja ) ( ) e Pr licaniu pochodnej podobnie jak adaniu ) astosujem ór na pochodną funkcji łożonej Funkcją enętrną jest potęga trecie, a funkcja enętrna, jest rażenie Pochodną będie ięc: ra funkcja enętrna podniesiona do potęgi drugiej [patr ór ) () gdie α jest róne ] pomnożona pre pochodną funkcji enętrnej [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) Podcas licaniu pochodnej ielomianu astosujem or na: oblicanie pochodnej różnic, ora łącaniu stałej pred nak pochodnej W odpoiedi otrmam funkcję ( )

61 Analia matematcna elementami algebr ) Podcas licania pochodnej funkcji podanej tm adaniu, stosujem ór na oblicanie pochodnej ilorau (ułamka) [patr: J Gruska, L Kacmarek, Element matematki żsej, strona, ór cart] Wór ten podam słonie Pochodną funkcji apisanej postaci ułamka (gdie licnik i mianonik to funkcje): jest funkcja apisana rónież postaci ułamka, mianonikiem jest kadrat mianonika funkcji, której pochodną oblicam, licnikiem jest różnica dóch rażeń, którch: pierse to ilocn pochodnej licnika (danej funkcji) pomnożonej pre nie mienion mianonik (danej funkcji), a drugie to ilocn nie mienionego licnika (danej funkcji) pre pochodną funkcji mianonika (danej funkcji) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pochodną funkcji: ora licam tak jak adaniach poprednich pocnając od adania ) pr liceniu pochodnej ielomianu: ( ) ( ( ) ) ( ) Pochodną jest ięc funkcja ( ) ) ( ) Ab licć pochodną pożsej funkcji stosujem najpier ór na oblicanie pochodnej ilocnu funkcji (patr: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, strona ór treci) Podam tera słonie ór na oblicanie pochodnej ilocnu dóch funkcji Wnikiem pochodnej ilocnu dóch funkcji jest suma dóch cnnikó, którch: piers jest ilocnem pochodnej piersej funkcji (ilocnu funkcji, którego pochodną oblicam) pre niemienioną drugą funkcję (ilocnu funkcji, którego pochodną oblicam),

62 Ćicenie carte drugi jest ilocnem piersej niemienionej funkcji (ilocnu funkcji, którego pochodną oblicam) pre pochodną drugiej funkcji (ilocnu funkcji, którego pochodną oblicam) [ ] ( ) ) ( pochodną funkcji ora pochodną pieriastka licm tak jak adaniu ): ) ( ) ( prekstałcam tera drugi cłon otrmanej sum, a następnie sproadam do spólnego mianonika, a licniku ułamka preproadam redukcję rażeń podobnch: Sukaną pochodną jest ięc ) 9 ) ( Pochodną podanej funkcji licam tak jak adaniu poprednim, mianoicie: 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( licam tera pochodne poscególnch rażeń jak adaniu poprednim: ) 9 ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 konam stępujące drugim cłonie sum diałania, sproadam do spólnego mianonika, ab po redukcji rażeń podobnch licniku ułamka otrmać ostatecn nik: 9 ) ( 9 9 ) ( ) ( 9 ) ( 9

63 Analia matematcna elementami algebr Sukaną pochodną jest ięc funkcja 9 9 8) e Pochodną podanej funkcji licm popre astosoanie oru na pochodną ilocnu funkcji stosoanego już adaniach ) i ) ( ) e ( e ) pochodną funkcji e licam tak jak adaniu ): e e e e ( ) e Odpoiedią jest ięc funkcja 9) ( ) e ( ) e Ab licć pochodną tej funkcji postępujem analogicnie jak adaniu poprednim, a pochodną rażenia ( ) otrmam tak jak adaniu ): ( ) ( ) e ( ) () [ 8( ) ( ) ] e Roiąaniem jest ięc funkcja [ 8( ) ( ) ] e e Zadania do licenia na ćiceniach Wlicć pochodne następującch funkcji: ) ) ) 8 ) ( ) ) ( ) ) 8) ( ) e 9) ) 8 ( ) e ) ( 9 ) ( ) e ) ) 8 ) ) ( ) ( ) ) e ) ( ) e

64 Ćicenie carte Odpoiedi: ( ) ) ) ) ( ) ( 8) ( 8) ) ) ) ) 9 8) ) ( ) e 9) [ ( ) ( ) e ) [( ) ( ) ] e ) ( ) ( ) ) ) ) [( ) ( ) ] e ) ( ) e

65 Analia matematcna elementami algebr

66 Ćicenie piąte Temat ćicenia: ) badanie monotonicności funkcji ) licanie artości ekstremalnch funkcji Badanie monotonicności funkcji Cęść teoretcna: badanie monotonicności funkcji Podręcnik: J Gruska i L Kacmarek, Element matematki żsej, stron - Cęść praktcna: badanie monotonicności funkcji Badanie monotonicności funkcji polega na naleieniu prediałó, którch funkcja rośnie i prediałó, którch maleje M nie będiem apisali słonie, że funkcja odpoiednim prediale monotonicnie rośnie, c monotonicnie maleje lec odpoiednio: nak nak onaca, że badana funkcja danm prediale monotonicnie rośnie, onaca, że badana funkcja danm prediale monotonicnie maleje Monotonicność badam edług następującego schematu: I) Wlicam diedinę funkcji, ora predstaiam ją graficnie II) Wlicam pochodną funkcji i sporądam kres tej jej cęści, której odctam dla jakich prediałó pochodna jest dodatnia, a dla jakich jest ujemna (na sporądon kres nanosim rónież diedinę funkcji rsujem ją ponad osią OX linią pogrubioną ab ułatić odctanie ostatecnego niku jednocesnm uględnieniem diedin) III) Zapisujem odpoiedź

67 Analia matematcna elementami algebr Omóim tera poscególne etap podanego schematu Ad I) Ab licć diedinę funkcji kierujem się następującmi skaókami: jeśli funkcja jest apisana postaci ułamka, to licam dla jakich artości miennej jego mianonik jest różn od era, a licone artości łącone e bioru licb recistch torą diedinę, jeśli funkcja posiada pieriastek kadrato penego rażenia, ócas pisem, że to rażenie jest, a roiąanie tej nieróności jest diediną funkcji, predstaiam diedinę graficnie nad osią OX jako linię pogrubioną Podcas rsoania stosujem asadę: gd punkt brego prediału diedin do niej należ rsujem ten punkt pełnion, gd natomiast punkt brego prediału diedin do niej nie należ rsujem ten punkt pust Ad II) Wlicanie pochodnej omóiono ceśniej (patr ćicenie carte) Ropatrm tera następujące prpadki otrmania niku pochodnej: a) Pochodna jest ułamkiem Spradam ócas, c mianonik tego ułamka jest funkcją o artościach dodatnich dla każdego diedin liconej I) Jeśli tak, to iadomo, że nak licnika jest nakiem (dielenia) ułamka (nik dielenia dóch licb jest dodatni, gd są one rónch nakó, a ujemn gd precinch nakó, nasm prpadku mianonik jest dodatni) Wstarc ięc sporądić skico kres funkcji stępującej licniku pochodnej i nanieść diedinę funkcji, ab tego kresu odctać dla jakich diedin pochodna jest dodatnia (funkcja monotonicnie rośnie), a dla jakich diedin pochodna jest ujemna (funkcja monotonicnie maleje) b) Pochodna jest ilocnem dóch rażeń Spradam ócas, c jeden cnnikó ilocnu jest dodatni dla każdego diedin Gd tak jest, to e nanej ogólnie ied, która mói, że nik ilocnu jest dodatni, gd obda jego cnniki są rónch nakó, a nik ilocnu jest ujemn, gd obda jego cnniki są różnch nakó nika, że nak drugiego cnnika ilocnu jest nakiem niku ilocnu W nasm prpadku, jeden cnnikó ilocnu stępującch pochodnej jest dodatni, dlatego e skicoego kresu drugiego cnnika ilocnu i naniesieniu na ten kres diedin otrmam prediał którch funkcja monotonicnie rośnie i prediał, którch monotonicnie maleje