Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne

Transkrypt

1 Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak całość. Samopodobieństwo - dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio powięksony, prypomina do łudenia cały biór lub jego nacną cęść. Wymiar fraktalny jest licbą niecałkowitą. (c) 003 K&R Weron Klasyfikacja fraktali Fraktale deterministycne geometrycne łożone pomniejsonych kopii całości np. Zbiór Cantora, krywa Kocha algebraicne - iteracja funkcji nieliniowych: biór Mandelbrota, biory Julii, drewo Feigenbauma itd.. Fraktale stochastycne Trajektoria błądenia losowego DLA klaster perkolujący Dywan Sierpińskiego Każdy kwadrat dielimy na diewięć równych cęści i usuwamy środkową krok krok krok 5 (c) 003 K&R Weron 3 (c) 003 K&R Weron 4 Jakie jest pole powierchni dywanu Sierpińskiego? Bok kwadratu równy W pierwsym kroku usuwamy kwadrat o boku /3, tn. o polu /9. W drugim kroku usuwamy 8 kwadratów o długości boku (/3)^. Pole powierchni każdego nich jest równe (/3)^4. Suma pól powierchni kwadratów usuniętych w drugim kroku wynosi 8* (/3)^4. Jakie jest pole powierchni dywanu Sierpińskiego? W k-tym kroku usuwamy 8^(k-) kwadratów o długości boku (/3)^k. Po k krokach suma usuniętych pól: Pole powierchni dywanu = -=0 k L+ 3 k = L k = = k k (c) 003 K&R Weron 5 (c) 003 K&R Weron 6

2 Trójkąt Sierpińskiego Piramida Sierpińskiego Środki boków trójkąta łącymy odcinkami i usuwamy środkowy trójkąt. Łącymy odcinkami środki krawędi cworościanu i usuwamy bryłę, której krawędiami są te odcinki. (c) 003 K&R Weron 7 Płatek śniegu, Koch 904 (c) 003 K&R Weron 8 Zbiór Cantora Każdy bok trójkąta dielimy na try równe cęści i doklejamy do cęści środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równobocny o boku try ray krótsym. N ε /3 4 /9 8 /7 d c = lim log n / log 3n n (c) 003 K&R Weron 9 d c = log / log 3 < (c) 003 K&R Weron 0 Wymiar fraktalny samopodobieństwa Wymiary samopodobieństwa: Dla dowolnego obiektu samopodobnego istnieje wiąek międy współcynnikiem redukcji s (skalą), a licbą cęści n na które obiekt może być podielony: obiekt skala licba elementów wymiar Krywa Kocha (/3)^k 4^k log4/log3 Zbiór Cantora (/3)^k ^k log/log3 Trójkąt (/)^k Sierpińskiego 3^k log3/log n = s D (c) 003 K&R Weron (c) 003 K&R Weron

3 Co to jest wymiar? Skala podwójnie logarytmicna (log-log scale) n = s D kd skala s licba n /8 64=4^4 /4 6=4^ / 4=4^ =4^0 k D 4 = 4 = D = (c) 003 K&R Weron 3 y = a b log y = loga + blog y' = log y, ' = log y' = loga + b' nachylenie prostej (c) 003 K&R Weron 4 Jak mieryć linię bregową? Wybreże linia prosta L N długość (c) 003 K&R Weron 5 (c) 003 K&R Weron 6 Wybreże Irlandii Długość wybreża Irlandii L N długość (c) 003 K&R Weron 7 (c) 003 K&R Weron 8 3

4 log(n) Irlandia w log-log Zlepek DLA też jest fraktalem -.3 Można go skonstruować pre prosty proces stochastycny (popredni wykład) (c) 003 K&R Weron 9 (c) 003 K&R Weron 0 Jaki jest wymiar (fraktalny) DLA? Wymiar pudełkowy (metoda bocounting) Bocounting: Bocounting: Bok: L=/8 Bok: L=/8 Licba pudełek o boku L potrebnych do pokrycia DLA N(L)=? Licba pudełek o boku L potrebnych do pokrycia DLA N(L)= 46 (c) 003 K&R Weron (c) 003 K&R Weron Narysuj to w log-log u Zbiory Julii Wymiar pudełkowy d = - nachylenie prostej Dla każdego punktu 0 (espolone) tworymy ciąg,, 3,... iterując funkcję kwadratową + c Fraktal! d=.7 log(l) Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskońconości to punkt 0 należy do bioru więźniów W; Jeżeli ciąg ucieka do nieskońconości to 0 należy do bioru uciekinierów U; Granica międy biorami W i U to biór Julii (c) 003 K&R Weron 3 (c) 003 K&R Weron 4 4

5 Powtórka licb espolonych Co to nacy pomnożyć dwie licby espolone? = + iy = y v r u r ep( iϕ ) y 3 r r ψ α=+ψ = r ep( iϕ) = r ep( iψ ) i( ϕ + ψ ) = = rr e 3 (c) 003 K&R Weron 5 (c) 003 K&R Weron 6 Dynamika prekstałcenia ^ n+ = n +c y Uc Moduł 0,8 0,64 0,4096 0,678 0,08 0,0008 argument (stopnie) Moduł argument (stopnie) 43439, 9 (c) 003 K&R Weron Moduł,5,5 5,06 5,63 656,9 argument (stopnie) Wc Zbiór Julii dla c=0 (okrąg) Prykład: c= 0,5 +0,5i Co to nacy nieskońconość? Breg jest araem biorem Julii i fraktalem. (c) 003 K&R Weron 9 Punkt ucieknie do nieskońconości jeżeli kolejna iteracja prekrocy r(c)=ma( c,). Pierwse prybliżenie bioru uciekinierów U to dysk o promieniu r(c). Kolejne prybliżenie dadą punkty, które po pierwsej iteracji uciekną poa obsar o promieniu r(c). Itd. (c) 003 K&R Weron 30 5

6 Jak ważny jest cas? Jak ważny jest cas - prykład Załóżmy, że 0,..., 00 leżą w odległości mniejsej niż od punktu pocątkowego. Cy ciąg nigdy nie ucieknie do nieskońconości? Niestety nie wiemy! Musimy wybrać maksymalną licbę iteracji N. Decyja: więksa dokładność i dłżsy cas. N = 0; N = 50. (c) 003 K&R Weron 3 (c) 003 K&R Weron 3 Prykłady biorów Julii Zbiór Mandelbrota c = -0.5 c = i c = i c = i c = i c = i c = i c = i c = i (c) 003 K&R Weron 33 Zbiór tych c, dla których biory Julii są spójne. Dla każdego c, acynamy 0 = 0 i generujemy ciąg,, 3,... iterując n -> n + c = n+ Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskońconosci, wtedy c należy do bioru Mandelbrota M. Uwagi dotycące kryterium uciecki do nieskońconośi są takie same jak pry biorach Julii. (c) 003 K&R Weron 34 Zajryj w głąb bioru Mandelbrota Analogi bioru Mandelbrota dla wyżsych potęg (c) 003 K&R Weron 35 (c) 003 K&R Weron 36 6