O granicach stosowalności klasycznych związków Terzaghiego i Biota w mechanice skał

Transkrypt

1 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 17, nr 1-2, czerwiec 2015, s Instytut Mechaniki Górotworu PAN O granicach stosowalności klasycznych związków Terzaghiego i Biota w mechanice skał ANDRZEJ NOWAKOWSKI Instytut Mechaniki Górotworu PAN; ul. Reymonta 27, Kraków Streszczenie Artykuł oświecony jest granicom stosowalności narężenia efektywnego do oisu zjawisk zachodzących w izotroowym i jednorodnym ośrodku orowatym, którego rzestrzeń orowa wyełniona jest łynem ozostającym od działaniem ciśnienia orowego. Omówiono w nim sformułowane rzez Karla von Terzaghiego i Maurice a Biota definicje ciśnienia efektywnego, oraz wskazano na ograniczenia w ich stosowaniu w mechanice skał, wynikające zarówno z rzyjętych rzez autorów założeń, jak i z badań ich nastęców. W szczególności zwrócono uwagę na zależność ostaci rawa ciśnienia efektywnego od fizykochemicznych właściwości skały i łynu orowego, oraz anującego w skale stanu narężenia. Słowa kluczowe: ciśnienie efektywne, konwencjonalne ciśnienie efektywne, wsółczynnik Biota, ciśnienie orowe, moduł ściśliwości 1. Wstę Punktem wyjścia do rezentowanych oniżej rozważań jest oczywisty acz często ignorowany fakt, że skała jest materiałem nieciągłym, zawierającym orócz tworzących ją stałych składników także obszary ustek o różnym kształcie i wymiarach. Pustki te, objęte wsólną nazwą rzestrzeni orowej, mogą być wyełnione łynem, który może oddziaływać na skałę na różne sosoby. W szczególności oddziaływanie to może być czysto mechaniczne, olegające na zmianach narężenia w skale wskutek zmian ciśnienia łynu orowego, lub też fizykochemiczne a nawet chemiczne, zmieniające właściwości materii skalnej wskutek interakcji zachodzących miedzy łynem a szkieletem skały (n. rocesy sorcyjne, reakcje chemiczne). W sytuacji najbardziej złożonej będziemy mieli do czynienia z oddziaływaniem będącym kombinacją owyższych czynników. Niniejsza raca oświecona jest granicom stosowalności ewnych metod oisu zjawisk zachodzących w izotroowym i jednorodnym ośrodku orowatym, którego rzestrzeń orowa wyełniona jest łynem orowym ozostającym od działaniem ciśnienia orowego, odczas gdy sam ośrodek oddany jest działaniu narężenia makroskoowego σ. Aby uniknąć komlikacji związanych ze szczegółowym oisem matematycznym struktury i tekstury takiego ośrodka ostuluje się, że związki oisujące zachodzące nim zależności między narężeniami a odkształceniami formułowane są dla ewnego narężenia zastęczego 'σ, dla którego rzyjęto nazwę narężenie efektywne. Zakłada się również, że narężenie efektywne jest ewną funkcją narężenia makroskoowego i ciśnienia orowego, czyli że: ' f, (1) Warto jeszcze w tym miejscu zauważyć, że w literaturze anglosaskiej owyższy związek nosi czasem nazwę rawa narężeń efektywnych 1 (or. n. Patterson i Wong, 2005; s. 148 i nast.) i termin ten będzie dalej używany w tym sensie w niniejszej racy. 1 ang.: the effective stress law.

2 56 Andrzej Nowakowski 2. Konwencjonalne narężenie efektywne Pierwsze oważne badania nad wływem ciśnienia orowego na właściwości mechaniczne ośrodka orowatego miały miejsce na Politechnice Wiedeńskiej na oczątku XX w., a ich autorem był Paul Fillunger. Artykuł de Boer a i Ehlersa (1990) rzyomina nazwisko tego uczonego oraz tytuły jego najważniejszych rac (Fillunger, 1913, 1914, 1915) dotyczących tej tematyki. Niestety cechy charakteru Paula Fillungera, jego długoletni i tragicznie zakończony konflikt z Karlem von Terzaghim oraz oularność tego ostatniego na arenie międzynarodowej (or. de Boer, 2005) sowodowały, że osoba Paula Fillungera ozostaje raktycznie całkowicie zaomniana i za jedynego twórcę koncecji narężeń efektywnych owszechnie uważany jest Karl von Terzaghi Prawo narężeń efektywnych Terzaghiego Stworzenie rzez Karla von Terzaghiego koncecji narężeń efektywnych datuje się na rok 1923 (Terzaghi, 1923) choć sama zasada narężeń efektywnych 2 została rzezeń sformułowana exlicité doiero odczas wykładu wygłoszonego na Pierwszej Międzynarodowej Konferencji Mechaniki Gruntów, która odbyła się na uniwersytecie Harvard w 1936 r. (Terzaghi, 1936). Stosując wsółczesną notację tensorową, rzyjmując oznaczenia rzyjęte wyżej w rozdz. 1, oraz wrowadzając do zaisu tzw. tensor Kroneckera 3 δ można rawo narężeń efektywnych Terzaghiego zaisać w formie: ' (2) Dla tak zdefiniowanej zasady narężeń efektywnych stosuje się obecnie nazwę zasada konwencjonalnego narężenia efektywnego 4 (or. Paterson i Wong, 2005, s. 148). Sama koncecja narężeń efektywnych została o raz ierwszy sformułowana rzez von Terzaghiego odczas rac nad roblemem konsolidacji ilastych warstw gruntu i jak się wydaje miała ierwotnie charakter wyłącznie intuicyjny 5 oraz nie zawierała wskazówek dotyczących granic jej stosowalności. Ta intuicyjność i matematyczna rostota związku (2) srzyjały róbom jego wykorzystywania nie tylko w odniesieniu do gruntów, ale także do innego tyu materiałów, takich jak skała czy beton. Tymczasem zarówno race teoretyczne jak i ekserymentalne wskazują, że stosowanie zasady konwencjonalnego ciśnienia efektywnego odlega dość istotnym ograniczeniom Granice stosowalności związku Terzaghiego w świetle rozważań teoretycznych Autorem ierwszych rozważań teoretycznych na temat granic stosowalności związku (2) był wsomniany już wyżej Paul Fillunger, który wychodząc z równań dwuskładnikowego ośrodka zbudowanego z nieściśliwego materiału wyełnionego całkowicie nieściśliwym łynem orowym niejako wyrowadził równanie von Terzaghiego (Fillunger, 1936). Natomiast za odsumowanie rozważań teoretycznych w tej dziedzinie można chyba uznać racę Bluhma i de Boera (1996). Autorzy ci, analizując równania teorii mieszanin doszli do wniosku, że zasada narężeń efektywnych w ostaci zaroonowanej rzez von Terzaghiego jest ważna tylko dla secjalnego rzyadku nieściśliwego ośrodka orowatego, którego rzestrzeń orowa wyełniona jest całkowicie nieściśliwym i nielekim łynem orowym. Warto w tym momencie zastanowić się, jakie są konsekwencje owyższych ograniczeń dla rzedmiotu badań mechaniki skał? Dotyczą one bowiem dwóch odrębnych faz analizowanego ośrodka (czyli skały): jego fazy stałej (nieściśliwość) oraz wyełniającego rzestrzeń orową łynu (nieściśliwość i nielekość). Biorąc od uwagę dzisiejszy stan wiedzy mechaniki skał nie sosób uznać, że skała jest ośrodkiem nieściśliwym, rzy czym z rac ekserymentalnych wiadomo, że ściśliwość skały rośnie wraz z jej orowatością (or. n. Fabre i Gustkiewicz, 1997). Jeśli natomiast chodzi o łyn orowy to warunek nieściśliwości wyklucza sośród nich gazy (n. owietrze, gaz ziemny czy gazy koalniane) a warunek nielekości eliminuje wystęujące w rzeczywistości w skale ciecze (woda, roa naftowa). Jeśliby zatem trzymać się stricte tego, co wynika z cytowanych wyżej rozważań teoretycznych to zasada konwencjonalnego narężenia efektywnego nie miałaby w odniesieniu do skał raktycznie żadnego zastosowania. 2 ang.: the rincile of effective stress. 3 Tensor ten znany jest także od nazwą delta Kroneckera. 4 ang. conventional effective stress rincile. 5 De Boer i Ehlers (1990) otwierdzają w swoim artykule to rzyuszczenie.

3 O granicach stosowalności klasycznych związków Terzaghiego i Biota w mechanice skał Granice stosowalności związku Terzaghiego w świetle wyników badań laboratoryjnych Granice stosowalności wzoru (2) dla skał w oarciu o wyniki badań laboratoryjnych zakreślone zostały bardzo wyraźnie w racy Handina i in. (1963). Zesół ten, oierając się na laboratoryjnych badaniach róbek ięciu skał: dolomitu, waienia, iaskowca, łuku i yłowca 6 sformułował w swojej ublikacji trzy nastęujące warunki, których sełnienie ozwala na stosowanie wobec materiału orowatego zasady konwencjonalnych narężeń efektywnych: (a) łyn orowy jest fizykochemicznie obojętny wobec składników skały tak, że ciśnienie orowe działa wyłącznie mechanicznie, (b) rzeuszczalność skały jest wystarczająca dla rzenikania łynu orowego a co więcej ozwala na wolny rzeływ łynu orowego odczas rocesu deformacji skały do wewnątrz i na zewnątrz skały tak, że ciśnienie orowe ozostaje odczas deformacji stałe i równomierne (test jest drenowany ), (c) skała jest agregatem odobnym do iasku z ołączonymi miedzy sobą orami, których konfiguracja zabeziecza ełne rzejmowanie ciśnienia orowego ( neutralnego ) rzez fazę stałą. Powyższe warunki (a), (b) i (c) w dalszej części niniejszej racy autor nazywał będzie dla uroszczenia warunkami Handina. Należy zatrzymać się nad nimi nieco dłużej. Odnoszący się na ierwszy rzut oka jedynie do łynu orowego warunek (a) nie dotyczy właściwości mechanicznych łynu orowego, ale fizykochemicznych. W raktyce mówi on, że zasadę konwencjonalnego narężenia efektywnego stosować można do oisu zjawisk zachodzących w wyełnionych łynem ośrodkach orowatych wtedy i tylko wtedy, gdy między łynem a ośrodkiem nie zachodzą rocesy sorcyjne bądź też reakcje chemiczne. Rozważmy od tym kątem właściwości najowszechniej sotykanych w rzyrodzie w skałach łynów orowych, zarówno cieczy jak i gazów. Najowszechniej sotykanymi w skałach gazami są: owietrze, dwutlenek węgla, metan i gaz ziemny (mieszanina, której zasadniczą część stanowi metan). Sośród tych gazów (lub ich składników) znaczące właściwości sorcyjne mają dwutlenek węgla i metan. Sośród składników owietrza tlen jest gazem aktywnym chemicznie a azot można uznać za fizykochemicznie obojętny. Należy też amiętać, że intensywność rocesów sorcyjnych zależy nie tylko od sorbatu (w tym rzyadku gazu) ale także od sorbentu. W szczególności węgiel kamienny jest sorbentem, na którym większość gazów (w tym także wsomniany wyżej azot) sorbuje dość silnie. Przykład interesujących wyników okazujących wływ zjawisk sorcyjnych na ostać rawa narężeń efektywnych znaleźć można u St. George a i Bakarata (2001). Jeśli chodzi o ciecze, to w naturze w rzestrzeni orowej skał najczęściej można sotkać trzy: wodę, solankę (wodny roztwór soli) oraz roę naftową (mieszanina głównie różnych węglowodorów ciekłych i gazowych). Zesół Handina uznał, że wodę można uznać za fizykochemicznie obojętną wobec skał i choć autorowi twierdzenie to wydaje się dyskusyjne to jednak skłonny jest je zaakcetować gdyż dyskusja nad tym, jaką wodę i w jakich warunkach można uznać za fizykochemicznie obojętną zdecydowanie wykracza oza ramy artykułu. Solanka jest cieczą bardzo agresywną chemicznie, natomiast w rzyadku roy naftowej nie sosób dać jednoznacznej odowiedzi z uwagi na jej bardzo złożony i różnorodny skład chemiczny. Zaewne niektóre składniki roy można by uznać za fizykochemicznie obojętne inne zaś nie, czyli, że wszystko srowadzi się do ytania: jaka roa i w jakich warunkach? Warunek (b) wydaje się być intuicyjnie jasny i zrozumiały ale jego raktyczne konsekwencje już takie nie są. Sformułowania wolny rzeływ łynu orowego i test drenowany imlikują bowiem swobodę filtracji łynu orowego a wyrażenie ciśnienie ozostaje odczas deformacji stałe i równomierne oznacza, że ewentualne zmiany ciśnienia rozchodzą się w rzestrzeni orowej natychmiast. Rzecz jasna odowiedź na ytanie, co oznacza termin natychmiast otwiera kolejny obszar dyskusji wydaje się jednak, że z unktu widzenia rzebiegu rocesu filtracji w czasie nawet rzy czysto intuicyjnym rozumieniu słowa natychmiast warunek (b) Handina o rostu nie jest możliwy do sełnienia oza ewnym szczególnym stanem równowagi, w którym... filtracja nie zachodzi. Stan taki może mieć miejsce, gdy rzestrzeń orowa skały wyełniona jest szczelnie łynem orowym, którego ciśnienie ozostaje stałe, zaś roces deformacji skały jest na tyle wolny, a sama deformacja na tyle mała, że ewentualne zmiany ciśnienia łynu orowego wynikające z deformacji orów są komensowane ściśliwością tegoż łynu i/lub jego bardzo niewielkimi rzemieszczeniami. 6 Ang. odowiednio: dolomite, limestone, sandstone, shale and siltstone.

4 58 Andrzej Nowakowski W oczątkowej fazie badań kierowany rzez Handina zesół sformułował jedynie warunki (a) i (b). Do sformułowania warunku (c) doszło, gdy autorzy zaczęli się zastanawiać, dlaczego niektóre sośród badanych skał zachowują się odczas testów w sosób niezgodny z równaniem (2) omimo faktu, że sełnione są warunki (a) i (b)? Okazało się, że odowiedzi na to ytanie dostarczają wcześniejsze race Hubberta i Rubey a (1959, 1960). Pokazali oni, że jeżeli ciśnienie orowe rzenoszone jest jako narężenie normalne w całości i równomiernie rzez szkielet skały, to zasada konwencjonalnego ciśnienia efektywnego obowiązuje dla narężeń normalnych w każdym unkcie takiej skały niezależnie od wartości jej orowatości. Jeżeli natomiast z jakichś owodów (n. szczególnej konfiguracji rzestrzeni orowej) takie równomierne rzeniesienie ciśnienia orowego nie jest możliwe to ciśnienie efektywne nie może być zdefiniowane równaniem (2). To sostrzeżenie Hubberta i Rubeya jest raktyczne tożsame z zacytowanym wyżej warunkiem (c), który bywa czasem nazywany warunkiem Hubberta i Rubeya 7. Niestety raktyczna rzydatność warunku (c) do oceny a riori, czy dla danej skały można stosować zasadę konwencjonalnego ciśnienia efektywnego (2) jest wątliwa gdyż, o ierwsze dokładny ois matematyczny konfiguracji rzestrzeni orowej ciała jest raktycznie niemożliwy a o drugie tak narawdę nie wiemy jak owinna wyglądać ta konfiguracja, aby zaewnić owo równomierne rzeniesienie ciśnienia orowego. W rzeczywistości warunek (c) wykorzystuje się raczej w odwrotną stronę: wiemy, że sełnione są warunki (a) i (b) a jednak skała nie zachowuje się zgodnie z rawem Terzaghiego ergo sądzimy, że mamy do czynienia z materiałem o ewnych szczególnych cechach rzestrzeni orowej. 3. Narężenie efektywne w teorii konsolidacji Biota Oisane owyżej ograniczenia rawa konwencjonalnego ciśnienia efektywnego skłoniły badaczy do oszukiwania jego bardziej uniwersalnej formy. Szczególną oularność zdobyła modyfikacja wzoru (2) do ostaci: ' (3) w której α jest ewnym bezwymiarowym wsółczynnikiem określającym jaka część ciśnienia orowego owinna być brana od uwagę aby równanie (3) można było uznać za związek oisujący ciśnienie efektywne. Rzecz jasna rzyjęcie dla rawa narężenia efektywnego związku (3) ostawiło rzed badaczami ytanie o wartość wsółczynnika α. Różne możliwe warianty ostaci tego wsółczynnika dla gruntu, betonu i skały okazali w swojej racy Lade i de Boer (1997). Warto w tym miejscu odkreślić, iż autorzy ci sygnalizują również, że wzór na wsółczynnik α w równaniu (3) może mieć różną ostać w zależności od anującego w ośrodku stanu narężenia Prawo narężeń efektywnych Biota Maurice Anthony Biot to człowiek, którego race włynęły na rozwój mechaniki gruntów i skał w stoniu nie mniejszym niż race Karla von Terzaghiego czy sir Aleca Wesley Skemtona. W szeregu swoich rac oublikowanych w latach zawarł rof. Biot odstawy dziedziny nauki, której nazwę na język olski można rzetłumaczyć niezbyt zręcznie jako orosrężystość 8. Podstawy orosrężystości wyłożył jej twórca w dwóch swoich racach (Biot, 1941, 1955), a aktualny obszerny wykład zarówno samej teorii jak i jej zastosowań znaleźć można n. w książce Wanga (2000). Poniższe rozważania nie mają na celu wyrowadzenie równań orosrężystości a jedynie okazanie istoty zaroonowanej rzez Biota koncecji narężeń efektywnych. Punktem wyjścia do sformułowania rawa narężeń efektywnych wg Biota są równania jednorodnego i izotroowego ośrodka srężystego (tzw. ośrodka Hooke a), które można zaisać w ostaci: 1 ii i, j 1,2,3 (4) E E gdzie E i ν to odowiednio moduł Younga i wsółczynnik Poissona. Przyjmując teraz, że: 7 Należy odkreślić, że zesół Handina cytuje w swojej racy wnioski Hubberta i Rubeya i owołuje się na ich ublikacje (Handin i in., 1963; s. 745). 8 Angielski termin oroelasticity brzmi tylko trochę leiej.

5 O granicach stosowalności klasycznych związków Terzaghiego i Biota w mechanice skał 59 n jest orowatością ośrodka, K jego modułem ściśliwości objętościowej, K S modułem ściśliwości fazy stałej ośrodka, ζ zmianą objętości rzestrzeni orowej ośrodka, H, R ewnymi stałymi materiałowymi, oraz wrowadzając narężenie średnie σ m jako: ii m (5) 3 odał Biot układ równań srężystego, jednorodnego i izotroowego ośrodka orowatego w ostaci (or.: Paterson i Wong, 2005 s ; Fabre i Gustkiewicz, 1998; Gustkiewicz, 1989): 1 1 ii i, j 1,2,3 (6) E E 3H w którym między stałymi n, K, K S a H i R zachodzą nastęujące związki: m (7) H R 1 H 1 1 (8) K K S 1 1 R K 1 n K S (9) Układ równań (6) i (7) w ołączeniu ze stałymi materiałowymi (8) i (9) jest rawem materiałowym dla jednorodnego i izotroowego ośrodka orowatego, którego rzestrzeń orowa wyełniona jest łynem ozostającym od ciśnieniem i nie zawiera bezośrednich odniesień do zasady narężeń efektywnych. Natomiast, rozwając myśl Biota, Nur i Byerlee (1971) zaroonowali nastęujący sosób rzekształcenie równań teorii Biota: rzyjmmy, że w układzie równań (4) i = j; otrzymujemy wówczas trzy równania ośrodka Biota dla kierunków głównych. Sumując te równania stronami otrzymujemy: ii ii ii i 1,2,3 (10) E E H Uwzględniając w (10) związek (5) oraz stosując odstawienia: (11) K E e i 1,2,3 (12) gdzie e jest zmianą objętości ośrodka, można równanie (10) dorowadzić do ostaci: i dalej Dokonując teraz odstawienia ii e m (13) K H 1 K e m K H (14) K ' m (15) H

6 60 Andrzej Nowakowski można dorowadzić związek (14) do ostaci ' e (16) K w którym 'σ dane wzorem (15) jest oszukiwanym narężeniem efektywnym. Wrowadzając teraz odstawienie: otrzymujemy ostać uogólnioną równania (15) w formie: K K 1 1 (17) H K S ' i, j 1, 2, 3 (18) 1 Równanie (18) definiuje narężenie efektywne dla ośrodka orowatego sełniającego związki (6)-(9). Kolejnym krokiem w rozumowaniu Nura i Byerlee jest rzekształcenie równania (7) w sosób analogiczny do równania (6). Dorowadzając je do ostaci 1 H m H R (19) i odstawiając otrzymujemy równanie (7) w formie H ' m (20) R ' (21) H Wykonując w równaniu (20) odstawienie otrzymuje się związek H nk 2 1 (22) R K K S ' i, j 1, 2, 3 (23) 2 definiujący narężenia efektywne dla rzestrzeni orowej ośrodka orowatego sełniającego równania (6)-(9). Podsumowując owyższe rozważania należy stwierdzić, że Nur i Byerlee wykazali, iż wychodząc z równań teorii konsolidacji Biota dla jednorodnego, izotroowego i srężystego ośrodka orowatego można narężenie efektywne zdefiniować związkiem ostaci: ' i, j 1, 2, 3 (24) w którym wartość wsółczynnika ciśnienia efektywnego α dana jest wzorem (17) gdy rzedmiotem rozważań jest ośrodek orowaty jako całość, lub też wzorem (22) gdy analizowana jest jedynie deformacja rzestrzeni orowej tego ośrodka. Biorąc od uwagę ostać związków (17) i (22) oraz zależności zachodzące między n, K i K S, Gustkiewicz (1989) wykazuje, że rawdziwe jest (25) Granice stosowalności związku Biota Podobnie jak dyskutowana wcześniej koncecja von Terzaghiego również omysł Biota wywodzi się zasadniczo z mechaniki gruntów i został sformułowany oczątkowo dla gruntu wyełnionego wodą, rzy czym odnośnie gruntu i wody Maurice Biot oczynił nastęujące założenia (cytuję): Założono nastęujące odstawowe właściwości gruntu: (1) izotroia materiału, (2) odwracalność zależności narężenie-odkształcenie w końcowych warunkach równowagi, (3) liniowość zależności naręże-

7 O granicach stosowalności klasycznych związków Terzaghiego i Biota w mechanice skał 61 nie-odkształcenie, (4) małe odkształcenia, (5) woda zawarta w orach jest nieściśliwa, (6) woda ta może zawierać ęcherzyki owietrza, (7) woda rzeływa rzez orowaty szkielet zgodnie z rawem Darcy ego. 9 (cytat za Biot, 1941; tłum. autora). Zobaczmy teraz, co te założenia oznaczają dla rawa narężeń efektywnych. Z unktu widzenia teorii konsolidacji warunek izotroii materiału (1) stracił znaczenie bardzo szybko. Prace Biota (1955) oraz Biota i Willisa (1957), rozszerzyły teorię konsolidacji Biota na materiały anizotroowe aczkolwiek autorzy ci nie formułowali dla takich materiałów zasady narężeń efektywnych exlicité. Zrobił to natomiast Caroll (1979), który sformułował ostać rawa narężeń efektywnych dla materiału transwersalnie izotroowego o anizotroii strukturalnej wynikającej z ukierunkowania orów oraz dla materiału ortotroowego. O modyfikacjach rawa narężeń efektywnych dla ośrodka anizotroowego isali także Cheng (1997) oraz Roegiers i in. (1998) dokonując ewnego odsumowania możliwości, jakie daje teoria Biota rzy oisie zjawisk zachodzących w skale traktowanej jako dwufazowy ośrodek orowaty. Natomiast sformułowane rzez Biota założenia (2) i (3) nakładają na stosowalność sformułowanego w rozdz. (3.1) rawa narężeń efektywnych istotne ograniczenia. Są one tym bardziej widoczne gdy weźmiemy od uwagę, że równania Biota (6) to w istocie równania Hooke a uzuełnione o składnik odowiadający za objętościową deformację orów. Oznacza to, że rawa narężeń efektywnych w ostaci danej wzorami (24), (17) i (22) można używać do oisu zjawisk zachodzących w skale wtedy i tylko wtedy, gdy skałę tę można uznać za materiał Hooke a. Rozwiązuje to jednocześnie roblem założenia (4) gdyż dla materiału Hooke a z tzw. małymi odkształceniami mamy do czynienia niejako ex defi nitio. Nastęna grua założeń dotyczy łynu orowego, a ierwszym z nich jest założenie jego nieściśliwości (5). Założenie to nie jest konieczne, gdyż jeżeli moduł ściśliwości łynu orowego ma wartość K f to definiujący moduł R związek (9) ma ostać: 1 1 R K 1 n n K S K f (26) (or. Paterson i Wong, 2005, s. 150). Zauważmy, iż jeśli rzyjąć, że łyn orowy jest nieściśliwy (co z dobrym rzybliżeniem można odnieść do cieczy) to można również rzyjąć, że K f czyli K f 1 0 i związek (26) rzyjmuje ostać (9). Natomiast dla łynów ściśliwych (gazów) modułu R należałoby oszukiwać w oarciu o związek (26). Biorąc jednak od uwagę, że w związku na wsółczynnik α 1 moduł R nie wystęuje w ogóle (or. wzór (17) z odstawieniem (8)) wydaje się, iż można uznać, że ostać rawa narężeń efektywnych dla ośrodka orowatego od ściśliwości łynu orowego nie zależy. Inaczej jest w rzyadku rzestrzeni orowej tegoż ośrodka. Uwzględniając w odstawieniu (22) moduł R w ostaci (26) otrzymujemy wzór na wsółczynnik α 2 w nastęującej ostaci: H nk nkk S 2 1 (27) R K K K K K S I znów jak wyżej jeśli łyn orowy jest nieściśliwy to K f, czyli K f 1 0, a związek (27) rzyjmuje ostać (22). Założenie (6) mówiące o douszczalnej obecności w wodzie ęcherzyków owietrza jest w istocie akcetacją sytuacji, w której rzestrzeń orowa skały jest wyełniona cieczą jedynie częściowo i nie można go traktować jako ograniczenie. Natomiast dużo wątliwości budzi rzyjęcie, że ewentualny rzeływ łynu orowego w ośrodku nastęuje zgodnie z rawem Darcy ego. W swoim wywodzie na temat równań równowagi ośrodka orosrężystego rzez który rzeływa łyn orowy Jaeger i in. (2007, s ) okazują, że jeśli rzyjąć, że skała jest izotroowa, sztywna i nieodkształcalna, to rzeływ łynu orowego oisywany jest nie równaniem Darcy ego a równaniem dyfuzji. Jeśli natomiast douścić odkształcalność skały, to w równaniu dyfuzji ojawia się składnik uzależniający wartość ciśnienia orowego od narężenia średniego. Pojawienie się tego składnika w tym równaniu to matematyczne odzwierciedlenie obserwowanego w laboratorium efektu Skemtona, olegającego na wzroście ciśnienia orowego wskutek sadku objętości 9 The following basic roerties of the soil are assumed: (1) isotroy of the material, (2) reversibility of stress-strain relations under final equilibrium conditions, (3) linearity of stress-strain relations, (4) small strains, (5) the water contained in the ores is incomressible, (6) the water may contained air bubbles, (7) the water flows through the orous skeleton according to Darcy s law. f S

8 62 Andrzej Nowakowski rzestrzeni orowej wywołanego ściśliwością skały. Efekt ten jest szczególnie widoczny, gdy łynem orowym jest nieściśliwa ciecz. Należy w tym miejscu odkreślić, iż w rzy budowie modeli matematycznych i numerycznych ośrodków orowatych zdarza się, iż jako równania konstytutywne ośrodka stosuje się równania Biota a rzeływ łynu modeluje się stosując zamiast związku Darcy ego n. równanie Forchheimera. Podsumowując owyższe rozważania należy stwierdzić, że teoria Biota omimo swojej niewątliwej matematycznej elegancji może być stosowana do wyrowadzenia związków oisujących zasadę narężeń efektywnych dla zakresu narężeń i odkształceń ograniczonego zakresem stosowalności rawa Hooke a. Teoria ta nie działa już na rzykład wtedy, gdy narężenia w skale zbliżają się bądź osiągają wartość granicy wytrzymałości. Dla takich stanów narężenia większość autorów sugeruje stosowanie równania Terzaghiego (or. Lade i de Boer, 1997). 4. Uwagi końcowe Powyższe omówienie klasycznych wersji raw narężeń efektywnych von Terzaghiego i Biota ozwala na sformułowanie ewnych ogólnych wątliwości i zastrzeżeń, które owinny być brane od uwagę odczas wykorzystywania koncecji narężeń efektywnych do oisu właściwości mechanicznych skał. Przede wszystkim należy zwrócić uwagę na fakt, że różnice między wielkościami składowych tensora narężenia σ i tensora narężenia efektywnego 'σ zachodzą wyłącznie dla składowych normalnych tych tensorów. W sensie fizycznym oznacza to, że srężony łyn orowy wływa tylko na deformacje objętościowe skały, natomiast z unktu widzenia deformacji ostaciowych jego obecność ozostaje obojętna. Takie założenie sugeruje, że wływ łynu orowego na deformacje skały jest wyłącznie mechaniczny (orzez obecność ciśnienia ), co nie musi być rawdą. W szczególności Dutka i in. (2008) okazali na drodze ekserymentalnej, że zachodzące miedzy skałą a łynem orowym rocesy fizykochemiczne mogą istotnie wływać na wartość wsółczynników Biota, a co za tym idzie na ostać odowiedniego rawa narężenia efektywnego. Nastęnie zauważmy, iż choć von Terzaghi formułując związek (2) nie czynił żadnych założeń odnośnie anującego w materiale stanu narężenia, to race jego nastęców okazują, że takie odejście trzeba uznać za błędne. Omówione owyżej rawo narężeń efektywnych Biota, którego zakres stosowalności w zasadzie ogranicza się do zakresu stosowalności rawa Hooke a, jest tego najleszym rzykładem. Wyraźnie widać, że ostać związku (1) dla danego układu materiał łyn orowy może być różna w różnych stanach narężenia. Warto w tym kontekście raz jeszcze wskazać na uwagi oczynione na ten temat rzez Lade a i de Boera (1997). Kolejne zastrzeżenie jest konsekwencją sosobu wyrowadzania równań (18) i (23). Zauważmy, że związki te uzyskane zostały orzez rzekształcenia równań oisujących zmianę objętości odowiednio ośrodka (równanie (10)) i jego rzestrzenie orowej (równanie (7)). Można zatem uznać, że równania (18) i (23) definiują ciśnienie efektywne sterujące zmianą objętości ośrodka lub jego rzestrzeni orowej. Tymczasem w literaturze znaleźć można nastęującą definicję narężenia efektywnego (cytuję): Narężenie efektywne jest to narężenie, które steruje zależnością narężenie-odkształcenie, zmianą objętości i wytrzymałością (odkr. autora A.N.) danego materiału orowatego niezależnie od magnitudy ciśnienia orowego 10. (cytat za Lade i de Boer, 1997; tłum. autora). Powyższy cytat wskazuje, że zasada narężeń efektywnych może obowiązywać nie tylko w odniesieniu do zmiany objętości analizowanego układu materiał łyn orowy, ale także w rzyadku arametrów oisujących jego zachowanie narężeniowo-odkształceniowe (dla materiału Hooke a będą to moduł Younga, wsółczynnik Poissona czy też granica liniowości odkształceń odłużnych lub orzecznych) oraz zachowanie na granicy wytrzymałości (w tym rzyadku funkcją ciśnienia efektywnego byłaby różnicowa granica wytrzymałości na ściskanie). W konsekwencji nie można wykluczyć sytuacji, że dla danego materiału, łynu orowego i stanu narężenia ostać związku (1) może być różna w zależności od tego jaki arametr charakteryzujący skałę będziemy analizowali. Pierwsze róby weryfikacji tej hiotezy na drodze ekserymentalnej znaleźć można u Nowakowskiego (2006, 2007) i choć wyniki są niejednoznaczne to jednak wydaje się, iż ten kierunek badań należy uznać za właściwy a ich odjęcie za celowe. 10 The effective stress is the stress that controls the stress-strain, volume change, and strength behaviour of a given orous medium, indeendent of the magnitude of the ore ressure.

9 O granicach stosowalności klasycznych związków Terzaghiego i Biota w mechanice skał 63 Powyższe rozważania okazują, że tzw. rawo narężeń efektywnych jest wrawdzie wygodnym narzędziem służącym do oisu zjawisk zachodzących w skałach traktowanych jako nasączone łynami ośrodki orowate, ale rzy jego stosowaniu trzeba zachować ewną ostrożność. W szczególności należy brać od uwagę właściwości fizykochemiczne zarówno skały jak i łynu orowego oraz amiętać, że właściwości filtracyjne skały zależą od anującego w niej stanu narężenia Praca została wykonana w roku 2015 w ramach rac statutowych realizowanych w IMG PAN w Krakowie, finansowanych rzez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego. Literatura Biot M.A., 1941: General Theory of Three-Dimensional Consolidation. J. Al. Phys., Vol. 12, Biot M.A., 1955: Theory of elasticity and consolidation for a orous anisotroic solid. J. Al. Phys., Vol. 26, Biot M.A., Willis, D. G., 1957: The Elastic Coeffi cients of the Theory of Consolidation. J. Al. Mech., Vol. 24, Bluhm J., de Boer R., 1996: Effective stress clarifi cation. Arch. Al. Mech., Vol. 66, de Boer R., Ehlers W., 1990: The develoment of the concet of effective stresses. Acta Mechanica, Vol. 83, de Boer R., 2005: The Engineer and the scandal a iece of science history. Sringer Verl., Berlin, 293 ages. Caroll M.M., 1979: An Effective Stress Law for Anisotroic Elastic Deformation. J. Geohys. Res., Vol. 84, No. B13, Cheng A.H.-D., 1997: Material coefficients of anisotroic oroelasticity. Int. J. Rock Mech. Min. Sci., Vol. 34, Dutka B., Lizak Z., Nowakowski A., Nurkowski J., Wierzbicki M., 2008: Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego. Prace IMG PAN, t. 10, nr 1-4, s Fabre D., Gustkiewicz J., 1998: Influence of rock orosity on the Biot s coefficient. In: Poromechanics A Tribute to Maurice A. Biot, Proc. of the Biot Conf. on Poromech., Louvain-la-Neuve (Belgium), Set. 1998, Thismus et al. (eds.), Balkema, Rotterdam. Fillunger P., 1913: Der Auftrieb in Talserren. Österr. Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst. Vol. 19, ; Fillunger P., 1914: Neuere Grundlagen für die statische Berechnung von Talserren. Zeitschrift des Österr. Ing.- und Arch.- Vereines, Vol. 23, Fillunger P., 1915: Versuche über die Zugfestigkeit bei allseitigem Wasserdruck. Österr. Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst. Vol. 29, Fillunger P., 1936: Erdbaumechanik? Selbstverlag des Verfassers, Wien. Gustkiewicz, J., 1989: Objętościowe deformacje skały i jej orów. Arch. Min. Sci., Vol. 34, Issue 3, Handin J., Hager R.V., Friedman M., Feather J.N., 1963: Exerimental deformation of sedimentary rocks under confi ning ressure: ore ressure tests. Bull. Am. Assoc. Petr. Geol., Vol. 47, Hubbert M.K., Rubey W.W., 1959: Role of fl uid ressure in mechanics of overthrust faulting. Bull. Geol. Soc. Am., Vol. 70, Hubbert M.K., Rubey W.W., 1960: Role of fl uid ressure in mechanics of overthrust faulting: A rely. Bull. Geol. Soc. Am., Vol. 71, Jaeger J.C., Cook N G.W., Zimmerman R.W., 2007: Fundamentals of Rock Mechanics. Fourth Edition. Blackwell Publishing Ltd., USA-UK-Australia, 475 ages. Lade P.V., Boer de, R., 1997: The concet of effective stress for soil, concrete and rock. Géotechnique, Vol. 47, No. 1, Nowakowski A., 2006: Różne ostacie równania ciśnienia efektywnegouzyskane odczas badań laboratoryjnych iaskowca Tumlin. Prace IMG PAN, t. 8, nr 1-4, s Nowakowski A., 2007: Różne ostacie równania ciśnienia efektywnegouzyskane odczas badań laboratoryjnych iaskowca Tumlin (cz. II). Prace IMG PAN, t. 9, nr 1-4, s Paterson M. S., Wong T.-f., 2005: Exerimental Rock Deformation The Brittle Field. Sringer-Verlag Berlin Heidelberg, 347 ages. Roegiers J.-C., Cui L., Bai M., 1998: Poroelasticity alications. In: Mechanics of Jointed and Faulted Rocks, Proc. 3 rd Int. Conf. Mech. Joint. & Fault. Rock MJFR-3, Vienna, Austria, 6-9 Aril 1998, Hans-Peter Rossmanith (ed.), A.A. Balkema, Rotterdam, St. George J.D., Bakarat M.A., 2001: The change in effective stress associated with shrinkage from gas desortion in coal. International Journal of Coal Geology, Vol. 45,

10 64 Andrzej Nowakowski von Terzaghi K., 1923: Die Berechnung der Durchlässigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der Sannungs-erscheinungen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Math.-Naturwiss. Kl., Abt. 2A, 132, 105. von Terzaghi K., 1936: The shearing resistance of saturated soils and the angle between lanes of shear. In: Proc. Int. Conf. Soil Mech. And Found. Eng., Casagrande A. & Rutledge P. C. & Watson J. D. (eds), Harvard University, Vol. I, Wang H.F., 2000: Theoy of Linear Poroelasticity with Alications to Geomechanics and Hydrogeology. Princeton University Press, Princeton & Oxford, USA, 287 ages. Some remarks about the limits of alicability of the classical Terzaghi and Biot equations in rock mechanics Abstract The article discusses the limits of alicability of the so-called effective stress to describe the henomena occurring in an isotroic and homogeneous orous medium with the ore sace filled with ressurized ore fluid. It talks over formulated by Karl von Terzaghiego and Maurice Biota definitions of effective ressure, and indicates the restrictions on their use in rock mechanics, resulting from both assumtions adoted by the authors, as well as with research resultsof their successors. In articular, the attention was aid to the relationshi of a law of effective stress from the rock and ore fluid hysico-chemical roerties, and the revailing rock stress state. Keywords: effective ressure, conventional effective ressure, Biot coefficient, ore ressure, bulk modulus