WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ

Transkrypt

1 Anna Janiga-Ćmiel WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ Wrowadzenie W rozwoju każdego zjawiska niezależnie od tego, jak rozwój ten jest ukształtowany rzez trend i wahania, można wyznaczyć okres równowagi istotny dla krótkiego lub długiego okresu i okres ustabilizowanej zależności, również istotny dla krótkiego lub długiego okresu. W okresie równowagi są zachowane arametry rozkładu charakteryzujące wartość oczekiwaną, wariancję i asymetrię, onieważ w okresie tym ma się do czynienia z niezmienniczością rozkładu badanych zmiennych. Z kolei okres ustabilizowanej zależności dotyczy kolejnych lat, w których nie obserwuje się istotnych zmian w charakterze, sile i kierunku zależności. Długookresowa równowaga dotyczy okresu, w którym istnieją mechanizmy samoregulujące ozwalające osiągnąć stan oczekiwany. Jedna z metod wyznaczania rzedmiotowych odokresów oiera się na analizie rzyrostów badanych zmiennych. Zarówno w rzyadku gosodarki Polski, jak i gosodarek aństw Unii Euroejskiej zostanie wyznaczony najdłuższy możliwy okres ustabilizowanego rozwoju, czyli taki, w którym główne wskaźniki nie wykażą istotnych zmian. Taki okres jest otrzebny w celu dokonania orównania rozwoju gosodarki w Polsce i w krajach Unii Euroejskiej. Rozwój gosodarczy można scharakteryzować w dwojaki sosób. Jednym z nich jest analiza wielowymiarowa wybranego, możliwie najliczniejszego zbioru czynników. Mogą być one stymulantami lub destymulantami rozwoju gosodarczego. Podstawą drugiego ze sosobów jest zmienna charakteryzująca PKB ujmująca w ewnym sensie w sosób syntetyczny czynniki wykorzystane w ierwszym sosobie. W niniejszym artykule osłużono się drugą metodą wykorzystującą PKB. Ponadto analizie oddano gosodarki nastęujących krajów: Polski, Francji, Wielkiej Brytanii, Belgii, Holandii. Analizę wykonano na odstawie danych obejmujących lata zaczerniętych z Roczników Statystycznych i srowadzonych urzednio do ostaci wzajemnie orównywalnych.

2 36 Anna Janiga-Ćmiel 1. Wyznaczenie macierzy mnożników długookresowych Badanie odobieństwa stanu gosodarki w różnych okresach oarto na macierzy wartości mnożników charakteryzujących wariancje i kowariancje stanów rozwoju gosodarek w oszczególnych krajach. Liczba obserwacji wyjściowego szeregu owinna obejmować długi okres. Wymiar szeregu czasowego odowiada liczbie orównywanych krajów. W dalszej analizie rzez m oznaczono ilość badanych krajów Unii Euroejskiej z wyłączeniem Polski. Macierz danych emirycznych szeregu czasowego wielowymiarowego oznaczono rzez W. Macierz W jest wielowymiarowym szeregiem czasowym jednostkowego PKB w rozatrywanych krajach. Macierz W rzedstawiono w tabeli 1. Wskaźniki oziomu jednostkowego PKB Polski i krajów UE Tabela 1 t Lata Polska Francja Wielka Brytania Holandia Belgia ,48,99,42,56, ,49,157,363,33, ,49,185,45,41, ,5,28,451,48, ,54,16,51,82, ,54,187,555,85, ,54,291,614,82, ,55,327,597,115, ,55,378,598,122, ,53,464,76,178, ,53,487,734,213, ,54,53,763,236, ,56,525,89,255, ,63,417,636,26, ,98,573,938,22, ,1,67,118,234, ,12,642,1273,248, ,13,751,1346,261, ,16,781,1386,324, ,16,798,1416,365, ,19,814,1443,46, ,111,838,1474,461, ,17,858,1535,55, ,17,887,1622,555, ,94,921,1644,566, ,135,956,171,625, ,137,1,1833,682,1134

3 Wyznaczenie okresu równowagi i stabilizacji długookresowej 37 cd. tabeli ,14,15,189,732, ,139,198,1949,787, ,143,1151,236,842, ,222,1221,2257,877, ,198,1279,2163,915, ,182,1324,24,933, ,189,1494,2315,975, ,186,1436,242,1149, ,189,147,2185,152, ,369,1655,2486,149, ,38,1847,2556,1217, ,391,187,275,1181, ,43,19,2772,1369, ,421,1929,2838,1286, ,43,1965,294,1296, ,529,28,2918,1478, ,683,255,3128,154, ,69,211,2883,1734, ,89,2157,2881,1691, ,974,2217,352,1757, ,19,2266,39,1983, ,133,2372,3156,26,2429 Na odstawie macierzy W wyznaczono macierz teoretyczną rzybliżonych wartości mnożników długookresowych [5]. Macierz mnożników oznaczono rzez π, rzy czym: 1 T π = W W (1) gdzie oznacza ilość okresów, jakich dotyczą szeregi czasowe. Jest to macierz w ostaci: S S π = S S S S 1 O S π 2 mm S 3 O S4 S = π O π π T mm (2) Dodatkowo rzez π oznaczono wektor:

4 38 Anna Janiga-Ćmiel S1 S 2 π = (3) S 3 S 4 Elementami macierzy są iloczyny skalarne w ostaci: s = 1 t= 1 w T it w jt (4) Dla i, j =,,m, rzy czym oznacza wektor wskaźnika rozwoju gosodarczego w Polsce, a indeksy j = 1,,m dotyczą wskaźników rozwoju gosodarczego w rozatrywanych krajach. Przez B oznaczono odmacierz macierzy W dotyczącą krajów innych niż Polska. Przez π oznaczono macierz owstałą z macierzy π rzez skreślenie ierwszego wiersza i ierwszej kolumny. 2. Wyznaczenie macierzy wag Poszczególne wariancje i kowariancje zawarte w macierzy π można odowiednio zrangować rzez rzyorządkowanie im macierzy wag. Każda z wag będzie ilustrowała relację między stanem gosodarki w kraju i oraz stanem gosodarki w kraju j. Wyznaczoną macierz wag oznaczono rzez K. Macierze K oraz B mają ten sam wymiar, tzn. mają o wierszy i m kolumn. Macierz wag [5] jest zdefiniowana nastęująco: mm K T 1 = S ( Bπ B B (5) mm ) Jest tu rozatrywany model jednorównaniowy, więc w owyższej definicji S jest macierzą jednoelementową określoną wzorem: = 1 (6) N S T w t wt t= 1 Wartość S to czynnik stanowiący charakterystykę rozatrywanego rozwoju gosodarczego w Polsce. Uwzględniając rzedstawione oznaczenia, otrzymano macierz struktury zrównoważonego rozwoju, która ma ostać: S = B K (7)

5 Wyznaczenie okresu równowagi i stabilizacji długookresowej 39 Przedstawiony iloczyn macierzy B oraz K jest rozumiany jako macierz iloczynów skalarnych odowiednich wektorów kolumn. Oznaczając elementy ma- w, macierzy K rzez[ k ], buduje się macierz S elementów cierzy B rzez [ ] w ostaci: s = w k (8) Macierze B i K są jednakowych wymiarów i takie same wymiary ma macierz S, która jest macierzą iloczynów elementów na tych samych ozycjach w macierzach B i K. Analiza macierzy S ozwala na wykrycie kolejnych odokresów z rzedziału okresowego, w którym wsółczynnik korelacji wyważonych kolumn PKB będzie najwyższy. Maksymalnej długości rzedział wyznaczony w ten sosób będzie okresem równowagi i stałej zależności długookresowej w rzedziale danych historycznych. Przedstawiona wyżej macierz S stanowi unkt wyjścia do wyznaczenia dalszych macierzy charakteryzujących relację między dynamiką rozwoju gosodarczego w oszczególnych aństwach. Macierze te rzedstawiają zasadniczą charakterystykę wielowymiarowego rozwoju i są oznaczone rzez E i F. Macierz F dotyczy rozwoju gosodarczego w wybranych krajach, macierz E rzedstawia wyważone różnice rozwoju gosodarczego w Polsce i w innych krajach Unii Euroejskiej uwzględnionych łącznie. Macierz F jest wyznaczona zgodnie ze wzorem: F 1 T 1 T = ( B K) ( B K) = S S (9) Macierz E wyznaczono według wzoru: T E F π S 1 π = (1) Macierze E i F są macierzami kwadratowymi o wymiarze mxm, gdzie m to ilość krajów, z którymi orównuje się rozwój gosodarczy w Polsce. Dla macierzy F, E wyznacza się wartości własne. O zrównoważonym rozwoju zjawiska w orównywanych zbiorowościach można mówić wtedy, gdy macierze E i F (zgodnie z [2]) są jednakowe lub nie wykazują istotnej statystycznie różnicy. Ponadto jeśli w uorządkowanych ciągach wartości własnych stwierdza się różnice i dla kolejnych wartości własnych te różnice będą coraz to niższe, to ma się do czynienia ze zjawiskiem, które w określonych zbiorowościach dąży do równowagi. Natomiast jeżeli rzyrosty względne kolejnych wartości własnych są coraz to większe, oznacza to, że zjawisko w badanych zbiorowościach nigdy nie osiągnie wzajemnej równowagi. Minimalny okres równowagi w zakresie danych historycznych można wyznaczyć jako:

6 4 Anna Janiga-Ćmiel t min = λ λ λ λ (11) gdzie mnożnik jest iloczynem wartości własnych λi macierzy E. Liczba wartości własnych odowiada liczebności gruy krajów, z którymi łącznie orównuje się rozwój gosodarczy Polski. 3. Wyznaczenie macierzy struktury zrównoważonego rozwoju Zgodnie z rozważaniami teoretycznymi analizę rozoczyna się od wyznaczenia macierzy mnożników długookresowych π : Macierz mnożników długookresowych π Tabela 2 Polska Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Polska,146,435,632,328,482 Francja,435,1613,2443,1153,187 Wielka Brytania,632,2443,3752,1727,2725 Holandia,328,1153,1727,844,132 Belgia,482,187,2725,132,268 Na odstawie analizy otrzymanych mnożników można stwierdzić, że w Polsce słonność do długookresowej równowagi była najniższa, natomiast w krajach Unii Euroejskiej znacząco wyższa. W tabelach 3 i 4 rzestawiono charakterystykę odążania oszczególnych gosodarek do stanu równowagi. Widać, że w okresie ostatnich iętnastu lat wskaźniki te są odowiednio niższe dla wybranych krajów Unii Euroejskiej z wyjątkiem Holandii, co oznacza, że dla tych krajów istotne znaczenie ma równowaga rozwoju gosodarczego w okresie całego rozatrywanego ięćdziesięciolecia. Wskaźnik dla Polski dla okresu ięćdziesięciu lat wynosi 7,22%, a dla ostatnich iętnastu lat wzrasta do 13,43%, co oznacza istotność równowagi w okresie iętnastu ostatnich lat. Udział mnożnika dla rozatrywanego okresu Kraje Udział mnożnika Polska 7,22% Francja 21,48% Wielka Brytania 31,24% Holandia 16,21% Belgia 23,85% Tabela 3

7 Wyznaczenie okresu równowagi i stabilizacji długookresowej 41 Sośród badanych krajów najwyższą skłonność do długookresowej równowagi wykazuje Wielka Brytania w skali 31,24% całkowitej zmienności w rozwoju gosodarki. Belgia i Francja charakteryzowały się odobnym oziomem, onad 2%, Holandia 16%, Polska 7%. Wynik ten otrzymano z uwzględnieniem czterdziestu dziewięciu lat rozwoju gosodarczego tych krajów. Powtarzając tę samą analizę dla ostatnich iętnastu lat rozatrywanego okresu, można stwierdzić istotne zmiany w dążeniu do równowagi: Udział mnożnika dla ostatnich iętnastu lat Kraje Udział mnożnika Polska 13,43% Francja 25,44% Wielka Brytania 35,33% Holandia 2,12% Belgia 25,67% Tabela 4 Widać, że dążność do równowagi rozwoju gosodarczego w krótszym okresie jest wyższa, a sośród badanych krajów najwyższy wzrost notuje Polska. W celu dalszego i ogłębionego orównania rozwoju gosodarczego Polski i aństw Unii Euroejskiej wyznaczono macierz F zgodnie ze wzorem: F 1 T 1 T = ( W K) ( W K) = S S (12) Jest to macierz w ostaci: Mnożniki zrównoważonego rozwoju w UE Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja 2,9-1,9 -,7 -,2 Wielka Brytania -1,9 1,3,5,1 Holandia -,7,5,2,1 Belgia -,2,1,1 Tabela 5 Macierz ta ilustruje mnożniki zrównoważonego rozwoju gosodarki w aństwach Unii Euroejskiej. W dalszej kolejności wyznaczono macierz E zgodnie ze wzorem: T E F π S 1 π = (13)

8 42 Anna Janiga-Ćmiel Macierz E rzedstawia mnożniki zrównoważonego rozwoju gosodarki z wyłączeniem wływu Polski na rozwój gosodarki w tych krajach i odwrotnie, otrzymując tym samym macierz w ostaci: Tabela 6 Mnożniki zrównoważonego rozwoju gosodarczego krajów UE z wyłączeniem Polski Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja 2,92-1,93 -,739 -,239 Wielka Brytania -1,93 1,291,443,125 Holandia -,739,443,2,45 Belgia -,239,125,45,5 Jednak dla nas interesujący jest iloczyn wartości własnych jednej macierzy i drugiej; iloczyn wartości własnych jest równy wartości wyznacznika odowiedniej macierzy: Natomiast dla macierzy E otrzymano: λ1... λ4 = det F =,178 (14) λ1... λ4 = det E =,1795 (15) Przedstawione iloczyny wartości własnych nie mają zasadniczo interretacji ekonomicznej. Interretacji odlega jedynie ich zmiana. Przedstawione wartości wyznaczników sełniają nastęujący związek: det E = 6,325 det F (16) Oznacza to, że wyznacznik macierzy, w której ominięto owiązania rozwoju gosodarek Unii Euroejskiej z rozwojem gosodarki w Polsce, zwiększył się 6,325 razy, co oznacza brak jakiejkolwiek wsółzależności między rozwojem gosodarki w Polsce w okresie rozatrywanych czterdziestu dziewięciu lat. Wsółzależność rozwoju wysteowałaby w rzyadku, gdyby wartości dete i detf istotnie się nie różniły. W dalszym toku analizy z okresu czterdziestu dziewięciu rozatrywanych lat wyodrębniono krótszy odokres obejmujący iętnaście lat, tzn. lata dziewięćdziesiąte i o 2 roku. Dla rozatrywanych iętnastu lat owtórzono analizę równowagi rozwoju gosodarki Polski i wybranych krajów Unii Euroejskiej. Macierz F rzyjęła ostać:

9 Wyznaczenie okresu równowagi i stabilizacji długookresowej 43 Mnożniki zrównoważonego rozwoju w UE dla iętnastu lat Tabela 7 Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja -1936,67-983, , ,798 Wielka Brytania -34,538-92,3 167, ,593 Holandia 992,1 419, ,27-829,49 Belgia 1236, , , ,12 Analogiczna macierz E rzyjęła nastęującą ostać: Tabela 8 Mnożniki zrównoważonego rozwoju gosodarek krajów UE z wyłączeniem Polski dla iętnastu lat Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja -1936,74-984, , ,761 Wielka Brytania -34,585-92,69 167, ,54 Holandia 991, , ,48-829,438 Belgia 1236,35 658,32-744, ,145 Okazuje się, że w rozatrywanym rzyadku iloczyny wartości własnych również się zmieniły, rzyjmując wartość dla macierzy F odowiednio: Natomiast dla macierzy E otrzymano: λ1... λ4 = det F = ,421 (17) λ1... λ4 = det E = , (18) Relacja między wyznaczonymi wartościami wyznaczników jest nastęująca: det E det F =,9424 (19) Powyższa zależność oznacza, że omiędzy wartościami wyznaczników macierzy E oraz F nie wystęują istotne statystycznie różnice. Z ekonomicznego unktu widzenia należy zaznaczyć, że rozwój gosodarki olskiej i rozwój gosodarek aństw Unii Euroejskiej wraz z uływem czasu staje się coraz bardziej do siebie zbliżony. Nie można jeszcze mówić o ełnej równowadze rozwoju gosodarek w Polsce i w aństwach Unii Euroejskiej.

10 44 Anna Janiga-Ćmiel Podsumowanie Przedstawiona w artykule metoda Johansena wyznaczania okresu równowagi i stabilizacji długookresowej ozwala na ocenę orównawczą dynamiki szeregów czasowych. Można ją rozatrywać w całym okresie danych historycznych lub oszczególnych odokresach. Zastosowana metoda ozwala wyznaczyć minimalny okres równowagi lub odowiedzieć na ytanie, w jakim okresie rocentowym rozwój gosodarczy w rozatrywanym czasie można uznać za ustabilizowany. Dla całego ięćdziesięciolecia otrzymano niskie wartości własne, a dla ostatnich iętnastu lat istotnie wyższe. Oznacza to, że w ostatnim iętnastoleciu wystęuje znacząca kointegracja rozatrywanych gosodarek. Literatura 1. Grabowski W., Welfe A.: Ekonometria. Zbiór zadań. PWE, Warszawa Johansen S.: Likelihood Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford University Press, Oxford Rocznik Statystyczny GUS. Warszawa Welfe A., Kar P., Kębłowski P.: Mechanizmy makroekonomiczne w gosodarce olskiej. Analiza ekonometryczna. WUŁ, Łódź Welfe A.: Gosodarka Polski w okresie transformacji. Zasady modelowania ekonometrycznego. PWE, Warszawa 2. DETERMINATION OF THE PERIOD OF LONG-TERM EQUILIBRIUM AND STABILITY Summary The study examines the develoment of the Polish economy as well as the economies of selected Euroean Union countries in the eriod from 1949 to 26. Much sace is devoted to a comarative analysis of the develoment economies in the countries concerned. Based on statistical data aroriate synthetic variables were set. Much sace is devoted to the theory of the Johansen s method, to resent the deendencies occurring in the dynamics of economic develoment in subsequent suberiods. The method allows for a comarative assessment of the dynamics of time series. The methods are adoted to examine the level of economic develoment, to determine the eriod of long-term equilibrium and stability.