Dodatek E Transformator impulsowy Uproszczona analiza

Transkrypt

1 50 Dodatek E Transformator imulsowy Uroszczona analiza Za odstawę uroszczonej analizy transformatora imulsowego rzyjmiemy jego schemat zastęczy w wersji zredukowanej L, w której arametry strony wtórnej zostały rzeniesione na stronę ierwotną. Przedstawiono go na rysunku E. R L TRAFO V i L R C Rys. E. chemat zastęczy transformatora imulsowego. Przyjęto na nim nastęujące oznaczenia: R sumaryczna oorność uzwojenia ierwotnego i generatora sygnału wejściowego L indukcyjność rozroszenia strony ierwotnej i (rzeniesiona) strony wtórnej L indukcyjność główna (magnesująca) C wyadkowa (zastęcza) ojemność uzwojeń R rzeniesiona sumaryczna oorność uzwojenia wtórnego i obciążenia transformatora rzekładnia transformatora V naięcie wejściowe V naięcie wyjściowe Transmitancję tego układu oisuje równanie F C C L L R R R L (E-) Umożliwia ono wyznaczenie odstawowych charakterystyk transformatora, a mianowicie charakterystykę akokową, charakterystykę amlitudową i charakterystykę fazową. Znaczne ułatwienie obliczeń analitycznych uzyskujemy w rzyadku odniesienia ich do wyróżnionych, dwóch zakresów częstotliwościowych: zakresu niskich i zakresu wysokich częstotliwości. Zakresom tym odowiadają rzedstawione na rysunku E uroszczone schematy zastęcze R R R L V i L C R V i a) b) Rys. E. Uroszczone schematy zastęcze dla zakresu niskich (a) i wysokich (b) częstotliwości.

2 5 Ich transmitancje wynoszą F( ) NCz, (E-) R R R R R R L F WCz R. (E-3) LC L CRR R Na miarę rzybliżenia są one odowiedzialne za ukształtowanie odowiedzi na wolno- i szybkozmienną część wymuszającego imulsu wejściowego. Dla hiotetycznego wąskiego imulsu rostokątnego zasadnicze znaczenie ma rzenoszenie obu krawędzi imulsu, narastającej i oadającej, których widma mieszczą się w zakresie częstotliwości wysokich. Główny roblem analizy sygnałowej transformatora srowadza się zatem do wyznaczenia jego charakterystyki skokowej. Dokonamy tego na gruncie uroszczonej ostaci transmitancji (E-3). Przyomnijmy, że oeratorowa funkcja jednostkowej odowiedzi skokowej R() związana jest z transmitancją F() rostym związkiem: R F (E-4) Podstawienie (E-3) do (E-4) i wykonanie rostych rzekształceń daje w wyniku R (E-5) gdzie i są biegunami funkcji oeratorowej (E-3). Wynoszą one odowiednio R R R, L C L C R (E-6) LC Zależnie od wzajemnej relacji wartości arametrów transformatora wyrażenie odierwiastkowe może rzybierać wartość dodatnią, zerową względnie ujemną. W konsekwencji bieguny i stanowić będą odowiednio, arę rzeczywistą, rzeczywisty biegun odwójny, względnie srzężoną arę zesoloną. Przekształćmy równanie (E-6) wyrażając je w terminach charakteryzujących własności transformatora. a wsółczynnik attenuacji (E-7) R R T L C a okres drgań własnych (E-8) T R k 4 L C wsółczynnik tłumienia (E-9) Przyjmuje ono wówczas rostszą ostać, bardziej dogodną w dalszej analizie T, k j k (E-0)

3 5 Komentując uzyskany rezultat należy zauważyć, że dla k = 0 bieguny, są czysto urojone. Oznacza to, że odowiedź na wymuszenie skokowe stanowi wówczas nietłumiony rzebieg sinusoidalny o okresie T oisanym zależnością (E-8). Z zależności (E-9) wynika natomiast iż dla doełnienia warunku k = 0 koniecznym jest aby rezystancja R 0 i równocześnie R. Dla tych warunków z kolei wsółczynnik attenuacji a wobec czego wyrażenie (E-8) srowadza się do ostaci T = (L C ) / oisującej okres drgań swobodnych obwodu L -C. Równanie (E-0) ukazuje dominujący wływ tłumienia na charakter biegunów, a tym samym na ksztalt odowiedzi skokowej transformatora. W zależności od wartości wsółczynnika tłumienia k tłumienie nazywamy: odkrytycznym gdy k < krytycznym gdy k = nadkrytycznym gdy k > Odowiedź skokowa transformatora w dziedzinie czasu dla wyróżnionych rzyadków rzybiera odowiednio ostać. dla k < k t t kt V0 t a sin k cos k ex (E-) k T T T dla k = t t V0 t a ex (E-) T T dla k > 4k t 4 kt V0 t a ex ex (E-3) 4k kt 4k T Przebiegi te ilustruje oglądowo rysunek E3. Vo k< k= k> t Rys. E3. Kształty odowiedzi transformatora na czoło imulsu rostokątnego rzy różnych tłumieniach. Rzut oka na owyższy rysunek, a zwłaszcza dokładna insekcja formuł (E-E-3), ozwala dostrzec szczególną zaletę tłumienia krytycznego. ełnienie warunku k = rofituje, obok ożądanej aeriodyczności odowiedzi, również najkrótszym w tej klasie odowiedzi czasem narastania imulsu wyjściowego. Obliczony według kryterium0 i 90 % wynosi on w tym rzyadku tn 3, 35 L C a (E-4)

4 53 Przenoszenie łaskiego grzbietu imulsu wejściowego oiszemy w oarciu o niskoczęstotliwościowy schemat zastęczy z rysunku E a i jego transmitancję (E-).Prosty rachunek daje w tym rzyadku t t a ex a... L R (E-5) gdzie (E-6) R R Według tej zależności w interwale łaskiej części wymuszającego imulsu wejściowego nastęuje sadek chwilowych wartości odowiedzi. W chwili t = t i (tj. w momencie zakończenia imulsu wejściowego) sadek ten osiąga wartość Z a (t i /), nazywaną w terminologii techniki imulsowej mianem zwisu. kokowy zanik imulsu wejściowego odowiada sytuacji, w której w niezerowych warunkach oczątkowych układu zastęczego odany zostaje nań sygnał skokowy odwrotnej olarności. Warunki oczątkowe tego fragmentu sygnału związane są obecnie ze wsółrzędną czasową t = t i. Za rzenoszenie krawędzi oadającej imulsu odowiedzialne są dwa równolegle rzebiegające rocesy; roces rozraszania energii zmagazynowanej w elementach konserwatywnych obwodu (L,C ), oraz obudzenie obwodu owrotnym skokiem naięcia. Drugi z wymienionych skutkuje identycznym rezultatem jaki miał miejsce rzy narastaniu imulsu, ierwszy natomiast decyduje o charakterze ii szybkości zaniku ujemnego rzerzutu. Ten obszar imulsu wyjściowego z omiarowego unktu widzenia jest bezużyteczny nie niesie bowiem informacji użytecznej. Z tego też owodu ominiemy jego analizę, ograniczając się jedynie do zarezentowania, dla rzykładu, graficznego odwzorowania kształtu odowiedzi transformatora na wymuszenie imulsem rostokątnym w warunkach bardzo słabego tłumienia. Z t t i Rys. E4. Poglądowy rzykład rzebiegu odowiedzi transformatora na imuls rostokątny Podstawową funkcją każdego transformatora jest transfer energii ze źródła sygnału do odbiornika, który dokonuje się za ośrednictwem (uwidocznionych na schematach zastęczych) jego elementów konserwatywnych (L, L, C ). Wartości tych elementów decydują zarówno o tłumieniu rzenoszonego sygnału jak również o oziomie rzenoszonej mocy.

5 54 Warunek minimalizacji tłumienia sygnału srowadza się do żądania, aby energia ola magnetycznego indukcyjności rozroszenia W Ls była równa energii ola elektrycznego w ojemności rozroszonej W Cs. Energie te oisane są odowiednio rzez formuły: oraz WLs L ICs (E-7) WCs C VLs (E-8) Wartości rądu I Ls w indukcyjności L oraz naięcia V Cs w ojemności C wyznaczymy na odstawie schematów zastęczych, zakładając na wejściu jednostkowe wymuszenie skokowe [V i (t) = H(t)]. Dla stanu ustalonego otrzymujemy V Cs I Ls (E-9) R R R R (E-0) Przyrównanie wyrażeń (E-7) i (E-8) o odstawieniu do nich zależności (E-9) i (E-0) daje R L C (E-) R R R skąd wynika ierwszy warunek kryterialny R L względnie C R L (E-) C (W tekście rozdziału 3.6 rezystancję obciążenia R rerezentowała imedancja falowa Z o linii transmisyjnej) Otymalny rzekaz energii ma miejsce w rzyadku ełnego zbilansowania energii tj. gdy suma energii (W Ls +W Cs ) jest równa energii W ola magnetycznego indukcyjności głównej (magnesującej). Przy rzenoszeniu bardzo krótkich imulsów można założyć, że rąd w indukcyjności głównej jest liniową funkcją czasu. W konsekwencję równanie Faradaya oisujące E samoindukcji daje się wyrazić w ostaci rzyrostowej I L skąd V L I I L L L (E-3) t t I L i VL ti L (E-4)

6 55 Uwzględnienie relacji (E-5) w równaniu (E-3) daje w rezultacie wyrażenie stanowiące treść drugiego warunku kryterialnego [formuła (30) w rozdz. 3.6], a mianowicie L C t (E-6) i Dla możliwie wiernego zachowania kształtu rzenoszonego imulsu niezbędne jest zminimalizowanie zniekształceń liniowych transformatora. ą one uwarunkowane rzebiegiem jego charakterystyk częstotliwościowych: amlitudowej i fazowej. Na rysunku E5 rzedstawiono dla rzykładu tyowe rzebiegi tych charakterystyk niedoasowanego, słabo obciążonego transformatora imulsowego..0 F, F () ( ) d g Rys. E5. Amlitudowa [F()] i fazowa [()] charakterystyki transformatora o małym tłumieniu. Przy rzenoszeniu bardzo krótkich imulsów o dużych stromościach czoła i krawędzi oadającej, ożądany jest maksymalnie łaski rzebieg obu charakterystyk częstotliwościowych, zwłaszcza w obszarze wysokich częstotliwości. W stosunkowo rosty sosób, rzez wrowadzenie tłumienia krytycznego, udaje się zlikwidować ik drugiego rezonansu na charakterystyce amlitudowej. Na rysunku E5 zaznaczono to linią rzerywaną. Zminimalizowanie zniekształceń fazowych możliwe jest natomiast orzez rzesunięcie tej częstotliwości rezonansowej do zakresu wyższych wartości. W kontekście tak ogólnie ostawionego wymagania sformułowany jest właśnie trzeci warunek kryterialny, według którego L C t (E-7) i ateriały źródłowe.. illman J., H. Taub.: Pulse and digital circuits. cgraw-hill Comany, Inc., New York, Toronto, London 956. Praca zbiorowa IT: agnetic Circuit and Transformers. John ons, Inc., New York, Hall Ltd., London 3. Istvanffy E.: ateriały magnetyczne i ich zastosowanie. PWN, Warszawa 956.