Zadanie1. (* parametryzacja okręgu r'= x',y',0 ) xp = R Cos fp ; yp = R * Sin fp ; vecrp = xp, yp, 0 ; vecr = r * Cos f, r * Sin f, z ;

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadanie1. (* parametryzacja okręgu r'= x',y',0 *) xp = R * Cos fp ; yp = R * Sin fp ; vecrp = xp, yp, 0 ; vecr = r * Cos f, r * Sin f, z ;"

Ludwik Marek
4 lat temu
Przeglądów:

1 Zadanie1 (* parametryzacja okręgu r'= x',y',0 *) Z ogólnego twierdzenia o rozwiązaniach równania Laplace a wynika, że potencjał elektryczny nie może mieć w tym punkcie ekstremum lokalnego. Warto się jednak o tym przekonać w konkretnym, bardzo symetrycznym przypadku. Właśnie ze względu na tę symetrię potencjał elektryczny zależy tylko od dwóch zmiennych r i z. Wynik dokładny nie jest mozliwy, ale można przynajmniej (a) narysować wykres i zobaczyć, że mamy do czynienia z punktem siodłowym (b) rozwinąć funkcję podcałkową w szereg i dla kilky wyrazów rozwinięcia policzyć potencjał w pobliżu punktu P(0,0,0) xp = R * Cos fp ; yp = R * Sin fp ; vecrp = xp, yp, 0 ; vecr = r * Cos f, r * Sin f, z ; dvpodfp = FullSimplify k * lambda * R Sqrt[(vecr - vecrp).(vecr - vecrp)], R > 0 && r > 0 k lambda R r + R + z - r R Cos[f - fp] k = lambda = R = 1; f = 0; dvpodfp r + z - r Cos[fp] V[r_, z_] := NIntegrate V 1 10, r + z - r Cos fp, fp, 0, * Pi

rozw_zadania_07_part1.nb Plot3D V[r, z], r, 0, 1 100, z, -1 100, 1 100, PlotLabel "V(r,z)", AxesLabel "r", "z" Plot V r, 0, r, 0, 1 100, PlotLabel "V(r,z=0)", AxesLabel "r" V(r,z=0) 6.8330 6.835 6.

2 rozw_zadania_07_part1.nb Plot3D V[r, z], r, 0, 1 100, z, , 1 100, PlotLabel "V(r,z)", AxesLabel "r", "z" Plot V r, 0, r, 0, 1 100, PlotLabel "V(r,z=0)", AxesLabel "r" V(r,z=0) r R =.; dvpodfp R r + R + z - r R Cos[fp] dvpodfpszereg = FullSimplify Series R r + R + z - r R Cos fp, r, 0,, z, 0,, r > 0 && R > z + O[z] 3 + Cos[fp] 3 Cos[fp] z - + O[z] 3 r + R R R Cos[ fp] Cos[ fp] z - + O[z] 3 r + O[r] 3 4 R 8 R 4

3 rozw_zadania_07_part1.nb 3 dvpodfpszereg = Normal dvpodfpszereg 1 + r Cos[fp] R + r Cos[ fp] + z R Vszereg[r_, z_] = Integrate dvpodfpszereg, fp, 0, * Pi π 8 R 4-4 R z + r R - 9 z 4 R 4 Plot3D Vszereg[r, z] /. R 1, r, 0, 1 100, - 3 r Cos[fp] - 3 r Cos[ fp] R R 3 8 R 4 z, , 1 100, PlotLabel "V(r,z)", AxesLabel "r", "z" Plot3D V[r, z] - Vszereg[r, z] /. R 1, r, 0, 1 10, z, , 1 100, PlotLabel "V(r,z)-Vszereg(r,z)", AxesLabel "r", "z" Rozwinięcie w szereg jest poprawne, bo dobrze odtwarza potencjał dla małych wartości zmiennych r i z. W przypadku rozwinięcia w szereg widać jasno, że nie mamy do czynienia z minimum lokalnym. Jest to

4 4 rozw_zadania_07_part1.nb tzw. punkt siodłowy. ClearAll "Global`*" Zadanie Korzystamy z wzoru: I = e*n*s*u, skąd liczymy u S = 10^ -6 ; (* m^ *) NA = 6.0 * 10^ 3 ; i = 1; (* A *) rhocu = 8.96 * 10^ -3 10^ - ^3; (* kg m^3 *) matcu = 63.5 * 10^ -3 ; (* kg mol *) e = 1.60 * 10^ -19 ; (* C *) (* m1 - masa jednego m^3 Cu *) m1 = 1 * rhocu; (* liczba moli w tej masie m1 *) nmoli = m1 matcu; (* liczba nośników w 1 m^3 *) n = nmoli * NA; u = i e * n * S (* w m/s *) ClearAll "Global`*" Zadanie 3 Przekształcamy obwód do bardziej czytelnej postaci

5 rozw_zadania_07_part1.nb 5 R13 = R1 * R3 R1 + R3 R1 + R3 R13 = R13 + R R + R1 + R3 Rz = R134 = R13 * R4 R13 + R4 R + + R4 Simplify Rz R R3 + R1 R3 R3 R4 + R1 R3 + R4 i = ϵ Rz + r ϵ r + R+ Simplify i r + ϵ R R3+R1 R+R3 R3 R+R4 +R1 R+R3+R4 i4 = R13 R4 + R13 * i + R4 ϵ i = R4 R4 + R13 * i + R4 R4 ϵ r + R+ r + R+

6 6 rozw_zadania_07_part1.nb i1 = R3 R1 + R3 * i R1 + R3 R3 R4 ϵ + R4 i3 = R1 R1 + R3 * i R1 + R3 R1 R4 ϵ + R4 r + R+ r + R+ P1 = R1 * i1^ R1 + R3 P = R * i^ R4 ϵ + R4 R R4 ϵ r + R+ + R4 P3 = R3 * i3^ r + R+ R1 + R3 P4 = R4 * i4^ R1 R3 R4 ϵ + R4 r + R+ + R4 R4 ϵ r + R+ Ptot1 = P1 + P + P3 + P4 + R4 R4 ϵ r + R+ + + R4 R R4 ϵ r + R+ + R1 + R3 R1 R3 R4 ϵ + R4 r + R+ + R1 + R3 R4 ϵ + R4 r + R+

7 rozw_zadania_07_part1.nb 7 Ptot = Rz * i^ + R4 ϵ r + R+ FullSimplify Ptot1 Ptot True (* Dane liczbowe *) R1 = 4; R = 3; R3 = 1; R4 = 6; r = 1; ϵ = 10; Rz 3 i 5 i i 5 4 i i4 5 4 P1 5 64

8 8 rozw_zadania_07_part1.nb P P P Ptot r * i^ 5 4 ClearAll "Global`*" Zadanie 5 Opór nieskończonego układu oporników między punktami punktami A i B, Rz, ma następującą własność Rz= *R+R*Rz/(R+Rz) s = Solve Rz == * R + R * Rz R + Rz, Rz Rz R - 3 R, Rz R + 3 R Rz = Rz /. s R + 3 R

9 rozw_zadania_07_part1.nb 9 ClearAll "Global`*" Zadanie 6 Rz = FullSimplify 1 1 R1 + 1 R + 1 R R1 R R3 Rz1 = R1 * R * R3 R1 * R + R1 * R3 + R * R3 R1 R R3 R1 R + + R R3 Simplify Rz1 Rz True ClearAll "Global`*" Zadanie 9 Mamy do rozwiązania proste równanie różniczkowe: R*I+Uc=ϵ, gdzie ϵ jest stałą. Zachodzi Uc=Q/C oraz I=dQ/dt (przepływ prądu ładuje kondensator) rownanie = R * Q' t + Q t c ϵ Q[t] + R Q [t] ϵ c WP = Q 0 0 Q[0] 0 sol = DSolve rownanie, WP, Q t, t Q[t] c e - t c R -1 + e t c R ϵ Q t_ = Q t /. sol 1 c e - t c R -1 + e t c R ϵ i t_ = Simplify Q' t e - t c R ϵ R c = 10^ -9 ; (* F *) R = 100; (* Ω *) ϵ = 1; (* V *)

10 10 rozw_zadania_07_part1.nb Q t 3 e t -1 + e t i t 3 e t Plot c * ϵ, Q t, t, 0, , AxesLabel "t", "Q(t}", PlotRange All Q(t} t Plot ϵ R, i t, t, 0, , AxesLabel "t", "i(t}", PlotRange All 0.1 i(t} t

Podobne dokumenty

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.