Zestaw 4. Rozdział 2: Analiza matematyczna

Transkrypt

1 Zestaw 4. Rozdział 1: Wykresy Do tworzenia wykresów funkcji jednej zmiennej służą następujące funkcje: Plot[f[x],{x,a,b}] - zwykły wykres ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,a,b}] - wykres krzywej danej wzorem parametrycznym RegionPlot[cond,{x,a,b},{y,c,d}] - zbiór punktów w [a,b]x[c,d] spełniających warunek cond, który może być dowolną formułą logiczną zawierającą nierówności ContourPlot[cond,{x,a,b},{y,c,d}] - zbiór punktów w [a,b]x[c,d] spełniajacy warunek cond, który może być dowolną formułą logiczną zawierającą równania Do tworzenia wykresów funkcji dwóch zmiennych służą następujące funkcje: Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}] - zwykły wykres ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,a,b}] - jw. w 3D ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b},{v,c,d }] - powierzchnia dana równaniami parametrycznymi RegionPlot3D[cond,{x,a,b},{y,c,d},{z,e,f}] - jw ContourPlot3D[cond,{x,a,b},{y,c,d},{z,e,f}] jw Rozdział 2: Analiza matematyczna Granice funkcji jednej zmiennej: Limit[f[x],x->a], Limit[f[x],x->a,Direction->1] Direction->1 granica lewostronna, Direction->-1 granica prawostronna Przykład (wyznaczanie granic): (* w punkcie *) Limit[x^2-Cos[x],x->0] (* jednostronne *) Limit[1/x,x->0, Direction->1] Limit[1/x,x->0, Direction->-1] Limit[Floor[x^2]- x,x->4,direction->1]

2 Limit[Floor[x^2]- x,x->4,direction->-1] (* w nieskończoności, przypomnienie: Esc inf Esc *) Limit[Exp[-x],x-> ] Limit[Exp[-x],x->- ] (* w przypadku oscylacji podaje zakres wartości *) Limit[Sin[nπ/3 +π/2],n->-, Assumptions->n Reals] ListPlot[Sin[πn/3 +π/2]/.n->range[100], PlotLabel"Wartości ciągu Sin[nπ/3 +/2]"] Szeregi Series[f[x], {x, a, b}] Róniczkowanie : D [ f[x],x] (*pierwsza pochodna*) D[f[x],{x,2}] (*druga pochodna*) D[D[f[x],x],x] (*druga pochodna inaczej*) D[f[x] g[x],x] (*pochodna iloczynu*) D[f[x,y],x] (*pochodna cząstkowa po x*) D[f[x,y],x,y] (*druga pochodna cząstkowa po x i po y*) D[f[x,y],{x,2}] (*druga pochodna cząstkowa po x i po x*) D[f[x,y],{{x,y}}] (*gradient*) D[f[x,y],{{x,y},2}] (*hesjan*) Operatory różniczkowe: Grad, Div, Curl, Laplacian Całkowanie: Integrate[f[x],x], Integrate[f[x],{x,a,b}]

3 Całki wielu zmiennych mogą by liczone po zbiorze określonym za pomocą instrukcji warunkowej (* funkcja If[cond,ifTrue,ifFalse] *) Przykład: Integrate[ If[x^2+y^2<1,1,0], (* instrukcja warunkowa*) {x,-1,1},{y,-1,1}] Integrate[ Boole[1<x^2-y^2<4 && x y<1 && x>0 && y>0 ], (* inny typ instrukcji warunkowej *) {x,-, }, {y,-, } ] (* aby zobaczyć jak wygląda wygląda obszar całkowania z powyższej instrukcji można użyć RegionPlot *) RegionPlot[1<x^2-y^2<4&&xy<1&&x>0&&y>0,{x,1,5/2},{y,0, 1}] Przykład (całkowanie nieoznaczone): (* całka nieoznaczona nie zawiera stałej całkowania*) Integrate[x^2 + Cos[x] + Log[x], x] (*możliwe jest całkowanie funkcji klamerkowych, Dlaczego w wyniku mamy -5/2+2x???*) fex4[x_] := Piecewise[{ {1, x <= 1}, {x - 1, 1 < x < 2}, {2, x >= 2} }] Fex4[x_] = Integrate[fex4[x], x] Plot[{fex4[x], Fex4[x]}, {x, -3, 3}, PlotStyle -> {Green, Red}] (* całkowanie skomplikowanych funkcji prowadzi do jescze bardziej skomplikowanych funkcji*) Integrate[Sin[Tan[x]], x] Przykład (całkowanie oznaczone- jedna zmienna): (* całka oznaczona jednej zmiennej *) Integrate[1/(x^2 + 3), {x, -1, 3}]

4 (* całka niewłaściwa *) Integrate[Exp[-x], {x, 0, }] (* zbieżna *) Integrate[Exp[-x], {x, -, 0}] (* rozbieżna *) (* inny typ całki niewłaściwej *) Integrate[1/Sqrt[x], {x, 0, 1}] (* zbieżna *) Integrate[1/x, {x, 0, 1}] (* rozbieżna *) (* uwaga na całki z parametrem! *) Integrate[1/x^p] (*nieoznaczona*) Integrate[1/x^p, {x, 0, 1}] Integrate[1/x^p, {x, 0, 1}, Assumptions -> p Reals] Integrate[1/x^p, {x, 0, 1}, Assumptions -> p < 1] Integrate[1/x^p, {x, 0, 1}, Assumptions -> p == 1] Integrate[1/x^p, {x, 0, 1}, Assumptions -> p > 1] (* można też tak*) Integrate[f[p[x],x],p[x]] f[y_, x_] := y^2 + x Integrate[f[p[x], x], p[x]] Integrate[f[p[x], x], {p[x], 0, 1}] Przykład (całkowanie - wiele zmiennych): (* całka po prostokącie *) Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, 3}] (* całka po trójkącie A(0,0), B(1,1), C(1,0) ucięte rogi to niedokładność obliczeń*) RegionPlot[0 < x < 1 && 0 < y < x, {x, -0.1, 1.1}, {y, -0.1, 1.1}] Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, x}] Integrate[If[0 < x < 1 && 0 < y < x, x y, 0], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}] Integrate[Boole[0 < x < 1 && 0 < y < x] x y, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}] (*całka po kole x^2+y^2<=r^2 proszę porównać czas obliczeń!*) f[x_, y_] := x^2 + x y (* z opisu normalnego *) Integrate[f[x,y],{x,-R,R},{y,-Sqrt[R^2-x^2],Sqrt[R^2-x^2]},A ssumptions->r>0]

5 (*proszę sprawdzić co się stanie jeżeli usuniemy ten warunek Assumptions ->R > 0 *) (* z użyciem instrukcji warunkowej zagadka: jaka jest funkcja podcałkowa i dlaczego obszar całkowania jest kwadratem?*) Integrate[If[x^2 + y^2 <= R^2, f[x, y],0], {x, -, }, {y, -, }, Assumptions -> R > 0] (* z użyciem instrukcji warunkowej zagadka: jaka jest funkcja podcałkowa i dlaczego obszar całkowania jest kwadratem?*) Integrate[Boole[x^2 + y^2 <= R^2] f[x, y], {x, -R, R}, {y, -R, R}, Assumptions -> R > 0] (* z zamianą na współrzędne biegunowe *) fbieg[r_, fi_] := f[r Cos[fi], r Sin[fi]] Integrate[fbieg[r, fi] r(* JAKOBIAN!*), {r, 0, R}, {fi, 0, 2 π}] Całkowanie numeryczne NIntegrate Jeżeli nie interesuje nas wynik symboliczny a wyłącznie wartość liczbowa lepszym wyborem jest całkowanie numeryczne realizowane za pomocą polecenia NIntegrate. Porównaj czas wykonywania obu poleceń. Przykład: Timing[Integrate[ Boole[0<=z<=1&&x^2+y^2<=z^2 ], {x,-1,1},{y,-1,1}, {z,0,1}]] %[[1]]//N Timing[NIntegrate[ Boole[0<=z<=1&&x^2+y^2<=z^2 ], {x,-1,1},{y,-1,1}, {z,0,1} ]] Zadanie. 1 Narysować wykresy funkcji: Zadania

6 a) f(x)=3x+4,, w przedziale [0, 2] b) f(x)=x^2-x,, w przedziale [-10, 1] c) f(x)=sin[x]+sin[π x], w przedziale [-2π, 10π] d) f(x,y)=x^2-y^2, e) f(x,y)=x^2+y^2, Zadanie. 2 Narysować wykresy parametryczne (krzywe) a) x(t)=2t+1, y(t)=t-1, t [0,1] (* odcinek *) b) x(t)=cos[t], y(t)=2 Sin[t], t [0,2π] (* elipsa *) c) x[t_]:=a(1-m)cos[t]-a Cos[(1-m) t] y[t_]:=a(1-m)sin[t]- a Sin[(1-m) t] Uwaga : trzeba nadać wartości parametrom a i m (na początek a=1, m =7) d) x[t_]:=sin[12 t] Cos[t], y[t_]:=sin[12 t] Sin[t] Zadanie. 3 Narysować obszary na płaszczyźnie a) prostokąt [3,4]x[-2,2] b) koło (x-2)^2+y^2<=4 c) obszar pomiędzy parabolą x^2=y i prostą x=4 d) x^2+y^3<2 zawarty w kwadracie [-2,2]x[-2,2] Zadanie. 4 Korzystając z funkcji ContourPlot a) narysować elipsę, parabolę i hiperbolę b) narysować poziomice funkcji x^2-y^2 Zadanie. 5 Korzystając z funkcji RegionPlot3D narysowa kulę, stożek, walec. Zadanie. 6 Korzystając z funkcji ParametricPlot3D narysować linię śrubową Zadanie. 7 Korzystając z funkcji ContourPlot3D narysować a) znane powierzchnie b) precel (x^4-x^2+y^2)^2+z^2==1/36

7 Zadanie. 8 Narysować torus[{r_, r_}, {x_, y_, z_}] := (x^2+y^2+z^2+r^2-r^2)^2==4r^2(x^2+z^2) Zadanie. 9 Obliczyć granice: a) x^2-x, x->0 b) x/(x-1), x->1 + oraz x-> 1 - c) ArcTan[x], x-> d) Sin[x]/x, x->0 e) Sin[x], x-> f) (1+x/n)^n, n Zadanie. 10 Wyznaczyć asymptoty funkcji f(x)=(x^2+3)/(2 x+1) Zadanie. 11 Obliczyć pochodne do rzędu 3., w miarę możliwości uprościć otrzymane wyrażenia a) Sin[x]+x Cos[x] b) x/(x+2) c) (x^2-x)/(x+2) Zadanie. 12 Obliczyć pochodne cząstkowe do rzędu 3., gradient i hesjan w miarę możliwości uprościć otrzymane wyrażenia: a) x^2 Cos[x] b) (x^2-y-x)/(x^2+y^2) c) Sin[x+y] Zadanie. 13 Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji, sprawdzić poprawność wyniku poprzez różniczkowanie a) (x^4 -x^2+3x+1)^4 b) (r (r-3) 1/2 ) 1/2 c) Cos[x]+Cos[x]Sin[x]^2 d) Log[Log[x]] e) Piecewise[{{x,x<1},{x^2-1,1<x}},2] f) Sin[x]/x (*funkcja specjalna, nie da się jej scałkować symbolicznie*) g) Sin[x]/Log[x] (*nie da się jej scałkować symbolicznie*) Zadanie. 14 Obliczyć całki oznaczone a) 1/(x^2+2 x), x [1,3] b) 1/x, x [0, ] (*rozbieżna*) c) Exp[-x^2], x R

8 Zadanie. 15 Obliczyć całki z funkcji wielu zmiennych po następujących obszarach a) x^2+3y po prostokącie [0,1]x[c,d] b) x+y po zbiorze {0<x<3, 1<y<x-1} c) x+y po trójkącie A(0,0), B(-2,0), C(0,2) d) x^2+y^2 po okręgu x^2+y^2=1 e) (x-1)^2+y^2 po okręgu x^2+y^2=1 Zadanie. 16 Po jakim obszarze liczona jest następująca całka? Integrate[Boole[x^2+y^2<a],{x,0,1},{y,0,1}]