Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań"

Transkrypt

1 I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i= 4. 6 i=0 79 i (i + ) 6. i= 0 i=5 7. i=7 4i 8. 9 i= i 9. 4 ( i + 5) i= 0. 4 i= i. 5 i(i + ). i= 4 i=0 i 5 i. ( ij + i) 4. i= j= (5 i j) 5. i= j= 4 4 (5 + i) i= j= 6. ( i + j + ) 7. i= j= ( ij j) 8. i= j= 4 4 (i j ) i= j= ( ij + 5 i j) 0. i= j= ij. i= j= 9 0 i=0 j= (j i). 4 i (i + j ). i=0 j=i 4 4 ( (j + i) (j i) ) 4. i= j= 4 4 i j i= j= i j 6. i= j=i i i= j= ( i j + j ) i 7. 0 i i= j=i i + j j 5 9 k (6 k) kj k= k= 0 k k= j= 4.. j j. (k + ) k= j= k= j= j= k= j=

2 ((k )(j + )) 5. ((k )(j + )) 6. (k + j + ) k= j= k= j= k= j= (k j + ) 8. (k j + 4kj 5) 9. (k + j) + k k= j= k= j= k= j= (k + j) (k + ) 4. k(j ) 4. (k ) (j + ) k= j= k= j= k= j= j= W zadaniach 4-50 zapisać podaną sumę za pomocą znaku dużej sumy (znaku sigma) II Granice ciągów W zadaniach 5-0 obliczyć podaną granicę ciągu. 5. lim n ( ( n ) 5. lim + n n ) 54. lim (, n 0,9 n 6n ) 55. lim n n n lim n ( 5 n n 5 ) 56. lim n 4n n lim n 6n + n + n n lim n 6n + n + n 6n 59. lim n 6n n + 6n n lim n n 5n + 4n + 5n 5 n 6. lim n n lim n 6 n n + 4 n 69. n lim n 4 6. lim n n 9 n 6. lim n n n 64. lim n n + n + 6n n + ( 5n n lim ) n n lim n 4n + n lim n ( n + 5n + n ) ( ) n 70. n lim 7. lim n n n + ( )n

3 ( ) n n 7. lim 7. lim n ( ) n+ n n lim n n 4 + 4n + 4n + 5 n lim n n n + n n + n 74. lim n 6n + 6n + n 77. lim n ( n + 5 n) 78. lim n ( n + n + ) 79. lim n ( n + n ) 80. lim n ( 0n 4n 5n) 8. lim n 5n + n n 8. n lim n + 8. n lim n n+ 7 n+ ( n 84. lim 85. lim 7n n 7 ) n 8 n n n n 86. lim n n lim n 5n + n 0, n 88. n lim ( 0,5) n 89. n lim n n+ n n lim n 4 + n 9. lim n n + n ( 0,) n ( n ) 9. n lim 9. lim 0, n n (n + ) lim n ( n + n n ) ( n ) lim n n 4 n + n 5n 96. lim n n (n + ) ( ) n 99. lim n n lim ( ) n n 00. lim n ( + )( ) 98. lim n ( n ) 0. lim n (n n) III Granice funkcji W zadaniach 0-09 obliczyć podaną granicę badając granice lewo- i prawostronne 0. lim 5 f() gdzie f() = 0. lim f() gdzie f() = 04. lim f() gdzie f() = 05. lim f() gdzie f() = 06. lim f() gdzie f() = 07. lim f() gdzie f() = 5 gdy < gdy 5 6 gdy < + 9 gdy > + gdy < + 7 gdy > gdy < 0 gdy 5 gdy < 5 gdy + gdy < gdy

4 08. lim f() gdy f() = 09. lim f() gdy f() = 0. lim f() gdy f() =. lim f() gdy f() = gdy < + 5 gdy > gdy < + gdy > 9 gdy < 9 gdy > gdy < 4 gdy > W zadaniach -77 obliczyć podane granice funkcji.. lim + +. lim 8 ( ) 4. lim lim lim 0 ( ) 6. lim ( + ) 7. lim ( + ) 9. lim 4 ( + ) 0. lim. lim 4. lim lim lim + 8. lim lim lim ( ) 8. lim 4. lim + 4. lim. lim lim 4 9. lim lim lim lim 7. lim 8. lim lim 40. lim lim lim lim lim ( + 6 ) ( 45. lim + ) lim lim 4 + 4

5 48. lim + 5. lim lim e ln 5. lim lim 0 ln( + ) 5. lim lim 55. lim ( ) 56. lim ( e e ) 57. lim lim ( + ) 6. lim ln e 58. lim 6. lim 0 + ( 64. lim 0 ) 59. lim lim ( ) ( ) 65. lim ( + ) 66. lim 67. lim ( + ) e ( lim ) lim 7. lim ( ) 75. lim lim e e 7. lim lim e 4 7. lim lim 4 ( 77. lim 0 e e ) ( 4) ( ) ( ) + 8 ( lim 79. lim ) + ( ) 80. lim 8. lim ln 8. lim 0 e 8. lim 0 e e + IV Ciągłość funkcji W zadaniach 88-9 wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji. 84. f() = f() = f() = f() = f() = dla dla > 89. f() = + dla < 0 dla 0 5

6 90. f() = 4 dla < 9 dla 9. f() = dla 6 dla = W zadaniach 9-95 obliczyć wartość parametru a, przy której podana funkcja jest ciągła. 9. f() = 4 dla < + a dla 9. f() = dla < 4 + a dla f() = dla < 6 + a dla 95. f() = a dla + dla > V Pochodne W zadaniach 96-7 obliczyć pochodne podanych funkcji. 96. f() = 4,7 97. f() = f() = f() = f() = f() = 7 ln 0. f() = 0. f() = π cos 04. f() = 05. f() = sin cos 06. f() = 5(ln e ) 07. f() = 0, f() = f() = f() = ( + ). f() = ( + ). f() = ( + ). f() = ln 4. f() = sin cos 5. f() = ( + )(e + ) 6. f() = e 4 7. f() = + 8. f() = + 9. f() = f() = cos sin +. f() = +. f() = + +. f() = ln e 4. f() = e 5. f() = cos( π ) 6. f() = 0 (4 + ) 5 7. f() = sin cos 8. f() = + 9. f() = cos + sin 0. f() = e /. f() = cos + sin. f() = f() = 4. f() = 6 + 6

7 5. f() = ( + )e 6. f() = 8. f() = ( + ) ( + ) 9. f() = + ( ) 7. f() = f() = + 4. f() = e e + 4. f() = e + 4. f() = e e 44. f() = (e + )(e ) 45. f() = cos 46. f() = 47. f() = ln( ) 48. f() = e 49. f() = e 50. f() = (ln ) 5. f() = ( + ) 5. f() = ( + ) 5. f() = e e 54. f() = ln( ) 55. f() = ln() ln() 56. f() = f() = f() = ln( ) 59. f() = ln( ) 60. f() = (ln( )) 6. f() = ln(e + ) 6. f() = + ( ) 6. f() = ln 64. f() = ln ( ( ) ) 65. f() = ln ( + + ) 66. f() = ln f() = + + ln ( + + ) 68. f() = e ( ) 69. f() = 70. f() = ln(ln()) (ln(ln(ln())) ) 7. f() = ln 7. f() = log 7. f() = e ln VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej W zadaniach znaleźć punkty w których funkcja f() osiąga ekstrema, podać które z nich to minima, a które maksima f() = 75. f() = 76. f() = f() = f() = f() = f() = f() = 8. f() = f() = f() = f() = e 85. f() = f() = e 88. f() = e + 7

8 89. f() = f() = ( )e 9. f() = (4 + )e 9. f() = + 9. f() = ( )e 94. f() = f() = 96. f() = ln( + ) f() = VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej W zadaniach wyznaczyć elastyczność podanej funkcji we wskazanym punkcie. 98. f() = e, = 0,5 99. f() = 5e, = W zadaniach 00-0 dla podanego kosztu całkowitego obliczyć koszt krańcowy. 00. K c () = 00 +, 5 0, K c () = VIII Pochodne cząstkowe W zadaniach 0-05 obliczyć pochodne cząstkowe po i po y podanych funkcji. 0. f(, y) = + y 4 9 y f(, y) = 7 9y y y 04. f(, y) = y 9 9 y y 05. f(, y) = 4 + y 9 7 IX Ekstrema funkcji dwóch zmiennych W zadaniach 06 5 znaleźć punkty, w których podana funkcja przyjmuje ekstrema lokalne (o ile istnieją) i określić czy są to minima czy maksima. 06. f(, y) = + y y 07. f(, y) = + y 7 8y 08. f(, y) = + y + 0y 09. f(, y) = + 7y 6 0. f(, y) = y 4. f(, y) = + 6y 7. f(, y) = + y + 6 y. f(, y) = + y 6y 4. f(, y) = y y 5. f(, y) = + + y y y 6. f(, y) = + y y 7. f(, y) = y y + 8. f(, y) = + y y + y 9. f(, y) = + + y + 0. f(, y) = + y +. f(, y) = + y +. f(, y) = ln( + y + + ). f(, y) = ( 4 + )(y 4 y + y ) 8

9 4. f(, y) = e y y 5. f(, y) = (y y)e X Obliczanie całek W zadaniach 6-8 wyznaczyć całkę nieoznaczoną. 6. d 7. 4 d d d ( 0. 6 d. d. d. ) d d 5. + d 6. d 7. d ( ) d 9. ( + 5) d 40. ( + 4) d 4. ( 4 ) 4 d d 4. ( ) d 5( ) 4 d 45. ( + + ) d 46. 8( + 4) d d d d e 4 d 5. 6 ( 4) d 54. d 57. d d ln() d 66. ( + ) ln() d 69. (5 ) 5 + d 7. ( + )e d 75. ( + )e d 78. ( 5) 5 d 8. 6 e +6 d 5. 4 e 4 d 8 ( ) d d d d d 6. + d d 64. ( + ) ( + ) d ( )( + ) d 67. 5(5 + ) 4 d ( + ) ln() d 70. ln() d d 7. ( ) 5 d ln() d 76. ( ) ln() d 5 d 79. ( ) ln() d ln () d 8. + d W zadaniach 8 94 obliczyć wartość całki oznaczonej ( + ) d d ( 5 + ) d 85. ( + ) d 88. ( ) d (4 + ) d 9

10 ( + ) d ( + )e d e d 9. e+ ( + ) d e d ( + ) 4 d XI Zastosowanie całki W zadaniach obliczyć pole między krzywą y = f(), a osią OX w podanym przedziale. 95. y = 6 między a y = 0 między a 97. y = 4 między a y = między a y = e między a y = + między a y = między 5 a y = 4e między a 40. y = między 5 a y = 4 4 między a 7 W zadaniach obliczyć pole pod krzywą y = f() (ograniczone krzywą y i osią OX) y = y = y = y = y = 9 + ) 40. y = ( + ) 4. y = ( ) 4. y = + 4. y = 5e e 6 W zadaniach obliczyć pole ograniczone krzywymi y i y. 44. y = 4 + 4, y = 45. y = 4 +, y = y = 6, y = y = 8, y = y =, y = y = 5 + 6, y = y = , y = 4. y = 4, y = y = 8, y = y = + 7, y = y = 6, y = y = 6 + 9, y = y = e +, y = e y = 9 + 9, y = y = e, y = (e ) y = , y = W zadaniach wyznaczyć szukaną wartość liczbową lub odpowiedni wzór. 40. Ile towarów wyprodukuje od do 4 godziny pracy robotnik, którego wydajność wyraża funkcja w() = ( czas w godzinach). 0

11 4. Ile towarów wyprodukuje robotnik, którego wydajność wyraża funkcja w() = 00 ( czas w godzinach) w ciągu 8-mio godzinnego dnia pracy. 4. Koszt krańcowy wyprodukowania drukarki komputerowej powyżej poziomu produkcji wyraża się wzorem K k () = 00+0, 000. Jakim wzorem wyrażają się koszty całkowite (zależne od wielkości produkcji ) jeżeli wyprodukowanie 000 drukarek kosztuje ? 4. Koszt krańcowy wyprodukowania maski karnawałowej powyżej poziomu produkcji wyraża się wzorem K k () = 55+0, Jakim wzorem wyrażają się koszty całkowite (zależne od wielkości produkcji ) jeżeli wyprodukowanie 00 masek kosztuje 6000? 44. Jaki jest przychód ze sprzedaży 00 zegarków, jeżeli cena jest zależna od sprzedaży i wyraża się wzorem p() = ,6? 45. Pewna fundacja prowadzi zbiórkę pieniędzy. Koszt zbiórki to każdego dnia, a wpływy szacuje się funkcją w(t) = 0,00 0t (gdzie t to czas w dniach na początku wpływy są duże, ale potem szybko maleją). Jakie fundusze (netto) zbierze fundacja, gdy zbiórka będzie trwała póki wpływy będą większe niż koszty? 46. Przeciwnicy wybudowania elektrowni atomowej twierdzą, że w przypadku wybuchu elektrowni liczbę ofiar śmiertelnych można określić funkcją s() = 00000e 0,t gdzie t to czas w dniach. Ile osób zginęłoby w ciągu 0 dni katastrofie elektrowni gdyby te szacowania były poprawne? 47. Wyprodukowanie aplikacji komputerowej kosztuje 000, a gdy zostaje udostępniona w internecie przynosi dziennie z(t) = 500e 0,4t (gdzie t czas wyrażony w dniach; najpierw zainteresowanie jest duże, ale szybko maleje). Po ilu dniach zwrócą się koszty wyprodukowania tej aplikacji? XII Rachunek macierzowy W zadaniach wykonać podane działania W zadaniach obliczyć te iloczyny macierzy A i B, które istnieją A= B = 449. A= B =

12 450. A= 45. A= 454. A= B = B = B = A= 45. A= 455. A= B = B = B = W zadaniach obliczyć ten iloczyn macierzy A i B, którego wynikiem jest macierz rozmiaru A= 4 0 B = 457. A= B = XIII Wyznaczniki W zadaniach obliczyć wyznaczniki podanych macierzy XIV Układy równań liniowych W zadaniach rozwiązać układ równań.

13 = 6 0 = = = = = = = = 0 = = = = 0 + = = , , + 0,5 =,5 0, , + 0,8 = 0, 0 + 0, + 0,6 = 0, = = = = = 0 4 = = = = = = = = = = = = = = 6 0 = = = = = = = = = = 0 = = 0 4 = = = = 0 4 = = = = = = = = = 0 4 = = = = W zadaniach wyznaczyć wszystkie rozwiązania podanego układu równań = = 0 + = = = = 5 = = = = = 0 =

14 = 0 + = = = = y z = 4 + y z = y z = 6 9 y + z = y + z + t = + y + z + t = 4 + y z + 4t = y z t = 5 + y z t = 4 y z + t = = = = = 9 0 = = = = = = = = = = = = 0 + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 4

15 Odpowiedzi I Sumowanie skończone : 0; : 0; : ; 4: 09; 5: 00; 6: ; 7: 80; 8: 4; 9: 40; 0: 4; : 70; : 77 ; : 675; 4: 50; 5: 60; 6: 400; 7: 600; 8: 00; 9: 80; 0: 5; : 00; : 440; : 400; 4: 00; 5: 5; 6: 8; 7: 0; 8: 5; 9: 0,456789; 0: 00; : 75; : 5; : 00; 4: 900; 5: 50; 6: 50; 7: 5; 8: 700; 9: 90; 40: 0; 4: 00; 4: 000; 4: 8 i= ; 44: 0 i=0 (4 + 7i); 45: 9 i= 0i; 46: 0 i=5 i ; 47: 0 k= 0 k k ; 48: i=0 j= +5i j ; 49: q= p= pq; 50: 4 n n= m= nm; II Granice ciągów 5: ; 5: ; 5: ; 54: ; 55: 6; 56: 4; 57: ; 58: ; 59: ; 60: ; 6: 0; 6: 7; 6: ; 64: ; 65: ; 66: ; 67: ; 68: 6 5 ; 69: 0; 70: ; 7: nie istnieje; 7: ; 7: ; 74: ; 75: ; 76: ; 77: 0; 78: ; 79: 0; 80: 5 ; 8: 5; 8: ; 8: 4; 84: 0; 85: 6; 86: ; 87: 5; 88: 0; 89: 4; 90: ; 9: nie istnieje; 9: ; 9: ; 94: 9; 95: ; 96: 0; 97: ; 98: ; 99: nie istnieje; 00: -; 0: ; III Granice funkcji 0: 5; 0: nie istnieje; 04: nie istnieje; 05: 7; 06: nie istnieje; 07: ; 08: nie istnieje; 09: nie istnieje; 0: nie istnieje; : nie istnieje; : ; : 4; 4: 40; 5: -7; 6: 60; 7: ; 8: ; 9: 6; 0: ; : ; : ; : 5 ; 4: 4; 5: ; 6: ; 7: ; 8: ; 9: ; 0: nie istnieje; : nie istnieje; : ; : ; 4: ; 5: ; 6: 5 ; 7: nie istnieje; 8: ; 9: 7; 40: nie istnieje; 4: nie istnieje; 4: 9; 4: ; 44: ; 45: 4; 46: -0; 47: ; 48: ; 49: e; 50: 0; 5: 0; 5: nie istnieje; 5: nie istnieje; 54: ; 55: ; 56: ; 57: 0; 58: nie istnieje; 59: ; 60: 0; 6: nie istnieje; 6: ; 6: nie istnieje; 64: ; 65: nie istnieje; 66: ; 67: ; 68: nie istnieje; 69: ; 70: e; 7: 5; 7: ; 7: 4 ; 74: ; 75: ; 76: 0; 77: ; 78: e0 ; 79: e; 80: e; 8: ; 8: ; 8: ; IV Ciągłość funkcji 84: = ; 85: = 5; 86: nie ma punktów nieciągłości; 87: = 7 i = 7; 88: = ; 89: = i = ; 90: nie ma punktów nieciągłości; 9: = ; 9: a = 0; 9: a = 4; 94: a = 4; 95: a = 9; V Pochodne 96: 0; 97: ; 98: 0 4 ; 99: ; 00: 6 5 ; 0: 7 ; 0: 06: 5( e ); 07: 4 ; 08: ; 09: ; 0: + ; : + ln ; 4: cos sin ; 5: e ( + ) + ; 6: 0: - sin + ; : ( +) ; 4 sin cos ; 8: + + ; : 6( + ) ( +) ; : 9: sin cos cos sin ; 4: 6(+) ; 5: ( + ) e ; 6: ( ; 7: + ) e e (e +) ; 4: (+) ; 4: e (e ) ; 44: e ; 45: 4 ( +) ; 5: + ; 5: e + e ; 54: ; 0: π sin ; 04: ; 05: cos + sin ; (0 + ); : 5 + ; : ( + )e 4 ; 7: (+) ; 8: ( +) ; 9: (+) ; ln e ; 4: e ; 5: π sin( π ); 6: ( 4 + ) 4 ; 7: e / 0: ; : (cos sin ); : ; : ; (+) ; 8: + + ; 9: ( ) ; 40: ; 4: tg cos ; 46: ; 47: ; 48: e ; 49: 4e ; 50: ln ; 5: ; 55: 0; 56: + ; 57: ; 58: ; + ln( ) 59: ln( ) + ; 60: 4 ln( ) e ; 6: e + ; 6: ; 6: ; 64: ; 65: ; 66: ; 67: + ; 68: e ; 69: + ln ln ln ln ; 70: z ln ; 7: 0; 7: ; 7: ; VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej 74: ma: ; 75: nie ma; 76: ma:, min: ; 77: ma: 4 9, min: 4 9 ; 78: ma:, min: ; 79: ma: 5, min: 5 ; 80: ma: 4, min: 4 ; 8: ma: +, min: ; 8: ma: 0, min: 7 i 7; 8: ma:, min: 7; 84: ma: +, min: ; 85: min: ; 86: min: 0; 87: min: ; 88: ma:, min: 0; 89: ma: i, min: 0; 90: min: ; 9: ma: 4 ; 9: min: ; 9: min: ; 94: ma: 0; 95: min: ; 96: nie ma; 97: min: ; 5

16 VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej 98: E f (0,5) = ; 99: E f () = 5; 00: K k () = ; 0: K k () = ; VIII Pochodne cząstkowe 0: f(,y) 04: f(,y) = 8 8 y 7 4, f(,y) y = 6 7 y + 9 8, f(,y) y = 4y 4 9 y 6 ; 0: f(,y) = 54y 8 7 y + 5y ; 05: f(,y) = y 8 +4, f(,y) y = 45y y 7 +; = 4 4 6, f(,y) y = 8y 8 ; IX Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 06: min w (, ) ; 07: min w (, 4); 08: min w (, 5); 09: min w (, 0); 0: ma w (, 0); : min w (, 0); : min w (, ); : min w (0, ); 4: ma w (, ); 6: ma w (, ), min w (, ); 5: ma w (, 0), min w (, ); 7: ma w (, ); 8: min w (, 4 ); 9: min w (, 0); 0: ma w (, 0), min w (, 0); : ma w (0, 0); : min w (, 0); : ma w (0, ), min w (0, 4 ); 4: ma w (0, ); 5: ma w (, ), min w (, ); X Obliczanie całek 6: + c; 7: 7 + c; 8: 5 + c; 9: 8 + c; 0: + c; : + c; : + c; : + + c; 4: 5 ln + c; 45: + ln 4 + c; 5: + c; 6: ln + + c; 7: + + c; 4: c; 40: 6ln +c; 8: ln +c; 9: 8 (+5)4 +c; 44: ( ) 5 +c; 4: (+4) +c; 4: 0 (4 ) 5 +c; 46: ( + 4) + c; 47: c; 48: c; 49: c; 50: e 4 + c; 5: e +6 + c; 5: e 4 + c; 5: 9 ( 4) ; 54: ( ) ; 64: ln( + ) + c; 65: ln( ) + c; 66: 6 ln( + ) + c; 58: ( + 4) + c; 59: ( ) + c; 60: ( + 9) + c; 6: ln( + ) + c; 6: ln( + 5) + c; 6: ln(5 + ) + c; 64: 4 ( + )( + )4 0 ( + )5 + c; 65: 6 (6 ln ) + c; 66: ( )( + ) ( + )4 + c; 67: (5 + ) 5 0 (5 + )6 + c; 68: ( + ) ln() 4 ( + 4) + c; 69: ( + ) ln() ( 9 + ) + c; 70: ( ln() 4 9 ) + c; 7: 75 (5 + ) (5 7) + c; 7: ( + 6) + c; 7: 84 ( ) 6 (6 + ) + c; 74: e ( ) + c; 75: ln()+ + c; 76: ( ) ln() + c; 77: e ( + ) + c; 78: + 5 ln 5 + c; 79: (( ) + ) ln() 8 ( + 9 8) + c; 80: 68 ( 5)6 ( ) + c; 8: ln() + c; 8: ln + + c; 8: 50; 84: ; 85: ; 86: 4 ; 87: 9; 88: 0; 89: ; 90: 8; 9: ; 9: e; 9: 4 ; 94: 0 ; XI Zastosowanie całki 95: ; 96: 7; 97: 96; 98: 80; 99: e(e 4 ) 45,6948; 400: 4; 40:,6; 40: e(e ) 0,7597; 40: 44 ; 404: ln(8); 405: 0 ; 406: ; 407: 48; 408: ln( ); 409: 77 ; 40: 0 ; 4: 4 5 ; 4: + ; 4: ln( ); 4: 0 ; 44: ; 46: 0 ; 47: ; 48: 6; 45: 6; 40: 6; 44: 4 ; 45: 8; 47: 7; 49: 7 8 4: 0, ; 44: ; 45: ; 46: ( e ; 4: 56; 4: 5; 49: ; ln(0,) ) 64 4; 47: 0,4 4; e ; 48: ; 46: e(e4 ) ; 40: = 999; 4: = 88; 4: 0, XII Rachunek macierzowy : ; 49: ; 440: ; 44: ; 44: ; 44: ; : ; 445: 55 ; 446: 0 0 ; 447: 6 6 ; 448: BA : BA = ; 45: BA = ; 45: BA = ; 45: AB = ; 454: AB =, BA = ; 455: AB =, BA = : BA = ; 457: AB = ; ; 449: AB ; 6

17 XIII Wyznaczniki 458: ; 459: 5; 460: 0; 46: 00; 46: 4; 46: ; 464: ; 465: 4; 466: 8; 467: 7; 468: 9; 469: 8; 470: 5; 47: 7; 47: 8; 47: 4; 474: 48; XIV Układy równań liniowych 475: 0 = 5, = ; 476: 0 =, = ; 477: nie ma rozwiązań; 478: nie ma rozwiązań; 479: 0 = 4, = ; 480: = 0 +, 0 dla dowolnego 0 R; 48: 0 =, =, = ; 48: 0 =, =, = 0; 48: 0 = 7, =, = 4; 484: nie ma rozwiązań; 485: 0 = 0, = 5, = 0; 486: 0 =, =, = ; 487: 0 =, = 0, = ; 488: 0 =, =, = ; 489: 0 =, =, = ; 490: 0 =, =, = ; 49: 0 =, =, = ; 49: 0 =, = 0, = ; 49: 0 =, =, = ; 494: 0 =, =, = ; 495: 0 =, = 0, = ; 496: 0 =, =, = ; 497: 0 =, =, = ; 498: 0 =, =, = 0; 499: 0 =, = ; 500: 0 =, =, =, = ; 50: 0, = 0, = 0 + dla dowolnego 0 R; 50: 0 =, =,, dla dowolnych R i R; 50: nie ma rozwiązań; 504: 0 = + + 8,,, = + 5 da dowolnych R i R; 505: = 7 z, y = z, z dla dowolnego z R; 506:, y = 7, z = + 4 dla dowolnego R; 507: = t, y = t, z = + t, t dla dowolnego t R; 508: = t +, y = t +, z = t, t dla dowolnego t R; 509: 0 =, = + ; 50: 0 =, = ; 5: 0 = +, = ; 5: 0 =, = + ; 5: 0 =, = + ; 54: 0 = +, = + ; 55: 0 =, = ; 56: 0 = +, = ; 57: 0 =, = ; 58: 0 =, = +, = + ; 59: 0 =, = +, = + ; 50: 0 = +, =, = + ; 5: 0 =, = +, = + ; 5: 0 =, = +, = + ; 5: 0 = +, =, = + ; 7

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

KURS SZEREGI. Lekcja 10 Szeregi Fouriera ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS SZEREGI. Lekcja 10 Szeregi Fouriera ZADANIE DOMOWE.   Strona 1 KURS SZEREGI Lekcja 1 Szeregi Fouriera ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zaznacz poprawną odpowiedź: a) Szereg Fouriera

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści 2

Spis treści. Spis treści 2 Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................

Bardziej szczegółowo

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0 WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]), WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Pochodna i jej zastosowania

Pochodna i jej zastosowania Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y, z 2y df

x y = 2z. + 2y, z 2y df . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera: Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22 Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A02 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczbą dodatnią jest liczba A.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Obliczenia z wykorzystaniem tzw. funkcji anonimowej Składnia funkcji anonimowej: nazwa_funkcji=@(lista_argumentów)(wyrażenie) gdzie: -

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych

Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane

Bardziej szczegółowo

10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,

10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1, . Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg

Bardziej szczegółowo

Matematyka - opis przedmiotu

Matematyka - opis przedmiotu Matematyka - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka Kod przedmiotu 11.1-WZ-EkoP-M-W-S14_pNadGenAT6Y9 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić. Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w

Bardziej szczegółowo

1 Wiadomości wst ¾epne

1 Wiadomości wst ¾epne Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Egzamin test GRUPA A (c) maleje na przedziale (1, 6). 0, ,5 1

Egzamin test GRUPA A (c) maleje na przedziale (1, 6). 0, ,5 1 Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie można

Bardziej szczegółowo