Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Transkrypt

1 I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i= 4. 6 i=0 79 i (i + ) 6. i= 0 i=5 7. i=7 4i 8. 9 i= i 9. 4 ( i + 5) i= 0. 4 i= i. 5 i(i + ). i= 4 i=0 i 5 i. ( ij + i) 4. i= j= (5 i j) 5. i= j= 4 4 (5 + i) i= j= 6. ( i + j + ) 7. i= j= ( ij j) 8. i= j= 4 4 (i j ) i= j= ( ij + 5 i j) 0. i= j= ij. i= j= 9 0 i=0 j= (j i). 4 i (i + j ). i=0 j=i 4 4 ( (j + i) (j i) ) 4. i= j= 4 4 i j i= j= i j 6. i= j=i i i= j= ( i j + j ) i 7. 0 i i= j=i i + j j 5 9 k (6 k) kj k= k= 0 k k= j= 4.. j j. (k + ) k= j= k= j= j= k= j=

2 ((k )(j + )) 5. ((k )(j + )) 6. (k + j + ) k= j= k= j= k= j= (k j + ) 8. (k j + 4kj 5) 9. (k + j) + k k= j= k= j= k= j= (k + j) (k + ) 4. k(j ) 4. (k ) (j + ) k= j= k= j= k= j= j= W zadaniach 4-50 zapisać podaną sumę za pomocą znaku dużej sumy (znaku sigma) II Granice ciągów W zadaniach 5-0 obliczyć podaną granicę ciągu. 5. lim n ( ( n ) 5. lim + n n ) 54. lim (, n 0,9 n 6n ) 55. lim n n n lim n ( 5 n n 5 ) 56. lim n 4n n lim n 6n + n + n n lim n 6n + n + n 6n 59. lim n 6n n + 6n n lim n n 5n + 4n + 5n 5 n 6. lim n n lim n 6 n n + 4 n 69. n lim n 4 6. lim n n 9 n 6. lim n n n 64. lim n n + n + 6n n + ( 5n n lim ) n n lim n 4n + n lim n ( n + 5n + n ) ( ) n 70. n lim 7. lim n n n + ( )n

3 ( ) n n 7. lim 7. lim n ( ) n+ n n lim n n 4 + 4n + 4n + 5 n lim n n n + n n + n 74. lim n 6n + 6n + n 77. lim n ( n + 5 n) 78. lim n ( n + n + ) 79. lim n ( n + n ) 80. lim n ( 0n 4n 5n) 8. lim n 5n + n n 8. n lim n + 8. n lim n n+ 7 n+ ( n 84. lim 85. lim 7n n 7 ) n 8 n n n n 86. lim n n lim n 5n + n 0, n 88. n lim ( 0,5) n 89. n lim n n+ n n lim n 4 + n 9. lim n n + n ( 0,) n ( n ) 9. n lim 9. lim 0, n n (n + ) lim n ( n + n n ) ( n ) lim n n 4 n + n 5n 96. lim n n (n + ) ( ) n 99. lim n n lim ( ) n n 00. lim n ( + )( ) 98. lim n ( n ) 0. lim n (n n) III Granice funkcji W zadaniach 0-09 obliczyć podaną granicę badając granice lewo- i prawostronne 0. lim 5 f() gdzie f() = 0. lim f() gdzie f() = 04. lim f() gdzie f() = 05. lim f() gdzie f() = 06. lim f() gdzie f() = 07. lim f() gdzie f() = 5 gdy < gdy 5 6 gdy < + 9 gdy > + gdy < + 7 gdy > gdy < 0 gdy 5 gdy < 5 gdy + gdy < gdy

4 08. lim f() gdy f() = 09. lim f() gdy f() = 0. lim f() gdy f() =. lim f() gdy f() = gdy < + 5 gdy > gdy < + gdy > 9 gdy < 9 gdy > gdy < 4 gdy > W zadaniach -77 obliczyć podane granice funkcji.. lim + +. lim 8 ( ) 4. lim lim lim 0 ( ) 6. lim ( + ) 7. lim ( + ) 9. lim 4 ( + ) 0. lim. lim 4. lim lim lim + 8. lim lim lim ( ) 8. lim 4. lim + 4. lim. lim lim 4 9. lim lim lim lim 7. lim 8. lim lim 40. lim lim lim lim lim ( + 6 ) ( 45. lim + ) lim lim 4 + 4

5 48. lim + 5. lim lim e ln 5. lim lim 0 ln( + ) 5. lim lim 55. lim ( ) 56. lim ( e e ) 57. lim lim ( + ) 6. lim ln e 58. lim 6. lim 0 + ( 64. lim 0 ) 59. lim lim ( ) ( ) 65. lim ( + ) 66. lim 67. lim ( + ) e ( lim ) lim 7. lim ( ) 75. lim lim e e 7. lim lim e 4 7. lim lim 4 ( 77. lim 0 e e ) ( 4) ( ) ( ) + 8 ( lim 79. lim ) + ( ) 80. lim 8. lim ln 8. lim 0 e 8. lim 0 e e + IV Ciągłość funkcji W zadaniach 88-9 wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji. 84. f() = f() = f() = f() = f() = dla dla > 89. f() = + dla < 0 dla 0 5

6 90. f() = 4 dla < 9 dla 9. f() = dla 6 dla = W zadaniach 9-95 obliczyć wartość parametru a, przy której podana funkcja jest ciągła. 9. f() = 4 dla < + a dla 9. f() = dla < 4 + a dla f() = dla < 6 + a dla 95. f() = a dla + dla > V Pochodne W zadaniach 96-7 obliczyć pochodne podanych funkcji. 96. f() = 4,7 97. f() = f() = f() = f() = f() = 7 ln 0. f() = 0. f() = π cos 04. f() = 05. f() = sin cos 06. f() = 5(ln e ) 07. f() = 0, f() = f() = f() = ( + ). f() = ( + ). f() = ( + ). f() = ln 4. f() = sin cos 5. f() = ( + )(e + ) 6. f() = e 4 7. f() = + 8. f() = + 9. f() = f() = cos sin +. f() = +. f() = + +. f() = ln e 4. f() = e 5. f() = cos( π ) 6. f() = 0 (4 + ) 5 7. f() = sin cos 8. f() = + 9. f() = cos + sin 0. f() = e /. f() = cos + sin. f() = f() = 4. f() = 6 + 6

7 5. f() = ( + )e 6. f() = 8. f() = ( + ) ( + ) 9. f() = + ( ) 7. f() = f() = + 4. f() = e e + 4. f() = e + 4. f() = e e 44. f() = (e + )(e ) 45. f() = cos 46. f() = 47. f() = ln( ) 48. f() = e 49. f() = e 50. f() = (ln ) 5. f() = ( + ) 5. f() = ( + ) 5. f() = e e 54. f() = ln( ) 55. f() = ln() ln() 56. f() = f() = f() = ln( ) 59. f() = ln( ) 60. f() = (ln( )) 6. f() = ln(e + ) 6. f() = + ( ) 6. f() = ln 64. f() = ln ( ( ) ) 65. f() = ln ( + + ) 66. f() = ln f() = + + ln ( + + ) 68. f() = e ( ) 69. f() = 70. f() = ln(ln()) (ln(ln(ln())) ) 7. f() = ln 7. f() = log 7. f() = e ln VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej W zadaniach znaleźć punkty w których funkcja f() osiąga ekstrema, podać które z nich to minima, a które maksima f() = 75. f() = 76. f() = f() = f() = f() = f() = f() = 8. f() = f() = f() = f() = e 85. f() = f() = e 88. f() = e + 7

8 89. f() = f() = ( )e 9. f() = (4 + )e 9. f() = + 9. f() = ( )e 94. f() = f() = 96. f() = ln( + ) f() = VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej W zadaniach wyznaczyć elastyczność podanej funkcji we wskazanym punkcie. 98. f() = e, = 0,5 99. f() = 5e, = W zadaniach 00-0 dla podanego kosztu całkowitego obliczyć koszt krańcowy. 00. K c () = 00 +, 5 0, K c () = VIII Pochodne cząstkowe W zadaniach 0-05 obliczyć pochodne cząstkowe po i po y podanych funkcji. 0. f(, y) = + y 4 9 y f(, y) = 7 9y y y 04. f(, y) = y 9 9 y y 05. f(, y) = 4 + y 9 7 IX Ekstrema funkcji dwóch zmiennych W zadaniach 06 5 znaleźć punkty, w których podana funkcja przyjmuje ekstrema lokalne (o ile istnieją) i określić czy są to minima czy maksima. 06. f(, y) = + y y 07. f(, y) = + y 7 8y 08. f(, y) = + y + 0y 09. f(, y) = + 7y 6 0. f(, y) = y 4. f(, y) = + 6y 7. f(, y) = + y + 6 y. f(, y) = + y 6y 4. f(, y) = y y 5. f(, y) = + + y y y 6. f(, y) = + y y 7. f(, y) = y y + 8. f(, y) = + y y + y 9. f(, y) = + + y + 0. f(, y) = + y +. f(, y) = + y +. f(, y) = ln( + y + + ). f(, y) = ( 4 + )(y 4 y + y ) 8

9 4. f(, y) = e y y 5. f(, y) = (y y)e X Obliczanie całek W zadaniach 6-8 wyznaczyć całkę nieoznaczoną. 6. d 7. 4 d d d ( 0. 6 d. d. d. ) d d 5. + d 6. d 7. d ( ) d 9. ( + 5) d 40. ( + 4) d 4. ( 4 ) 4 d d 4. ( ) d 5( ) 4 d 45. ( + + ) d 46. 8( + 4) d d d d e 4 d 5. 6 ( 4) d 54. d 57. d d ln() d 66. ( + ) ln() d 69. (5 ) 5 + d 7. ( + )e d 75. ( + )e d 78. ( 5) 5 d 8. 6 e +6 d 5. 4 e 4 d 8 ( ) d d d d d 6. + d d 64. ( + ) ( + ) d ( )( + ) d 67. 5(5 + ) 4 d ( + ) ln() d 70. ln() d d 7. ( ) 5 d ln() d 76. ( ) ln() d 5 d 79. ( ) ln() d ln () d 8. + d W zadaniach 8 94 obliczyć wartość całki oznaczonej ( + ) d d ( 5 + ) d 85. ( + ) d 88. ( ) d (4 + ) d 9

10 ( + ) d ( + )e d e d 9. e+ ( + ) d e d ( + ) 4 d XI Zastosowanie całki W zadaniach obliczyć pole między krzywą y = f(), a osią OX w podanym przedziale. 95. y = 6 między a y = 0 między a 97. y = 4 między a y = między a y = e między a y = + między a y = między 5 a y = 4e między a 40. y = między 5 a y = 4 4 między a 7 W zadaniach obliczyć pole pod krzywą y = f() (ograniczone krzywą y i osią OX) y = y = y = y = y = 9 + ) 40. y = ( + ) 4. y = ( ) 4. y = + 4. y = 5e e 6 W zadaniach obliczyć pole ograniczone krzywymi y i y. 44. y = 4 + 4, y = 45. y = 4 +, y = y = 6, y = y = 8, y = y =, y = y = 5 + 6, y = y = , y = 4. y = 4, y = y = 8, y = y = + 7, y = y = 6, y = y = 6 + 9, y = y = e +, y = e y = 9 + 9, y = y = e, y = (e ) y = , y = W zadaniach wyznaczyć szukaną wartość liczbową lub odpowiedni wzór. 40. Ile towarów wyprodukuje od do 4 godziny pracy robotnik, którego wydajność wyraża funkcja w() = ( czas w godzinach). 0

11 4. Ile towarów wyprodukuje robotnik, którego wydajność wyraża funkcja w() = 00 ( czas w godzinach) w ciągu 8-mio godzinnego dnia pracy. 4. Koszt krańcowy wyprodukowania drukarki komputerowej powyżej poziomu produkcji wyraża się wzorem K k () = 00+0, 000. Jakim wzorem wyrażają się koszty całkowite (zależne od wielkości produkcji ) jeżeli wyprodukowanie 000 drukarek kosztuje ? 4. Koszt krańcowy wyprodukowania maski karnawałowej powyżej poziomu produkcji wyraża się wzorem K k () = 55+0, Jakim wzorem wyrażają się koszty całkowite (zależne od wielkości produkcji ) jeżeli wyprodukowanie 00 masek kosztuje 6000? 44. Jaki jest przychód ze sprzedaży 00 zegarków, jeżeli cena jest zależna od sprzedaży i wyraża się wzorem p() = ,6? 45. Pewna fundacja prowadzi zbiórkę pieniędzy. Koszt zbiórki to każdego dnia, a wpływy szacuje się funkcją w(t) = 0,00 0t (gdzie t to czas w dniach na początku wpływy są duże, ale potem szybko maleją). Jakie fundusze (netto) zbierze fundacja, gdy zbiórka będzie trwała póki wpływy będą większe niż koszty? 46. Przeciwnicy wybudowania elektrowni atomowej twierdzą, że w przypadku wybuchu elektrowni liczbę ofiar śmiertelnych można określić funkcją s() = 00000e 0,t gdzie t to czas w dniach. Ile osób zginęłoby w ciągu 0 dni katastrofie elektrowni gdyby te szacowania były poprawne? 47. Wyprodukowanie aplikacji komputerowej kosztuje 000, a gdy zostaje udostępniona w internecie przynosi dziennie z(t) = 500e 0,4t (gdzie t czas wyrażony w dniach; najpierw zainteresowanie jest duże, ale szybko maleje). Po ilu dniach zwrócą się koszty wyprodukowania tej aplikacji? XII Rachunek macierzowy W zadaniach wykonać podane działania W zadaniach obliczyć te iloczyny macierzy A i B, które istnieją A= B = 449. A= B =

12 450. A= 45. A= 454. A= B = B = B = A= 45. A= 455. A= B = B = B = W zadaniach obliczyć ten iloczyn macierzy A i B, którego wynikiem jest macierz rozmiaru A= 4 0 B = 457. A= B = XIII Wyznaczniki W zadaniach obliczyć wyznaczniki podanych macierzy XIV Układy równań liniowych W zadaniach rozwiązać układ równań.

13 = 6 0 = = = = = = = = 0 = = = = 0 + = = , , + 0,5 =,5 0, , + 0,8 = 0, 0 + 0, + 0,6 = 0, = = = = = 0 4 = = = = = = = = = = = = = = 6 0 = = = = = = = = = = 0 = = 0 4 = = = = 0 4 = = = = = = = = = 0 4 = = = = W zadaniach wyznaczyć wszystkie rozwiązania podanego układu równań = = 0 + = = = = 5 = = = = = 0 =

14 = 0 + = = = = y z = 4 + y z = y z = 6 9 y + z = y + z + t = + y + z + t = 4 + y z + 4t = y z t = 5 + y z t = 4 y z + t = = = = = 9 0 = = = = = = = = = = = = 0 + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 4

15 Odpowiedzi I Sumowanie skończone : 0; : 0; : ; 4: 09; 5: 00; 6: ; 7: 80; 8: 4; 9: 40; 0: 4; : 70; : 77 ; : 675; 4: 50; 5: 60; 6: 400; 7: 600; 8: 00; 9: 80; 0: 5; : 00; : 440; : 400; 4: 00; 5: 5; 6: 8; 7: 0; 8: 5; 9: 0,456789; 0: 00; : 75; : 5; : 00; 4: 900; 5: 50; 6: 50; 7: 5; 8: 700; 9: 90; 40: 0; 4: 00; 4: 000; 4: 8 i= ; 44: 0 i=0 (4 + 7i); 45: 9 i= 0i; 46: 0 i=5 i ; 47: 0 k= 0 k k ; 48: i=0 j= +5i j ; 49: q= p= pq; 50: 4 n n= m= nm; II Granice ciągów 5: ; 5: ; 5: ; 54: ; 55: 6; 56: 4; 57: ; 58: ; 59: ; 60: ; 6: 0; 6: 7; 6: ; 64: ; 65: ; 66: ; 67: ; 68: 6 5 ; 69: 0; 70: ; 7: nie istnieje; 7: ; 7: ; 74: ; 75: ; 76: ; 77: 0; 78: ; 79: 0; 80: 5 ; 8: 5; 8: ; 8: 4; 84: 0; 85: 6; 86: ; 87: 5; 88: 0; 89: 4; 90: ; 9: nie istnieje; 9: ; 9: ; 94: 9; 95: ; 96: 0; 97: ; 98: ; 99: nie istnieje; 00: -; 0: ; III Granice funkcji 0: 5; 0: nie istnieje; 04: nie istnieje; 05: 7; 06: nie istnieje; 07: ; 08: nie istnieje; 09: nie istnieje; 0: nie istnieje; : nie istnieje; : ; : 4; 4: 40; 5: -7; 6: 60; 7: ; 8: ; 9: 6; 0: ; : ; : ; : 5 ; 4: 4; 5: ; 6: ; 7: ; 8: ; 9: ; 0: nie istnieje; : nie istnieje; : ; : ; 4: ; 5: ; 6: 5 ; 7: nie istnieje; 8: ; 9: 7; 40: nie istnieje; 4: nie istnieje; 4: 9; 4: ; 44: ; 45: 4; 46: -0; 47: ; 48: ; 49: e; 50: 0; 5: 0; 5: nie istnieje; 5: nie istnieje; 54: ; 55: ; 56: ; 57: 0; 58: nie istnieje; 59: ; 60: 0; 6: nie istnieje; 6: ; 6: nie istnieje; 64: ; 65: nie istnieje; 66: ; 67: ; 68: nie istnieje; 69: ; 70: e; 7: 5; 7: ; 7: 4 ; 74: ; 75: ; 76: 0; 77: ; 78: e0 ; 79: e; 80: e; 8: ; 8: ; 8: ; IV Ciągłość funkcji 84: = ; 85: = 5; 86: nie ma punktów nieciągłości; 87: = 7 i = 7; 88: = ; 89: = i = ; 90: nie ma punktów nieciągłości; 9: = ; 9: a = 0; 9: a = 4; 94: a = 4; 95: a = 9; V Pochodne 96: 0; 97: ; 98: 0 4 ; 99: ; 00: 6 5 ; 0: 7 ; 0: 06: 5( e ); 07: 4 ; 08: ; 09: ; 0: + ; : + ln ; 4: cos sin ; 5: e ( + ) + ; 6: 0: - sin + ; : ( +) ; 4 sin cos ; 8: + + ; : 6( + ) ( +) ; : 9: sin cos cos sin ; 4: 6(+) ; 5: ( + ) e ; 6: ( ; 7: + ) e e (e +) ; 4: (+) ; 4: e (e ) ; 44: e ; 45: 4 ( +) ; 5: + ; 5: e + e ; 54: ; 0: π sin ; 04: ; 05: cos + sin ; (0 + ); : 5 + ; : ( + )e 4 ; 7: (+) ; 8: ( +) ; 9: (+) ; ln e ; 4: e ; 5: π sin( π ); 6: ( 4 + ) 4 ; 7: e / 0: ; : (cos sin ); : ; : ; (+) ; 8: + + ; 9: ( ) ; 40: ; 4: tg cos ; 46: ; 47: ; 48: e ; 49: 4e ; 50: ln ; 5: ; 55: 0; 56: + ; 57: ; 58: ; + ln( ) 59: ln( ) + ; 60: 4 ln( ) e ; 6: e + ; 6: ; 6: ; 64: ; 65: ; 66: ; 67: + ; 68: e ; 69: + ln ln ln ln ; 70: z ln ; 7: 0; 7: ; 7: ; VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej 74: ma: ; 75: nie ma; 76: ma:, min: ; 77: ma: 4 9, min: 4 9 ; 78: ma:, min: ; 79: ma: 5, min: 5 ; 80: ma: 4, min: 4 ; 8: ma: +, min: ; 8: ma: 0, min: 7 i 7; 8: ma:, min: 7; 84: ma: +, min: ; 85: min: ; 86: min: 0; 87: min: ; 88: ma:, min: 0; 89: ma: i, min: 0; 90: min: ; 9: ma: 4 ; 9: min: ; 9: min: ; 94: ma: 0; 95: min: ; 96: nie ma; 97: min: ; 5

16 VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej 98: E f (0,5) = ; 99: E f () = 5; 00: K k () = ; 0: K k () = ; VIII Pochodne cząstkowe 0: f(,y) 04: f(,y) = 8 8 y 7 4, f(,y) y = 6 7 y + 9 8, f(,y) y = 4y 4 9 y 6 ; 0: f(,y) = 54y 8 7 y + 5y ; 05: f(,y) = y 8 +4, f(,y) y = 45y y 7 +; = 4 4 6, f(,y) y = 8y 8 ; IX Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 06: min w (, ) ; 07: min w (, 4); 08: min w (, 5); 09: min w (, 0); 0: ma w (, 0); : min w (, 0); : min w (, ); : min w (0, ); 4: ma w (, ); 6: ma w (, ), min w (, ); 5: ma w (, 0), min w (, ); 7: ma w (, ); 8: min w (, 4 ); 9: min w (, 0); 0: ma w (, 0), min w (, 0); : ma w (0, 0); : min w (, 0); : ma w (0, ), min w (0, 4 ); 4: ma w (0, ); 5: ma w (, ), min w (, ); X Obliczanie całek 6: + c; 7: 7 + c; 8: 5 + c; 9: 8 + c; 0: + c; : + c; : + c; : + + c; 4: 5 ln + c; 45: + ln 4 + c; 5: + c; 6: ln + + c; 7: + + c; 4: c; 40: 6ln +c; 8: ln +c; 9: 8 (+5)4 +c; 44: ( ) 5 +c; 4: (+4) +c; 4: 0 (4 ) 5 +c; 46: ( + 4) + c; 47: c; 48: c; 49: c; 50: e 4 + c; 5: e +6 + c; 5: e 4 + c; 5: 9 ( 4) ; 54: ( ) ; 64: ln( + ) + c; 65: ln( ) + c; 66: 6 ln( + ) + c; 58: ( + 4) + c; 59: ( ) + c; 60: ( + 9) + c; 6: ln( + ) + c; 6: ln( + 5) + c; 6: ln(5 + ) + c; 64: 4 ( + )( + )4 0 ( + )5 + c; 65: 6 (6 ln ) + c; 66: ( )( + ) ( + )4 + c; 67: (5 + ) 5 0 (5 + )6 + c; 68: ( + ) ln() 4 ( + 4) + c; 69: ( + ) ln() ( 9 + ) + c; 70: ( ln() 4 9 ) + c; 7: 75 (5 + ) (5 7) + c; 7: ( + 6) + c; 7: 84 ( ) 6 (6 + ) + c; 74: e ( ) + c; 75: ln()+ + c; 76: ( ) ln() + c; 77: e ( + ) + c; 78: + 5 ln 5 + c; 79: (( ) + ) ln() 8 ( + 9 8) + c; 80: 68 ( 5)6 ( ) + c; 8: ln() + c; 8: ln + + c; 8: 50; 84: ; 85: ; 86: 4 ; 87: 9; 88: 0; 89: ; 90: 8; 9: ; 9: e; 9: 4 ; 94: 0 ; XI Zastosowanie całki 95: ; 96: 7; 97: 96; 98: 80; 99: e(e 4 ) 45,6948; 400: 4; 40:,6; 40: e(e ) 0,7597; 40: 44 ; 404: ln(8); 405: 0 ; 406: ; 407: 48; 408: ln( ); 409: 77 ; 40: 0 ; 4: 4 5 ; 4: + ; 4: ln( ); 4: 0 ; 44: ; 46: 0 ; 47: ; 48: 6; 45: 6; 40: 6; 44: 4 ; 45: 8; 47: 7; 49: 7 8 4: 0, ; 44: ; 45: ; 46: ( e ; 4: 56; 4: 5; 49: ; ln(0,) ) 64 4; 47: 0,4 4; e ; 48: ; 46: e(e4 ) ; 40: = 999; 4: = 88; 4: 0, XII Rachunek macierzowy : ; 49: ; 440: ; 44: ; 44: ; 44: ; : ; 445: 55 ; 446: 0 0 ; 447: 6 6 ; 448: BA : BA = ; 45: BA = ; 45: BA = ; 45: AB = ; 454: AB =, BA = ; 455: AB =, BA = : BA = ; 457: AB = ; ; 449: AB ; 6

17 XIII Wyznaczniki 458: ; 459: 5; 460: 0; 46: 00; 46: 4; 46: ; 464: ; 465: 4; 466: 8; 467: 7; 468: 9; 469: 8; 470: 5; 47: 7; 47: 8; 47: 4; 474: 48; XIV Układy równań liniowych 475: 0 = 5, = ; 476: 0 =, = ; 477: nie ma rozwiązań; 478: nie ma rozwiązań; 479: 0 = 4, = ; 480: = 0 +, 0 dla dowolnego 0 R; 48: 0 =, =, = ; 48: 0 =, =, = 0; 48: 0 = 7, =, = 4; 484: nie ma rozwiązań; 485: 0 = 0, = 5, = 0; 486: 0 =, =, = ; 487: 0 =, = 0, = ; 488: 0 =, =, = ; 489: 0 =, =, = ; 490: 0 =, =, = ; 49: 0 =, =, = ; 49: 0 =, = 0, = ; 49: 0 =, =, = ; 494: 0 =, =, = ; 495: 0 =, = 0, = ; 496: 0 =, =, = ; 497: 0 =, =, = ; 498: 0 =, =, = 0; 499: 0 =, = ; 500: 0 =, =, =, = ; 50: 0, = 0, = 0 + dla dowolnego 0 R; 50: 0 =, =,, dla dowolnych R i R; 50: nie ma rozwiązań; 504: 0 = + + 8,,, = + 5 da dowolnych R i R; 505: = 7 z, y = z, z dla dowolnego z R; 506:, y = 7, z = + 4 dla dowolnego R; 507: = t, y = t, z = + t, t dla dowolnego t R; 508: = t +, y = t +, z = t, t dla dowolnego t R; 509: 0 =, = + ; 50: 0 =, = ; 5: 0 = +, = ; 5: 0 =, = + ; 5: 0 =, = + ; 54: 0 = +, = + ; 55: 0 =, = ; 56: 0 = +, = ; 57: 0 =, = ; 58: 0 =, = +, = + ; 59: 0 =, = +, = + ; 50: 0 = +, =, = + ; 5: 0 =, = +, = + ; 5: 0 =, = +, = + ; 5: 0 = +, =, = + ; 7