Mathematica - organizacja. czyli sztuka obliczeń symbolicznych. Możliwości. Mathematica do czego można ją użyć. Możliwości, cd. Mathematica publikacje

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mathematica - organizacja. czyli sztuka obliczeń symbolicznych. Możliwości. Mathematica do czego można ją użyć. Możliwości, cd. Mathematica publikacje"

Transkrypt

1 czyli sztuka obliczeń symbolicznych Mathematica - organizacja Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. Ręczne zerowanie zmiennych Clear[variables] (* czyści wartości zmiennych*) x=. (* to samo co Clear*) Remove[ Global`* ] (* usuwa wszystkie zmienne*) Clear[ Global`* ] Mathematica do czego można ją użyć Zastosowania: o nauki przyrodnicze o matematyka o nauczanie o inżynieria o infomatyka, itd Ponad 100 wyspecjalizowanych, komercyjnych pakietów i ponad 200 książek o Mathematice i jej zastosowaniach Mathematica publikacje o strona główna. o Wbudowana dokumentacja Mathematica (wszystko napisane w układzie notatnika) o Możliwości Działania arytmetyczne Operacje na liczbach całkowitych, rzeczywistych i zespolonych z dużą precyzją Bardzo dużo wbudowanych funkcji i stałych Algebra Rozwinięcia w szereg, upraszczanie, rozwiązywanie układu równań liniowych Operacje na wektorach, macierzach i tensorach Analiza matematyczna Granice, całkowanie i różniczkowanie, szeregi, rozwiązywanie układu równań różniczkowych, itd. Analiza numeryczna: Znajdowanie pierwiastków równań, całkowanie numeryczne, dopasowywanie krzywych, itd. Możliwości, cd. GRAFIKA - wykresy 2D, 3D, konturowe, parametryczne, animacje, itd. Programowanie Wbudowany interpreter języka programowania (zbliżony do C) z kompilatorem o Projekty demonstracyjne można znaleźć na: o Czasopismo programu Mathematica Mathematica - organizacja Pracujemy w dokumencie zwanym Notatnik Jak uzyskać dostęp? Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. SHIFT+ENTER wykonanie obliczeń ENTER nowa linia Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 1 z 9

2 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 2 z 9 Podstawowe zasady o Program rozróżnia małe i duże litery o Polecenia, nazwy wbudowanych funkcji i stałych zaczynają się od dużej litery np. Sin[] o Użyj małych liter, aby zadeklarować swoje funkcje i stałe o Argumenty są zamykane w nawiasach prostokątnych [] o Nawiasy klamrowe {} są używane do grupowania elementów, oraz do oznaczania zakresów parametrów funkcji. o Nawiasy () są zarezerwowane do grupowania operacji. o Nazwy wszystkich funkcji dla obliczeń numerycznych zaczynają się od litery N np. NSin[] o Komentarz (* komentarz *) Podstawowe operacje o Dodawanie + o Odejmowanie - o Mnożenie * o Dzielenie / o Podnoszenie do potęgi Uwaga: Mnożenie można reprezentować przez spacje: x y oznacza x * y ^ Wbudowane funkcje - przykłady Abs[x] -wartość bezwzględna liczby x In[1]:= Abs[ -15 ] Out[1]= 15 Sqrt[x] pierwiastek z x In[2]:= N[ Sqrt[2], 20] Out[2] = Log[x] logarytm naturalny z x Log[n,x] logarytm z x przy podstawie n Exp[x] e do potęgi x Sin[x] sinus z x (radiany) Sin [x Degree] sinus z x (stopnie) ArcSin[x] funkcja odwrotna do sinus z x (radiany) Wbudowane funkcje - przykłady Sinh[x] - sinus hiperboliczny z x ArcSinh [x] odwrotna do sinusa hiperbolicznego z x! silnia!! podwójna silnia Prime[k] k-ta liczba pierwsza Mod[x,y] reszta z dzielenia x przez y MAX[x1,x2,x3..] wartość maksymalna Operacje na liczbach całkowitych -> liczba całkowita Operacje na liczbach mieszanych -> liczba rzeczywista lub zespolona Operacje przypisania zmiennych In[1]:= x = 0.5 Out[1]=0.5 In[2]:= x= x*x Out[2]=x 2 Wynik poprzedniej operacji In[3] = % * 5 Out[3] = 5 x 2 Wynik operacji numer In[1] In[4] = %1 * 5 Out[4]=2.5 Wbudowane funkcje liczby zespolone In[1]:= z=20+7 I Out[1]= i Re[z] -część rzeczywista z z Out[2] = 20 Im[z] część urojona z z Out[3] = 7 Abs[z] moduł z z -sqrt(re 2 +im 2 ) Out[3] = Sqrt[449] Abs[z]//N Out[4] = Arg[z]//N ϕ Im[z] Out[5] = ϕ Arg[z] Out[6] = Atan[---] Re[z] 20 Conjugate[z] liczba sprzężona do z Out[7] = 20 7 i Dokładność obliczeń N[operacja, precyzja] In[1]:= N[100!] Out[1]= * In[2]:= 100!//N inny zapis In[2]:= N[100!,157] Out[2]= * Algebra Mathematic a rozumie zapis algebraiczny i może na nim wykonywać operacje symboliczne In[1]:= z=(x + y)^2 Out[1]=(x + y) 2 In[2]:= Expand[z] rozwiniecie na wielomiany Out[2]=x 2 +2xy + y 2 In[3]:= Factor[%] zwiniecie do postaci potęgowej Out[3]=(x + y) 2 In[4]:= Simplify[%2] zwiniecie do najprostszej postaci Out[4]=(x + y) 2

3 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 3 z 9 Rozwiązywanie równania = jest znakiem przypisania wartości == jest znakiem oznaczającym równanie In[1]:= x^2 + 2x+1 == 0 Out[1]=1 + 2 x + x 2 == 0 Solve[równanie, zmienna] - rozwiązuje równanie względem zmiennej zmienna In[2]:= Solve [%,x] Out[2]={{x -> -1}, {x -> -1}} In[3]:= %1./x->-1 Out[3]=True Rozwiązywanie układu równań Solve[{ rów1== liczba1, rów2 == liczba2,. }, {x, y,.}] - rozwiązuje układ równań względem zmiennych x,y,.. Definiowanie wyrażeń In[1]:= row1= x^2 + 2x==-1 Out[1]= 2 x + x 2 == -1 In[2]:= Solve[row1] Out[2]={{x -> -1}, {x -> -1}} In[3]:=row1:= x^2 + 2x==-1 Przypisuje dopiero w momencie wykonania operacji In[1]:= x^2 + 2x-1/.x->2 Out[1]= 7 Operator zastąpienia /. In[1]:= Solve[{x+2*y ==1, x y==2},{x,y}] Out[1]= Liczbowe rozwiązywanie układu równań NSolve[{ rów1== liczba1, rów2 == liczba2,. }, {x, y,.}] - rozwiązuje układ równań względem zmiennych x,y,.. In[1]:= NSolve[{x+2*y ==1, x y==2}, {x,y}] Out[1]= {{x -> , y -> }} Definiowanie funkcji nazwafunkcji[argument_]: = wyrażenie In[1]:= fun[x_]:=x^2 + 2x-1 In[2]:= fun[4] Out[2]= 23 In[3]=ff[x_,y_]:=x*y In[4]=ff[1.,2.] Out[4]=2. Znajdowanie pierwiastków równania FindRoot[ rów1, {x,x0}] szuka pierwiastków równania rów1 względem zmiennej x, przy wartości zgadywanej x0 In[1]:= FindRoot [x^2 + 2x==-1, {x,0}] Out[1]= {x -> -1.} FindRoot[{ rów1, rów2,. }, {{x,x0}, {y,y0},.}] Suma i iloczyn wyrażeń szeregu Sum[ wyrażenie_ciągu, {l, lmin, lmax,lstep}] Product[ wyrażenie_ciągu, {l, lmin, lmax,lstep}] In[1]:= Sum[1/x,{x,1,10,2}] 563 Out[1]= In[2]:= Product[1/x,{x,1,10,2}] 1 Out[1]= In[3]:=%//N Out[3]=

4 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 4 z 9 Suma i iloczyn wyrażeń ciągu - nieskończoność Infinity stała zastrzeżona do oznaczenia In[1]:= m:={{1,2},{2,1}} Operacje na macierzach In[1]:= Sum[1/x^2,{x,1,Infinity}] Pi Out[1]= In[2]:= %//N Out[3]= In[2]:= Transpose[m] <- transponowanie macierzy Out[3]= {{1, 2}, {2, 1}} In[4]:= Det[m] Out[4]= -3 In[5]:=Inverse[m] Out[5]= <- wyznacznik macierzy =1*1-2*3=-3 <- odwrotność macierzy Wektory v:={x,y,..} wektor v o współrzędnych x,y,.. In[1]:= v1:={1,1,1} In[2]:=v2:={1,2,3} In[3]:=v1+v2 Out[3]={2, 3, 4} + = Iloczyn skalarny -. In[4]:= v1 v2 Out[3]=6 =1*1+2*2+3*1= Iloczyn wektorowy Cross[] In[5]:=Cross[v1,v2] Out[5]={1, -2, 1} = Znalezienie wartości własnych macierzy Aby znaleźć wartości własne macierzy należy rozwiązać równanie charakterystyczne In[1]:= m:={{1,2,1},{2,1,1},{1,1,1}} In[2]:=wartwl:=m-x*IdentityMattrix[3] In[3]:= wyz=det[wartwl] <- wyznacznik macierzy Out[3]= x + 3 x 2 -x 3 In[4]:=NSolve[wyz==0, x] Out[4]= {{x -> -1.}, {x -> }, {x -> }} Macierze m:={{a11,a12},{a21,a22}} In[1]:= m:={{1,0},{0,1}} In[2]:=m2:={{2,1},{0,0}} In[3]=MatrixForm[m] <- aby przedstawić wynik w postaci macierzowej Out[3]= //MatrixForm= IdentityMatrix[n] <- macierz jednostkowa o rozmiarze n x n In[4]:= IdentityMatrix[2] Out[4] ={{1, 0}, {0, 1}} Operacje na macierzach lub Wartości własne In[1]:= m:={{1,2,1},{2,1,1},{1,1,1}} In[2]:=Eigenvalues[N[m]] Out[2]= { , -1., } In[3]:=Eigenvectors [N[m]] Wektory własne Out[3]= {{ , , },{ , ,0.},{ , , }} Analiza matematyczna In[1]:= m:={{1,0},{0,1}} In[2]:=m2:={{2,1},{0,0}} In[3]:= m+m2 <- suma macierzy Out[3]= {{3, 1}, {0, 1}} In[4]:= m-m2 <- różnica macierzy Out[4]= {{-1, -1}, {0, 1}} In[5]:=m.m2 <- iloczyn macierzy Out[5]= {{2, 1}, {0, 0}} + = + = o Wyznaczanie granic ciągów o Różniczkowanie o Całkowanie o Rozwiązywanie równań różniczkowych

5 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 5 z 9 In[1]:= Limit[ Sin[x]/x, x->0] Out[1]= 1 Granice funkcji Limit[ funkcja, x-> x0] granica funkcji przy x dążącym do x0 Można szukać granic przy x In[4]:= Limit[Exp[x]/(x^100),x->Infinity] Out[4] =Infinity In[3]:= f:= Sin[x]*Tan[x] Całkowanie nieoznaczone Użycie zmiennych In[4]:=Integrate[f, x] Out[4]=-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] - Sin[x] In[3]:= f1[x_] = Sin[x]*Tan[x] In[4]:=Integrate[f[x], x] Out[4]=-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] - Sin[x] In[1]:= D[ Log[x],x] 1 Out[1]= ---- x Różniczkowanie D[ funkcja, zmienna] pochodna funkcji po zmiennej zmienna D[ funkcja, {zmienna,n}] n-ta pochodna funkcji po zmiennej zmienna In[2]:= D[ Log[x],{x,2}] Out[1]= -x -2 ESCintESC Całkowanie nieoznaczone ESCddESC d CTRL+_ dolna granica CTRL+% górna granica Zapis naturalny ESCintESCSin[x]*Tan[x]ESCddESC Różniczkowanie cząstkowe D[ funkcja, {zmienna1,n},{zmienna2,m}] n-ta i m-ta pochodna funkcji po zmiennej zmienna1 i zmienna2 Całkowanie nieoznaczone wielokrotne Integrate[funkcja, zmienna1, zmienna2] całka nieoznaczona z funkcji po zmiennych zmienna1 i zmienna2 In[1]:= D[ x*sin[y],{x,1},{y,2}] Out[1]= -Sin[y] Zapis uproszczony In[1]:= Integrate[ Exp[xy]/x, x,y] Out[1]= Exp[xy] y Log[x] In[1]:= D[ x*sin[y],x,{y,2}] Out[1]= -Sin[y] In[1]:= Integrate[ 1/x,x] Out[1]= Log[x] Całkowanie nieoznaczone Integrate[funkcja, zmienna] całka nieoznaczona z funkcji po zmiennej zmienna In[2]:= Integrate[Sin[x]*Tan[x], x] Out[2]= -Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] - Sin[x] Całkowanie oznaczone Integrate[funkcja, {zmienna1,początek,koniec}] całka oznaczona z funkcji po zmienej zmienna w zakresie od z1 do z2 In[1]:= Integrate[ Exp[-x]/x, {x,1., Infinity}] Out[1]=

6 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 6 z 9 Całkowanie oznaczone wielokrotne Integrate[funkcja, {x,x1,x2}, {y,y1,y2}] całka oznaczona z funkcji po zmienych x i y w zakresie od x1 do x2 oraz od y1 do y2 In[1]:= Integrate[ Sin[x+y], {x,0., Pi/2},{y,0.,Pi/2}] Out[1]= 2. Rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe 2-go rzędu In[1]:=eq1 = {z''[t] == -9.81}; initial = {z[0] == 0, z'[0] == 10}; ndsol = DSolve[Join[eq1, initial], z[t], t] Out[1]= {z[t] -> 10 t t^2}} In[2]=tmax=Solve[ndsol==0]; In[3]=tmax = NSolve[z[t] == 0 /. ndsol, t] Out[3]={{t -> 0.}, {t -> }} Szeregi Series [funkcja, {x,x0,rząd}] rozwija funkcję w szereg wokół punktu x0 do rzędu rząd In[1]:= Series[ Exp[-x], {x,0, 4}] x x x 5 Out[1]= 1 - x O[x] Wykresy o Wykres dwuwymiarowy liniowy o Wykres dwuwymiarowy punktowy o Wykres trójwymiarowy o Wykres konturowy o Wykres pola wektorowego o Wykres parametryczny Rozwiązywanie równań różniczkowych DSolve[funkcja, y[x],x] analityczne rozwiązywanie równanie różniczkowego dla y[x], gdzie x jest zmienna niezależną Równanie różniczkowe 1-go rzędu In[1]:=Plot [x^2,{x,-1,1}] Wykres dwuwymiarowy Plot[funkcja, {x,x0,x1},opcje] rysuje wykres funkcji w zakresie od x1 do x2. Opcje pozwalają na modyfikacje stylu In[1]:=eq:=y [x]-2 y[x]==0 In[2]:=DSolve[eq,y[x],x] 2 x Out[1]= {{y[x] -> E C[1]}} In[1]:=eq:={y [x]== y[x]}; inital={y[0]==2} In[2]:=rozw = DSolve[Join[eq, initial], y[x], x] Out[2]= Plot[Evaluate[y[x] /. rozw], {x, 0, 1}, AxesLabel -> {"x", "y"}] Logarytmiczny wykres dwuwymiarowy LogPlot[funkcja, {x,x0,x1}] oś y jest logarytmiczna LogLinearPlot[funkcja, {x,x0,x1}] oś x jest logarytmiczna LogLogPlot[funkcja, {x,x0,x1}] osie x i y są logarytmiczne In[158]:=LogPlot [Exp[x],{x,0,10}, LabelStyle -> {15}]

7 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 7 z 9 Wykres dwuwymiarowy opcje Plot[funkcja, {x,x0,x1}, PlotRange->{x2, x3}] ] PlotRange zakres osi y AxesLabel->{"x", x^2"} opis osi x i y PlotLabel > Przebieg próbny" nazwa wykresu PlotStyle->{RGBColor[1,0,1]} kolor linii wykresu- styl linii wykresu LabelStyle->{15} rozmiar tekstu opisów osi Wykres punktowy II ListPlot[{y0,y1..},Opcje] rysuje wykres kolejnych punktów {y0,y1,...} In[1]:=ListPlot[ { 2.5, 3.7, -1.2, 7.0, 9.1, -2.3}, PlotJoined->True ] Wykres dwuwymiarowy wielu funkcji Plot[{f1,f2}, {x,x0,x1},opcje] rysuje wykres funkcji f1 i f2 w zakresie od x1 do x2 In[117]:=Plot[{x^2, x}, {x, -1, 1}, PlotStyle -> {{Red, Thickness[0.002]}, {Green, Dashing[{0.03, 0.03}],Thick}}, PlotLabel - > "Test", Frame -> True, AxesLabel -> {"Signal [au]", Superscript["mc", "2"]}] Wykres trójwymiarowy Plot3D[funkcja3D, {x,x0,x1},{y,y0,y1},opcje] rysuje wykres funkcji w zakresie x od x1 do x2 i y od y1 do y2 In[24]:=Plot3D[Sin[x] Sin[y], {x,-pi,pi}, {y,-pi,pi}, AxesLabel -> {x,y,z}, Mesh->All, PlotPoints->40] Polecenie Show Show[w1,w2] nakłada na siebie wcześniej utworzone wykresy w1 i w2 In[1]:=w1:=Plot[x^2, {x, -1, 1}]; w2 := Plot[x, {x, -1, 1}] In[2]:=Show[w1, w2] Wykres konturowy ContourPlot[funkcja, {x,x0,x1},{y,y0,y1},opcje] rysuje wykres konturowy funkcji w zakresie od x0 do x1 i od y0 do y1 In[84]:=ContourPlot[Cos[x]*Cos[y], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, ContourLabels -> True] Wykres punktowy ListPlot[{x0,y0},{x1,y1},..] rysuje wykres punktów x,y In[5]:=ListPlot[{{-5, -3}, {-3, 2}, {0.5, 6.3), {2.5, 1.4}, {5, 3}}, PlotJoined -> True] Wykres pola wektorowego VectorFieldPlot[funkcja, {x,x0,x1},{y,y0,y1},opcje] rysuje wykres wektorowy funkcji w zakresie od x0 do x1 i y0 do y1 Needs["VectorFieldPlots`"] In[1]:=V:={x, y}/(x^2 + y^2)^(3/2) In[2]:=VectorFieldPlot[v, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

8 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 8 z 9 Wykres parametryczny ParametrivPlot[x[t],y[t],{t,t0,t1} ] rysuje wykres parametryczny funkcji x[t] i y[t] w zakresie od t0 do t1 In[30]:=ParametricPlot[{Cos[t]*t, Sin[t]*t}, {t, 0, 50}] Dopasowywanie krzywych In[1]:=dane:=ReadList["e:\dane.dat", {Number, Number}] In[2]:=Fit[ dane, {x^2, x^1, 1}, x] Out[2]:= x x^2 In[3]:=NonlinearFit[dane1, a*x^2 + b*x + c, x, {{a, 0.5}, {b, -0.5}, {c, 1.5}}] Out[3]:= x x^2 Operacje na zbiorach SetDirectory["Nazwa kartoteki"] ustawienie nazwy kartoteki głównej, np. kartoteki ze zbiorem Zmienna=Import["Nazwa zbioru"] importuje dane Export["dane.dat","zmienna ] zapisuje dane ze zmiennej zmienna do zbioru o nazwie dane.dat <<["dane.dat","zmienna ] ładuje jeden element ze zbioru o nazwie dane.dat do zmiennej zmienna Delete["dane.dat"] usuwa zbiór nazwie dane.dat Operacje na zbiorach In[1]:=SetDirectory["e:/"] Out[1]=e:/ In[2]:=dane:=Import["dane.dat"] In[3]:=wykres = ListPlot[dane] y v θ x Rzut ukośny x=v cos In[1]:=Remove["Global`*"] In[2]:= y:=v*sin[α]*t-9.81*t*t/2.; x:= v*sin[α]*t In[3]:= Solve[D[y,t] 0,t]; In[4]:= tmax:=n[2.*t//.%] In[5]:= zasieg=x//.t tmax Out[5]:= { v 2 Cos[α] Sin[α]} In[6]:= wysokosc=y//.t tmax/2 Out[6]:= { v 2 Sin[α] 2 } y Operacje na zbiorach ReadList["Nazwa zbioru", "format"] ustawienie nazwy kartoteki ze zbiorem WriteList["Nazwa zbioru", "format"] ustawienie nazwy kartoteki ze zbiorem In[1]:=dane:=ReadList["e:\dane.dat", {Number, Number}] In[2]:=dane:=Import["dane.dat"] In[3]:=wykres = ListPlot[dane] Rzut ukośny, cd In[7]:= Solve[D[zasieg,α] 0,α] Out[7]:= {{α },{α },{α }, {α }} In[8]:= αmax=n[α//.%][[3]] In[9]:= α=αmax/pi*180. Out[9]:= 45 In[10]:= zasieg Out[10]:={ v 2 }

9 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 9 z 9 Pole elektryczne jednorodnie naładowanej płaszczyzny θ d l θ r In[1]:=Remove["Global`*"] In[2]:= de:=1/(4*pi*ε0)*σ*ds*cos[θ]/l^2 In[3]:= l:=d/cos[θ] In[4]:= ds:=2*pi*r*dr*dφ In[5]:= dφ:=1/(2 Pi) In[6]:= r:=d*tan[θ]; dr:=d[r,θ] In[7]:= E calk =Integrate[dE,{θ,0,Pi},{φ,0,2 Pi}] de dϕ de Out[2]:= σ/ε 0 Rozpraszanie ( A sin θ ) ) 1/ 2 cosθ1 ± 1 E1 E0 1 A m2 =, gdzie A = + m1 In[1]:= e0:=100; m2=108 (*Srebro *); m1=40 (*Argon *); In[2]:= A:=m2/m1 In[3]:= e1[θ _]:=e0 ((Cos[θ Degree]+Sqrt[A^2-Sin[θ Degree]^2])/(1+A))^2 In[4]:= Plot[Evaluate[e1[x]],{x, 0, 90},AxesLabel {"Angle (degrees)","kinetic energy (ev)"}] Manipulate - interakcja Manipulate[wyr, {x,x0,x1}] pozwala na interaktywną zmianę parametrów zmiennej x w wyrażeniu wyr, w zakresie of x0 do x1 In[1]:=Manipulate[ Plot[e0*(((Cos[x] - Sqrt[a1^2 - Sin[x]^2])/(1 + a1))^2), {x, 0 Degree, 90 Degree}, AxesLabel -> {"Angle (rad)", "Kinetic energy (ev)"}], {a1, 1, 10}] Programowanie w Mathematice To już we własnym zakresie lub na ćwiczeniach

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe i nieliniowe

Równania liniowe i nieliniowe ( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."

Bardziej szczegółowo

Pakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki

Pakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki Pakiety matematyczne Matematyka Stosowana dr inż. Krzysztof Burnecki 22.05.2013 Wykład 12 Mathematica. Wprowadzenie Obliczenia w Mathematice Wolfram Alpha Slajdy powstały na podstawie strony www.mathematica.pl

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 32 16

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 32 16 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Drugi sposób definiowania funkcji polega na wykorzystaniu polecenia:

Drugi sposób definiowania funkcji polega na wykorzystaniu polecenia: ĆWICZENIE 6. Scilab: Obliczenia symboliczne i numeryczne Uwaga: Podczas operacji kopiowania i wklejania potrzeba skasować wklejone pojedyńcze cudzysłowy i wpisać je ręcznie dla każdego ich wystąpienia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Obliczenia z wykorzystaniem tzw. funkcji anonimowej Składnia funkcji anonimowej: nazwa_funkcji=@(lista_argumentów)(wyrażenie) gdzie: -

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Programowanie: grafika w SciLab Slajd 1. Programowanie: grafika w SciLab

Programowanie: grafika w SciLab Slajd 1. Programowanie: grafika w SciLab Programowanie: grafika w SciLab Slajd 1 Programowanie: grafika w SciLab Programowanie: grafika w SciLab Slajd 2 Plan zajęć 1. Wprowadzenie 2. Wykresy 2-D 3. Wykresy 3-D 4. Rysowanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Wstawienie skryptu do dokumentu HTML JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.skrypty Java- Script mogą być zagnieżdżane

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19

Spis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19 Matematyka dla kierunków ekonomicznych : przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej / Henryk Gurgul, Marcin Suder. wyd. 6 uzup. i popr., uwzględniające podstawowy program matematyki również

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU. 17. Efekty kształcenia: 2. Nr Opis efektu kształcenia Metoda sprawdzenia efektu kształcenia 1 potrafi wykorzystać

KARTA MODUŁU. 17. Efekty kształcenia: 2. Nr Opis efektu kształcenia Metoda sprawdzenia efektu kształcenia 1 potrafi wykorzystać (pieczęć wydziału) KARTA MODUŁU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa modułu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: 3 3. Karta modułu ważna od roku akademickiego: 2013/2014 4. Forma kształcenia: studia pierwszego

Bardziej szczegółowo

JAVAScript w dokumentach HTML (1)

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript mogą być zagnieżdżane w dokumentach HTML. Instrukcje JavaScript

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc.

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. Małgorzata Jakubowska Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. MATLAB pakiet oprogramowania matematycznego firmy MathWorks Inc. (www.mathworks.com) rozwijany od roku 1984 język programowania i środowisko

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu MATHCAD

Wprowadzenie do programu MATHCAD Wprowadzenie do programu MATHCAD Zaletami programu MathCad, w porównaniu do innych programów służących do obliczeń matematycznych, takich jak Matlab, Mathematica, są proste i intuicyjne zasady pracy z

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: TS1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki Liceum Ogólnokształcące obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki Liceum Ogólnokształcące obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki Liceum Ogólnokształcące obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY

PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY Dr inż. Marcin Witczak Uniwersytet Zielonogórski Przetwarzanie i organizowanie danych: arkusz kalkulacyjny 1 PLAN WPROWADZENIA Profesjonalne systemy

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

1. WSTĘP. www.mathsoft.com, www.mathcad.com

1. WSTĘP. www.mathsoft.com, www.mathcad.com MATHCAD-W strona. WSTĘP MATHCAD to uniwersalny program do obliczeń matematycznych o bardzo dużych możliwościach. Jest łatwy do opanowania, nie wymaga nauki języka programowania a więc jest idealny dla

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Matlab Składnia + podstawy programowania

Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Matrix Laboratory środowisko stworzone z myślą o osobach rozwiązujących problemy matematyczne, w których operuje się na danych stanowiących wielowymiarowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. 18.03.2007.

Wykład 2. 18.03.2007. KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE OBLICZEŃ Wykład 2. 18.03.2007. Wykresy i obliczenia numeryczne w Excelu dr inż. Paweł Surdacki Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Lubelskiej 1 LITERATURA

Bardziej szczegółowo

Podstawy obsługi pakietu GNU octave.

Podstawy obsługi pakietu GNU octave. Podstawy obsługi pakietu GNU octave. (wspomaganie obliczeń inżynierskich) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą pakietu GNU octave. W ćwiczeniu wprowadzono opis podstawowych komend

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych

Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 14czerwca2013r. STEPHEN

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Obliczenia symboliczne Symbolic computations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Informatyka Rodzaj zajęć: wykład,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

, h(x) = sin(2x) w przedziale [ 2π, 2π].

, h(x) = sin(2x) w przedziale [ 2π, 2π]. Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, / Maima, część II. Rysowanie wykresów w dwu i trzech wymiarach (zob. 5). a. Otwórz panel okna Wykres D i zapoznaj się z nim. Wyrażenie(a) - tutaj wpisujemy funkcję

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Programowanie strukturalne. Opis ogólny programu w Turbo Pascalu

Programowanie strukturalne. Opis ogólny programu w Turbo Pascalu Programowanie strukturalne Opis ogólny programu w Turbo Pascalu STRUKTURA PROGRAMU W TURBO PASCALU Program nazwa; } nagłówek programu uses nazwy modułów; } blok deklaracji modułów const } blok deklaracji

Bardziej szczegółowo

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. IŚ ćw.8 JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript są zagnieżdżane w dokumentach HTML. Skrypt JavaScript

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres rozszerzony) klasa 2. 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover :58 Strona 1. Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny

07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover :58 Strona 1. Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny 07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover 11-06-17 11:58 Strona 1 Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny ISBN 978-83-7680-389-0 9 788376 803890 rogram Matura z Operonem Lista uczestników

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

Sylabus - Matematyka

Sylabus - Matematyka Sylabus - Matematyka 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia: Wydział Farmaceutyczny z Oddziałem Medycyny Laboratoryjnej Farmacja, jednolite studia magisterskie Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo