Mathematica - organizacja. czyli sztuka obliczeń symbolicznych. Możliwości. Mathematica do czego można ją użyć. Możliwości, cd. Mathematica publikacje

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mathematica - organizacja. czyli sztuka obliczeń symbolicznych. Możliwości. Mathematica do czego można ją użyć. Możliwości, cd. Mathematica publikacje"

Transkrypt

1 czyli sztuka obliczeń symbolicznych Mathematica - organizacja Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. Ręczne zerowanie zmiennych Clear[variables] (* czyści wartości zmiennych*) x=. (* to samo co Clear*) Remove[ Global`* ] (* usuwa wszystkie zmienne*) Clear[ Global`* ] Mathematica do czego można ją użyć Zastosowania: o nauki przyrodnicze o matematyka o nauczanie o inżynieria o infomatyka, itd Ponad 100 wyspecjalizowanych, komercyjnych pakietów i ponad 200 książek o Mathematice i jej zastosowaniach Mathematica publikacje o strona główna. o Wbudowana dokumentacja Mathematica (wszystko napisane w układzie notatnika) o Możliwości Działania arytmetyczne Operacje na liczbach całkowitych, rzeczywistych i zespolonych z dużą precyzją Bardzo dużo wbudowanych funkcji i stałych Algebra Rozwinięcia w szereg, upraszczanie, rozwiązywanie układu równań liniowych Operacje na wektorach, macierzach i tensorach Analiza matematyczna Granice, całkowanie i różniczkowanie, szeregi, rozwiązywanie układu równań różniczkowych, itd. Analiza numeryczna: Znajdowanie pierwiastków równań, całkowanie numeryczne, dopasowywanie krzywych, itd. Możliwości, cd. GRAFIKA - wykresy 2D, 3D, konturowe, parametryczne, animacje, itd. Programowanie Wbudowany interpreter języka programowania (zbliżony do C) z kompilatorem o Projekty demonstracyjne można znaleźć na: o Czasopismo programu Mathematica Mathematica - organizacja Pracujemy w dokumencie zwanym Notatnik Jak uzyskać dostęp? Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. SHIFT+ENTER wykonanie obliczeń ENTER nowa linia Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 1 z 9

2 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 2 z 9 Podstawowe zasady o Program rozróżnia małe i duże litery o Polecenia, nazwy wbudowanych funkcji i stałych zaczynają się od dużej litery np. Sin[] o Użyj małych liter, aby zadeklarować swoje funkcje i stałe o Argumenty są zamykane w nawiasach prostokątnych [] o Nawiasy klamrowe {} są używane do grupowania elementów, oraz do oznaczania zakresów parametrów funkcji. o Nawiasy () są zarezerwowane do grupowania operacji. o Nazwy wszystkich funkcji dla obliczeń numerycznych zaczynają się od litery N np. NSin[] o Komentarz (* komentarz *) Podstawowe operacje o Dodawanie + o Odejmowanie - o Mnożenie * o Dzielenie / o Podnoszenie do potęgi Uwaga: Mnożenie można reprezentować przez spacje: x y oznacza x * y ^ Wbudowane funkcje - przykłady Abs[x] -wartość bezwzględna liczby x In[1]:= Abs[ -15 ] Out[1]= 15 Sqrt[x] pierwiastek z x In[2]:= N[ Sqrt[2], 20] Out[2] = Log[x] logarytm naturalny z x Log[n,x] logarytm z x przy podstawie n Exp[x] e do potęgi x Sin[x] sinus z x (radiany) Sin [x Degree] sinus z x (stopnie) ArcSin[x] funkcja odwrotna do sinus z x (radiany) Wbudowane funkcje - przykłady Sinh[x] - sinus hiperboliczny z x ArcSinh [x] odwrotna do sinusa hiperbolicznego z x! silnia!! podwójna silnia Prime[k] k-ta liczba pierwsza Mod[x,y] reszta z dzielenia x przez y MAX[x1,x2,x3..] wartość maksymalna Operacje na liczbach całkowitych -> liczba całkowita Operacje na liczbach mieszanych -> liczba rzeczywista lub zespolona Operacje przypisania zmiennych In[1]:= x = 0.5 Out[1]=0.5 In[2]:= x= x*x Out[2]=x 2 Wynik poprzedniej operacji In[3] = % * 5 Out[3] = 5 x 2 Wynik operacji numer In[1] In[4] = %1 * 5 Out[4]=2.5 Wbudowane funkcje liczby zespolone In[1]:= z=20+7 I Out[1]= i Re[z] -część rzeczywista z z Out[2] = 20 Im[z] część urojona z z Out[3] = 7 Abs[z] moduł z z -sqrt(re 2 +im 2 ) Out[3] = Sqrt[449] Abs[z]//N Out[4] = Arg[z]//N ϕ Im[z] Out[5] = ϕ Arg[z] Out[6] = Atan[---] Re[z] 20 Conjugate[z] liczba sprzężona do z Out[7] = 20 7 i Dokładność obliczeń N[operacja, precyzja] In[1]:= N[100!] Out[1]= * In[2]:= 100!//N inny zapis In[2]:= N[100!,157] Out[2]= * Algebra Mathematic a rozumie zapis algebraiczny i może na nim wykonywać operacje symboliczne In[1]:= z=(x + y)^2 Out[1]=(x + y) 2 In[2]:= Expand[z] rozwiniecie na wielomiany Out[2]=x 2 +2xy + y 2 In[3]:= Factor[%] zwiniecie do postaci potęgowej Out[3]=(x + y) 2 In[4]:= Simplify[%2] zwiniecie do najprostszej postaci Out[4]=(x + y) 2

3 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 3 z 9 Rozwiązywanie równania = jest znakiem przypisania wartości == jest znakiem oznaczającym równanie In[1]:= x^2 + 2x+1 == 0 Out[1]=1 + 2 x + x 2 == 0 Solve[równanie, zmienna] - rozwiązuje równanie względem zmiennej zmienna In[2]:= Solve [%,x] Out[2]={{x -> -1}, {x -> -1}} In[3]:= %1./x->-1 Out[3]=True Rozwiązywanie układu równań Solve[{ rów1== liczba1, rów2 == liczba2,. }, {x, y,.}] - rozwiązuje układ równań względem zmiennych x,y,.. Definiowanie wyrażeń In[1]:= row1= x^2 + 2x==-1 Out[1]= 2 x + x 2 == -1 In[2]:= Solve[row1] Out[2]={{x -> -1}, {x -> -1}} In[3]:=row1:= x^2 + 2x==-1 Przypisuje dopiero w momencie wykonania operacji In[1]:= x^2 + 2x-1/.x->2 Out[1]= 7 Operator zastąpienia /. In[1]:= Solve[{x+2*y ==1, x y==2},{x,y}] Out[1]= Liczbowe rozwiązywanie układu równań NSolve[{ rów1== liczba1, rów2 == liczba2,. }, {x, y,.}] - rozwiązuje układ równań względem zmiennych x,y,.. In[1]:= NSolve[{x+2*y ==1, x y==2}, {x,y}] Out[1]= {{x -> , y -> }} Definiowanie funkcji nazwafunkcji[argument_]: = wyrażenie In[1]:= fun[x_]:=x^2 + 2x-1 In[2]:= fun[4] Out[2]= 23 In[3]=ff[x_,y_]:=x*y In[4]=ff[1.,2.] Out[4]=2. Znajdowanie pierwiastków równania FindRoot[ rów1, {x,x0}] szuka pierwiastków równania rów1 względem zmiennej x, przy wartości zgadywanej x0 In[1]:= FindRoot [x^2 + 2x==-1, {x,0}] Out[1]= {x -> -1.} FindRoot[{ rów1, rów2,. }, {{x,x0}, {y,y0},.}] Suma i iloczyn wyrażeń szeregu Sum[ wyrażenie_ciągu, {l, lmin, lmax,lstep}] Product[ wyrażenie_ciągu, {l, lmin, lmax,lstep}] In[1]:= Sum[1/x,{x,1,10,2}] 563 Out[1]= In[2]:= Product[1/x,{x,1,10,2}] 1 Out[1]= In[3]:=%//N Out[3]=

4 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 4 z 9 Suma i iloczyn wyrażeń ciągu - nieskończoność Infinity stała zastrzeżona do oznaczenia In[1]:= m:={{1,2},{2,1}} Operacje na macierzach In[1]:= Sum[1/x^2,{x,1,Infinity}] Pi Out[1]= In[2]:= %//N Out[3]= In[2]:= Transpose[m] <- transponowanie macierzy Out[3]= {{1, 2}, {2, 1}} In[4]:= Det[m] Out[4]= -3 In[5]:=Inverse[m] Out[5]= <- wyznacznik macierzy =1*1-2*3=-3 <- odwrotność macierzy Wektory v:={x,y,..} wektor v o współrzędnych x,y,.. In[1]:= v1:={1,1,1} In[2]:=v2:={1,2,3} In[3]:=v1+v2 Out[3]={2, 3, 4} + = Iloczyn skalarny -. In[4]:= v1 v2 Out[3]=6 =1*1+2*2+3*1= Iloczyn wektorowy Cross[] In[5]:=Cross[v1,v2] Out[5]={1, -2, 1} = Znalezienie wartości własnych macierzy Aby znaleźć wartości własne macierzy należy rozwiązać równanie charakterystyczne In[1]:= m:={{1,2,1},{2,1,1},{1,1,1}} In[2]:=wartwl:=m-x*IdentityMattrix[3] In[3]:= wyz=det[wartwl] <- wyznacznik macierzy Out[3]= x + 3 x 2 -x 3 In[4]:=NSolve[wyz==0, x] Out[4]= {{x -> -1.}, {x -> }, {x -> }} Macierze m:={{a11,a12},{a21,a22}} In[1]:= m:={{1,0},{0,1}} In[2]:=m2:={{2,1},{0,0}} In[3]=MatrixForm[m] <- aby przedstawić wynik w postaci macierzowej Out[3]= //MatrixForm= IdentityMatrix[n] <- macierz jednostkowa o rozmiarze n x n In[4]:= IdentityMatrix[2] Out[4] ={{1, 0}, {0, 1}} Operacje na macierzach lub Wartości własne In[1]:= m:={{1,2,1},{2,1,1},{1,1,1}} In[2]:=Eigenvalues[N[m]] Out[2]= { , -1., } In[3]:=Eigenvectors [N[m]] Wektory własne Out[3]= {{ , , },{ , ,0.},{ , , }} Analiza matematyczna In[1]:= m:={{1,0},{0,1}} In[2]:=m2:={{2,1},{0,0}} In[3]:= m+m2 <- suma macierzy Out[3]= {{3, 1}, {0, 1}} In[4]:= m-m2 <- różnica macierzy Out[4]= {{-1, -1}, {0, 1}} In[5]:=m.m2 <- iloczyn macierzy Out[5]= {{2, 1}, {0, 0}} + = + = o Wyznaczanie granic ciągów o Różniczkowanie o Całkowanie o Rozwiązywanie równań różniczkowych

5 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 5 z 9 In[1]:= Limit[ Sin[x]/x, x->0] Out[1]= 1 Granice funkcji Limit[ funkcja, x-> x0] granica funkcji przy x dążącym do x0 Można szukać granic przy x In[4]:= Limit[Exp[x]/(x^100),x->Infinity] Out[4] =Infinity In[3]:= f:= Sin[x]*Tan[x] Całkowanie nieoznaczone Użycie zmiennych In[4]:=Integrate[f, x] Out[4]=-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] - Sin[x] In[3]:= f1[x_] = Sin[x]*Tan[x] In[4]:=Integrate[f[x], x] Out[4]=-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] - Sin[x] In[1]:= D[ Log[x],x] 1 Out[1]= ---- x Różniczkowanie D[ funkcja, zmienna] pochodna funkcji po zmiennej zmienna D[ funkcja, {zmienna,n}] n-ta pochodna funkcji po zmiennej zmienna In[2]:= D[ Log[x],{x,2}] Out[1]= -x -2 ESCintESC Całkowanie nieoznaczone ESCddESC d CTRL+_ dolna granica CTRL+% górna granica Zapis naturalny ESCintESCSin[x]*Tan[x]ESCddESC Różniczkowanie cząstkowe D[ funkcja, {zmienna1,n},{zmienna2,m}] n-ta i m-ta pochodna funkcji po zmiennej zmienna1 i zmienna2 Całkowanie nieoznaczone wielokrotne Integrate[funkcja, zmienna1, zmienna2] całka nieoznaczona z funkcji po zmiennych zmienna1 i zmienna2 In[1]:= D[ x*sin[y],{x,1},{y,2}] Out[1]= -Sin[y] Zapis uproszczony In[1]:= Integrate[ Exp[xy]/x, x,y] Out[1]= Exp[xy] y Log[x] In[1]:= D[ x*sin[y],x,{y,2}] Out[1]= -Sin[y] In[1]:= Integrate[ 1/x,x] Out[1]= Log[x] Całkowanie nieoznaczone Integrate[funkcja, zmienna] całka nieoznaczona z funkcji po zmiennej zmienna In[2]:= Integrate[Sin[x]*Tan[x], x] Out[2]= -Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] - Sin[x] Całkowanie oznaczone Integrate[funkcja, {zmienna1,początek,koniec}] całka oznaczona z funkcji po zmienej zmienna w zakresie od z1 do z2 In[1]:= Integrate[ Exp[-x]/x, {x,1., Infinity}] Out[1]=

6 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 6 z 9 Całkowanie oznaczone wielokrotne Integrate[funkcja, {x,x1,x2}, {y,y1,y2}] całka oznaczona z funkcji po zmienych x i y w zakresie od x1 do x2 oraz od y1 do y2 In[1]:= Integrate[ Sin[x+y], {x,0., Pi/2},{y,0.,Pi/2}] Out[1]= 2. Rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe 2-go rzędu In[1]:=eq1 = {z''[t] == -9.81}; initial = {z[0] == 0, z'[0] == 10}; ndsol = DSolve[Join[eq1, initial], z[t], t] Out[1]= {z[t] -> 10 t t^2}} In[2]=tmax=Solve[ndsol==0]; In[3]=tmax = NSolve[z[t] == 0 /. ndsol, t] Out[3]={{t -> 0.}, {t -> }} Szeregi Series [funkcja, {x,x0,rząd}] rozwija funkcję w szereg wokół punktu x0 do rzędu rząd In[1]:= Series[ Exp[-x], {x,0, 4}] x x x 5 Out[1]= 1 - x O[x] Wykresy o Wykres dwuwymiarowy liniowy o Wykres dwuwymiarowy punktowy o Wykres trójwymiarowy o Wykres konturowy o Wykres pola wektorowego o Wykres parametryczny Rozwiązywanie równań różniczkowych DSolve[funkcja, y[x],x] analityczne rozwiązywanie równanie różniczkowego dla y[x], gdzie x jest zmienna niezależną Równanie różniczkowe 1-go rzędu In[1]:=Plot [x^2,{x,-1,1}] Wykres dwuwymiarowy Plot[funkcja, {x,x0,x1},opcje] rysuje wykres funkcji w zakresie od x1 do x2. Opcje pozwalają na modyfikacje stylu In[1]:=eq:=y [x]-2 y[x]==0 In[2]:=DSolve[eq,y[x],x] 2 x Out[1]= {{y[x] -> E C[1]}} In[1]:=eq:={y [x]== y[x]}; inital={y[0]==2} In[2]:=rozw = DSolve[Join[eq, initial], y[x], x] Out[2]= Plot[Evaluate[y[x] /. rozw], {x, 0, 1}, AxesLabel -> {"x", "y"}] Logarytmiczny wykres dwuwymiarowy LogPlot[funkcja, {x,x0,x1}] oś y jest logarytmiczna LogLinearPlot[funkcja, {x,x0,x1}] oś x jest logarytmiczna LogLogPlot[funkcja, {x,x0,x1}] osie x i y są logarytmiczne In[158]:=LogPlot [Exp[x],{x,0,10}, LabelStyle -> {15}]

7 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 7 z 9 Wykres dwuwymiarowy opcje Plot[funkcja, {x,x0,x1}, PlotRange->{x2, x3}] ] PlotRange zakres osi y AxesLabel->{"x", x^2"} opis osi x i y PlotLabel > Przebieg próbny" nazwa wykresu PlotStyle->{RGBColor[1,0,1]} kolor linii wykresu- styl linii wykresu LabelStyle->{15} rozmiar tekstu opisów osi Wykres punktowy II ListPlot[{y0,y1..},Opcje] rysuje wykres kolejnych punktów {y0,y1,...} In[1]:=ListPlot[ { 2.5, 3.7, -1.2, 7.0, 9.1, -2.3}, PlotJoined->True ] Wykres dwuwymiarowy wielu funkcji Plot[{f1,f2}, {x,x0,x1},opcje] rysuje wykres funkcji f1 i f2 w zakresie od x1 do x2 In[117]:=Plot[{x^2, x}, {x, -1, 1}, PlotStyle -> {{Red, Thickness[0.002]}, {Green, Dashing[{0.03, 0.03}],Thick}}, PlotLabel - > "Test", Frame -> True, AxesLabel -> {"Signal [au]", Superscript["mc", "2"]}] Wykres trójwymiarowy Plot3D[funkcja3D, {x,x0,x1},{y,y0,y1},opcje] rysuje wykres funkcji w zakresie x od x1 do x2 i y od y1 do y2 In[24]:=Plot3D[Sin[x] Sin[y], {x,-pi,pi}, {y,-pi,pi}, AxesLabel -> {x,y,z}, Mesh->All, PlotPoints->40] Polecenie Show Show[w1,w2] nakłada na siebie wcześniej utworzone wykresy w1 i w2 In[1]:=w1:=Plot[x^2, {x, -1, 1}]; w2 := Plot[x, {x, -1, 1}] In[2]:=Show[w1, w2] Wykres konturowy ContourPlot[funkcja, {x,x0,x1},{y,y0,y1},opcje] rysuje wykres konturowy funkcji w zakresie od x0 do x1 i od y0 do y1 In[84]:=ContourPlot[Cos[x]*Cos[y], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, ContourLabels -> True] Wykres punktowy ListPlot[{x0,y0},{x1,y1},..] rysuje wykres punktów x,y In[5]:=ListPlot[{{-5, -3}, {-3, 2}, {0.5, 6.3), {2.5, 1.4}, {5, 3}}, PlotJoined -> True] Wykres pola wektorowego VectorFieldPlot[funkcja, {x,x0,x1},{y,y0,y1},opcje] rysuje wykres wektorowy funkcji w zakresie od x0 do x1 i y0 do y1 Needs["VectorFieldPlots`"] In[1]:=V:={x, y}/(x^2 + y^2)^(3/2) In[2]:=VectorFieldPlot[v, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

8 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 8 z 9 Wykres parametryczny ParametrivPlot[x[t],y[t],{t,t0,t1} ] rysuje wykres parametryczny funkcji x[t] i y[t] w zakresie od t0 do t1 In[30]:=ParametricPlot[{Cos[t]*t, Sin[t]*t}, {t, 0, 50}] Dopasowywanie krzywych In[1]:=dane:=ReadList["e:\dane.dat", {Number, Number}] In[2]:=Fit[ dane, {x^2, x^1, 1}, x] Out[2]:= x x^2 In[3]:=NonlinearFit[dane1, a*x^2 + b*x + c, x, {{a, 0.5}, {b, -0.5}, {c, 1.5}}] Out[3]:= x x^2 Operacje na zbiorach SetDirectory["Nazwa kartoteki"] ustawienie nazwy kartoteki głównej, np. kartoteki ze zbiorem Zmienna=Import["Nazwa zbioru"] importuje dane Export["dane.dat","zmienna ] zapisuje dane ze zmiennej zmienna do zbioru o nazwie dane.dat <<["dane.dat","zmienna ] ładuje jeden element ze zbioru o nazwie dane.dat do zmiennej zmienna Delete["dane.dat"] usuwa zbiór nazwie dane.dat Operacje na zbiorach In[1]:=SetDirectory["e:/"] Out[1]=e:/ In[2]:=dane:=Import["dane.dat"] In[3]:=wykres = ListPlot[dane] y v θ x Rzut ukośny x=v cos In[1]:=Remove["Global`*"] In[2]:= y:=v*sin[α]*t-9.81*t*t/2.; x:= v*sin[α]*t In[3]:= Solve[D[y,t] 0,t]; In[4]:= tmax:=n[2.*t//.%] In[5]:= zasieg=x//.t tmax Out[5]:= { v 2 Cos[α] Sin[α]} In[6]:= wysokosc=y//.t tmax/2 Out[6]:= { v 2 Sin[α] 2 } y Operacje na zbiorach ReadList["Nazwa zbioru", "format"] ustawienie nazwy kartoteki ze zbiorem WriteList["Nazwa zbioru", "format"] ustawienie nazwy kartoteki ze zbiorem In[1]:=dane:=ReadList["e:\dane.dat", {Number, Number}] In[2]:=dane:=Import["dane.dat"] In[3]:=wykres = ListPlot[dane] Rzut ukośny, cd In[7]:= Solve[D[zasieg,α] 0,α] Out[7]:= {{α },{α },{α }, {α }} In[8]:= αmax=n[α//.%][[3]] In[9]:= α=αmax/pi*180. Out[9]:= 45 In[10]:= zasieg Out[10]:={ v 2 }

9 Z. Postawa, "Podstawy Informatyki II" Strona: 9 z 9 Pole elektryczne jednorodnie naładowanej płaszczyzny θ d l θ r In[1]:=Remove["Global`*"] In[2]:= de:=1/(4*pi*ε0)*σ*ds*cos[θ]/l^2 In[3]:= l:=d/cos[θ] In[4]:= ds:=2*pi*r*dr*dφ In[5]:= dφ:=1/(2 Pi) In[6]:= r:=d*tan[θ]; dr:=d[r,θ] In[7]:= E calk =Integrate[dE,{θ,0,Pi},{φ,0,2 Pi}] de dϕ de Out[2]:= σ/ε 0 Rozpraszanie ( A sin θ ) ) 1/ 2 cosθ1 ± 1 E1 E0 1 A m2 =, gdzie A = + m1 In[1]:= e0:=100; m2=108 (*Srebro *); m1=40 (*Argon *); In[2]:= A:=m2/m1 In[3]:= e1[θ _]:=e0 ((Cos[θ Degree]+Sqrt[A^2-Sin[θ Degree]^2])/(1+A))^2 In[4]:= Plot[Evaluate[e1[x]],{x, 0, 90},AxesLabel {"Angle (degrees)","kinetic energy (ev)"}] Manipulate - interakcja Manipulate[wyr, {x,x0,x1}] pozwala na interaktywną zmianę parametrów zmiennej x w wyrażeniu wyr, w zakresie of x0 do x1 In[1]:=Manipulate[ Plot[e0*(((Cos[x] - Sqrt[a1^2 - Sin[x]^2])/(1 + a1))^2), {x, 0 Degree, 90 Degree}, AxesLabel -> {"Angle (rad)", "Kinetic energy (ev)"}], {a1, 1, 10}] Programowanie w Mathematice To już we własnym zakresie lub na ćwiczeniach

Sin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10]

Sin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10] In[1]:= (* WSTĘP DO PAKIETU MATHEMATICA *) (* autorzy: Łukasz Płociniczak,Marek Teuerle*) (* Składnia: nazwy funkcji z wielkiej litery a argumenty w kwadratowych nawiasach. Wywołujemy wartość SHIFT+ENTER

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO ŚRODOWISKA SCILAB

WPROWADZENIE DO ŚRODOWISKA SCILAB Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki WPROWADZENIE DO ŚRODOWISKA SCILAB Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych Opracowanie: Paweł Lieder Gdańsk, 007 Podstawy pracy z Scilab.

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe i nieliniowe

Równania liniowe i nieliniowe ( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."

Bardziej szczegółowo

Pakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki

Pakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki Pakiety matematyczne Matematyka Stosowana dr inż. Krzysztof Burnecki 22.05.2013 Wykład 12 Mathematica. Wprowadzenie Obliczenia w Mathematice Wolfram Alpha Slajdy powstały na podstawie strony www.mathematica.pl

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Mathcada 1

Wprowadzenie do Mathcada 1 Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.

Bardziej szczegółowo

Modyfikacja układu współrzędnych VIEW

Modyfikacja układu współrzędnych VIEW WinPlot Wprowadzenie Winplot jest graficznym narzędziem napisanym przez Richarda Parrisa, nauczyciela w Phillips Exeter Academy w Exeter, New Hampshire. Program jest bezpłatny, najnowszą wersję moŝna pobrać

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Drugi sposób definiowania funkcji polega na wykorzystaniu polecenia:

Drugi sposób definiowania funkcji polega na wykorzystaniu polecenia: ĆWICZENIE 6. Scilab: Obliczenia symboliczne i numeryczne Uwaga: Podczas operacji kopiowania i wklejania potrzeba skasować wklejone pojedyńcze cudzysłowy i wpisać je ręcznie dla każdego ich wystąpienia

Bardziej szczegółowo

Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania:

Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania: Informatyka. I. Przypomnienie wiadomości z poprzednich zajęć: Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania: 1. Proszę wygenerować wykresy funkcji sinus

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Obliczenia z wykorzystaniem tzw. funkcji anonimowej Składnia funkcji anonimowej: nazwa_funkcji=@(lista_argumentów)(wyrażenie) gdzie: -

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje na macierzach

Podstawowe operacje na macierzach Podstawowe operacje na macierzach w pakiecie GNU octave. (wspomaganie obliczeń inżynierskich) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z tworzeniem macierzy i wektorów w programie GNU octave.

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Poradnik encyklopedyczny

Poradnik encyklopedyczny I.N.Bronsztejn K.A.Siemiendiajew Poradnik encyklopedyczny Tłumaczyli Stefan Czarnecki, Robert Bartoszyński Wydanie dziesiąte Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1995 SPIS RZECZY Przedmowa 5 Oznaczenia matematyczne

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Kierunek Chemia. Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S BRAK

WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Kierunek Chemia. Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S BRAK WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nazwa przedmiotu MATEMATYKA I Kod CH 1.1 Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S Sposób zaliczenia E Katedra Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Programowanie: grafika w SciLab Slajd 1. Programowanie: grafika w SciLab

Programowanie: grafika w SciLab Slajd 1. Programowanie: grafika w SciLab Programowanie: grafika w SciLab Slajd 1 Programowanie: grafika w SciLab Programowanie: grafika w SciLab Slajd 2 Plan zajęć 1. Wprowadzenie 2. Wykresy 2-D 3. Wykresy 3-D 4. Rysowanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

1) Podstawowe obliczenia. PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI Laboratorium. Wykonał: Łukasz Konopacki Sala 125. Grupa: poniedziałek/p,

1) Podstawowe obliczenia. PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI Laboratorium. Wykonał: Łukasz Konopacki Sala 125. Grupa: poniedziałek/p, PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI Laboratorium Wykonał: Sala 125 Łukasz Konopacki 155796 Grupa: poniedziałek/p, 16.10 18.10 Prowadzący: Dr.inż.Ewa Szlachcic Termin oddania sprawozdania: Ocena: Matlab - firmy

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Załącznik nr 1 do procedury nr W_PR_12 Nazwa przedmiotu: Matematyka II Mathematics II Kierunek: inżynieria środowiska Rodzaj przedmiotu: Poziom kształcenia: nauk ścisłych, moduł 1 I stopnia Rodzaj zajęć:

Bardziej szczegółowo

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U "Z A T W I E R D Z A M dr hab. inż. Stanisław Cudziło, prof. WAT Dziekan Wydziału Nowych Technologii i Chemii Warszawa, dnia... S Y L A B U S P R Z E D M I O T U NAZWA PRZEDMIOTU: MATEMATYKA Wersja anglojęzyczna:

Bardziej szczegółowo

Matematyka I i II - opis przedmiotu

Matematyka I i II - opis przedmiotu Matematyka I i II - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka I i II Kod przedmiotu Matematyka 02WBUD_pNadGenB11OM Wydział Kierunek Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska

Bardziej szczegółowo

Spis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19

Spis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19 Matematyka dla kierunków ekonomicznych : przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej / Henryk Gurgul, Marcin Suder. wyd. 6 uzup. i popr., uwzględniające podstawowy program matematyki również

Bardziej szczegółowo

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Wstawienie skryptu do dokumentu HTML JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.skrypty Java- Script mogą być zagnieżdżane

Bardziej szczegółowo

Nr postępowania: ZP/366/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU

Nr postępowania: ZP/366/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/366/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Zakres materiału Z-1; sem. 1 1. Funkcje jednej zmiennej i ich własności: a) Wartość bezwzględna definicja, rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

JAVAScript w dokumentach HTML (1)

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript mogą być zagnieżdżane w dokumentach HTML. Instrukcje JavaScript

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU. 17. Efekty kształcenia: 2. Nr Opis efektu kształcenia Metoda sprawdzenia efektu kształcenia 1 potrafi wykorzystać

KARTA MODUŁU. 17. Efekty kształcenia: 2. Nr Opis efektu kształcenia Metoda sprawdzenia efektu kształcenia 1 potrafi wykorzystać (pieczęć wydziału) KARTA MODUŁU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa modułu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: 3 3. Karta modułu ważna od roku akademickiego: 2013/2014 4. Forma kształcenia: studia pierwszego

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc.

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. Małgorzata Jakubowska Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. MATLAB pakiet oprogramowania matematycznego firmy MathWorks Inc. (www.mathworks.com) rozwijany od roku 1984 język programowania i środowisko

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: TS1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL

Bardziej szczegółowo

zajęcia 2 Definiowanie wektorów:

zajęcia 2 Definiowanie wektorów: zajęcia 2 Plan zajęć: definiowanie wektorów instrukcja warunkowa if wykresy Definiowanie wektorów: Co do definicji wektora: Koń jaki jest, każdy widzi Definiowanie wektora w Octave v1=[3,2,4] lub: v1=[3

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 -->s="hello World!" s = Hello World! -->disp(s) Hello World!

Przykład 1 -->s=hello World! s = Hello World! -->disp(s) Hello World! Scilab jest środowiskiem programistycznym i numerycznym dostępnym za darmo z INRIA (Institut Nationale de Recherche en Informatique et Automatique). Jest programem podobnym do MATLABa oraz jego darmowego

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

MATHCAD Obliczenia symboliczne

MATHCAD Obliczenia symboliczne MATHCAD 000 - Obliczenia symboliczne Przekształcenia algebraiczne UWAGA: Obliczenia symboliczne można wywoływać na dwa różne sposoby: poprzez menu Symbolics poprzez przyciski paska narzędziowego Symbolic

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo

Adres komórki-nazwa kolumny i nazwa wiersza, na przecięciu których znajduje się komórka. B3- adres aktywnej komórki

Adres komórki-nazwa kolumny i nazwa wiersza, na przecięciu których znajduje się komórka. B3- adres aktywnej komórki Rok akademicki 2014/2015, Pracownia nr 7 2/19 Adresowanie komórek Technologie informacyjne Adres komórki-nazwa kolumny i nazwa wiersza, na przecięciu których znajduje się komórka Politechnika Białostocka

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu MATHCAD

Wprowadzenie do programu MATHCAD Wprowadzenie do programu MATHCAD Zaletami programu MathCad, w porównaniu do innych programów służących do obliczeń matematycznych, takich jak Matlab, Mathematica, są proste i intuicyjne zasady pracy z

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany. MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

for - instrukcja pętli "dla" umożliwia wielokrotne obliczenie sekwencji wyrażeń s s + k s while z j

for - instrukcja pętli dla umożliwia wielokrotne obliczenie sekwencji wyrażeń s s + k s while z j Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw4.mcd /9 Katedra Inmatyki Stosowanej - Studium Podstaw Inmatyki PAKIET MathCad - Część IV. PROGRAMOWANIE MathCad posiada możliwości tworzenia prostych podprogramów,

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...

Bardziej szczegółowo

Scilab - wprowadzenie

Scilab - wprowadzenie Strona 1 Scilab jest darmowym programem (freeware) przeznaczonym do badań matematycznych. Może pomóc w statystycznym opracowaniu wyników badań (pomiarów). Można przy jego pomocy rysować grafy, wykresy

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY

PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY Dr inż. Marcin Witczak Uniwersytet Zielonogórski Przetwarzanie i organizowanie danych: arkusz kalkulacyjny 1 PLAN WPROWADZENIA Profesjonalne systemy

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo