MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

Transkrypt

1 MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część II: Wyrażenia algebraiczne Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.

2 Witaj, jest to druga część materiałów przygotowujących do matury z matematyki. Dzisiaj rozwiązania do zadań z działu wyrażenia algebraiczne. W poniedziałek pod adresem znajdziesz kolejną, III część powtórki maturalnej. Organizatorami przygotowania do matury są redaktorzy portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Powodzenia, Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl Dziennikarze Gazety Lubuskiej Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 2/10

3 Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1: 2x 3 3x 5 =1 Rozwiązaniem równania jest a x=1 b x=2 c x =3 d x=4 Prawidłowa odpowiedź to b). 2x 3 3x 5 =1 2x 3=3x 5 2x 3x= 5 3 x= 2 x=2 Zadanie 2: Dziedziną wyrażenia wymiernego a R b R {7 } c R {1,7 } x 2 5x 3 x 3 7x 2 3x 21 jest Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 3/10

4 d R { 0,2,3} Prawidłowa odpowiedź to b). Mianownik nie może być równy 0, dlatego sprwadzamy warunek x 3 7x 2 3x 21 0 x 3 3x 7x x x x x 7 x x 7 0 x x 7 Zatem dziedziną wyrażenie jest zbiór R {7 }. Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 4/10

5 Zadanie 3: Jeżeli x= 2 3 to wartość wyrażenia x 3 4 x 2 x 1 wynosi a 4 b 3 4 c 5 2 d Prawidłowa odpowiedź to b) = = = 9 12 = 3 4 Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 5/10

6 Zadanie 4: Wyrażenie 64x 3 1 jest równe a 4x 1 16x 2 4x 1 b 4x 1 16x 2 4x 1 c 4x 1 16x 2 4x 1 d 4x 1 16x 2 4x 1 Prawidłowa odpowiedź to a). Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia różnica sześcianów. 64x 3 1= 4x = 4x 1 4x 2 4x = 4x 1 16x 2 4x 1 Zadanie 5: Wykaż, że a b 2 2ab dla wszystkich a,b R. Dowód nie wprost. Załóżmy, że a b 2 2ab. Wtedy otrzymujemy a b 2 2ab a 2 2ab b 2 2ab a 2 2ab 2ab b 2 0 a 2 b 2 0 Otrzymaliśmy sprzeczność. Suma kwadratów liczb rzeczywistych nigdy nie przyjmue wartości ujemnych. Zatem prawdziwa jest nierówność a b 2 2ab. Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 6/10

7 Zadanie 6: Wielomian W x =x 4 x 3 ax 2 bx 12 jest podzielny przez x 1. Reszta z dzielenia wielomianu W x przez dwumian x 3 wynosi 48. Oblicz współczynniki a, b, c. Ponieważ wielomian W x jest podzielny przez x 1, to W 1 =0. Reszta z dzielenia wielomianu W x przez dwumian x 3 wynosi 48. Oznacza to, że W 3 = 48. Otrzymujemy zatem układ o niewiadomych współczynnikach a, b.. W 1 = a 1 2 b 1 12=0 W 3 = a 3 2 b 3 12= a b 12= a 3b 12= 48 a= b 14 9a 3b= b 14 3b= 114 9b 126 3b= b=12 b= 1 a= 1 14= 13 Zatem szukane współczynniki wielomianu W x, to a= 13 b= 1 Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 7/10

8 Zadanie 7: Wyznacz współczynniki a i b wielomianu R x =ax b, jeżeli wiadomo, że R x P x =Q x, P x =2x 2 3x 4 i Q x =4x 3 12x 2 17x 12. R x P x = ax b 2x 2 3x 4 =2ax 3 3a 2b x 2 4a 3b x 4b Porównujemy współczynniki obu wielomianów. Stąd Zadanie 8: 2ax 3 3a 2b x 2 4a 3b x 4b=4x 3 12x 2 17x 12 2a=4 3a 2b=12 4a 3b=17 4b=12 a=2 b=3. Rozłóż wielomian P x =x 3 3x 2 4 na czynniki. P x =x 3 3x 2 4=x 3 2x 2 x 2 4= =x 2 x 2 x 2 x 2 = x 2 x 2 x 2 Aby rozłożyć wyrażenie x 2 x 2 na czynniki, obliczamy wyróżnik i pierwiastki. = =9 x 1 = 1 3 = 2 2 Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 8/10

9 x 2 = 1 3 =1 2 Stąd otrzymujemy, że P x = x 2 2 x 1. Zadanie 9: Zapisz wyrażenie x 1 3 y 3 w postaci iloczynowej. Aby przedstawić wyrażenie w postaci iloczynowej, korzystamy z wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. x 1 3 y 3 = x 1 y x 1 2 x 1 y y 2 = = x y 1 x 2 2x 1 xy y y 2 Zadanie 10: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 5 n 5 jest podzielna przez 4. Korzystamy z wzoru a n 1= a 1 1 a... a n 1. Ponieważ 5 n 1= n 1 = n 1, to 5 n 5=5 n 1 4= n 1 4= = n 1 1 = n 1. Zatem liczba 5 n 5 jest podzielna przez 4. Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 9/10

10 Kolejne zadania do powtórek będą dostępne w poniedziałek pod adresem Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu liczby rzeczywiste, które pomogą Ci w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na adres powtorka@matmana6.pl. Redaktorzy serwisu MatmaNa6.pl prowadzą Darmowy Kurs Maturalny z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym, który składa się z ponad 70 lekcji. Każda lekcja zawiera: 1. omówienie wybranego zagadnienia, 2. ćwiczenia interaktywne, 3. przykłady zadań, 4. zadania maturalne do samodzielnego rozwiązania, 5. rozwiązania zadań z poprzedniej lekcji. Kliknij, aby zapisać się na kurs. Powtórka maturalna > Część II: Wyrażenia algebraiczne. 10/10