Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Transkrypt

1 Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie 4. Równania kwadratowe - powtórzenie 5. Równania wyższych stopni Przykładowe zadania Zad.1 Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzory na obwód i pole figury przedstawionej na rysunku. Zad.2 Wyznacz sumę S + T i oblicz jej wartość dla x = 2 S = T = 2 + Zad.3 Sprawdź, czy dla sumy algebraicznej S= 4 + spełniony jest podany warunek. a) wartość sumy S dla x = 2 jest większa od 5 b) wartość sumy S dla x = - jest nie mniejsza niż -70 c) wartość sumy S dla x = -4 jest nie większa niż Zad.4 Rozwiąż równanie ; a) x = 0 b) 8x 3 27 = 0 c) x (x-2) (x+3) = 0 d) x(x 2-16) =0 Zad.5 Rozwiąż równanie a) x 2 8x +12 =0 b) 6x 2 x 1 =0 c) 3x 2-2x -1 =0 d) x 3 6x 2 +8x =0

2 Zad.6 Oblicz współczynnik a sumy algebraicznej 2x 3-4x 2 + 5x + a, jeśli wartość sumy jest równa 5 dla x = Zad.7 Oblicz współczynnik a, jeśli wartość sumy algebraicznej x 2 +ax + 3 dla x=2 jest równa Zad. 8 Wyznacz wzór opisujący pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h. Podaj potrzebne założenia. a = x- 4 b = x +1 h= 2x 6 II. Wielomiany. Dodawanie i odejmowanie wielomianów 2. Mnożenie wielomianów. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe 5. Wykres wielomianu 6. Nierówności wielomianowe Przykładowe zadania Zad. 1 Dla danych wielomianów W(x) i V (x) wyznaczyć: W(x) + V (x); W(x) - V (x); W(x) * V (x); W(x) 5* V (x) a) W(x) = 2x + 1; V (x) = x 2-3x + 2 b) W(x) = 2x 3-4x + 1; V (x) = -2x 3 + x 2 + x - 1 Zad. 2 Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W = ax+b, jeśli dla wielomianów P = -2x 3 +3x 2-1 i Q = 2(x - 1) 2 + 3(x - 1) zachodzi związek: W * Q = P Zad. 3 Wyznacz współczynniki a, b, c dla których poniższe wielomiany są równe: W(x) = 2x 3 5x 2 + 5x 6, V (x) = (x 2)(ax 2 + bx + c) Zad. 4 Dane są wielomiany W(x) = 4x 3 + 2x 2-3x - 4 oraz F(x) = -x 2 + 5x - 6. Znajdź wielomian G(x) = W(x) -F(x). Zad. 5 Rozwiąż równanie: a) x 3 + 5x 2 = 2x b) 3x 4 = 48. c) x 3-12x 2 + x - 12 = 0

3 Zad. 6 Rozwiąż nierówność: a) x 3 + 5x 2 < 4x b) x 3 + 3x 2-3x - 9 < 0. c) -3x x > 0. d) -2x 3 +18x 2 48x +32>0 e) x(x+1) 2 (x-2) 3 III. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna 1. Proporcjonalność prosta przypomnienie 2. Proporcjonalność odwrotna 3. Dziedzina wyrażenia wymiernego. 4. Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych. 5. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych. 6. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych. 7. Wykres funkcji homomorficznej. 8. Równanie wymierne 9. Funkcje wymierne - zastosowanie Przykłady zadań: Zad 1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia: a) b) ( ) c) ( )( )( ) d) Zad 2. Skrócić wyrażenie: a) b) ( ) c) d) Zad 3. Rozszerz wyrażenie przez podany jednomian lub dwumian a) przez b) przez (a-3) c) przez (a+b) Zad 4. Wykonaj działania: a) + b) c) + d) +

4 Zad 5. Wykonaj działania i wynik przedstaw w postaci nieskracalnej: a) b) c) ( ) d) Zad 6. Naszkicuj wykres funkcji i omów jej własności a) ( ) = b) ( ) = + 3 c) ( ) = + 2 -dziedzina - zbiór wartości - miejsca zerowe - monotoniczność funkcji - rozwiązanie nierówności f(x)> - wyznaczenie wartości funkcji dla argumentu 2 Zad 7. Rozwiąż równanie: (określ dziedzinę!) a) = b) = c) = d) = III. Funkcje wykładnicze i logarytmy 1. Działania na potęgach o wykładniku całkowitym 2. Potęga o wykładniku wymiernym 3. Potęga o wykładniku rzeczywistym 4. Funkcje wykładnicze przekształcenia wykresu 5. Logarytmy 6. Logarytm dziesiętny 7. Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu 8. Logarytm potęgi 9. Funkcje wykładnicze i logarytmy - zastosowanie Przykłady zadań: Zad.1 Oblicz wartość logarytmu: a)log b)log c)log d)log 2 Zad.2 Oblicz stosując twierdzenia o działaniach na logarytmach: a) log 2 + log b)log 6 log 2 c) 2log 2 d) e) f) g) 4

5 Zad. 3 Wyznacz dziedzinę funkcji wyrażenia: a) log (2 + ) b) log ( ) c) log ( 4) d) log ( ) Zad.4 Narysuj wykres funkcji i omów jej własności: a) ( ) = 2 b) ( ) = ( ) 2 c) ( ) = - dziedzina - zbiór wartości - miejsca zerowe - monotoniczność funkcji - wyznaczenie wartości funkcji dla argumentu IV. Ciągi 1. Różne sposoby opisu ciągu (słowny, wykres, wzór) 2. Obliczenie kolejnych wyrazów ciągu na podstawie różnych jego zapisów 3. Monotoniczność ciągu liczbowego (badanie monotoniczności) 4. Ciąg arytmetyczny i jego własności 5. Ciąg geometryczny i jego własności Przykładowe zadania Zad1. Wyznacz podany wyraz ciągu na podstawie opisu ciągu a) Ciąg liczb naturalnych większych od, a5 =? b) an = (,4,, ) a5 =? c) an= a5 =? d) { = 5 = 2 a5=? Zad2. Podaj ciąg liczb naturalnych, które podzielone przez 5 dają resztę 2. Zad.3 Wykaż, że ciąg opisany wzorem jest: a) an= 2 +, ą b) an=, ą c) =, ą

6 Zad.4 Zbadaj monotoniczność ciągu: a) an = 4 c) an = + b) an = + ( ) d) an = Zad.5 Sprawdź, czy ciągiem arytmetycznym jest ciąg, jeśli tak, to wyznacz różnice tego ciągu: a) (2, 6, 10, 14, 18, 22) b) (,,,,,, ) c) an = 3n + 5 d) an = Zad.6 Oblicz a8 ciągu arytmetycznego, jeśli: a) a1 = 8, r = 5 b) a1 = 5, a2 a1 = 6 c) a5 = 12, a6 = 9 d) { = 4 = + 6 Zad.7 Wyznacz ogólny wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że: a) a1 = 5, a2 = 8 b) ( ) =,,,,, c) a3 = 7, a2 + a6 = 19 d) a1 + a3 = 2, a2 a4 = 2 Zad.8 Oblicz Sn pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego (an), jeśli: a) a1 = 6, a15 = 62, n = 15 b) a3 = -2, a5 = 16, n = 4 c) a4 = 5, a8 = 35, n = 8 d) a2 + a4 = 11, a 11 = 17, n = 20 Zad.9 Oblicz wartość sumy: a) b) Zad.10 Sprawdź czy podany ciąg jest ciągiem geometrycznym, jeśli tak, to wyznacz iloraz tego ciągu. a) (1, 3, 9, 27, 81, 243) b) an = 2n c) an = 2 n d) { = = 5 e) = 2

7 Zad.11 Wyznacz pięty wyraz ciągu geometrycznego wiedząc, że: a) a1 = 2, a2 = 10 b) a2 = 4, a3 = 2 c) a2 = 12, a1 + a3 = 30 d) { + = 5 + = 5 Zad.12 Wyznacz ogólny wyraz ciągu geometrycznego wiedząc, że: a) a1 = 3, a3 = 12 b) a2 = 6, a3 a1 = 16 c) a2 = - 4, a4 = d) { + = + = Zad.13 Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym: a) a1 = 3, a3 = 12, n = 3 b) a2 = 3, a3 = 2, n = 8 c) a3 = -, a6 =, n = 10 d) a2 = -1, a7 = 8, n = 10 Zad.14 Które wyrazy ciągu są dodatnie? a) = 4 b) an = 6 Zad.15 Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi. Jeśli największą z tych trzech liczb zwiększymy o, a pozostałych nie zmieniamy, to uzyskamy trzy wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.